Aula 21

Eletromagnetismo I
Prof. Dr. R.M.O Galvão - 2◦ Semestre 2014
Preparo: Diego Oliveira
Aula 21
Energia no Campo Magnético
Este assunto é discutido no livro texto, seções 7.2.3 e 7.2.4, de uma forma não satisfatória
do ponto de vista físico. Primeiro é introduzido o conceito de indutância e depois a energia
magnética é calculada através do cálculo da potência em um circuito indutivo. Este método
não só introduz um argumento externo à Teoria Eletromagnética, com utiliza a definição
de indutância a partir do conceito de fluxo atravessando um circuito, o que é correto mas
não de aplicabilidade geral. Como veremos, a forma mais geral de definir indutância é a
partir da expressão da energia magnética, que vamos derivar.
Adotamos o formalismo apresentado na referência
P. Lorrain and D. R. Corson
Electromagnetic Field and Wares, 2nd Edition, p.351
Consideremos uma situação em que
aplicamos uma fonte em um condutor isolado, fazendo a densidade de corrente no
meio subir lentamente ao valor ~
j f a partir de zero. Consideraremos um pedaço
d ` do condutor, de área da seção reta d S,
como indicado na figura. Suponhamos que
o condutor tenha uma resistividade η. Então, para que a corrente circule, é necessário um campo elétrico na direção da cor-
1
rente dado por
~ = η~
E
jf
Mas esta corrente cria um campo magnético que também varia com o tempo. Este campo
também cria um campo elétrico, além do criado pela fonte, através da Lei de Faraday
~ =−
∇×E
~
∂B
∂t
~ = ∇× ~
Escrevendo B
A, vimos que o campo elétrico pode ser escrito como
~ = −∇φ −
E
∂~
A
∂t
−∂ ~
A/∂t é a contribuição não conservativa do campo, criada pela variação temporal do
campo magnético, e −∇φ a contribuição eletrostática. Estas duas componentes têm que
ser tais que a resultante dá o campo elétrico na direção da densidade de corrente, como
indicada na figura.
Se multiplicarmos −∇φ escalarmente por d ~
`, obtemos a diferença de voltagem entre os
extremos do condutor, que é mantida pela fonte externa.
V = −∇φ · d ~
`
A quantidade de carga que a fonte injeta no condutor, por unidade de tempo, é dada por
dq
= jf dS
dt
Como o trabalho realizado pela fonte é igual à carga levada de um lado a outro multiplicado
pela voltagem, temos que a potencia gasta pela fonte para transportar todas as cargas no
condutor é dada por
dW
dt
dW
∴
dt
Z
h
i
j f d S −∇φ · d ~
`
Z
# Z
"
#
~
~
∂
A
∂
A
~+
~+
j f d Sd ~
`· E
= ~
jf · E
dτ
∂t
∂t
=
=
"
onde usamos o fato que ~
j f é paralelo a d ~
` para escrever
2
j f d Sd ~
`=~
j f d Sd ` = ~
jf dτ
Então a potência fornecida pela fonte externa é dada por
dW
=
dt
Z
~
~d τ +
jf ·E
Z
∂~
A ~
· jf dτ
∂t
A primeira integral é a potência dissipada por perdas ôhmicas,
Z
~
~d τ = η
jf ·E
Z
j f2 d τ
A segunda integral tem que ser então uma potência não dissipada; de fato é a potência
armazenada no campo magnético criado pela corrente,
dWm
=
dt
Z
∂~
A ~
· jdτ
∂t
[tiramos o subscrito f em ~
j f porque esta expressão é geral].
A potência armazenada no campo magnético é denominada Energia Indutiva (porque
está associada ao campo elétrico induzido pela variação temporal do campo magnético),
ou, em circuítos elétricos, potência reativa.
Expressão da Energia Magnética em Termos do Campo
Magnético
Para escrever esta expressão da potência em termos do campo magnético, vamos considerar correntes variando lentamente com o campo, de forma que a corrente de deslocamento
de Maxwell não precisa ser considerada (o seu efeito sera considerado posteriormente).
Então, pela Lei de Ampère, podemos escrever
~ =~
∇×H
j
e
dWm
=
dt
Z
¢
∂~
A ¡
~ dτ
· ∇×H
∂t
3
~) = B
~ · (∇ × ~
~ ), temos
Usando a relação vetorial ∇ · ( ~
A ×B
A) − ~
A · (∇ × B
dWm
=
dt
Z
!
Ã
!
Z
∂~
A
∂~
A
~ · ∇×
~ dτ
H
dτ − ∇ ·
×H
∂t
∂t
Ã
~ em termos de ~
Aplicando a expressão de B
A e o teorema de Gauss, obtemos
dWm
=
dt
Z
~
∂B
~·
H
dτ −
∂t
!
Z Ã ~
∂A
~ · n̂d S
×H
S ∂t
Mas como a integrais estão agora expressas em termos de campos e não da corrente, temos que estendê-las em todo o espaço onde houver campo. Assim, na segunda integral
temos que tomar S → ∞ e, supondo que não existam campos de radiação (isto será visto
posteriormente), temos que
|H | ∼
1
r3
(campo de um dipolo)
!
Z Ã ~
1
∂A
~ · n̂d S ∼
×H
→0
⇒
r3
S ∂t
r →∞
¯
¯
¯ ∂~
¯ 1
A
¯
¯
∴¯ ¯∼ 3
¯ ∂t ¯ r
e a expressão para a potência armazenada no campo magnético fica
dWm
=
dt
Z
~·
H
~
∂B
dτ
∂t
~ eB
~ diferem apenas de um fator independente do tempo
Mas como H
Ã
!
~ 1
~
~
∂B
∂B
∂H
1 ∂
~·
~·
~·
~ ·B
~)
H
=
H
+B
=
(H
∂t
2
∂t
∂t
2 ∂t
Portanto
· Z
¸
dWm
d 1
~
~
=
H · Bdτ
dt
dt 2
e a expressão para a Energia Magnética fica
Z ~ ~
B ·H
Wm =
dτ
2
4
ou
Z
Wm =
B2
dτ
2µ
~ = µH
~.
em materiais em que B
Exemplo: Energia magnética armazenada num solenóide longo, por unidade de
comprimento.
B = µ0 N i
B 2 = µ20 N 2 i 2
1
∴W =
2µ0
Z
µ20 N 2 i 2 d τ =
µ0 N 2 i 2 2
πr `
2
W=
π
µ0 N 2 i 2 r 2 `
2
W π
= µ0 N 2 i 2 r 2
`
2
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Relação com a Energia Armazenada em um Indutor
Como foi visto em Física III, a autoindutância de um circuito é definida como
a razão entre o fluxo magnético que enlaça
o circuito e a corrente que flui no circuito
L=
φm
;
I
φm =
Z
S
~ · n̂d S
B
No caso de um circuito simples, formado
por um fio de pequena área da seção transversal, a definição de área através da qual
se deve calcular o fluxo magnético é usualmente simples. No entanto, isto não acontece com circuitos mais complexos, como
o exemplificado a seguir. Nestes casos, é
mai fácil calcular a indutância (pelo menos
numericamente) a partir da expressão da
energia magnética nela armazenada.
Consideremos, como exemplo, o circuito
RL mostrado a seguir, alimentado com uma
tensão V que pode variar com o tempo. A
equação para o circuito é
V = RI +L
dI
dt
Multiplicando esta equação por I , temos
µ
¶
dI
d LI 2
2
V I = R I + LI
= RI +
dt
dt 2
2
O termo do lado esquerdo desta equação é a potência total instantânea fornecida pela
6
fonte ao circuíto,
P (t ) = V I
O primeiro termo é a potência ôhmica dissipada no resistor por efeito Joule
PΩ = R I 2
Portanto o terceiro termo também representa uma potência; de fato é a potência armazenada no campo magnético produzido pela corrente I que circula no indutor
µ
¶
d LI 2
Pm =
dt 2
Desta forma, podemos escrever a energia magnética armazenada no indutor como
Wm =
LI 2
2
Naturalmente esta energia tem que ser a mesma que a calculada diretamente pelo campo,
ou seja,
LI 2
=
Wm =
2
Z
B2
dτ
2µ0
donde
1
L≡ 2
I
Z
B2
dτ
µ0
Nesta expressão, a integral sobre B 2 tem que ser em todo o espaço onde o campo produzido
pela indutância seja diferente de zero, e não somente em seu interior!
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Energia Dissipada no Ciclo de Histerese
Consideremos uma bobina alimentada por
uma fonte de corrente alternada, V (t ) =
V0 cos(ωt ), com um núcleo de ferro, do
tipo utilizado em transformadores como
representado na figura. Se o ferro estiver
desmagnetizado quando a fonte for ligada,
o campo B começa a subir monotonicamente com H , seguindo a linha Oa, mostrada na figura 2. No ponto a, a corrente
na bobina atinge o máximo e começa a decrescer. Ao invés do valor do campo B seguir a curva Oa, ele segue a curva abc. No
ponto b, H = 0 mas B 6= 0. Este valor do
campo é denominado campo remanente.
A partir do ponto b, H troca de sinal e começa a diminuir, com B decrescendo seguindo a curva bc. No ponto c, o campo H
atinge seu máximo valor negativo e começa
a diminuir em módulo, passando por zero
no ponto d e crescendo positivamente até
o ponto a, novamente. O valor do campo
B cresce novamente com H , mas agora ao
longo do percurso cd a. Portanto, em regime permanente, os campos B e H variam
ao longo da Curva de Histerese, correspondendo ao percurso cd abc.
Vamos agora calcular a variação de energia magnética, por unidade de volume, em
um ciclo de histerese, A variação temporal
desta energia é dada por
d wm
d B2
B dB
=
=
dt
d t 2µ0 µ0 d t
ou
~
d wm
∂B
~·
=H
dt
∂t
Então a variação da energia magnética du-
8
rante um ciclo é dada por
T
Z
0
d wm
dt =
dt
T
Z
~·
H
0
~
dB
= ∆w m
dt
ou
∆w m =
Z
0
T /4
~
∂B
~·
dt +
H
∂t
>0
Z
3T /4
T /4
~
∂B
~·
H
dt +
∂t
Z
<0
T
3T /4
~·
H
~
∂B
dt
∂t
>0
~ /∂t é negativo porquê B
~ está diminuindo com o tempo no perNa segunda integral ∂B
~ /∂t )d t = d B
~ , podemos escrever
curso abc. Por outro lado, como (∂B
∆w m =
Z
d
a
~ · dB
~−
H
A
Z
c
a
~ · dB
~+
H
B
Z
c
d
~ · dB
~=
H
A
Z
c
a
~ · dB
~−
H
A
Z
c
a
~ · dB
~
H
B
Invertendo os eixos H e B , para melhor visualização, temos:
Vemos facilmente que as duas integrais correspondem à área entre curva H (B ) e o eixo
B . Portanto a soma das duas integrais à área dentro da curva de histerese. Esta variação de
energia é transformada em energia térmica, que aquece o transformador.
Como quase todo aparelho eletrônico
tem um transformador na entrada, que
abaixa a tensão de entrada para a tensão de
operação do aparelho (usualmente 12 ou
15 V), se ele for mantido ligado à tomada,
mesmo que não em operação,o transformador de entrada fica sempre ligado, dissipando continuamente esta energia!
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