PDF – Conjuntos numéricos (avançado)

Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Mirandela
Instituto Politécnico de Bragança
Licenciatura em Marketing
Unidade Curricular:
Matemática
2007 / 2008
1
Definir um conjunto
Diz-se que um conjunto A é dado ou definido num
universo quando se conhece uma definição que
permita sempre, a respeito de qualquer elemento c,
saber se c
A ou se c∉ A;
∈
Exemplos (?):
Conjunto das cidades portuguesas;
Conjunto dos países que utilizam como língua
oficial a Língua Portuguesa.
Grande parte dos conjuntos de que falamos no dia -a dia, não estão definidos, mas imperfeitamente
delimitados (conjunto dos pobres, conjunto dos ricos).
2
Conjuntos finitos e conjuntos infinitos
Se um conjunto pode ser definido pela indicação dos
seus elementos diz-se finito.
Exemplos (?)
Números naturais inferiores a cinco;
Alunos da ESTGM da Licenciatura em Marketing.
Diz-se que um conjunto A é infinito quando é
impossível indicar todos os seus elementos.
Exemplos (?)
Conjunto dos números pares;
Conjunto dos números naturais.
3
Conjuntos Numéricos
Números Naturais
N = { 1 , 2 , 3 , ... }
Números Inteiros
N0 = { 0 , 1 , 2, ... }
Números Inteiros Relativos
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }
4
Conjuntos Numéricos
Números Racionais
Q = { a/b, a e b são inteiros e b diferente de 0}
- São aqueles que podem ser representados na forma
a/b, onde a e b são inteiros e b diferente de 0.
Exemplos: 3/5, –1/2 , 1 , 2,5 , ...
- Números decimais exactos são racionais
0,1 = 1/10; 3,7 = 37/10
- Números decimais periódicos são racionais
0,1111... = 1/9; 0,3232 ...= 32/99; 2,3333 ...= 21/9.
5
Conjuntos Numéricos
Números Irracionais
- São números que não podem ser representados na
forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.
- São formados por dízimas infinitas não periódicas.
Exemplos:
π
;
3 ;
2
6
Conjuntos Numéricos
Números Reais
- O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R,
é constituído por todos os números racionais e por
todos os números irracionais.
R = {x | x é racional ou x é irracional}
- Todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o
conjunto dos números irracionais são subconjuntos de
R.
- O conjunto dos números reais é a reunião do conjunto
dos números irracionais com o dos racionais.
7
Números Reais
Intervalos
Sejam a e b ∈ IR, designam-se por intervalos de números reais os
conjuntos:
Intervalos limitados
[a, b] - intervalo fechado de extremos a e b, constituído por x ∈ IR
que satisfaz a condição: a ≤ x ≤ b;
]a, b[ - intervalo aberto de extremos a e b, constituído por x ∈ IR que
satisfaz a condição: a < x < b;
[a, b[ - intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) de extremos a e b,
constituído por x ∈ IR que satisfaz a condição: a ≤ x < b;
]a, b] - intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) de extremos a e b,
constituído por x ∈ IR que satisfazem a condição: a < x ≤ b;
8
Números Reais
Intervalos ilimitados
[a, + ∞ [ - intervalo de origem a, fechado, ilimitado à direita,
constituído por x ∈ IR que satisfazem a condição: x ≥ a;
]a, + ∞ [ - intervalo de origem a, aberto, ilimitado à direita,
constituído por x ∈IR que satisfazem a condição: x > a;
]- ∞ , b] - intervalo de extremidade b, fechado, ilimitado à esquerda,
constituído por x∈ IR que satisfazem a condição: x ≤ b;
]- ∞ , b[ - intervalo de extremidade b, aberto, ilimitado à esquerda,
constituído por x ∈ IR que satisfazem a condição: x < b;
]- ∞ , + ∞ [ - intervalo ilimitado, geralmente identificado com o
conjunto IR dos números reais.
9
Operações com números reais
Propriedades da Adição
A1: a+(b+c) = (a+b)+c, quaisquer que sejam a, b e c
(propriedade associativa para a adição)
A2: 0 é o elemento neutro da adição. a+0=0+a = a,
qualquer que seja a (existência de elemento neutro
para a adição)
A3: Para todo o número a existe um número (-a) tal
que a+(-a)=0 (existência de simétrico para a adição)
A4: a+b = b+a, quaisquer que sejam a e b
(propriedade comutativa para a adição)
A5: A adição é uma operação fechada no conjunto
dos números positivos. (Se a e b são positivos então
a+b também é um número positivo).
10
Operações com números reais
Propriedades da Multiplicação
M1: a.(b.c) = (a.b).c, quaisquer que sejam a, b e c
(associativa);
M2: 1 é o elemento neutro da multiplicação
a.1=1.a=a, qualquer que seja a;
M3: Para todo o número a existe um número 1
a
1
1
tal que a.
=
.a = 1 (existência de inverso);
a
a
M4: a.b = b.a, quaisquer que sejam a e b
(propriedade comutativa);
M5: A multiplicação é uma operação fechada no
conjunto dos números positivos. (Se a e b são
positivos então axb também é um número positivo).
11
Operações com números reais
Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
a.(b+c) = a.b+a.c, quaisquer que sejam a e b
Exemplo de aplicação
Calcular:
a) 10x987698077 +4x 987698077- 13x 987698077;
b) 333999x2– 8x333999 +6x333999;
c) 123456x3 + 123456x5 + 123456x8 – 123456x17;
d) 9999999999x99 – 9999999999x100.
12
Operações com Fracções
O que é uma fracção? É uma parte de um todo. No sentido
matemático é uma forma de representar uma divisão;
Diz-se que duas fracções são equivalentes quando "se
passa" de uma para a outra multiplicando ou dividindo pela
mesma quantidade o numerador e o denominador;
Verificar se duas fracções são equivalentes:
3 6
= ..... porque ...... 3 × 10 = 5 × 6 .
5 10
Simplificar uma fracção é obter uma fracção equivalente
mais simples.
13
Operações com Fracções
3 ← Numerador
Fracção...
5 ← Deno min ador
14
Operações com Fracções
Adição de fracções com o mesmo denominador
A adição de duas fracções com o mesmo denominador é
uma fracção, ainda com o mesmo denominador e cujo
numerador é igual à soma dos numeradores.
3 4 7
+ =
5 5 5
Se pretendemos adicionar duas fracções é necessário que
elas se refiram a partes duma mesma unidade dividida em
igual número de partes (ou seja que tenham o mesmo
denominador).
15
Operações com Fracções
Adição de fracções com denominadores diferentes
A adição de duas fracções com denominadores diferentes é
igual à adição de duas fracções equivalentes às dadas,
transformadas em fracções com o mesmo denominador.
Se a adição não se referir à mesma unidade, então temos
de procurar fracções equivalentes às dadas, mas com o
mesmo denominador.
3 4 15 8 15 + 8 23
=
+ = + =
2 5 10 10
10
10
16
Operações com Fracções
Multiplicação de fracções
O produto de duas fracções é uma fracção, cujo numerador é
igual ao produto dos numeradores e, o denominador é igual
ao produto dos denominadores.
3 4 3 × 4 12
=
× =
2 5 2 × 5 10
17
Operações com Fracções
Divisão de fracções
O quociente de duas fracções é uma fracção, cujo
numerador é igual ao produto do dividendo pelo inverso do
divisor.
3 4 3 5 3 × 5 15
=
÷ = × =
2 5 2 4 2× 4 8
18
Potências
Regras
n
m
a ×a = a
n
n
n
a
n−m
=
a
m
a
n+m
a × b = ( a × b)
n
n
a
a n
=
(
)
n
b
b
19
Polinómios
Polinómios
Operações com polinómios;
Divisão euclidiana;
Regra de Ruffini;
Teorema do resto;
Resolução de equações polinomiais de 1º grau;
Resolução de equações polinomiais de 2º grau;
Factorização de polinómios;
Equações polinomiais;
Inequações polinomiais.
20
Polinómios
Polinómios
Definição: Chama-se polinómio na variável x a toda a
expressão do tipo a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n-1 x + a n
em que n ∈ IN0 e a 1, a 2 , ..., a n-1, a n ∈ IR.
a 0 x n, a 1 x n-1, ..., a n-1 x , a n Termos do Polinómio
a 0, a 1, ..., a n-1 Coeficientes
a n Termo independente
21
Polinómios
Grau de um polinómio é o maior dos expoentes da variável x
com coeficiente não nulo.
Dois polinómios dizem-se idênticos se e só se são iguais
todos os coeficientes dos termos do mesmo grau.
Chamam-se termos semelhantes os termos do mesmo grau.
Um polinómio diz-se completo quando existe o termo
independente e todos os coeficientes da variável x, desde o
termo independente até ao termo de maior grau, são diferentes
de zero.
Ex.1) 0 x 4 + 3 x 2 + x + 1 Tem grau 2 e é completo;
Ex.2) 3 x 4 + 2 x 2 + 3 x +1 Tem grau 4, é incompleto porque
tem nulo o coeficiente do termo em x 3;
22
Polinómios
Polinómios
0 x n + 3 x n-1 + … +0x + 0 Polinómio nulo
O polinómio nulo tem grau indeterminado
Quando o polinómio é constituído por dois termos chama-se
binómio;
Exemplo: 2x + 10
Quando o polinómio é constituído por três termos chama-se
trinómio.
Exemplo: x 2 + 3x + 2
23
Operações com polinómios
ADIÇÃO
Para adicionar dois polinómios aplicam-se as propriedades
comutativa e associativa da adição e reduzem-se os termos
semelhantes.
Ex. (3x2 + 2x + 1) + (5x2 + 3) =
= 3x2 + 2x + 1 + 5x2 + 3
= 3x2 + 5x2 + 2x + 1 + 3
= 8x2 + 2x + 4
24
Operações com polinómios
SUBTRACÇÃO
Para subtrair dois polinómios adiciona-se, ao aditivo, o
simétrico do subtractivo.
Ex. (3x2 + 10x + 1) - ( 5x2 + 3x) =
= 3x2 + 10x +1 - 5x2 - 3x
= 3x2- 5x2 + 10x -3x +1
= -2x2 - 7x +1
25
Operações com polinómios
MULTIPLICAÇÃO
Para calcular o produto de dois polinómios aplica-se a
propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição
e, em seguida, adicionam-se os termos semelhantes.
Ex. (5x2 + 3) . (3x2 + x + 1) =
= 15x4 + 5x3 + 5x2 + 9x2 + 3x + 3
= 15x4 + 5x3 + 14x2 + 3x + 3
26
Casos notáveis da multiplicação de polinómios
A multiplicação de dois polinómios pode processar-se
sempre do mesmo modo.
No entanto, há produtos de polinómios que aparecem com
muita frequência e em diversas situações em Matemática:
Quadrado da soma;
Quadrado da diferença;
Diferença de quadrados.
Estes casos são conhecidos como casos notáveis de
multiplicação de polinómios.
27
Casos notáveis da multiplicação de polinómios
Quadrado da soma
O quadrado da soma de dois monómios obtém-se
adicionando o quadrado do primeiro com o quadrado do
segundo e com o dobro do produto do primeiro pelo segundo
monómio.
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Quadrado da diferença
O quadrado da diferença de dois monómios obtém-se
adicionando o quadrado do primeiro com o quadrado do
segundo e subtraindo o dobro do produto do primeiro monómio
pelo segundo.
(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab
28
Casos notáveis da multiplicação de polinómios
Diferença de quadrados
A diferença dos quadrados de dois monómios é igual ao
produto da sua soma pela sua diferença.
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
29
Divisão de polinómios
DIVISÃO INTEIRA
No conjunto dos números naturais, IN, efectuar a divisão inteira
de um número D (dividendo) por um número d (divisor) é
encontrar um número natural q (quociente) e um número
natural r (resto), tais que:
D=d.q+r
Ex. D = 20, d = 5, q = 4, r = 0
20 = 5 x 4,
20 é divisível por 5 ou 20 é múltiplo de 5 ou 5 é divisor de 20.
30
Divisão de polinómios
DIVISÃO INTEIRA
Quando o resto de uma divisão inteira de polinómios é
diferente do polinómio nulo, então, tal como na divisão em IN,
D(x) = d(x) . q(x) + r(x), em que
D(x) polinómio dividendo
d(x) polinómio divisor
q(x) polinómio quociente
r(x) polinómio de grau inferior ao grau do polinómio divisor
EXEMPLO
(-6x3+3x2+2) : (2x2+1)
31
Divisão de polinómios
DIVISÃO INTEIRA
EXEMPLO
(-6x3+3x2+2) : (2x2+1)
32
Divisão de polinómios
Regra de Ruffini
Divisão de polinómios em que o divisor é um polinómio do
tipo x - α .
A regra de Ruffini é um processo prático para determinação
do quociente e do resto da divisão inteira de polinómios em
que o divisor é do tipo x - α .
Actividade
Seja D(x) = x4 - x3 + 2x2 - 3x - 30 e d(x) = x -2
Determinar o quociente e o resto da divisão de D(x) por d(x).
Teorema do Resto
Seja p(x) um polinómio de grau p > 1. O resto da divisão de
p(x) por x – a é igual a p(a), ou seja, r = p(a)
33
Equações polinomiais
Equações polinomiais
Equações polinomiais são equações da forma:
an x n + an-1 x n -1 + ... + a1 x + a0 = 0 , com an ≠ 0,
Sendo, x a incógnita, n o grau da equação e an, an-1 ,…, a1 os
coeficientes.
Resolver a equação consiste em encontrar os elementos que
tornam a equação uma proposição verdadeira. Este elementos
são chamados soluções (ou raízes) da equação polinomial.
Exemplos:
a) 2x + 10 = 0;
b) x2 + 3x + 2 = 0;
c) 4 x 4 + 2 x 2 + 3 x = 0.
34
Equações polinomiais
Equações polinomiais de 1º grau
1) Resolva cada uma das equações em IR:
a) 3x+7x = 22- 4x;
b) 2(x+5)-3(x+4) = 23;
c) 3x+4x = 8x-x+2;
d) x+x+x+x = x-x-x-x;
e) 3x+3x+3x = 9x;
3
f) 3+ (5x+8) = 4 (x+2)+1;
2
5
3
g ) 5(3x+3x+3x) = (3+2x).
2
35
Equações polinomiais
Equações polinomiais de 2º grau
Equações de 2º grau são equações da forma
ax2+bx+c=0, sendo a, b e c números reais e a é diferente de
zero,
c é o termo independente de x;
b é o coeficiente de x;
a é o coeficiente de x2 .
As equações de 2.º grau, em que b e c são diferentes de
zero chamam-se equações completas, são da forma:
ax2+bx+c=0;
Quando temos uma equação deste tipo, o processo mais
usual de resolução é o recurso à fórmula resolvente.
36
Equações polinomiais
Equações completas de 2º grau
Fórmula resolvente
ax2+bx+c=0
Quando temos uma equação deste tipo, o processo mais
usual de resolução é a utilização da Fórmula Resolvente:
37
Equações polinomiais
Equações polinomiais de 2º grau
1) Resolva cada uma das equações, utilizando a fórmula
resolvente:
a) 3x2+2x-1= 0;
b) 2(x2+2)-3(x+4) = 0;
c) 3x+4x = x-x2+2;
d) x+x2+x+x = x-x-x-x;
e) 3x2+3x+3x = 9x;
3
4
f) 3+ (2x+8) = (x2+2)+1;
2
5
g ) 5(3x+3x+3x) = 3 (3+2x2).
38
Raiz ou zero de um polinómio
Raiz (ou zero) de um polinómio p(x) é um número c, tal que
p(c)=0.
Actividade
Determinar, caso existam os zeros dos seguintes
polinómios
a) 3x2+2x-1;
b) 2x2+2-3x+4;
c) 3x+4x+ x-x2+2;
d) x+x2+x+x- x-x-x-x;
39
Decomposição de um polinómio em factores
Decomposição em factores
Se α1, …, αk são as raízes reais de um polinómio não nulo
A, então existem números únicos e um único polinómio Q
sem raízes reais, tais que:
A(x) = Q(x)(x - α1)n1… (x - αk)nk
Ao número ni chama-se multiplicidade algébrica da raiz αi.
Por exemplo: Se ni = 1 diz-se que αi é uma raiz simples de
A, se ni = 2 diz-se que αi é uma raiz dupla de A, se ni = 3
diz-se que αi é uma raiz tripla de A.
Exemplo:
3x3-6x2+x-2 = (3x2+1)(x-2);
2 é uma raiz simples do polinómio 3x3-6x2+x-2.
40
Factorização de polinómios
Processos para factorizar polinómios
Factorizar um polinómio consiste em transformar o polinómio
(soma de monómios) num produto.
Existem várias formas para factorizar polinómios, entre as
quais:
Factorização simples (ou pôr em evidência);
Por agrupamento de expressões comuns;
Utilização dos casos notáveis da multiplicação;
Utilização de equações de segundo grau.
41
Factorização de polinómios
Factorização simples (ou pôr em evidência).
Exemplo
ax + ay + az = a (x + y + z);
Por agrupamento.
Exemplo
ax + by + bx + ay =
= ax + ay + bx + by =
= a (x + y) + b (x + y) =
= (x + y) • (a + b)
42
Factorização de polinómios
Utilizando os casos notáveis
Exemplos
x² - 4 = (x+2)(x-2);
x² -2xy+y² = (x-y)(x-y);
x² +2xy+y² = (x+y)(x+y).
Utilizando equações de 2.º grau
ax² + bx + c .
Exemplo
ax² + bx + c = a (x - x1) • (x - x2), sendo x1, e x2 as raízes da
equação ax² + bx + c = 0.
43
Inequações polinomiais
Inequações polinomiais
A equação é caracterizada pelo sinal da igualdade (=).
A inequação é caracterizada pelos sinais de maior (>),
menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤).
Dada a função f(x) = 2x – 1 → função de 1º grau.
Se dissermos que f(x) = 3 e desejarmos determinar os
valores de x que satisfazem a igualdade vem : 2x – 1 = 3
→ equação do 1º grau, calculando o valor de x, temos:
2x = 3 + 1, 2x = 4, x = 4 : 2, x = 2 → x deverá ter o valor 2
para que a igualdade se verifique.
Dada a função f(x) = 2x – 1. Se dissermos que f(x) > 3,
escrevemos: 2x – 1 > 3 → inequação de 1º grau,
calculando os valores de x, temos: 2x>3+1, 2x>4, x > 2.
Será sempre assim?
44
Inequações polinomiais
Inequações polinomiais de 2º grau
Dada a função f(x) = x2+2x – 1 → função de 2º grau.
Se dissermos que f(x) ≥ -1 e desejarmos determinar os
valores de x que satisfazem a desigualdade como
poderemos fazer?
45
Expressões racionais
Expressões racionais
Domínio;
Simplificação;
Operações;
Equações racionais;
Inequações racionais.
46
Expressões racionais
Expressões racionais
Expressão racional é uma expressão da forma:
P
Q
, sendo P e Q polinómios e Q diferente de zero.
Exemplo
2 xy − y 2
2x2 −1
, P = 2xy − y2, Q = 2x2 − 1
Operações (?)
47
Expressões racionais
Domínio
Domínio de uma expressão racional é o conjunto dos valores
para os quais a expressão tem significado, no contexto onde
está a ser estudada.
Exemplo: P ( x)
Q( x)
D = {x
∈ IR: Q(x) ≠ 0}.
Exemplo:
2 xy − y 2
2x2 − 2
, Domínio da expressão em IR é IR\{-1,1}
48
Expressões Irracionais
Expressões irracionais
Expressão irracional é toda a expressão da forma n
,
A
sendo A (radicando) uma expressão algébrica e n (índice do
radical) um número natural.
Para n par o radicando tem de ser um número não
negativo, para n ímpar o radicando pode assumir qualquer
valor real para o qual a expressão tenha significado.
49
Expressões Irracionais
Domínio de expressões irracionais (em IR)
n
A( x)
∈ IR: A(x) ≥0},
Se n é ímpar D = {x: A(x) ∈ IR}.
Se n é par D = {x
Exemplos
Domínio D de
Domínio D de
4
7
x + 3;
2 + 3x
D = {x
∈ IR: x+3≥0} = [-3, +∞[
∈ IR: 2+3x ∈ IR} = IR
D = {x
50
Expressões Irracionais
Racionalizar dos termos de uma fracção
Por racionalização dos termos de uma fracção entende-se
o processo que conduz à substituição de uma expressão
envolvendo radicais por outra sem radicais.
Exemplo:
3+ x
5
é o mesmo que
3 5+x 5
5
51
Condições que envolvem valor absoluto
Equações que envolvem valor absoluto (?).
1) Resolva, em IR, as equações:
a) |3x-4|=5;
b) |5x+3|=|8x-2|.
Inequações que envolvem valores absolutos (?)
2) Resolva, em IR, as inequações:
a) |3x-4|>5;
b) |2x-8|<6;
c) |5x+3|≤8.
52
Conteúdos da Unidade Curricular
Introdução ao cálculo diferencial
Estudo das funções reais de variável real;
Limites de funções;
Continuidade;
Função derivada e suas aplicações.
53
Conteúdos da Unidade Curricular
Funções
As correspondências podem ser ou unívocas ou não unívocas;
Chama-se função f de A em B a toda a correspondência unívoca de
A para B, e representa-se por f: A → B;
Uma função é uma colecção de pares de números tais que:
se (a, b) e (a, c) pertencem ambos à colecção então b = c;
Intuitivamente pode interpretar-se uma função f definida num certo
conjunto D e com valores num conjunto E, como uma regra que faz
corresponder a cada elemento x de D um único elemento f(x) de E. O
conjunto D é chamado domínio de f e o subconjunto C de E formado
por todos os elementos f(x), com x ∈ D é o contradomínio de f
(Ferreira, 1985).
54
Conteúdos da Unidade Curricular
Funções
Sejam f: D →E
Diz-se que f é uma função real se todos os valores que assume são
números reais, qualquer que seja o conjunto D;
Diz-se que f é uma função de variável real se D⊂ IR;
Uma função diz-se real de variável real quando o domínio e o
contradomínio são subconjuntos do conjunto dos números reais;
Fixado num plano um referencial cartesiano (que suporemos sempre
de eixos ortogonais, orientados do modo usual e com a mesma
unidade de medida) o gráfico da função f (no referencial
considerado) é o conjunto de todos os pontos do plano
correspondentes a pares (x, f(x)) com x pertencente ao domínio de f.
55
Conteúdos da Unidade Curricular
Exemplos de gráficos de funções
O gráfico da função identicamente nula (com o valor 0 em qualquer
ponto x ∈IR) é o eixo das abcissas;
O gráfico da função identidade I(x) = x para qualquer ponto x ∈ IR
é a bissectriz dos quadrantes ímpares;
O gráfico da função f: IR→ IR, tal que f(x) = -x, qualquer que seja
x ∈ IR) é a bissectriz dos quadrantes pares;
O gráfico da função f: IR→IR, tal que f(x) = x2, é uma parábola que
com a concavidade virada para cima e que passa pela origem do
referencial.
56
Conteúdos da Unidade Curricular
Domínio, conjunto de chegada e contradomínio de uma função
Seja f: A →B, então:
Domínio de f, Df = {a ∈A: f(a) = b, b ∈ B};
Conjunto de chegada de f, Cchf = B;
Contradomínio de f, Cdf = {y∈ B: x ∈A: f(x) = y}
Caracterizar uma função f, significa conhecer:
Domínio de f;
Conjunto de chegada de f;
Processo pelo qual cada elemento do domínio é transformado
num elemento do conjunto de chegada, ou seja, cada objecto do
domínio é transformado na sua imagem.
57
Conteúdos da Unidade Curricular
Zeros de uma função
Designa-se por zero de uma função f todo o valor da
variável independente x que tem por imagem o valor zero.
Se c é um zero da função f então f(c) = 0.
Sinal de uma função
Estudar o sinal de uma função f equivale a determinar:
Os pontos do domínio de f onde a função assume
valores positivos;
Os pontos do domínio de f onde a função assume o
valor zero;
Os pontos do domínio de f onde a função assume
valores negativos.
58
Conteúdos da Unidade Curricular
Monotonia
Seja f uma função real com domínio D e seja A um subconjunto
qualquer de D:
Diz-se que f é crescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1,
x2 ∈ A, se tiver f(x1) ≤ f(x2) sempre que seja x1<x2. Quando se disser
apenas que f é crescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve
entender-se que f é crescente em todo o seu domínio;
Diz-se que f é estritamente crescente no conjunto A sse quaisquer
que sejam x1, x2 ∈ A, se tiver f(x1) < f(x2) sempre que seja x1<x2.
Quando se disser apenas que f é estritamente crescente, sem indicar
qualquer conjunto A, deve entender-se que f é estritamente crescente
em todo o seu domínio.
59
Conteúdos da Unidade Curricular
Monotonia
Diz-se que f é decrescente no conjunto A sse quaisquer que sejam
x1, x2 ∈ A, se tiver f(x1) ≤ f(x2) sempre que seja x1>x2. Quando se
disser apenas que f é decrescente, sem indicar qualquer conjunto A,
deve entender-se que f é decrescente em todo o seu domínio;
Diz-se que f é estritamente decrescente no conjunto A sse
quaisquer que sejam x1, x2 ∈A, se tiver f(x1) < f(x2) sempre que seja
x1 > x2. Quando se disser apenas que f é estritamente decrescente, sem
indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é estritamente
decrescente em todo o seu domínio;
Diz-se que f é monótona em A sse f for crescente ou decrescente
nesse conjunto e que f é estritamente monótona em A sse for
estritamente crescente ou estritamente decrescente em A .
60
Conteúdos da Unidade Curricular
Extremos absolutos de uma função
Ponto máximo e valor máximo
Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.
x ∈ A diz-se ponto máximo de f em A se f(x) ≥ f(y), ∀ y ∈A;
o valor f(x) chama-se valor máximo de f em A .
Ponto mínimo e valor mínimo
Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.
z ∈A diz-se ponto mínimo de f em A se f(z) ≤ f(y), ∀ y
o valor f(z) chama-se valor mínimo de f em A .
∈ A;
61
Conteúdos da Unidade Curricular
Extremos relativos de uma função
Ponto máximo local
Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.
x ∈ A diz-se ponto máximo local de f em A, se existe algum
∂ >0, tal que x é ponto máximo em A ∩ ]x- ∂ , x+ ∂ [.
Ponto mínimo local
Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.
∈
A diz-se ponto mínimo local de f em A, se existe algum
∂ >0, tal que x é ponto mínimo em A ∩ ] z- ∂ , z +∂ [.
z
62
Conteúdos da Unidade Curricular
Injectividade e sobrejectividade
Seja f: A →B:
⇔ f(x) = f(y) ⇒ x = y , ∀ x, y∈ Df
f é sobrejectiva ⇔ ∀y ∈ B, ∃ x ∈ A: f (x) = y;
f é injectiva
f é bijectiva ⇔ f é injectiva e f é sobrejectiva.
63
Conteúdos da Unidade Curricular
Função afim
Toda a função f, real de variável real, definida por
f(x) = ax + b, em que a e b são constantes reais, diz-se
uma função afim. O gráfico da função afim é uma recta. O
coeficiente a chama-se declive e b chama-se ordenada na
origem.
64
Conteúdos da Unidade Curricular
Função quadrática
Chama-se função quadrática, ou função polinomial de 2º
grau, a qualquer função f de IR em IR, dada por uma
expressão da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são
números reais e a ≠0.
O gráfico de uma função quadrática (polinomial de 2º grau),
f(x) = ax2 + bx + c, com a≠ 0, é uma curva chamada parábola.
65
Conteúdos da Unidade Curricular
Função módulo
A função módulo pode ser definida como a função que a
cada número real x associa o módulo de x, ou seja, a distância
de x à origem.
O gráfico da função módulo, isto é da função ψ: IR→ IR, tal
que ψ(x) = |x|, qualquer que seja x ∈ IR é a reunião das
bissectrizes do 1º e do 2º quadrantes.
66
Conteúdos da Unidade Curricular
Operações com funções
• Sejam f e g funções reais de variável real,
• Soma de f e g, representa-se por f+g, e caracteriza-se:
• D f+g=Df ∩ Dg;
• (f+g)(x)=f(x)+g(x), ∀x∈ D f+g;
• Cch f+g=IR.
• Diferença de f e g, representa-se por f-g, e caracteriza-se:
• D f-g=Df ∩ Dg;
• (f-g)(x)=f(x)-g(x), ∀x∈ D f-g;
• Cch f-g=IR.
67
Conteúdos da Unidade Curricular
• Produto de f e g, representa-se por f.g, e caracteriza-se:
•
D f.g=D f ∩ Dg ;
•
(f.g)(x)=f(x) . g(x), ∀ x∈ D f.g;
•
Cch f.g=IR.
• Quociente de f e g, representa-se por
•
D
•
f ( x)
( f )(x)=
, ∀ x∈ D f ;
g ( x)
g
g
•
Cch f/g =IR.
f
g
f
, e caracteriza-se:
g
=(D f ∩ D g)\{x ∈ Dg: g(x)=0};
68
Conteúdos da Unidade Curricular
• Composição
de f e g, representa-se por fog, e caracteriza-se:
D fog={x: x∈ Dg ∧ g(x)∈ Df};
(fog)(x) = f [g(x)], x
∈D fog;
Cch fog = IR.
69
Conteúdos da Unidade Curricular
Função inversa
Seja f uma função real de variável real, tal que: f: D → IR é
injectiva:
A função inversa de f é por definição, a aplicação g: f(D) → IR,
tal que g (f(x)) = x, para cada x pertencente a D;
Toda a função injectiva tem inversa;
O domínio da função inversa é o contradomínio da função dada.
70
Conteúdos da Unidade Curricular
Função Exponencial (de base e)
A função exponencial (de base ) é a função real de variável real
que a cada x faz corresponder ex
Propriedades:
Domínio: IR
Zeros: não tem zeros
Sinal: é sempre positiva
Extremos: não tem nem mínimos nem máximos
Monotonia: é crescente
Contradomínio: IR+
A função é contínua no seu domínio
A função é injectiva, mas não é sobrejectiva
71
Conteúdos da Unidade Curricular
Função Exponencial
Função exponencial (de base e)
Gráfico:
Concavidade: voltada para cima
72
Conteúdos da Unidade Curricular
Função Logarítmica
A função f: IR+ → IR, definida por f(x)=logax, com a≠1 e a>0,
é chamada função logarítmica de base a.
O domínio da função logarítmica é o conjunto IR+ (reais
positivos, maiores do que zero) e o contradomínio é IR (reais).
Vamos considerar duas situações:
0<a<1;
a>1.
73
Conteúdos da Unidade Curricular
Função Logarítmica (0<a<1).
Exemplo: y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os
correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico
seguintes:
x
y
1/4 1/2
2
1
1
0
2
-1
4
-2
74
Conteúdos da Unidade Curricular
Função Logarítmica (a>1)
Exemplo: y=log(2)x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os
correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico
seguintes:
x
y
1/4 1/2
-2 -1
1
0
2
1
4
2
75
Limites de Funções (13-05-2008)
Limite de uma função num ponto
1. Seja f uma função real definida num conjunto D ⊂ IR, a ∈IR um ponto aderente a D e
b um número real. Diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a (ou que b é
o limite de f no ponto a) e escreve-se limf(x)=b ou limf(x)=b sse, qualquer que seja
x→a
a
o número positivo ε existir δ >0 tal que, qualquer que seja x ∈ D verificando a
condição |x-a|< δ , se tenha |f(x)-b|< ε . Simbolicamente:
limf(x)=b ⇔ ∀ ε >0, ∃ δ >0, ∀ x, 0<|x-a|< δ ⇒|f(x)-b|< ε .
x→a
Nota: a é aderente a X sse, qualquer que seja ε >0, V ε (a) ∩ X ≠ Ø
76
Limites de Funções
Se f: D _______> IR e g: E _______> IR têm limite no ponto a, e se este ponto é aderente a
D∩ E, então, têm limite nesse ponto as funções:
i)
f+g, verificando-se a igualdade: lim (f+g)= lim f+ limg;
x→a
x→a
x→a
ii)
f-g, verificando-se a igualdade: lim (f-g)= lim f- lim g;
iii)
f.g, verificando-se a igualdade: lim (f.g) = lim f . lim g;
i)
lim f
f
f
(se lim g(x) ≠ 0 ), verificando-se: lim = x→a .
x→a
x→a g
g
lim g
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
77
Limites de funções
Seja f uma função real definida num conjunto D ⊂IR, a ∈IR um ponto aderente a D.
i)
Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D ∩]a, + ∞[
(quando existe) chama-se limite de f no ponto a à direita ou limite de f(x)
quando x tende para a por valores superiores a a, representa-se por
lim+ f(x);
x→a
ii)
Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D ∩]- ∞, a[
(quando existe) chama-se limite de f no ponto a à esquerda ou limite de f(x)
quando x tende para a por valores inferiores a a, representa-se por lim− f(x);
x→a
i)
O limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D\{a} (quando
existe) chama-se limite de f no ponto a por valores distintos de a,
representa-se por lim f (x) .
x→a
x≠a
78
Continuidade de funções
Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR e seja a um ponto de D. Diz-se
que f é uma função continua em a sse, qualquer que seja o número positivo ε
existir δ >0, tal que sempre que x seja um ponto de D e verifique a condição
|x-a|< δ , se tenha |f(x)-f(a)|<ε . Simbolicamente:
f é contínua no ponto a ⇔ ∀ ε >0, ∃ δ >0, ∀x (x ∈D ∧|x-a|< δ ⇒|f(x)-f(a)|< ε .
Conclui-se que f é contínua em a se lim f(x)=f(a).
x→a
79
Continuidade de funções
Seja f uma função real definida num conjunto D ⊂IR, a ∈ D.
i) f é contínua à direita no ponto a sse a restrição de f ao conjunto
D ∩]a, + ∞[ for contínua em a;
ii) f é contínua à esquerda no ponto a sse a restrição de f ao conjunto
D ∩]- ∞, a[ for contínua em a;
i) f é contínua no ponto a sse f for contínua à direita e à esquerda no ponto
a.
80
Continuidade de funções
Diz-se que f é continua no intervalo aberto ]a, b[ se f é contínua em todos os pontos
desse intervalo.
Uma função f é continua num intervalo fechado [a, b] se:
i)
f é continua no intervalo aberto ]a, b[;
ii)
f é contínua à direita no ponto a;
iii) f é contínua à esquerda no ponto b.
81
Continuidade de funções
Teorema Bolzano
Se é uma função contínua num intervalo fechado
,ek
um número real compreendido entre
e
, então existe
pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo
aberto
tal que
= k.
82
Assimptotas de uma função
Assimptotas verticais: são da forma x=a (a é ponto de acumulação do domínio
de f e, se f está definida em a então f é descontínua em a).
Se lim f(x)=+∞ ou lim f(x)=- ∞, então x=a é uma assimptota vertical.
x→a
x→a
Assimptotas não verticais: são da forma y=mx+b (só pode haver assimptotas
não verticais, se existirem pontos do domínio de f em qualquer vizinhança de
+∞ ou de - ∞ , ou seja, se x→ +∞ existem pontos do domínio de f em ]a, + ∞ [,
se x →- ∞ existem pontos do domínio de f em ]- ∞, a[)
Sendo y=mx+b,
f ( x)
f ( x)
m= lim
ou m= lim
;
x →+∞
x
→
−∞
x
x
b= lim (f(x)-mx) ou b= lim (f(x)-mx).
x→+∞
x →−∞
83
Derivadas (20-05-08)
• Razão incremental
Seja f uma função definida num conjunto D ⊂IR e seja a um ponto interior a D.
Chama-se razão incremental da função f no ponto a, à função ρ : D\{a} →IR,
f (x) − f (a)
definida pela fórmula: ρ (x)=
.
x −a
84
Derivada de uma função num ponto
Chama-se derivada da função f no ponto a ao limite (quando existe) da função
ρ (x) quando x tende para a. A derivada da função f no ponto a representa-se por
f ’(a),
f ’(a)= lim
x→a
f (x) − f (a)
.
x−a
Pondo x=a+h, obtém-se a fórmula,
f (a + h) − f (a)
f ’(a)= lim
, que por vezes é mais cómoda a sua utilização.
h→0
h
85
Tangente a um gráfico num ponto
• Tangente a um gráfico num ponto
Se f ’(a) existe e é finita, chama-se tangente ao gráfico de f no ponto P(a, f (a)), à
recta que passa por este ponto e tem declive igual a f ’(a).
86
Regras de derivação
•
Regras de derivação
S e k é uma constante, u= ϕ (x) e v= ψ (x) são funções para as quais existem
derivadas, então:
a) (k)’= 0;
b) (x)’= 1;
c)
(u+v)’= (u)’+(v)’;
d) (u-v)’= (u)’-(v)’;
e) (uv)’= u’v+uv’;
f) (
u
u' v - uv'
,v≠ 0
)’=
2
v
v
g) (u n) ’= nun-1 u’
h) (x n)’ = nx n-1
87
Aplicação das derivadas
•
Ponto singular
Chama-se ponto singular de uma função f, a todo o ponto x, tal que f ’(x)=0.
•
Ponto de inflexão
Chama-se ponto de inflexão de uma função f, a todo o ponto x, tal que
f ’’(x)=0.
88
Aplicação das derivadas
• Pontos candidatos a máximos ou mínimos
Para determinar os pontos máximos ou mínimos de uma função f no intervalo
[a, b], devem-se considerar três classes de pontos:
1) pontos singulares em ]a, b[;
2) extremos a e b;
3) pontos x∈]a, b[ tais que f não é derivável em x.
• Aplicação
Determinar os pontos máximos e mínimos relativos da função f(x) = x3-3x, no
intervalo [-3, 4], bem como os respectivos valores máximos e mínimos.
89
Aplicação das derivadas
• Teoremas
Sejam I um intervalo, I ⊂ Df, f uma função.
1. Se f ’(x) = 0, ∀x∈I, então f é constante em I;
2. Se f ’(x) > 0, ∀x∈I, então f é crescente em I;
3. Se f ’(x) < 0, ∀x∈I, então f é decrescente em I;
4. Se f ’’(x) > 0, ∀ x∈I, então a concavidade de f é voltada para cima;
5. Se f ’’(x) < 0, ∀ x∈I, então a concavidade de f é voltada para baixo;
6. Se f ’’(x) = 0, então o gráfico de f muda o sentido da concavidade;
7. Se f ’(x) = 0 e f ’’(x)>0, então f tem um mínimo local em x;
8. Se f ’(x) = 0 e f ’’(x) < 0, então f tem um máximo local em x.
90
Aplicação das derivadas
• Teorema
Se f está definida em ]a, b[, tem um máximo ou mínimo local em x∈]a, b[ e f é
derivável em x, então f ’(x)=0.
• Teorema
Se f é derivável em x, então f é contínua em x.
• Teorema
Se g é uma função derivável em a e f é uma função derivável em g(a), então fog
é derivável em a, e (fog)’(a)= f ’(g(a))g’(a).
91
Aplicação das derivadas
•
Esboço do gráfico de uma função f
Para esboçar o gráfico de uma função f devem ser considerados, sempre que
possível, os seguintes aspectos:
- O domínio de f;
- Os zeros de f;
- Os pontos singulares de f e valores de f nesses pontos;
- Sinal da 1ª derivada de f;
- Pontos de inflexão de f e valores de f nos pontos de inflexão;
- Sinal da 2ª derivada de f;
- Comportamento de f nos pontos onde não é continua e na vizinhança dos pontos
aderentes ao domínio de f nos quais a função não está definida;
- lim f(x) e lim f(x).
x → +∞
x → −∞
92
Aplicação das derivadas
Esboçar o gráfico de cada uma das funções reais de variável real:
x2 − 2x +2
1. f(x) =
;
x −1
2. f(x) = x4-x2;
3. f(x) = x5;
4. f(x) = 3x4-8x3+6x2.
93