SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Ex3:

1. EQUAÇÃO LINEAR – SOLUÇÃO:
 Uma equação linear a n incógnitas sobre R é
uma equação da forma
Ex4:
a1 .x1  a 2 .x 2  a3 .x3  ......  a n .x n  b
a1 , a 2 , a 3 ,..., a n e b  São números reais

conhecidos

 x , x ,....., x  São as incógnitas
n
 1 2
a1 , a 2 , a 3 ,....., a n são chamados
coeficientes e b é o termo independente.
 CONJUNTO SOLUÇÃO
OU CONJUNTO
VERDADE:
 é o conjunto de todas as soluções da equação.
Uma equação linear a n incógnitas, n  1 , pode
ser
indeterminada (quando possui infinitas
soluções) ou impossível (quando não possui
solução).
Exemplos:
Ex1:
Considerando
a
x  2. y  3.z  6 , temos:
a) Os coeficientes são
independente é 6.
1,2
equação
x 2  7. y  9 não é uma equação linear, porque
linear
2. SISTEMA
LINEAR DE m EQUAÇÕES A
n INCÓGNITAS:
 Um sistema de m equações a n incógnitas
x1 , x 2 , x3 ,......, x n  é linear quando suas m
equações são todas lineares.
Exemplo:
3.x  2. y  z  0

 é um sistema linear
x  y  1
4. y  3.z  2

2.1 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR:
 A solução de um sistema de equações lineares é
um
conjunto
ordenado
de
números
k1 , k 2 , k 3 ,....., k n  , tal que , se fizermos
x1  k1 , x 2  k 2 ,....., x n  k n teremos todas as
equações do sistema satisfeitas.
Exemplos:
Ex1: No sistema
e
–3
e
o
termo
temos
x  5, y  2 e z  1 ,
x  2. y  3.z  5  2.2  3.1  6 ; logo, 5,2,1 é
b) Para
temos
x  4, y  3 e z  2 ,
x  2. y  3.z  4  2.3  3.2  4 ;logo, 4,3,2 não
c) Para
é solução da equação.
d) Podemos obter soluções da equação atribuindo
valores para y e para z e depois calculando x. Por
y 1
z  2 vem
exemplo,
para
e
x  2.1  3.2  6 , logo x  10 ; então, 10,1,2 é
solução da equação.
y   e z   , vem x  2.  3.  6 ,
logo x  6  2.  3. ; então, o conjunto solução
da equação é
V  6  2.  3. ,  ,  ;
  R ,   R . Trata-se de uma equação
Para
 x  2. y  0

3.x  2. y  16
 
o par ordenado 4;2 onde x  4 e
satisfaz a ambas as equações do sistema. Veja:
Além disso, essa é a única solução para o
sistema. O conjunto solução será S  4;2 .
 
2.2 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR:
 Um sistema linear é chamado de possível ou
compatível, quando admite pelo menos uma
solução. Em caso contrário, isto é, quando não
admitir solução alguma, será impossível ou
incompatível.
 Caso um sistema seja possível, podem ocorrer
duas situações: O sistema poder ser possível e
determinado ou possível e indeterminado. Na
primeira situação, o sistema tem uma única
solução e, na Segunda situação, infinitas
soluções.
Exemplos:
indeterminada.
Ex2: A equação linear 0.x  0. y  0.z  3 não possui
solução. É uma equação impossível.
y  2,
4  2.2  0

3.4  2.2  16
uma solução da equação.
e)

apresenta a incógnita x elevada ao quadrado.
em que:
Os números
5.x  0. y  10 é uma equação linear com
coeficientes 5 e 0 e termo independente 10. O
conjunto solução é V  2,  ;   R . A
equação é indeterminada.
Ex1: O sistema
 x  2. y  0

3.x  2. y  16
é possível e
determinado. Sua única solução, como já vimos, é o
par ordenado 4;2
 
Ex2:
O sistema
 x  2. y  0

3.x  6. y  0
é
possível e
indeterminado. Observe que a Segunda equação é
igual à primeira multiplicada por 3. Na verdade , o
sistema é equivalente á única equação: x  2. y  0 .
Essa equação nos dá x  2. y ; fazendo, então, a
incógnita y assumir valores arbitrários, obtemos uma
infinidade de pares x; y , satisfazendo o sistema.


Fazendo então y   , obtemos x  2. y  2. . As
soluções do sistema são, então, todos os pares
ordenados x; y  2. ;  , onde   R . O conjunto
solução
é
portanto
S  2.;   R .


 

Ex3: O sistema


x  y  1
é impossível, pois a

2.x  2. y  10
Segunda equação é incompatível com a primeira.
Nenhum par ordenado x; y irá satisfazer a ambas as


equações simultaneamente. Portanto
S     .
 A resolução de um sistema de equações lineares
pode ser simplificada com a utilização de matrizes.
É o que veremos em seguida:
a11 .x 1  a12 .x 2  .....  a1n .x n  b1
a .x  a .x  ....  a .x  b
 21 1
22 2
2n
n
2

......................................  ...
a m1 .x1  a m 2 .x 2  ....  a mn .x n  bn
 Podemos associar a esse sistema as seguintes
matrizes:
A) MATRIZ INCOMPLETA : é a matriz formada pelos
coeficientes das variáveis.
 a11

a
A   21
.....

a
 m1
a12
a 22
.....
a m2
.....
.....
.....
.....
a1n 

a 2n 
..... 

a mn 
B) MATRIZ COMPLETA: é a matriz formada pelos
coeficientes das variáveis e pelos termos
independentes.
RESUMINDO:


Sistema possível e determinado: Uma única
solução;
Sistema possível e indeterminado: Infinitas
soluções;
2.3 SISTEMAS
LINEARES EQUIVALENTES:
 Considerando os sistemas:
2.x  3. y  8
S1 
5.x  2. y  1
onde o par
2.x  3. y  8
S2 
3.x  5. y  7
1;2 é a única solução de ambos, pois:
2.1  3.2  8
S1 
5.1  2.2  1
2.1  3.2  8
S2 
3.1  5.2  7
dizemos então que os sistemas S 1 e S 2 são
equivalentes, pois possuem o mesmo conjunto
solução.
Em geral:
 Dois sistemas
S 1 e S 2 são equivalentes se
toda solução de S 1
for também solução de
S 2 e vice-versa.
3. MATRIZES DE UM SISTEMA LINEAR:
 a11

a
B   21
.....

a
 m1
a12
a 22
.....
a m2
.....
.....
.....
.....
a1n b1 

a 2 n b2 
..... .....

a mn bn 
Exemplos:
Ex1: Dado o sistema
2.x  3. y  6
, temos:

5.x  y  4
2 3 

  é a matriz incompleta do sistema.
 5 1
 2 3 6

  é a matriz completa do sistema.
 5 1 4 
 O sistema anterior pode ser escrito matricialmente
assim:
 2 3   x  6

      
 5  1  y   4 
4. REGRA DE CRAMER:
 Estudaremos agora uma fórmula para a solução de
um sistema linear determinado de n equações a n
incógnitas, empregando determinantes de ordem
n, conhecida como REGRA DE CRAMER. Para
simplicidade de cálculos e notações, vamos
enunciá-la e prová-la no caso de 3 equações e 3
incógnitas.
 Dado o sistema linear:
a1 .x  b1 . y  c1 .z  d 1

S  a 2 .x  b2 . y  c 2 .z  d 2
a .x  b . y  c .z  d
3
3
3
 3
 Consideremos os determinantes:

b1
b2
b3
6
1
1
Dx   7  1  2  10
1 2 1
c1
c2
c3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
Da matriz que se obtém trocando, na matriz
incompleta, os coeficientes de y pelos termos
independentes:
a1
Dy  a 2
a3

1
 2  10
1
 Como D  0 , o sistema terá uma única solução,
que será obtida aplicando-se a REGRA DE
CRAMER:
Da matriz que se obtém trocando, na matriz
incompleta, os coeficientes de x pelos termos
independentes:
d1
Dx  d 2
d3

1
1
2
Da matriz incompleta:
a1
D  a2
a3

1
D 1
2
d1
d2
d3
a1
Dz  a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
ATENÇÃO: Quando D  0 , o sistema é possível e
determinado, isto é, admite uma única
solução.
 O valor de cada incógnita, nesse caso, pode ser
obtido pela chamada REGRA DE CRAMER:
Dx
x
D
,
Dy
y
D
,
Dz
z
D
Exemplo:
x  y  z  6

Ex: No sistema  x  y  2.z  7 , temos :
2.x  2. y  z  1

6
7
1
1
 2  20
1
1
Dz  1
2
1
1
2
6
 7  30
1
 pela REGRA DE CRAMER, obtemos:

x 


y 


z 

c1
c2
c3
Da matriz que se obtém trocando, na matriz
incompleta, os coeficientes de z pelos termos
independentes:
1
Dy  1
2
Dx
 10

1
D
 10
Dy
 20

2
D
 10
Dz
 30

3
D
 10
5. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR:
 Vimos que um sistema linear de n equações a n
incógnitas com determinante D não nulo, é
possível e determinado, isto é¸ tem solução
única que pode ser obtida pela REGRA DE
CRAMER.
 Quando o determinante D for nulo, o sistema
poderá ser possível e indeterminado, ou
impossível. Guarde os seguintes resultados:
1) Se o determinante D do sistema for nulo e todos os
determinantes relativos a todas as incógnitas o
forem também, então o sistema será possível e
indeterminado, isto é, admitirá infinitas soluções;
D  Dx  Dy  Dz  .....  0 o sistema é possível e
indeterminado.
2) Se o determinante D for nulo e pelo menos um dos
determinantes relativos às incógnitas não for nulo,
então o sistema é impossível.
D0 e
Dx  0
sistema é impossível.
ou Dy  0 ou Dz  0 o
6. SISTEMAS
LINEARES HOMOGÊNEOS:
 Um sistema linear é homogêneo quando os
termos independentes de todas as suas equações
são nulos. Tal tipo de sistema, que é um caso
particular do que estudamos até agora, tem então
o seguinte aspecto:
a11 .x 1  a12 .x 2  ......  a1n .x n 
a .x  a .x  ....  a .x 
 21 1 22 2
2n n

............................................ 
a m1 .x1  a m 2 .x 2  ..  a mn .x n 
Solução:

sistema terá soluções não nulas se, e somente
se:
k 1 0
D  0  1 1 k  0  2k 2  k  1  0
0 2 1
0
0
 Resolvendo à equação do segundo grau
0
0
vamos obter:
 As propriedades importantes de um sistema linear
homogêneo são as seguintes:
k 
Todo sistema linear homogêneo é sempre possível,
admite
pelo
menos
a
solução
x1 , x 2 ,....., x n   0,0,.....,0 , chamada solução
1
2
todo
k 1
TESTES
trivial ou nula;
Em
ou
sistema
linear
homogêneo
ocorre
Dx1  Dx 2  .....  Dx n  0 ;
Se o determinante de um sistema linear homogêneo
for diferente de zero D  0 , então a única solução
será a solução trivial ;


Para que um sistema linear homogêneo de n
equações a n incógnitas admita soluções não triviais
( além da solução trivial) é necessário e suficiente
que seu determinante seja nulo ( pois, quando D  0
, o sistema é indeterminado).
 x  2 y  3z  14

1. (FRANCO) Dado o sistema 4 y  5 z  23
6 z  18

então x é igual a:
a) 27
b) 3
d) – 2
c) 0
2. (FRANCO) Para que o sistema
e) 1
ax  2 y  4

bx  5 y  1
seja possível e determinado, é necessário que:
Exemplos:
Ex1:
Verifique se o sistema
 x  2. y  3.z  0

2.x  5. y  2.z  0 ,
3.x  y  4.z  0

admite soluções não triviais.
Solução:
1
Temos: D  2
3
2
5
1
3
2  61  0 ,
4
portanto
o
sistema
é
determinado,
apresentando apenas a solução trivial (0,0,0)
k .x  y  0

Ex2: Determine k para que o sistema:  x  y  k .z  0
2. y  z  0

, admita soluções não nulas.
2b
5
2b
b) a  
5
5b
e) a  
2
a)
5b
2
2b
d) a 
5
a
c)
a
3. (FRANCO) O valor de m para que o sistema
mx  y  0
, seja indeterminado é:

4 x  y  0
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
 x  2 y  3z  14

4. (FRANCO) Se 4 y  5 z  23
, então o
4 z  12

valor de x  y  z é igual a:
a) 12
b) 6
c) 5
d) 3
e) n. d. a
3x  2 y  z  m

5. (FRANCO) O sistema 4 x  5 y  z  1 , será
x  3 y  2

possível para:
a)
b)
m  1
m 1
11. (FRANCO) Para que o sistema linear
ax  by  7
admita uma única solução, é

2 x  5 y  1
necessário que:
2b
5
2b
d) a 
5
a)
c) m  3
e) m  0
d) qualquer que seja m
a
5b
2
2b
e) a  
5
a
b)
6. (FRANCO) O valor de x no sistema
b) – 2
c) 1
12. (FRANCO) O sistema linear 
2
a x  y  1
d) - 1
e) 0
admite solução única.
admite infinitas soluções.
Admite apenas duas soluções.
Não admite solução.
n. d. a
b)
c)
d)
0,1,5
2,3,1
impossível se e somente se:
b)
c)
d)
e)
e)
1,2,3
x  y  1
2
x  a y  a
admite solução se e somente se:
ax  5 y  5
terá uma única solução se:

bx  y  0
a  5b  0
5ab  0
a)
b)
a0
a 1
c)
d)
e)
5ab  0
a  1
a 1
e)
a  1
15. (FRANCO) Determine os valores de a e b, a fim
de que o sistema
10. (FRANCO) O sistema de equações
c)
d)
1
2
1
k  4 e m 
2
1
k  4 e m 
2
k  4
1
k  4 e m 
2
k  4 e m 
14. (FRANCO) O sistema 
 x  2 y  18
seja possível e indeterminado é:

3x  ay  54
3
a) – 6
b) 6
c) 2
d) - 2
e)
2
a  5b
a  5b  0
e) a  R
kx  2 y  1
é

2 x  y  m
incógnitas x e y
9. (FRANCO) O valor de a para que o sistema
a)
b)
a 1
d) a  1
c)
13. (FRANCO) O sistema linear de equações nas
a)
x  y  z  6

4 x  2 y  z  5 é:
 x  3 y  2 z  13

 2,7,1
4,3,5
a  1 e a  1
b) a  1 ou a  1
a)
8. (FRANCO) A solução do sistema
a)
é
impossível se e somente se:
x  y  2z  2

7. (FRANCO) O sistema linear 2 x  3 y  4 z  9
x  4 y  2z  7

a)
b)
c)
d)
e)
5b
2
a
x  y  a
2 x  2 y  2 z  6
 x
y
z
2  2.2  2.2  3
2.2 x  2 y  2 z  1

a) 2
c)
2 x  2 y  b
, seja

2 x  ay  6
indeterminado. Então, o produto a . b é:
a) 12
b) 24
c) 18
d) 6
e) 36
2 x  3 y  z  0

16. (FRANCO) O sistema  x  2 y  4 z  0 é :
 x  14 z  0

a) determinado.
b) Impossível.
c) Determinado e admite como solução
d) Indeterminado.
e) n. d. a
1,1,1 .
 x  y  2 z  0

17. (FRANCO) O sistema linear:  x  y  z  1
x  y  z  3

não admite solução se  for igual a:
a) 0
b) 1
c) -1
18. (FRANCO) O Sistema:
d) 2
e) - 2
k 2 x  y  0

 x  ky  0
nas incógnitas x e y:
é impossível se k  -1
admite apenas a solução trivial se k  -1
é impossível e indeterminado se
k = -1
é impossível para todo k real
admite apenas a solução trivial para todo k real.
a)
b)
c)
d)
e)
19.
(FRANCO)
Para
que
o
sistema
2 x  5 y  z  0

 x  10 y  2 z  0 admita solução única, deve6 x  15 y  mz  0

se ter :
a)
b)
m 1
m2
c)
d)
20. (FRANCO)
m  2
m3
e)
m  3
Para qual valor de m o sistema
mx  2 y  z  0

 x  my  2 z  0 admite infinitas soluções 
3x  2 y  0

a)
b)
m0
m0
c)
d)
m2
m  10
GABARITO
1. E
6. E
11. A
16. D
2. A
7. B
12. D
17. E
3. E
8. E
13. A
18. C
4. B
9. A
14. E
19. D
5. A
10. C 15. D
20. C
e)
m 1