gabarito

Mat1310 –P2 – 2009 / 02 – GABARITO RESUMIDO
1) Cheque foi preenchido com : x reais e y centavos
Pessoa recebeu: y reais e x centavos
Cada 1 real equivale a 100 centavos
Logo 100y + x – 68 = 2(100x+y) então 98y – 199 x = 68 fazendo z = -x tem-se a equação
diofantina 98y + 199z = 68 que tem solução já que mdc (199,98) = 1 e 1 divide 68.
Euclides: 1 = 2A + B (A = 0 e B = 1) = 2A + (3-2)B = 3B + 2(A-B) = 3B + 2C (C=-1) =
= 3B + (98-3.32)C = 98C + 3(B-32C) = 98C + 3D (D=33) = 98C + (199-2.98)D =
= 199D + 98 (C-2D) = 199D + 98E (E = -67)
Assim: 68 = 98(-67*68) + 199(33*68) e as soluções da equação diofantina são da
forma: y = -4556 – 199t e z =2244 + 98t logo x = -2244 – 98t (t inteiro)
Como y > 0 tem-se t < -22,39...
Como y < 99 tem-se t > -23,39.
A única possibilidade inteira é t = -23. Portanto x = 10 e y = 21.
O cheque foi preenchido com o valor de R$ 10,21
2) a) Falsa.
Contra-exemplo: m = 3, a = 5, b = 2 , c = 1 e d = 4
b) Verdadeira.
Diz-se que um natural n é primo se ele possui exatamente dois divisores distintos: ele
mesmo e a unidade(1) , ou, diz-se que n é primo caso ele não possa ser escrito como o
produto de dois inteiros ambos maiores do que 1.
Observe que:
n! + 2 = 2(1x3x4x5x ... x n + 1)
n! + 3 = 3(1x2x4x5x ... x n + 1)
n! + 4 = 4(1x2x3x5x ... x n + 1)
...
n! + n = n((n-1)! + 1)
Assim, todos os elementos da sequência podem ser escritos como o produto de dois
inteiros maiores ou iguais a 2 e então, nenhum deles é primo.
3)
Logo
O resto da divisão pedida é igual a 1.
4) a) m deve ser o produto de dois números primos bem grandes (p e q).
c deve ser um inteiro (bem grande) tal que mdc(c,p-1) = mdc(c,q-1) = 1
b) Alice sabe que m = p*q, p e q primos. Logo, pelo teorema chinês do resto ela pode
escrever
Como
mdc(c,p-1)
=
1
tem-se
que
existe
d1
(d1 é
tal
que
o inverso
multiplicativo de c módulo p-1)
Da mesma forma, como mdc(c,q-1) = 1 tem-se que existe d2 tal que
(d2 é o inverso
multiplicativo de c módulo q-1)
Assim, resolvendo o sistema
,
Alice encontra x, ou seja,
decodifica a mensagem enviada por Bob.
ou
Alice sabe que m = p*q, p e q primos. Ela então pode calcular n = (p-1)*(q-1). Como
mdc(c,n) = 1, existe o inverso multiplicativo d de c módulo n (d é o inverso
multiplicativo de c módulo (p-1)*(q-1)=n).
Assim,
e então
Então, resolvendo a equação
, Alice encontra x, ou seja , decodifica a
mensagem enviada por Bob.
c) Porque ele não consegue encontrar x na equação
(possível na
teoria mais com tempo computacional impraticável). Para isso ele teria que conhecer
p e q (fatorando m – que é impossível na prática) o que tornaria possível fazer o
processo descrito no item (b) encontrando as chaves de decodificação d1 e d2 (ou a
chave de decodificação d) e então decodificar y. Como o espião não consegue as
chaves de decodificação, ele não descobre a mensagem x.