comparação entre as soluções analítica e numérica

Congresso de Inovação, Ciência e Tecnologia do IFSP - 2016
TRANSFERÊNCIA DE CALOR: COMPARAÇÃO ENTRE AS SOLUÇÕES ANALÍTICA E
NUMÉRICA
FABIO T. OKUMURA1, LIN C. JEN2,
1
Graduando em Gestão da Produção Industrial, IFSP, Câmpus Salto, [email protected]
Professor do IFSP, Câmpus Salto, [email protected]
Área de conhecimento: Transferência de Calor – 3.05.01.01-6
2
Apresentado no
7° Congresso de Iniciação Científica e Tecnológica do IFSP
29 de novembro a 02 de dezembro de 2016 - Matão-SP, Brasil
RESUMO: O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo comparativo entre os métodos de
resolução analítico e numérico em problemas de transferência de calor unidimensional,
especificamente aplicado em um problema envolvendo aleta de seção circular. Primeiramente será
feita uma abordagem de forma analítica, seguindo literatura relacionada para, em seguida, ser
analisado numericamente, utilizando o método das diferenças finitas. Ao final, será feita uma
comparação de forma a identificar que as soluções encontradas são equivalentes.
PALAVRAS-CHAVE: transferência de calor; superfícies estendidas; análise numérica; método das
diferenças finitas.
HEAT TRANSFER: COMPARISON BETWEEN ANALYTICAL AND NUMERICAL
SOLUTIONS
ABSTRACT: The purpose of this paper is to present a comparative study of the methods of analytical
and numerical resolution on one-dimensional heat transfer problems, specifically applied to a problem
involving circular section fin. First, there will be an analytical approach, following literature related, to
later, be analyzed numerically using the finite difference method. At the end, a comparison is made to
identify the solutions are equivalent.
KEYWORDS: heat transfer; extended surfaces; numerical analysis; finite differences method
INTRODUÇÃO
Aletas são superfícies que se estendem além da superfície de um corpo e permitem aumentar a
troca de calor com o ambiente. O ganho na troca de calor obtido com a utilização de aletas faz com
que esta tenha diversas aplicações industriais, seja em máquinas, motores e componentes
eletroeletrônicos, de forma a reduzir a temperatura do equipamento, muitas vezes, sem a necessidade
de ventilação forçada ou uso de fluídos refrigerantes.
Neste estudo, será analisado um problema envolvendo aleta de seção circular: considere uma
barra de aço com comprimento de 50 cm, diâmetro de 2 cm e condutividade térmica de 55 W/m K.
Uma extremidade da barra é ligada a uma superfície quente mantida a 150º C e a outra extremidade é
ligada a uma superfície fria mantida a 50º C. A barra dissipa calor por convecção para o ar ambiente a
20º C com um coeficiente de transferência de calor de 15 W/m²K.
O objetivo desta análise é determinar a perda de calor da barra para o ambiente além de definir o
perfil de temperatura na barra.
SOLUÇÃO ANALÍTICA
Partindo do pressuposto que a transferência de calor no problema em questão é unidimensional,
ou seja, varia somente na direção (x) do comprimento e que o regime de transferência de calor é
permanente (sem variação com o tempo), há duas hipóteses a se considerar com relação ao perfil de
temperatura na barra:
1. A temperatura a partir da superfície quente de 150º C decresce até estar a uma
temperatura acima de 50º C após percorridos os 50 cm de seu comprimento e, neste
caso, a superfície fria de 50º C age como sorvedouro de calor;
2. A temperatura na barra a partir da superfície quente de 150º C decresce até atingir uma
temperatura abaixo de 50ºC em um determinado ponto da barra antes de 50 cm e, neste
caso, a superfície de 50º C age como fonte de calor.
Para determinar qual das hipóteses é válida, deve-se analisar previamente a transferência de
calor desconsiderando a superfície fria de 50º C.
Sendo o parâmetro da aleta definido por:
m
hP
(1)
kAc
em que,
m – parâmetro da aleta, m-1;
h – coeficiente de transferência de calor, W/m²K;
P – perímetro da seção transversal da aleta, m;
k – condutividade térmica do material da aleta, W/mK;
Ac - área da seção transversal da aleta, m.
Para uma aleta longa, onde a temperatura na ponta da aleta aproxima-se da temperatura do
ambiente, vale:
mL  2,65 (2)
em que,
L – comprimento da aleta, m.
E o perfil de temperatura para uma aleta longa é definido por:
Tx  T  (T  T ) e  mx (3)
b 
em que,
Tx – temperatura da aleta na posição x, ºC.
T∞ – temperatura do fluido do ambiente, ºC.
Tb – temperatura da base da aleta, ºC.
Aplicando-se as expressões (1) e (2), o fator mL encontrado foi de 3,69 e, portanto, aplica-se o
perfil de temperatura de aleta infinita com a equação 3. A temperatura encontrada na ponta da aleta foi
de 23 ºC o que significa que a hipótese 2 deverá ser utilizada para avaliar o perfil de temperatura da
barra. Neste caso, pode-se associar a barra do problema como sendo duas aletas que possuem como
base as superfícies de 150 ºC e a de 50 ºC, tendo comprimentos distintos e as extremidades estão a
mesma temperatura e, portanto, não há troca de calor nas suas extremidades (extremidade adiabática).
Para uma aleta de extremidade adiabática, o perfil de temperatura é dado por:
Tx  T  (T  T )
b 
coshm( L x)
(4)
coshmL
em que,
Tx – temperatura da aleta na posição x, ºC;
x – ponto determinado no comprimento da aleta, m.
E a taxa de transferência de calor é dada por:
q  hPkAc (Tb  T )tgh(mL) (5)
em que,
q – taxa de transferência de calor, W.
Igualando-se a temperatura nas pontas das aletas denominadas aleta 1 e aleta 2, determina-se o
comprimento de cada uma delas:
(Tb1  T ) coshmL1  Tb 2  T coshmL2 (6)
em que.
Tb1 – Temperatura da base na aleta 1, ºC;
L1 – comprimento da aleta1, m;
Tb2 – Temperatura da base na aleta 2, ºC;
L2 – comprimento da aleta2, m.
Com isso, define-se o comprimento da aleta 1 como sendo 0,3566 m e da aleta 2 como 0,1434
m.
Dessa forma obtém-se uma expressão analítica, composta pela combinação da expressão (4)
aplicada às aletas 1 e 2.
A taxa de transferência de calor é obtida com a equação (5) aplicada em cada trecho da barra,
sendo a somatória de 19,411 W.
ANÁLISE NUMÉRICA
Para a análise numérica, a Lei da Conservação de Energia serve de base para o modelo
matemático:
FIGURA 1. Aleta de seção circular uniforme e balanço de energia em sistema diferencial na aleta
(figura produzida pelo autor).
Ao se fazer o balanço de energia tem-se:
q x = q (x+dx) + dqconv (10)
em que,
qx - taxa de transferência de calor por condução em x, W/m;
qx+dx - taxa de transferência de calor por condução em x+dx, W/m;
dqconv – taxa de transferência de calor por convecção, W/m².
Utiliza-se o método das diferenças finitas na equação do balanço de energia.
A barra foi dividida em 50 partes e utilizando-se o método de Euler com 1000 iterações, traçouse o perfil de temperatura da barra.
A taxa de transferência de calor é obtida pela análise da convecção em cada volume,
encontrando-se o valor de 19,469 W.
COMPARAÇÃO ENTRE AS SOLUÇÕES
O gráfico a seguir apresenta o comparativo do perfil de temperatura na barra obtido pelas
resoluções analítica e numérica:
FIGURA 2. Perfil de temperatura da barra obtido por solução analítica e por solução numérica.
CONCLUSÕES
O método numérico aplicado à análise de problemas de transferência de calor unidimensional
em aletas apresenta resultados muito próximos da solução analítica. Isso se deve à equação diferencial
ordinária de segunda ordem, com coeficientes constantes, que descreve o fenômeno de transferência
de calor unidimensional apresentar comportamento bastante regular.
Dessa forma, o método de resolução numérica pode ser aplicado para a resolução de problemas
de transferência de calor unidimensional em regime permanente sem apresentar grandes variações com
os resultados obtidos por meio de resoluções analíticas encontradas em literatura na área de sistemas
térmicos
AGRADECIMENTOS
Agradeço à minha família pelo apoio, aos professores do curso de Gestão de Produção
Industrial do IFSP Câmpus Salto, especialmente ao professor Lin Chau Jen, orientador e co-autor
deste artigo e aos colegas de classe pelo incentivo.
REFERÊNCIAS
INCROPERA, F. P. et al. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 6.ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2008. 643p. ISBN: 978-85-2161-584-2.
MALISKA, C. R. Transferência de calor e mecânica dos fluidos computacional. 1.ed. Rio de
Janeiro: LTC, 1995. 424p. ISBN: 85-216-1396-2.
PATANKAR, S. V. Numerical heat transfer and fluid flow. 1.ed. New York: McGraw-Hill.
197p. ISBN: 978-00-7048-740-6.
SCHERER, C. Métodos computacionais da física versão Scilab. 2.ed. São Paulo: Livraria da
Física, 2015. 300p. ISBN: 978-85-7861-062-3.
SCILAB.
Manual
Scilab.
2009.
3308p.
Disponível
em:
<http://www.scilab.org/download/5.2.0/manual_scilab-5.2.0_pt_BR.pdf>. Acesso em: 13 abr. 2016.