8.Plano e no espaço - Lig@

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Cursos de Engenharia
ALGA, Ficha 8
Plano e no espaço

1. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M e é perpendicular ao vector n :

a) M(-3,4,7); n =(1,-2,6);

d) M(1,0,-3); n = (0,2,0);


b) M(1,-2,3); n = (4,2,-1);
c) M(-3,0,4); n =(3,1,0);

e) M(0,0,0); n =(1,2,.3)

2. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto B(4,5,0) e é perpendicular ao vector AB ,
sendo A(2,-1,3).
3. Determine o vector normal e construa o plano P dado por: a) 3x+2y+6z-12=0;
c) 3x+2y+6=0;
d) 4x-3z –12=0;
e) 2y+3=0;
f) 3z-4=0.
b) x+y-3z+6=0;
4. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto A e é perpendicular ao segmento AB onde:
a) A(2,-1,-2); B(8,-7,5);
b) A(-1,2,4); B(3,1,2,)
5. No triângulo de vértices P(-5,2,7), Q(5,0,6) e R(0,-1,2), traçou-se a mediana PM (M está situado no lado
QR). Escreva a equação do plano que passa por M e é perpendicular à mediana PM.
6. Escreva a equação do plano mediador (mediatriz) do segmento AB sendo:
a) A(1,-2,4); B(3,-6,0);
b) A(0,1,3); B(2,3,7)
7. Escreva a equação do plano que passa por três pontos A,B e C:
a) A(1,2,-3); B(4,0,1); C(2,1,1);
b) A(1,1,0); B(2,-1,0); C(3,2,0).
8. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto A e é paralelo ao plano P:
a) A(1,2,3); P: 3x-y+2z-1=0;
b) A(0,1,1,); P passa por B(7,0,0); C(-1,0,-2) e D(9,2,0);
c) A(1,1,1,); P é o plano XOY
d) A(-2,1,4); P é o plano XOZ
9. Escreva a equação do plano que passa por dois pontos A e B e é perpendicular ao plano ( ) :
a) A(1,1,1); B(2,2,2); ( ) : 2x-y+4z+1=0;
b) A(1,1,1); B(2,2,2); ( ) é o plano YOZ;
c) A(1,1,1); B(2,2,2); ( ) é o plano que passa por M(1,0,1), N(2,1,1) e P(-1,-1,1).

10. Escreva a equação do plano P que passa pelo ponto A , é paralelo ao vector v e é perpendicular ao
plano ( ) :
a) A(1,2,1);

v =(1,2,4);
( ) : x-y+3=0;
b) A(2,-1,3);

v =(1,0,2);
( ) : 2x-y+z=0.
11. Escreva a equação do plano P que passa pelo ponto A e é perpendicular a dois planos ( ) e (  ) :
a) A(1,2,-1); ( ) : 3x-4y+z-1=0 e (  ) : x+2=0;
a) A(0,0,0); ( ) : x+y-3z+3=0 e (  ) : 2x-y+z-1=0
12. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M(1,2,4) e pelo eixo das abcissas.
13. Ache os valores de m e n para que dois planos ( ) e (  ) sejam paralelos entre si:
a) ( ) : 2x+my+3z-5=0 e (  ) : nx-6y-6z+2=0; b) ( ) : mx+2y+z-1=0 e (  ) : 2x+my+nz+1=0
14. Ache o valor de m para que dois planos ( ) e (  ) sejam perpendiculares entre si:
2
a) ( ) : mx+2y-3z+1=0 e (  ) : mx-my+z-7=0; b) ( ) : x+m y-z+3=0 e (  ) : mx+y+20z+3=0
15. Determine o ângulo entre dois planos ( ) e (  ) :
2
a) ( ) : x  2 y  z  1  0 e (  ) : x  2 y  z  3  0 ;
( ) : x  2 y  2z  3  0 e ( ) : 16x  12y 15z  4  0
16. Ache a distância do ponto A ao plano ( ) :
a) A(3,1,-1); ( ) : 22x+4y-20z-45=0;
b) A(1,1,1);
c) A(2,-2,3); ( ) é o plano XOZ
b) ( ) : 3 y  z  0
e
( ) : 2 y  z  0 ;
c)
( ) : 4x+3y-12=0;
17. Determine a distância entre dois planos paralelos:
a) x –2y-2z-12=0 e x-2y-2z-6=0;
b) 2x-3y+6z-14=0
e
4x-6y+12z+21=0
18. No eixo OY ache os pontos cuja distância até ao plano x+2y-2z=2 seja igual a 4.
19. Escreva as equações dos planos que são paralelos ao plano ( ) : 2x-2y-z-3=0 e cuja distância até ao
plano ( ) é igual a 5.
20. Seja o plano ( ) dado. Determine as coordenadas de três pontos P, Q e R que pertençam a este


plano. Determine os vectores PQ e PR e calcule o seu produto vectorial. Qual é a relação que existe
entre as componentes do produto vectorial e os coeficientes da equação geral do plano dado?
Justifique:.
a) ( ) : 4 x  3 y  6 z  6 ;
b) ( ) : 2x+3y+4z=4
21. Determine uma equação do plano que contenha todos os pontos equidistantes aos dois pontos dados:
A(2,2,0) e B(0,2,2).
22. Determine a posição relativa dos seguintes planos. Se não forem paralelos nem ortogonais entre
si, determine o ângulo de intersecção: a) 5x-3y+z=4 e x+4y+7z=1; b) x-3y+6z=4 e 5x+y-z=4;
c) x-5y-z=1 e 5x-25y-5z=-3.
23. Determine as intersecções do plano dado com os eixos coordenados e faça o esboço do plano:
a) 4x+2y+6z=12;
b)2x-y+3z=4; c) y+z=5;
d) x=5
24. Calcule a distância entre o ponto e o plano dados: a) O(0,0,0); 2x+3y+z=12;
b) O(0,0,0); 8x-4y+z=8.
25.
Escreva a equação da recta que passa pelo ponto A(-1,2,-3) , é perpendicular ao vector

a  (6,2,3) e intersecta a recta
26. a) Demonstre que as rectas
x 1 y  1 z  3


.
3
2
5
x 1 y  2 z  5
e


2
3
4
 x  3t  7

 y  2t  2 estão situadas num mesmo plano.
 z  1  2t

a) Escreva a equação do plano referido na alínea a).
27. Escreva a equação do plano que passa pelas duas rectas paralelas:
x  2 y 1 z  3


3
2
2
x 1 y  2 z  3


.
3
2
2
5 x  3 y  2 z  5  0
2 x  y  z  1  0
28. Demonstre que a recta 
está contida no plano 4x-3y+7z-7=0.
29. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M(1,-2,1) e é perpendicular à recta
x  2 y  z  3  0
.

x  y  z  2  0
e
3
x  2 y  z  3  0
.

x  y  z  2  0
30. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M(1,-2,1) e pela recta
31. Escreva a equação do plano que contém a recta
x 1 y  2 z  2


2
3
2
e é perpendicular ao plano
3x+2y-z=0.
32. Escreva a equação do plano que passa por dois pontos A e B e é paralelo à recta r:
a) A(3,5,1);
B(3,3,3);
x4 y2 z

 ;
4
1
3
r:
b) A(2,2,2);
B(0,2,4);
2 x  2 y  z  1  0
3x  4 y  z  4  0
r: 
33. Ache o ponto de intersecção da recta r com o plano (P):
y 1 z
(P): 2x+3y+z-1=0;
 ;
2
6
5 x  3 y  11z  72  0
c) r: 
; (P): 6x+11y-3z+66=0
4 x  5 y  7 z  26  0
a) r: x  1 
b)
x 1
z 1
; (P) é o plano OYZ;
 2 y 
2
4
34. Ache a projecção e a distância do ponto P à recta r:
a) P(2,-1,3);
 x  3t

r:  y  5t  7 ;
2 x  2 y  z  1  0
3x  4 y  z  10  0
r: 
b) P(1,-1,2);
 z  2t  2

35. Ache o ponto simétrico do ponto P(1,3,-4) em relação ao plano ( ) :
a) ( ) : 3x+y-2z=0
b) ( ) : x+y+z+3=0;
c) ( ) é o plano x=0.
36. Mostre que as rectas r e s são cruzadas e ache a distância entre elas:
a) r:
x7 y 4 z 3
;


3
4
2
s:
 x  4t  5

 x  2t  4

x  21 y  5 z  2
;


6
4
1
s:  y  3t  5
b) r:  y  t  4 ;
 z  5

 z  2t  1

37. Analise as seguintes rectas, quanto à sua posição recíproca:
 x  3  2t

b) r:  y  3  8t
 z  7  4t

x2 y4 z4
x  3 y 1 z  3
a) r:
e s:
;




1
2
2
3
3
1
c)
x  y  z  1  0
r: 
5 x  y  z  17  0
e
s:
x  2  t

e s:  y  5  t ;
z  7  t

x 4 y 2 z 8
.


1
3
2
Respostas:
1. a) x-2y+6z-31=0;
2. 2x+6y-3z-38=0;
b) 4x+2y-z+3=0;
c) 3x+y+9=0; d ) y=0; e) x+2y+3z=0;

3 .a) n = (3,2,6) ;




b) n =(1,1,-3); c) n =(3,2,0); d) n =(4,0,-3); e) n =(0,2,0); f)

6. a) x-2y-2z-6=0;
n =(0,0,3); 4. a) 6x-6y+7z-4=0; b)4x-y-2z+14=0; 5. 15x-5y-6z-16 =0;
b) x+y+2z-13=0;
7 . a) 4x+8y+z-17=0; b) z=0;
8 . a) 3x-y+2z-7=0; b) –x+y+4z-5=0; c) z=1; d) y=1;
9. a) 5x-2y-3z=0; b) y-z=0; c) x-y=0;
10. a) 4x+4y-3z-9=0; b) 2x+3y-z+2=0;
11. a) y+4z+2=0; b) 2x+7y+3z=0; 12. 2y-z=0;
13. a) m=3; n=-4; b) m=2; n=1;
14. a) m=-1 e m=3;
b) m=-5 e m=4;
15. a) 60º ou 120º;
b) 45º ou 135º;
c) arccos
2
2
ou   arccos ;
15
15
1; c) 2;
17.a) 2; b) 3,5; 18. (0,-5,0) e (0,7,0); 19. 2x-2y-z-18=0 e 2x-2y-z+12=0;
21. x-z=0;
22. a) Ortogonais;
b) 83,5º;
c) Paralelos;
16. a) 3/2; b)
4
23.
24. a)
6 14
;
7
b)
8
.
9
25.
x 1 y  2 z  3
;


2
3
6
26. 2x – 16y – 13z + 31 = 0;
27. 6x – 20y – 11z + 1 = 0;
29. x + 2y + 3z = 0;
30. x + y – z + 2 = 0;
42. –x + 8y + 13z – 9 = 0;
32. a) x + y + z – 9 = 0; b) 5x + 4y + 5z – 28 = 0;
33. a) (2,-3,6); b) (0, 5/2,-3); c) (-10, 0, 2);
34. a) (3,-2,4);
b)
3
26
;
3;
b) (1,1,-3);
29 ;
35. a) (-5,1,0);
37. a) cruzadas; b) secantes; c) paralelas.
b) (-1,1,-6);
c) (-1,3,-4);
36. a)13;