ELETROMAGNETISMO II – FCM 0117 – 2013 - José

ELETROMAGNETISMO II – FCM 0117 – 2013 - José Schneider
LISTA 5 – Reflexão total interna – Ondas planas em condutores - Dispersão
1) Considere uma onda eletromagnética incidindo com ângulo θ0 sobre uma interface entre dois meios dielétricos,
r
com constantes µ1, ε1 e µ2, ε2, com n2 < n1. Por simplicidade, considere que o campo elétrico E00 da onda
incidente está polarizado na perpendicular ao plano de incidência.
a) Calcule a velocidade de propagação da onda evanescente. Mostre que depende de θ0. Quais são os valores
extremos que pode assumir a velocidade?
b) Calcule a densidade de energia eletromagnética no meio (2).
c) Calcule a média temporal do vetor de Poynting transmitido, perpendicular à interface. O resultado é consistente
com (b)?
d) Calcule a média temporal do vetor de Poynting transmitido, paralelo à interface.
2) Considere o índice de refração complexo n~ = n~ eiφ em um material de condutividade σ. Calcule a fase φ. Qual é
a defasagem entre o campo elétrico e magnético para uma onda plana harmônica se propagando neste meio?
3) Suponha ondas EM nas faixas de luz visível e micro-ondas incidindo desde o vácuo sobre um meio (assuma
valores típicos de ω nessas regiões do espectro). Calcule o comprimento de onda λ e a profundidade de
penetração δ dos campos EM considerando que o meio é:
a) água potável (σ = 5x10-3 S/m, εr = 80, µr =1). E em água pura e água de mar?
b) prata metálica (σ = 6.30x107 S/m, µr = 0.99998).
c) Porque os metais são opacos?
Em todos os casos: analise primeiro o valor da razão corrente condução/deslocamento, para determinar si se trata
de alta ou baixa condutividade.
4) Uma onda eletromagnética incide normalmente sobre um meio condutor (condutividade finita σ). Calcule o ângulo
de defasagem entre a onda incidente e a refletida.
5) Mostre que para uma onda EM em um bom condutor os campos elétrico e magnético estão defasados 45o.
6) Considere um bom condutor ôhmico (corrente de cargas muito maior que corrente de deslocamento) de
condutividade σ e permeabilidade µ.
a) Demonstre que dentro do condutor a densidade de corrente satisfaz uma equação de difusão:
r
r
∂J
2
∇ J −σ µ
= 0.
∂t
1
r r
r r
b) Considerando soluções com dependência temporal harmônica J (r , t ) = J 0 (r ) e
, demonstre que
r
r
∇ 2 J 0 + τ 2 J 0 = 0 com τ = (1 + i) δ , sendo δ a profundidade de penetração dos campos E.M..
− iωt
c) Considerando uma interface plana infinita entre o vácuo e o meio condutor, resolva a equação diferencial em (b)
e encontre a densidade de corrente dentro do condutor.
7) Considere um meio com constante dielétrica complexa ε = εR + i εI, onde se define o índice de refração complexo n
= nR + i nI , com n2 = ε (meio não permeável).
a)
Demonstre que em geral:
n R2 =
1
2
2
 ε R + ε R + ε I 

2
n I2 =
1
2
2
 − ε R + ε R + ε I 
.
2
Estas são as constantes ópticas do meio, que permitem obter respectivamente a velocidade de fase (v = c /nR) e a
profundidade de penetração dos campos (δ-1 = nI ω/c) da onda.
b) Considere a constante dielétrica εr(ω) resultante do modelo de um único oscilador amortecido:
ε r (ω ) = 1 +
ω P2
ω 02 − ω 2 − i ω γ
onde
ω P2 ≡
e2 N
(frequência de plasma)
ε0 m
Calcule as formas asimptóticas de εrR e εrI para freqüências baixas, longe da região anômala: ω << ω0.
c) Demonstre que nesse limite é valida a expressão de Cauchy para a dependência do índice de refração com o
comprimento de onda em materiais transparentes:
2
1  λ0    λ0  
n ≅ nR ≅ 1 +   1 +
,
2  λ P    λ  


onde os λi correspondem aos comprimentos de ondas associados às freqüências ω0, ωP e ω.
8) Suponha um meio com uma única frequência de ressonância ω0, com amortecimento γ << ω0. Encontre a largura
da região de dispersão anômala. Mostre que o índice de refração atinge valores máximos e mínimos em
frequências onde o coeficiente de absorção assume a metade do valor de máxima absorção.
9) Considere a expressão da condutividade AC em baixa freqüência
σ (ω ) =
N e2 f0
m (γ 0 − i ω )
.
a) Determine a defasagem entre a densidade de corrente e o campo magnético em função da freqüência. Que tipo
de comportamento reativo apresenta o meio?
b) Compare com o valor limite da condutividade DC de acordo com o Modelo de Drude σ DC =
n e2 τ
m
e encontre
uma relação vinculando o tempo de relaxação τ com o modelo de osciladores eletrônicos.
2
c) Considerando valores de referência para o cobre, N ∼ 8 1028 m-3 , σ DC = 5,9 107 (Ω m)-1, estime a ordem de
grandeza de γ0. Até que limite de frequências é razoável assumir que a condutividade σ (ω ) é real?
10) Uma onda eletromagnética plana harmônica se propaga através de um plasma sem resposta magnética. Calcule o
vetor de Poynting em média temporal, para uma onda com freqüência menor que a freqüência de plasma.
11) Calcule o coeficiente de atenuação da potência de uma onda E.M., definido como α =
1
Im{ k } , em função da
2
frequência de plasma. Calcule α para um plasma típico de laboratório com N = 1020 m-3. Qual é a profundidade de
penetração dos campos neste plasma?
12) Considere uma onda eletromagnética se propagando por um plasma. Usando a relação de dispersão do plasma e
a relação ω ≡
ω
dω
ck
, calcule as velocidades de fase v f ≡
e de grupo v g ≡
dentro do plasma. Compare
n(ω )
k
dk
com o valor de c e explique.
3