0.1 Matrizes, determinantes e sistemas lineares

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
PARFOR MATEMÁTICA
Lista de Exercı́cios para a Prova Substituta de Álgebra Linear
0.1
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
1. Descreva explicitamente as seguintes matrizes:
(a) A = [aij ]2×3 , tal que aij = i2 − j 2
(b) B = [bij ]3×2 , tal que bij = 2i + j 2
·
Resposta: (a) A =
0 −3 −8
3 0 −5


3 6
(b) B =  5 8 
9 12
¸
2. Determine os valores de x e y de modo que a matriz A = [aij ]3×3 seja simétrica, sabendo que


x2 − 5x + 6
3
5
x+1
0
10 
A=
5
2y + 5 0
Resposta: x = 2 e y =
5
2
3. Uma indústria de cimento tem três fábricas. A matriz A = [aij ]3×4 a seguir indica a produção
da fábrica i, em toneladas, no dia j deste mês.


12 15 13 9
A =  23 28 22 17 
9 8 8 6
(a) Obtenha o número de toneladas de cimento produzidas pela fábrica 2, no dia 3.
(b) Determine o total de toneladas produzidas pela fábrica 1 nos 3 primeiros dias do mês.
Resposta: (a) 22
(b) 40
4. Resolva as equações
¯
¯
¯ x x+1 ¯
¯=2
(a) ¯¯
3 −4 ¯
¯
¯
¯ ¯ 1 1 −1 ¯
¯
¯
¯ 3 −1 ¯ ¯
¯=¯ 2 3 0 ¯
(b) ¯¯
¯
¯
¯
x −4
¯ x 0 0 ¯
1
Resposta: (a) x = −
5
7
(b) x = −6
5. Observe as tabelas a seguir
Quantidade comprada
Preço em cada mercado
Feijão Arroz
Pedro
3
5
José
4
6
João
5
7
Mercado A
Feijão
5,20
Arroz
2,40
Mercado B
5,90
2,10
Essas tabelas representam, respectivamente as quantidades que devem ser compradas e os
preços dos mercados A e B. Determine o que se pede:
(a) O valor total que Pedro pagaria no mercado B.
(b) Em qual mercado João deveria comprar para gastar menos, e de quanto seria a economia.
Resposta: (a)28, 2
(b)Mercado A, economia de 1, 4
6. Determine a inversa de cada matriz a seguir
¸
·
2 5
(a) A =
1 3


1 0 1
(b) B =  1 2 3 
1 2 4
·
Resposta: A−1 =
3 −5
−1 2

1
1 −1
=  − 21 23 −1 
0 −1 1

¸
(b)B −1
7. Estude os sistemas a seguir.

 x + 2y + z = 9
2x + y − z = 3
(a)

3x − y − 2z = −4

= 4
 x−y+z
3x + 2y + z = 0
(b)

5x + 5y + z = −4
Resposta: (a) Sistema possı́vel e determinado
0.2
(b)Sistema possı́vel e indeterminado
Espaço vetorial, subespaço vetorial e transformações
lineares
1. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços do R3 .
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 3y − z = 0}.
2
(b) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 1}.
(c) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 2z}.
Resposta: (a) É subespaço
(b)Não é subespaço
(c) É subespaço
2. Determine uma base e a dimensão do subespaço W em cada ı́tem a seguir:
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; 5x + 3y − z = 0}. (dica: Usar variáveis livres)
(b) W = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y = z e x − 3y + t = 0}. (dica: escalonar o sistema formado
pelas equações dadas e usar variáveis livres)
(c) W = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y = 0 e x + 2y + t = 0}. (dica: escalonar o sistema formado
pelas equações dadas e usar variáveis livres)
Resposta: (a) B = {(1, 0, 5), (0, 1, 3)}, dim W = 2
(b) B = {( 23 , 12 , 1, 0), ( 21 , 12 , 0, 1)},
1
1
dim W = 2
(c) B = {(0, 0, 1, 0), (− 3 , − 3 , 0, 1)}, dim W = 2
3. Em cada ı́tem a seguir, verifique se o conjunto W gera o espaço vetorial V .
(a) W = {(1, 2), (1, −1), (2, 1)} e V = R2 .
(b) W = {(1, 2, 1), (1, −1, 0), (3, 0, 1)} e V = R3 .
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶¾
½µ
2 1
0 1
0 0
1 1
,
,
,
e V = M2×2 (R).
(c) W =
0 0
1 0
0 2
0 0
Resposta: (a) Sim
(b)Não
(c)Sim
4. Em cada ı́tem a seguir determine o subespaço do espaço vetorial V gerado por W .
(a) W = {(1, −1, 0), (2, 1, 0)}
(b) W = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, −1, 0)}
Resposta: (a) S = {(x, y, z) ∈ R3 ; x, y ∈ R e z = 0}
R4 ; z = w e 2x = z + y}
(b) S = {(x, y, z, w) ∈
5. Em cada ı́tem a seguir verifique se a aplicação dada é uma transformação linear.
(a) T : R2 −→ R2 , tal que T (x, y) = (x + 2y, −x + 3y).
(b) T : R3 −→ R3 , tal que T (x, y, z) = (x + 2y + z, −x + 3y − 5z, x + 2y + 1).
(c) T : R3 −→ R2 , tal que T (x, y, z) = (x + 2y − z, −y 2 ).
Resposta: (a) Sim
(b) Não
(c) Não
6. Considere o operador linear T : R2 −→ R2 , tal que T (1, 1) = (2, 5) e T (1, −1) = (−3, 4).
(a) Calcule T (2, 1).
(b) Determine uma expressão para T (x, y).
(c) Verifique se existe (x, y) ∈ R2 , tal que T (x, y) = (1, 0).
Resposta: (a) ( 32 , 19
)
2
1
− 23
ey=
9
23
(b) T (x, y) = (
−x + 5y 9x + y
,
)
2
2
3
(c) Sim, basta tomar x =
7. Considere o operador linear T : R2 −→ R2 , tal que T (x, y) = (x, x + y).
(a) Determine o núcleo de T .
(b) Decida se T é injetora.
(c) Determine a dimensão da imagem de T . (dica: use o teorema do núcleo e da imagem.)
(d) Decida se T é um isomorfismo. (dica: usando o ı́tem acima sabemos se T é sobrejetora.
Um operador linear é um isomorfismo se ele for injetor e sobrejetor.)
Resposta: (a) N (T ) = {(0, 0)}
fismo
0.3
(b) Sim
(c) dim Im(T ) = 2
(d) T é isomor-
Matriz de uma transformação linear, mudança de base,
ortogonalidade e diagonalização de operadores
1. Determine a matriz da tranformação linear T em relação à base canônica em cada caso.
(a) T : R3 −→ R2 , dada por T (x, y, z) = (x − y, z).
(b) T : R3 −→ R3 , dada por T (x, y, z) = (x + y − z, x + 2z, y − 5z).


·
¸
1 1 −1
1 −1 0
Resposta: (a) [T ] =
(b) [T ] =  1 0 2 
0 0 1
0 1 −5
2. Determine o operador linear T do R2 cuja matriz em relação à base B = {(1, 1), (1, 2)} é dada
por
·
A=
1 0
1 2
¸
Resposta: T (x, y) = (2x, 2x + y)
3. Determine as coordenadas do vetor u = (2, 1, 4) em relação às bases:
(a) B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
(b) B2 = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0, −1)}
Resposta: (a) [u]B1 = (2, 1, 4)
(b) [u]B2 = (1, 2, −1)
4. Determine o ângulo entre os vetores u e v em cada ı́tem a seguir:
(a) u = (1, 1, 1) e v = ( 12 , −1, 12 )
(b) u = (1, −1, 0) e v = (2, −1, 2)
Resposta: (a) 90◦
(b) 45◦
5. Obtenha uma base ortonormal a partir da base B = {(1, 1, 1), (1, −1, 1), (−1, 0, 1)} usando o
método de Gram-Schmidt.
n
o
Resposta: ( √13 , √13 , √13 ), ( √16 , − √26 , √16 ), (− √12 , 0, √12 )
4
6. Determine os autovalores e autovetores do operador dado em cada ı́tem.
(a) T : R2 −→ R2 , dado por T (x, y) = (y, x)
(b) T : R3 −→ R3 , dado por T (x, y, z) = (x, y, 0)
Resposta: (a) Autovalores 1 e −1, Aut1 = {x(1, 1); x ∈ R}, Aut−1 = {x(1, −1); x ∈ R}
(b) Autovalores 0 e 1, Aut0 = {x(0, 0, 1); x ∈ R} e Aut1 = {x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0); x, y ∈ R}
7. Considere o operador T : R2 −→ R2 dado por T (x, y) = (4x + 4y, x + 4y).
(a) Determine uma base de R2 em relação à qual a matriz de T tenha a forma diagonal.
(b) Determine a matriz diagonal obtida no ı́tem acima.
·
¸
2 0
Resposta: (a) B = {(2, −1), (2, 1)}
(b)
0 6
5