Objectivo - Este trabalho pre - Departamento de Física da

Física Laboratorial
Ano Lectivo 2006/07
TRABALHO PRÁTICO Nº 6
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA CONSTANTE DIELÉCTRICA DE UM FILME
DE POLIÉSTER (FOLHA DE ACETATO)
Objectivo - Este trabalho pretende ilustrar a constituição e o funcionamento de um condensador,
bem como determinar, de uma forma simples, a constante dieléctrica que o caracteriza.
1. Introdução
1.1 Noções básicas
Considerem-se dois condutores A e B, isolados e inicialmente e
descarregados, colocados a uma certa distância um do outro
(conforme exemplifica a figura 1) e entre os quais se estabelece,
de alguma forma, uma diferença de potencial V. O
estabelecimento de uma carga +Q no condutor ao potencial
maior e de uma carga -Q no condutor ao potencial menor surge
associada à diferença de potencial V. A carga Q depende
apenas, para um dado valor V da diferença de potencial Figura 1. Condensador constituído
aplicada, do meio e das características geométricas dos dois por dois condutores planos de área A e
condutores, variando linearmente com V. Define-se então a colocados paralelamente, no vazio, a
capacidade C do sistema de dois condutores (designado neste uma distância d um do outro
contexto por condensador) como sendo o quociente entre a carga Q e a diferença de potencial V:
Q
(1)
C=
V
A unidade S.I. de capacidade é o Farad (F), que corresponde à capacidade de um condensador que
acumula uma carga de 1 Coulomb quando se lhe aplica uma diferença de potencial de 1 Volt. No
caso exemplificado na figura 1, de um condensador plano e de placas paralelas, constituído por dois
condutores planos de área A e colocados paralelamente, no vazio, a uma distância d um do outro,
pode-se demonstrar que a capacidade vem dada pela seguinte expressão:
ε A
C= 0
(2)
d
em que ε 0 = 8.854187817 × 10 −12 F / m é a permitividade eléctrica do vazio. Se as placas estiverem
separadas por um meio isolador dieléctrico, a capacidade vem aumentada de um factor κ,
designado constante dieléctrica do meio:
ε A εA
C=κ 0 =
, ε = κε 0
(3)
d
d
ε designa-se então por permitividade eléctrica do meio dieléctrico.
Neste trabalho prático determinar-se-á a constante dieléctrica de um filme de poliéster (a vulgar
"folha de acetato").
1.2. Carga e descarga de um condensador através de uma resistência
1.2.1. Carga
Considere-se o circuito da figura 2 que é apresentado na página seguinte.
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Figura 2. Circuito série de uma bateria de força electromotriz
E com um condensador de capacidade C e uma resistência R.
Inicialmente, o condensador encontra-se descarregado e o
interruptor S encontra-se aberto. Em t = 0, fecha-se o
interruptor, iniciando-se o processo de carga do condensador.
Quando se fecha o interruptor, a diferença de potencial devida à pilha força o estabelecimento de
uma corrente i da placa do condensador ligada ao positivo da pilha para a placa ligada ao negativo.
À medida que se vai armazenando a carga q nas placas do condensador (+q numa das placas e -q na
outra), estabelece-se no circuito uma diferença de potencial que contraria a força electromotriz da
pilha (E). Quando estas duas diferenças de potencial se igualam, cessa a corrente no circuito e a
carga nas placas atinge o valor máximo Qf = CE (+Qf na placa positiva e -Qf na placa negativa). A
corrente no circuito e a carga do condensador variam no tempo de acordo com as equações:
q(t )
R i(t ) +
=E
(4)
C
dq(t )
i (t ) =
(5)
dt
A solução destas equações, conforme pode ser facilmente verificado (admitindo que o condensador
está inicialmente descarregado), tem as formas seguintes:
⎡
⎛ t ⎞⎤
q(t ) = CE ⎢1 − exp⎜ −
⎟⎥
⎝ RC ⎠⎦
⎣
i(t ) =
E
⎛ t ⎞
exp⎜ −
⎟
R
⎝ RC ⎠
(6)
(7)
A evolução temporal prevista por estas equações está representada graficamente nas figuras 3 e 4.
Saliente-se a importância do factor τ = RC, que tem dimensões de tempo (verifique!). τ corresponde
ao tempo que o condensador levaria a carregar até à carga final Qf = CE, se a corrente se
mantivesse constantemente igual a I0 = E/R. No entanto, uma vez que a corrente diminui
exponencialmente com o tempo, a carga acumulada em t = RC é (1-1/e)Qf, tendo nesse instante a
corrente decrescido para I0 /e. De qualquer forma, RC caracteriza o tempo típico que o condensador
leva a carregar (ou a descarregar, como veremos adiante). Para tempos t >> RC, pode-se considerar
o condensador completamente carregado.
Figura 3. Evolução temporal da carga do condensador
do circuito da figura 2. O condensador carrega desde a
carga inicial Q(0)=0 até à carga final Qf = CE. Em
t = RC, acumulou já a carga Qf(1-1/e).
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Figura 4. Evolução temporal da corrente no circuito
da figura 2. A corrente diminui exponencialmente
desde o valor inicial I(0)=E/R até zero. Em t = RC,
diminui de um factor e para I0/e.
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1.2.2. Descarga de um condensador
Consideremos agora que temos um condensador inicialmente carregado com uma carga Q0 e que o
ligamos em série com uma resistência R, conforme esquematiza a figura 5.
Figura 5. Condensador inicialmente carregado com
a carga Q0 ligado em série a uma resistência R. Em
t = 0, fecha-se o interruptor S, iniciando-se o
processo de descarga do condensador.
Quando se fecha o interruptor S, a diferença de potencial existente entre as placas do condensador
motiva o estabelecimento de uma corrente i através da qual ocorre a descarga do condensador. Este
processo é regido pelas equações:
q(t )
R i (t ) +
=0
(8)
C
i (t ) = −
dq(t )
dt
(9)
A solução das equações (8) e (9) é, agora,
⎛ t ⎞
q(t ) = Q0 exp⎜ −
⎟
⎝ RC ⎠
(10)
Q0
⎛ t ⎞
exp⎜ −
⎟
RC
⎝ RC ⎠
(11)
i(t ) =
Agora, quer a carga do condensador, quer a corrente i no circuito diminuem exponencialmente
desde os seus valores iniciais. τ = RC corresponde, analogamente ao processo de carga, ao tempo
que o condensador levaria a descarregar completamente se a corrente se mantivesse constantemente
igual a Q0/RC em todo o processo de descarga. Não sendo i constante, τ corresponde agora ao
tempo que a carga e a corrente levam até verem os respectivos valores iniciais diminuídos de um
factor e.
Figura 6. Evolução temporal da carga do
condensador do circuito da figura 5. O condensador
descarrega exponencialmente desde a carga inicial
Q0 até zero. Em t = RC, a carga diminuiu de um
factor e para Q0/e.
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Figura 7. Evolução temporal da corrente no circuito
da figura 5. A corrente diminui exponencialmente
desde o valor inicial I(0) = Q0/RC até zero. Em
t = RC, diminui de um factor e para I0/e.
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1.2.3. Estudo da carga e descarga de condensadores usando ondas quadradas
Tensão (unidades arbitrárias)
Se, em vez de uma fonte de tensão contínua, usarmos um gerador de tensão fornecendo ondas
quadradas como a idealizada na figura 8, o processo de carga e descarga do condensador será, em
geral, mais complicado do que os processos de carga e descarga simples descritos anteriormente.
1.0
0.8
0.6
T
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
Tempo (unidades arbitrárias)
10
Figura 8. Idealização de uma onda quadrada
de período T (neste caso T = 2). Na realidade,
o gerador é obviamente incapaz de fazer subir
ou descer a tensão de um modo infinitamente
rápido. A tensão leva um certo tempo para
conseguir elevar-se desde zero até ao valor
máximo, bem como para efectuar o processo
inverso, conforme se discute nas notas de
introdução ao osciloscópio e noutro trabalho
prático (Medição de grandezas eléctricas.
Utilização do osciloscópio e do multímetro).
Se for escolhido um período T da onda quadrada suficientemente grande, em comparação com
τ = RC (T >> RC), então pode admitir-se que o condensador carrega completamente nos intervalos
de tempo em que a tensão aplicada é não nula e que também descarrega completamente nos
intervalos de tempo em que a tensão aplicada é nula. No caso de uma tensão como a da figura 8, por
exemplo, o condensador carregará no intervalo de tempo [0,1], descarregará no intervalo [1,2], etc.
Vemos assim que, em rigor, devemos escolher o período T de forma que seja T/2 >> RC e não
T >> RC.
Pode, com o auxílio do osciloscópio, estudar-se simultaneamente os dois processos. Note-se que
este instrumento mede diferenças de potencial e não cargas eléctricas. No entanto, da equação (1)
temos que a diferença de potencial nos terminais de um condensador é directamente proporcional à
sua carga, pelo que o comportamento temporal da tensão é idêntico ao da carga.
2. Realização experimental
Material necessário: folhas de alumínio; folhas de acetato; osciloscópio; resistências; gerador de
sinais; condensadores comerciais; fita cola.
2.1. Determinação da constante dieléctrica
2.1.1. Verifique, e descreva no seu relatório, o modo como está preparado o condensador. Anote os
materiais de que são formadas as placas e o dieléctrico. Faça as medidas necessárias e calcule a área
de cada uma das placas.
2.1.2. Meça, com o auxílio de um multímetro, o valor da resistência (da ordem de 10 kΩ) que
utilizará no circuito. Considere o erro nesta determinação desprezável. Anote o valor na folha de
registo de dados.
2.1.3. Monte o circuito esquematizado na figura ao lado. Substitua o
gerador E e o interruptor S pelo sinal obtido de um gerador de sinais. Isto
é, ligue os terminais do gerador de sinais ao terminal livre de C e ao
terminal também livre de R. Tenha o cuidado de forçar um bom contacto
entre as folhas de alumínio e a folha de acetato (PORQUÊ?), colocando
um peso em cima do conjunto (distribuído uniformemente).
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2.1.4. Ajuste o gerador de sinais para que forneça ondas quadradas de frequência da ordem da
dezena de kHz. Anote na folha de registo de dados o valor da frequência e também da amplitude.
2.1.5. Observe, com o auxílio do osciloscópio, a tensão aos terminais do condensador e a tensão à
saída do gerador. Para isso, observe no canal 1 do osciloscópio, com o auxílio da ponta de prova
adequada, a tensão nos terminais do condensador. No canal 2, com o auxílio da outra ponta, observe
a tensão à saída do gerador. Estabilize a imagem da tensão no condensador, fazendo o trigger pelo
canal 2. Ajustando o trigger e a base de tempos de forma adequada, obtenha no écrã imagens
semelhantes às das figuras 3 e 6 (reproduzidas de seguida).
Figura 3
Figura 6
2.1.6. A partir das imagens obtidas no ponto anterior, pode estimar o tempo característico RC. Para
tal, orientando-se pela imagem correspondente à descarga do condensador (figura 6) e com o
auxílio de um pequeno papel, determine o ponto em que a tangente à curva de descarga no ponto
inicial corta o eixo dos tempos. Esse instante corresponde a τ = RC. Registe o valor na tabela Ι.
2.1.7. Calcule a partir do valor de τ a capacidade do condensador - C. Usando um multímetro
apropriado, faça a medida da mesma capacidade. Compare os dois valores.
2.1.8. Determine, usando a equação (3), a permeabilidade eléctrica e a constante dieléctrica do
meio, completando a tabela I. Para isso, calcule a espessura média das folhas de acetato com o
auxílio de uma craveira, medindo a espessura de um conjunto de folhas (cerca de 5).
2.1.9. Verifique que também pode extrair RC a partir da imagem correspondente à carga do
condensador. Descreva o modo como procederia.
2.2. Dependência da capacidade com a espessura
2.2.1. Repita a medição da capacidade do condensador (passos 2.1.3 até 2.1.7) usando,
sucessivamente, 2, 4 e 8 folhas de acetato entre as folhas de alumínio. Agrupe todos os valores na
tabela II.
2.2.2. Em gráfico (a incluir no relatório) represente a variação da capacidade em função de 1/d. A
partir do gráfico, determine o valor da permeabilidade eléctrica e da constante dieléctrica do
meio. Compare com os valores obtidos no ponto anterior e comente.
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2.3. Variação da capacidade com a área das placas
2.3.1. Repita a medição da capacidade do condensador formado por uma única folha de acetato,
para pelo menos um valor diferente da área das folhas de alumínio. Descreva o modo como
procedeu. Registe valores e cálculos na tabela III.
2.3.2. Compare o resultado com valor anteriormente obtido. Qual o efeito da área das placas sobre a
capacidade de um condensador paralelo?
2.4. Comparação com condensadores comerciais
2.4.1. No circuito eléctrico que vem utilizando, substitua o condensador de acetato por um ou vários
dos condensadores comerciais disponibilizados.
2.4.2. Compare a forma dos sinais de carga e descarga com os do condensador artesanal e comente.
2.4.3. Meça a capacidade de um dos condensadores comerciais usando o mesmo método utilizado
anteriormente.
Relatório
Elabore um relatório do trabalho efectuado seguindo as indicações que lhe foram dadas.
Bibliografia
- M.M.R.R. Costa, M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, Coimbra, Livraria Almedina
(1993)
- Marcelo Alonso, Edward Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999)
- Paul Tipler, Física, 4ª edição, Editora Guanabara-Koogan (2000)
- Osciloscópio, Notas de apoio para Física Laboratorial, Coimbra, Departamento de Física da
FCTUC (2003/2004).
- N. Ayres de Campos, Algumas noções elementares de análise de dados, Coimbra, Dep. Física da
FCTUC (1993/94).
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Visto do Professor
REGISTO DE DADOS E CÁLCULOS
2.1.1. A área de cada uma das placas do condensador é A (m2) = _____________.
2.1.2. O valor da resistência usada é R = _________ kΩ.
2.1.4. O gerador de sinal foi ajustado para uma onda quadrada com a frequência de _____ kHz e
amplitude de _____ V pico a pico.
Tabela I. Cálculos da capacidade do condensador e da constante dieléctrica do filme de poliéster
τ = RC (ms)
C (nF)
d (m)
1/d (m-1)
ε (F.m-1)
κ
2.1.8. A espessura média de uma folha foi calculada a partir do valor medido com auxílio de uma
craveira sobre um conjunto de ____ folhas, para o qual se obteve ______. Tem-se d = ________ m.
Tabela II. Cálculos de capacidade (em função da espessura de dieléctrico) e da constante dieléctrica
Nº de folhas de acetato τ = RC (ms)
C (nF)
d (m)
1/d (m-1)
ε (F.m-1)
κ
1
2
4
8
Tabela III. Capacidade do condensador (em função da área das placas) e constante dieléctrica
R (Ω) = _______ ; A (m2) = _________
τ = RC (ms)
C (nF)
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d (m)
1/d (m-1)
ε (F.m-1)
κ
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