Números perfeitos – uma introdução

Números perfeitos – uma introdução
Karla Barbosa de Freitas, Stela Zumerle Soares e Cícero Carvalho
Faculdade de Matemática, UFU, MG
1. Objetivos
k
∏
Nesse trabalho pretendemos apresentar alguns
resultados da teoria dos números perfeitos.
Nosso objetivo foi o obter uma caracterização
dos números perfeitos pares. Também
procuramos exibir demonstrações fáceis de se
acompanhar, usando métodos e resultados
elementares, de modo a tornar tais
conhecimentos acessíveis a alunos dos
primeiros períodos de um curso de matemática.
2. Métodos
Depois de uma pesquisa bibliográfica,
encontramos artigos e livros que continham
teoremas sobre números perfeitos e através de
discussões
com
nosso
orientador,
simplificamos algumas demonstrações, de
modo a atingir nosso objetivo.
3. Resultados e discussão
Um número é dito perfeito se a soma de seus
divisores próprios é igual a ele mesmo.
Considere a função
σ ( n) =
d,
(1)
∑
d |n
onde d percorre sobre os divisores de n ,
incluindo 1 e o próprio n ; então o número N é
dito ser perfeito se σ ( N ) = 2 N .
Uma importante propiedade da função σ é a
mdc(m, n) = 1 ,
então
seguinte:
se
σ (mn) = σ (m)σ (n).
α1 α 2
αk
Daí segue que se N = p1 p2 K pk =
k
∏p
αi
i
é
i =1
uma fatorização de N em primos distintos,
então:
σ (N ) =
k
∏ (1 + p + p
i
i =1
2
i
+ K + piα i ) =
i =1
piα i +1 − 1
.
pi − 1
(2)
Também é claro que, se η | N , então
σ (η ) σ ( N )
≤
,
N
η
(3)
valendo a igualdade se e só se η = N .
Para os números perfeitos pares temos os
seguintes resultados.
Se 2n − 1 é primo, então
(4)
N = 2n −1(2n − 1)
é perfeito (Teorema de Euclides).
Inversamente, Euler provou que, se N é um
número perfeito par, então N pode ser escrito
na forma N = 2n −1 (2n − 1) , onde 2n − 1 é primo.
Por exemplo, 6 é um número perfeito, pois
σ (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 ⋅ 6 , é escrito da
seguinte forma, 6 = 21 (1 + 2 + 22 ) = 2 ⋅ 3 .
Existem alguns resultados parciais sobre
números perfeitos ímpares cuja existência
ainda não foi estabelecida.
4. Conclusões
Se p é um número primo da forma p = 2n- 1
então multiplicando esse número por 2 n – 1
obtemos um número perfeito, e todos os
números perfeitos pares são dessa forma, onde
n é um número natural maior do que 1.
5. Referências bibliográficas
[1] Gonçalves,A.- Introdução à álgebra, Rio
deJaneiro, 1979.
[2] I. M. Niven, H. S. Zuckerman, e Hugh L.
Montgomery - An introduction to the theory of
numbers, 5a edição, 1991.
[3] J. Voight - Perfect Numbers: An Elementary
Introduction,
disponível
em
http://magma.maths.usyd.edu.au/~voight/notes/
perfelem.pdf