ELETROMAGNETISMO II – FCM 0117 – 2013 - José Schneider LISTA 5 – Reflexão total interna – Ondas planas em condutores - Dispersão 1) Considere uma onda eletromagnética incidindo com ângulo θ0 sobre uma interface entre dois meios dielétricos, r com constantes µ1, ε1 e µ2, ε2, com n2 < n1. Por simplicidade, considere que o campo elétrico E00 da onda incidente está polarizado na perpendicular ao plano de incidência. a) Calcule a velocidade de propagação da onda evanescente. Mostre que depende de θ0. Quais são os valores extremos que pode assumir a velocidade? b) Calcule a densidade de energia eletromagnética no meio (2). c) Calcule a média temporal do vetor de Poynting transmitido, perpendicular à interface. O resultado é consistente com (b)? d) Calcule a média temporal do vetor de Poynting transmitido, paralelo à interface. 2) Considere o índice de refração complexo n~ = n~ eiφ em um material de condutividade σ. Calcule a fase φ. Qual é a defasagem entre o campo elétrico e magnético para uma onda plana harmônica se propagando neste meio? 3) Suponha ondas EM nas faixas de luz visível e micro-ondas incidindo desde o vácuo sobre um meio (assuma valores típicos de ω nessas regiões do espectro). Calcule o comprimento de onda λ e a profundidade de penetração δ dos campos EM considerando que o meio é: a) água potável (σ = 5x10-3 S/m, εr = 80, µr =1). E em água pura e água de mar? b) prata metálica (σ = 6.30x107 S/m, µr = 0.99998). c) Porque os metais são opacos? Em todos os casos: analise primeiro o valor da razão corrente condução/deslocamento, para determinar si se trata de alta ou baixa condutividade. 4) Uma onda eletromagnética incide normalmente sobre um meio condutor (condutividade finita σ). Calcule o ângulo de defasagem entre a onda incidente e a refletida. 5) Mostre que para uma onda EM em um bom condutor os campos elétrico e magnético estão defasados 45o. 6) Considere um bom condutor ôhmico (corrente de cargas muito maior que corrente de deslocamento) de condutividade σ e permeabilidade µ. a) Demonstre que dentro do condutor a densidade de corrente satisfaz uma equação de difusão: r r ∂J 2 ∇ J −σ µ = 0. ∂t 1 r r r r b) Considerando soluções com dependência temporal harmônica J (r , t ) = J 0 (r ) e , demonstre que r r ∇ 2 J 0 + τ 2 J 0 = 0 com τ = (1 + i) δ , sendo δ a profundidade de penetração dos campos E.M.. − iωt c) Considerando uma interface plana infinita entre o vácuo e o meio condutor, resolva a equação diferencial em (b) e encontre a densidade de corrente dentro do condutor. 7) Considere um meio com constante dielétrica complexa ε = εR + i εI, onde se define o índice de refração complexo n = nR + i nI , com n2 = ε (meio não permeável). a) Demonstre que em geral: n R2 = 1 2 2 ε R + ε R + ε I 2 n I2 = 1 2 2 − ε R + ε R + ε I . 2 Estas são as constantes ópticas do meio, que permitem obter respectivamente a velocidade de fase (v = c /nR) e a profundidade de penetração dos campos (δ-1 = nI ω/c) da onda. b) Considere a constante dielétrica εr(ω) resultante do modelo de um único oscilador amortecido: ε r (ω ) = 1 + ω P2 ω 02 − ω 2 − i ω γ onde ω P2 ≡ e2 N (frequência de plasma) ε0 m Calcule as formas asimptóticas de εrR e εrI para freqüências baixas, longe da região anômala: ω << ω0. c) Demonstre que nesse limite é valida a expressão de Cauchy para a dependência do índice de refração com o comprimento de onda em materiais transparentes: 2 1 λ0 λ0 n ≅ nR ≅ 1 + 1 + , 2 λ P λ onde os λi correspondem aos comprimentos de ondas associados às freqüências ω0, ωP e ω. 8) Suponha um meio com uma única frequência de ressonância ω0, com amortecimento γ << ω0. Encontre a largura da região de dispersão anômala. Mostre que o índice de refração atinge valores máximos e mínimos em frequências onde o coeficiente de absorção assume a metade do valor de máxima absorção. 9) Considere a expressão da condutividade AC em baixa freqüência σ (ω ) = N e2 f0 m (γ 0 − i ω ) . a) Determine a defasagem entre a densidade de corrente e o campo magnético em função da freqüência. Que tipo de comportamento reativo apresenta o meio? b) Compare com o valor limite da condutividade DC de acordo com o Modelo de Drude σ DC = n e2 τ m e encontre uma relação vinculando o tempo de relaxação τ com o modelo de osciladores eletrônicos. 2 c) Considerando valores de referência para o cobre, N ∼ 8 1028 m-3 , σ DC = 5,9 107 (Ω m)-1, estime a ordem de grandeza de γ0. Até que limite de frequências é razoável assumir que a condutividade σ (ω ) é real? 10) Uma onda eletromagnética plana harmônica se propaga através de um plasma sem resposta magnética. Calcule o vetor de Poynting em média temporal, para uma onda com freqüência menor que a freqüência de plasma. 11) Calcule o coeficiente de atenuação da potência de uma onda E.M., definido como α = 1 Im{ k } , em função da 2 frequência de plasma. Calcule α para um plasma típico de laboratório com N = 1020 m-3. Qual é a profundidade de penetração dos campos neste plasma? 12) Considere uma onda eletromagnética se propagando por um plasma. Usando a relação de dispersão do plasma e a relação ω ≡ ω dω ck , calcule as velocidades de fase v f ≡ e de grupo v g ≡ dentro do plasma. Compare n(ω ) k dk com o valor de c e explique. 3