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Capítulo 2 – Campos elétricos II – Distribuição Contínuas de Cargas Prof. Dr. Julio César Ugucioni Introdução Apesar da carga ser quantizada e associadas a partículas discretas, como essas são muito pequenas e devido a sua proximidade, podemos considerar essas cargas em forma de uma distribuição contínua. Definição de densidades de carga!!! Densidades de carga dq C • Densidade linear: dl m (dl – comprimento) • Densidade superficial: dq C 2 (dA – área) dA m • Densidade volumétrica: dq C (dV – volume) 3 dV m Lei de Coulomb de uma distribuição de cargas dV dxdydz dq dE dE r k 2 r r Campo Total dq E dE k 2 r r Fonte: https://www.ufpe.br/fontana/Eletromagnetismo1/EletromagnetismoWebPart01 /mag1cap2.htm Lei de Coulomb de uma distribuição de cargas dV dxdydz dq dE dE r k 2 r r Campo Total dq E dE k 2 r r Fonte: https://www.ufpe.br/fontana/Eletromagnetismo1/EletromagnetismoWebPart01 /mag1cap2.htm Exemplos Exemplo 1. Obtenha o campo elétrico devido a uma linha de cargas carregada de comprimento L (finito). Exemplo 2. Obtenha o campo elétrico devido a um anel carregado de raio R. Exemplo 3. Obtenha o campo elétrico devido a um disco carregado de raio R. Exemplos Exemplo 1. Obtenha o campo elétrico devido a uma linha de cargas carregada de comprimento L (finito). Um bastão fino de comprimento L e carga Q esta uniformemente carregado e tem densidade linear igual a λ=Q/L. Determine o campo elétrico em um ponto P arbitrário. Exemplos Exemplo 2. Obtenha o campo elétrico devido a um anel carregado de raio a. Um anel fino de raio a está uniformemente carregado com carga total Q. Determine o campo elétrico devido a está carga em todos os pontos no eixo perpendicular ao plano que passa pelo centro do anel. Fonte: https://campoeletrico.wordpress.com/2014/02/14/campo-eletrico-produzido-por-uma-linha-decarga/ Exemplos Exemplo 3. Obtenha o campo elétrico devido a um disco carregado de raio R. Considere um disco fino uniformemente carregado de raio b e densidade de carga σ. (a) Determine o campo elétrico em todos os pontos no eixo do disco. (b) Mostre que para os pontos no eixo e distantes dele, o campo elétrico se aproxima do caso de uma carga puntiforme na origem com a mesma carga do disco (c) Mostre que para um disco de raio infinito o campo elétrico é uniforme em ambos os lados do disco. Fonte: http://ensinoadistancia.pro.br/ead/Eletromagnetismo/CampoE-Pot-exemplos/E-GradV-exemplo.html Lei de Gauss • Superfície Fechada – Divide o universo em suas regiões distintas. Uma superfície que facilita esses cálculos é denominada superfície Gaussiana Lei de Gauss • Fluxo Elétrico: Definimos como a quantidade de linhas de campo que atravessa determinada superfície n̂ e E. Anˆ • Fluxo é uma grandeza escalar Lei de Gauss • Fluxo Elétrico: Definimos como a quantidade de linhas de campo que atravessa determinada superfície e E. Anˆ • Fluxo é uma grandeza escalar • Unidade (Nm2/C) Lei de Gauss • Fluxo Elétrico: e E.nˆ A e E. A cos Fonte: http://efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/campo/fluxo_eletrico/ Lei de Gauss • Fluxo Elétrico: e Ei .nˆi Ai n i 1 Para uma superfície contínua: e E.nˆ dA A Em uma superfície fechada A. Fonte: http://efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/campo/fluxo_eletrico/ Lei de Gauss • Fluxo Elétrico: O que leva a: e E.nˆ dA A é uma integral de uma superfície fechada. Fonte: http://efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/campo/fluxo_eletrico/ Fluxo Elétrico • Definindo Fluxo Definição: e E.nˆ dA S Sobre toda superfície fechada Q E.nˆdA S 0 Lei de Gauss • Discussão sobre superfícies: S, S’, S’’, S’’’ – e 0 S1 e S 2 S3 e S4 - e 0 e 0 Lei de Gauss • Somente cargas dentro da superfície gaussiana são consideradas nesses cálculos. • Várias cargas pontuais – Soma algébrica das cargas Q ˆ E . n dA S 0 Lei de Gauss Lei de Gauss Q ˆ E . n dA S 0 Lei de Gauss • Relaciona: – Campo Elétrico com carga elétrica (fontes ou sorvedouros). – Campo elétrico converge ou diverge de uma superfície fechada. Exemplos Exemplo 4. Fluxo através de uma superfície fechada contínua Um campo elétrico é dado por E (200 N / C )kˆ ao longo da região z > 0 e por E (200 N / C )kˆ ao longo z<0. Uma superfície com formato de um cilindro, com comprimento igual a 20 cm e raio 5 cm, tem o centro na origem e seu eixo ao longo do eixo z, com extremidades em z=-10cm e z=10cm. (a) Qual o fluxo resultante para fora da superfície fechada? (b) Qual é a carga resultante no interior da superfície fechada? Usando simetrias para calcular o campo elétrico com a lei de Gauss • Cilíndrica • Plana Fontes: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/problemas/electrico/electrico.html http://gausssimetria.blogspot.com.br/p/simetria-pana.html http://gausssimetria.blogspot.com.br/p/simetria-esferica.html • Esférica Exemplos Exemplo 5. Campo em uma placa infinita carregada. Uma placa infinita, uniformemente carregada, feita de plástico e com largura 2a ocupa uma região entre os planos z=-a e z=a. Determine o campo elétrico em todos os pontos devido a esta configuração de cargas. A carga por unidade de volume é ρ para esse plástico. Exemplos Exemplo 6. Campo devido a uma casca fina esférica de cargas. Determine o campo elétrico devido a uma casca esférica carregada de raio R e carga total Q. Importante: Esse exemplo é similar ao caso de uma esfera metálica carregada. Fonte modificada: http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2013/05/cursos-do-blog-eletricidade_15.html Exemplos Exemplo 7. Campo devido a uma esfera uniformemente carregada e sólida. Determine o campo elétrico gerado por uma esfera sólida uniformemente carregada que tem raio R e uma carga total Q, distribuída uniformemente através do volume V da esfera. Fonte modificada: http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2013/05/cursos-do-blog-eletricidade_15.html Exemplos Exemplo 8. Campo elétrico devido a uma linha infinita de cargas. Use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico gerado por uma linha infinitamente longa de cargas com densidade uniforme λ. Cargas e Campos em condutores Imaginemos um condutor esférico de cobre: ++ ++ + + + + Após um tempo t Separação das carga é inevitável. Assim toda carga vai para a superfície o condutor + + ++ + + E + esquerda + + Edireta + + + + + + E R Edireta Eesquerda kQ kQ ER 2 2 0 r r Cargas e Campos em condutores Se deslocarmos + 1/2 r, temos: + + ++ + + + + + + + + + + + Apesar de na direção x a resultante do campo não ser nula, a somatória final dos campos envolvidos dentro da superfície tem o valor igual a zero. Isso também é válido para casca esférica, que é um modelo teórico para condutores.
