A equação diofantina linear ax + by = c tem solução se, e som

EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES
Teorema: A equação diofantina linear
ax + by = c tem solução se, e somente se, d
divide c sendo d = mdc(a,b)
Solução da Equação ax + by = c
Teorema: Se d divide c, ou seja d|c, sendo
d = mdc(a,b) e se o par de inteiros x0, y0 é
uma solução particular da equação
diofantina linear ax + by = c, então todas as
outras soluções dessa equação são dadas
pelas fórmulas:
x = x0 + (b/d)t e y = y0 – (a/d)t
onde t é um inteiro arbritário.
Questão 01. Determinar todas as soluções
da
equação
diofantina
linear
172x + 20y = 1000.
RESOLUÇÃO:
Determinamos inicialmente o mdc(172,20)
pelo algoritmo de Euclides:
172 = 20 . 8 + 12
20 = 12 . 1 + 8
12 = 8 . 1 + 4
8=4.2
Portanto, o mdc(172,20)= 4 e como 4|1000,
segue-se que a equação dada tem solução.
Cabe-nos obter a expressão do inteiro 4
como combinação linear de 172 e 20, para
que o que basta eliminar sucessivamente os
restos 8 e 12 entre as três primeiras
igualdades anteriores do seguinte modo:
4 = 12 – 8 = 12 (20 – 12) = 2.12 – 20 =
2 (172 – 20.8) - 20 = 172.2 + 20 (-17), isto
é 4 = 172.2 + 20.( –17), multiplicando
ambos os membros desta igualdade por 1
000/4 = 250, obtemos:
1000 = 172.500 + 20 (–4250) Portanto, o
par de inteiros x0 = 500, y0= -4250 é uma
solução particular da equação proposta, e
todas as outras soluções são dadas pelas
fórmulas:
x = 500 + (20/4)t = 500 + 5t y = –4250 (172/4)t = –4250 – 43t, onde t é um inteiro
arbitrário.
18 = 5 . 3 + 3
5=3.1+2
3=2.1+1
2 = 1.2
Para exprimir 1 como combinação linear de
18 e 5 basta eliminar os restos 1, 2 e 3 nas
igualdades anteriores do seguinte modo:
1 = 3 – 2 = 3 – (5 – 3) = 2.3 – 5 =
2.(18 – 5.3) – 5 = 2.18 – 7.5
Multiplicando os termos por 48 otemos
48 = 96.18 – 336.5, logo vemos que x0 = 96
e y0 = – 336 é uma solução particular da
equação proposta, e todas as demais
soluções são dadas pelas fórmulas
x = 96 + 5t e y = – 336 – 18t
onde t é um número inteiro arbritário. As
soluções naturais se acham escolhendo t de
modo que sejam feitas as desigualdades:
96 + 5t > 0 → 5t > – 96 → t > – 96/5
– 336 – 18t > 0 → – 18t > 336 → t < - 56/3
Assim implica t = – 19, agora substituindo
temos x = 96 + 5(–19) = 1 e y = – 336 –
18(–19) = 5. Concluimos que a única
solução inteira e positiva da equação 18x +
5y = 48 é x = 1 e y = 5.
Questão 03. Resolver a equação diofantina
linear 39x + 26y = 105.
RESOLUÇÃO:
Vemos que mdc(39, 16) = 13. Como 13 não
divide 105, então a equação não tem
solução.
Questão 04. Verifique se a equação
26x + 11y = 98 possui solução.
RESOLUÇÃO:
Como mdc(26, 11) = 1, existem n, m tais
que n.26 – m.11 = 1. Encontrando n, m
temos 3.26 – 7.11 = 1.
Logo 294.26 – 686.11 = 98.
Escrevendo 294 = 26.11 + 8 temos:
98 = (26.11 + 8).26 – 686.11 = 8.26 – 10.11
Com 8 < 11. Portanto a equação não possui
solução.
Questão 02. Determinar todas as soluções
inteiras e positivas da equação diofantina
linear 18x + 5y = 48
RESOLUÇÃO:
Determinanos inicialmente o mdc(18, 5) =
1. Daí, temos o algoritmo de Euclides:
PROFESSOR AZEVEDO