Propriedades iniciais Paralelismo de retas

Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Métodos Matemáticos
Lista de Geometria Espacial - Dicas e respostas - Monica - 2012
Propriedades iniciais
1. Consequência do axioma 2.
2. Quatro planos.
3. Ou as três retas passam pelo mesmo ponto ou as três retas se intersectam em três pontos
diferentes que determinam um plano que contém as três retas.
4. Se F contém somente 4 pontos, F é plana, por hipótese. Se F contém mais de 5 pontos, é
possı́vel agrupar quaisquer 5 pontos de modo a produzirem dois planos α e β cuja interseção
contém três pontos não colineares, que determinam um único plano, provando assim que
α = β e F é plana.
5. A interseção do plano definido por r e P com o plano definido por s e P contém os pontos
P e O e portanto a reta determinada por estes pontos. Como os planos não coincidem, a
interseção coincide com esta reta.
6. Como os planos determinados pelos dois triângulos contém ambos os pontos M , N e
P , usando que a interseção de planos distintos é uma reta, provamos que os pontos são
colineares.
7. Dado um ponto P na interseção de dois planos α e β, escolhemos um ponto M ∈ α,
M 6= P e um ponto N na reta determinada por M e P e contida em α tal que P esteja
entre M e N . Como P ∈ β, M e N estão em semi-espaços distintos determinados por β,
pelo axioma 50 . Se escolhermos qualquer outro ponto Q ∈ α, fora da reta determinada
por M e P , no mesmo semi-espaço que o ponto M , podemos mostrar que o segmento QN
intersecta o plano β em um ponto diferente de P , provando o resultado desejado.
Paralelismo de retas
1. Sejam m//n e n//o. Se m e o tem um ponto em comum, terı́amos duas retas distintas
paralelas a n, passando pelo mesmo ponto, contrariando o axioma das paralelas. Logo,
m e o não se intersectam. As retas m e n determinam um plano α, assim como n e o
determinam um plano β, α ∩ β = n. Seja γ o plano determinado por m e um ponto P ∈ o.
Usando novamente o axioma das paralelas podemos provar que γ ⊃ o, mostrando assim
que m e o estão contidas em um plano e portanto são paralelas.
2. Não, pois podemos ter duas retas reversas ortogonais a uma reta dada.
3. As retas r e s podem ser concorrentes ou reversas. Se r e s são concorrentes, elas determinam um plano α e se escolhemos um ponto P em r, a reta t paralela a s passando por
P , está contida no plano α. Se r e s são reversas e se escolhemos um ponto P em r, a
reta t paralela a s passando por P , está contida no plano α determinado por r e t. E pode
ser provado que qualquer outra reta concorrente a r e paralela a s, vai ser paralela a r e
portanto contida em α.
4. Sabemos por Geometria Plana que o segmento com extremidades nos pontos médios de dois
lados de um triângulo é paralelo e metade do terceiro lado. Use este fato e a transitividade
do paralelismo no espaço, para mostrar que M N P Q é um paralelogramo.
5. As retas distintas t determinada por A e C e t0 determinada por B e D podem ser concorrentes, paralelas ou reversas. Se são concorrentes ou paralelas, determinam um plano
que contém os pontos A, B, C e D e portanto as retas r e s que são reversas, o que é um
absurdo.
6. A interseção do plano definido por r e B com o plano definido por s e A contém os pontos
B e A e portanto a reta determinada por estes pontos. Como os planos não coincidem, a
interseção coincide com esta reta.
Paralelismo de reta e plano
1. Seja P um ponto na interseção dos dois planos α e β e seja
T γ o planoTdeterminado pela
reta r (paralela a α e β) e o ponto P . Mostramos que γ α = s e γ β = t e que s e t
não tem ponto comum com r e portanto
s e t são paralelas a r. Pela unicidade de retas
T
paralelas, t = s e como estão em α β, concluimos o argumento.
2. Supomos que existe reta r paralela aos três planos. Pelo exercı́cio anterior, como os três
planos são secantes dois a dois, a reta r é paralela a todas as retas que são interseção
destes planos, dois a dois. Absurdo, pois vai contra o axioma da paralelas.
3. Escolha um ponto P de r e trace uma reta t paralela a s passando por P . Mostramos que
o plano determinado por t e r, concorrentes, é o plano desejado.
4. As retas r e s podem ser concorrentes ou reversas. Quando r e s são concorrentes, podemos
ter duas situações: quando A pertence ou não ao plano determinado pelas duas retas.
Quando r e s são reversas, podemos ter três situações: quando A pertence a uma das
retas e quando A e uma das retas determina ou não um plano paralelo à outra reta. O
único caso possı́vel aqui é o último caso (segundo e terceiro), onde podemos traçar por A
as retas r0 e s0 paralelas a r e s, respectivamente. Este é o plano procurado.
5. Quando r e s são reversas, podemos ter três situações: quando P pertence a uma das retas
e quando P e uma das retas determina ou não um plano paralelo à outra reta. Se P ∈ r,
basta considerarmos as retas determinadas por P e um ponto qualquer de s, obtendo assim
infinitas soluções. Quando P e r determinam um plano paralelo a s, não obtemos solução
pois se uma reta contém P e um ponto de r, estará contida neste plano que não possui
pontos comuns a s. Quando P e r não determinam um plano paralelo a s e P e s não
determinam um plano paralelo a r, podemos mostrar que a reta t que procuramos é a
interseção destes planos (pois t é concorrente a r e s). Podemos mostrar que esta reta é
única.
6. Como r, s e t são três retas reversas duas a duas, podemos ter duas situações: quando
existe ou não plano paralelo às três retas. Quando existe, não conseguimos construir esta
reta. Quando não existe, use a figura de um paralelepı́pedo, onde r, s e t estariam no
lugar de lados e construa a reta desejada.
Paralelismo de planos
1. Consequência das posições relativas de dois planos distintos: paralelos ou secantes.
2. Seja β o único plano passando por P e paralelo ao plano α. Como r é secante a α, r
também intersecta o plano β no ponto Q. Mostramos que a reta determinada por P e Q
é a única reta que estamos procurando.
3. Escolha um ponto P ∈ r e um ponto Q ∈ s. Sejam r0 e s0 as retas passando por Q e P
paralelas a r e s, respectivamente. Mostre que o plano α determinado por r e s0 e o plano
β determinado por r0 e s são os planos procurados.
2
Perpendicularismo de reta e plano
1. Duas retas não paralelas podem ser concorrentes ou reversas. No primeiro caso é possı́vel
construir um plano contendo as retas e no segundo caso é possı́vel construir um plano
paralelo às retas. Basta mostrar que a reta passando por P e perpendicular ao plano, é a
única reta procurada.
2. Seja r0 uma reta passando por A e paralela ar. Temos que AB e AC são perpendiculares
a r0 , logo r é perpendicular ao plano α, determinado pelos pontos não colineares A, B e
C. Logo α é ortogonal a BC ⊂ α.
Planos perpendiculares
1. Manipulação da definição de planos perpendiculares.
2. Considere em β uma reta s perpendicular à interseção dos dois planos.
T
3. Primeiramente, supomos que γ é perpendicular a dois planos α e β, onde α β = r. Se r
não é perpendicular a γ, por um ponto P de r podemos traçar a reta s perpendicular a γ,
que está contida em α e β. Absurdo!
T
Se um plano γ é perpendicular a uma reta r tal que α β = r, segue da definição que γ
é perpendicular a α e β.
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