LEIS DAS COLISÕES

Física Geral I – EF, ESI, MAT, FQ, Q, BQ, OCE, EAm
Protocolos das Aulas Práticas – 2003 / 2004
DF - Universidade do Algarve
LEIS DAS COLISÕES
1. Resumo
Faz-se colidir, elástica e inelasticamente, dois planadores que se movem sem atrito numa calha de
ar. Medem-se as velocidades respectivas antes e depois das colisões. Verifica-se, para cada caso, a
lei de conservação do momento linear.
2. Tópicos teóricos
As leis de Newton do movimento permitem prever que, durante uma colisão entre dois corpos
sobre os quais não actuam forças externas, há conservação do momento linear do sistema. Para
colisões que ocorrem durante movimentos unidimensionais esta lei de conservação escreve-se
matematicamente na forma (admitindo que o corpo 2 se encontra em repouso antes da colisão):
p1 = p1' + p 2' ,
(1)
onde os pi representam os momentos lineares dos corpos antes da colisão e os p'i representam os
momentos lineares após a colisão.
Dependendo do tipo de colisão que os corpos sofrem poderá ainda haver, ou não, conservação
da energia cinética do sistema. Uma colisão em que há conservação da energia cinética diz-se
elástica. Quando, pelo contrário, essa grandeza não se conserva a colisão diz-se inelástica e, no
caso particular em que após a colisão os dois corpos seguem juntos, diz-se totalmente inelástica.
No caso das colisões elásticas, a conservação da energia cinética (bem como a do momento
linear) permite deduzir as seguintes expressões para os momentos dos corpos após a colisão:
m

1− 1

m2
 p1' = −
p
m1 1

1+

m2
 '
2
p
 p2 =
m 1

1+ 1

m2
(2)
Atendendo a que o corpo 1 será lançado, em todas as experiências a realizar, sempre com a
mesma velocidade (e portanto p1 será sempre constante) observa-se, a partir da equação (2), que
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os momentos lineares dos dois corpos, após a colisão, dependem exclusivamente da razão entre as
suas massas. Variando as massas dos corpos, os valores de p'1 e p'2 serão dados pelas relações
acima indicadas ou pelo gráfico 1.
gráfico 1
p'
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0.0
'
p2
'
'
p 1+p2
'
p1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
m1/m2
O momento linear é representado no gráfico em unidades arbitrárias.
Em relação às colisões totalmente inelásticas pode-se mostrar que os momentos lineares dos
corpos após a colisão são dados por:
m1


m2
 p1' =
p
m1 1

1+
,

m2
 '
1
p
 p2 =
m1 1

1+

m2
(3)
funções da razão entre as massas, que podem ser representadas como no gráfico 2.
Os gráficos 1 e 2 sugerem haver conservação do momento linear tanto nas colisões elásticas
como nas totalmente inelásticas. Para verificar inequivocamente que assim é, seria necessário
comparar os valores (constantes) de p' com os valores que essa grandeza possuía antes das
colisões.
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gráfico 2
1.2
p'
'
'
p 1+p2
1.0
0.8
'
p2
0.6
0.4
'
p1
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
m1/m2
3. Problemas propostos
3.1.
Colisões elásticas: verificar experimentalmente a conservação do momento linear
durante as colisões elásticas.
3.2.
Colisões inelásticas: verificar experimentalmente a conservação do momento linear
durante as colisões inelásticas.
4. Material
Calha de ar graduada.
Compressor de ar.
Dois planadores com respectivos dispositivos de colisão e máscaras rectangulares.
Balança.
Disparador mecânico.
Detector fotoeléctrico.
Relógio electrónico.
Régua graduada.
Bases e suportes.
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Fios de ligação.
5. Procedimento experimental
Depois das ligações eléctricas convenientemente efectuadas verifique cuidadosamente o
nivelamento da calha de ar. Para qualquer dos tipos de colisões a estudar as condições iniciais da
experiência serão as mesmas: um dos planadores (planador 1) é lançado com velocidade
constante usando um dispositivo de lançamento mecânico ou eléctrico e o outro encontra-se
inicialmente em repouso (planador 2).
Para determinar a velocidade com que se deslocam os planadores proceda de forma que a
máscara de comprimento d (este valor deve ser medido) que cada planador transporta atravesse o
feixe luminoso associado ao detector fotoeléctrico. O relógio digital medirá o intervalo de tempo, ∆
t, que o detector estiver obscurecido, o que permitirá calcular a sua velocidade.
Tenha o cuidado de colocar o detector fotoeléctrico o mais próximo possível do ponto em que
se dará a colisão pois, devido a imperfeições na calha de ar, a velocidade dos planadores poderá
não ser rigorosamente constante. Desta forma terá um valor mais próximo do real para as
velocidades dos planadores imediatamente antes e depois das colisões.
5.1.
Colisões elásticas.
5.1.1. Insira nos planadores os dispositivos adequados para a colisão elástica.
5.1.2. Pese os dois planadores.
5.1.3. Coloque simetricamente no planador 1 duas massas de 50 g (a massa deste planador
manter-se-á constante durante toda a experiência).
5.1.4. Faça 5 determinações independentes da velocidade do planador 1 antes da colisão.
5.1.5. Meça 5 vezes as velocidades dos planadores depois da colisão (de forma que as
colisões sejam tão reprodutíveis quanto possível, o que implica que se dêem
aproximadamente no mesmo ponto da calha de ar).
5.1.6. Repita o ponto 5.1.5. adicionando simetricamente ao planador 2 massas que
perfaçam 20, 40, 60, 80, 100, 140, 180, 220 e 300 g.
5.1.7. Registe todos os valores em tabelas adequadas.
5.2.
Colisões totalmente inelásticas
5.2.1. Insira nos planadores os dispositivos adequados para a colisão inelástica.
5.2.2. Pese os dois planadores.
5.2.3. Coloque simetricamente no planador 1 duas massas de 50 g (a massa deste planador
manter-se-á constante durante toda a experiência).
5.2.4. Faça 5 determinações independentes da velocidade do planador 1 antes da colisão.
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5.2.5. Meça 5 vezes a velocidade dos planadores depois da colisão (observe que os dois
planadores seguem juntos após a colisão, pelo que basta medir a velocidade de um
deles).
5.2.6. Repita o ponto 5.2.5. adicionando simetricamente ao planador 2 massas que
perfaçam 20, 40, 60, 80, 100, 140, 180, 220 e 300 g.
5.2.7. Registe todos os valores em tabelas adequadas.
6. Análise dos resultados obtidos
6.1.
Colisões elásticas.
6.1.1. Calcule os valores médios e estime os erros associados aos valores medidos em
5.1.4., 5.1.5. e 5.1.6..
6.1.2. Calcule o momento linear do planador 1 antes da colisão:
p1 = m1v1 = m1
d1
∆ t1
sem esquecer o erro associado a esta grandeza.
6.1.3. Construa uma tabela de 3 entradas com os valores de,
p '1 = m1 v'1 = m1
p ' 2 = m2 v ' 2 = m2
d1
∆ t '1
d2
∆t ' 2
m1
p1' e p 2' , onde:
m2
(momento linear de 1 depois da colisão)
(momento linear de 2 depois da colisão)
(calcule também os erros associados a estas grandezas).
6.1.4. Coloque num mesmo gráfico os valores de p1 , p 1' , p '2 e p1' + p 2' em função de
m1
,
m2
representando as respectivas barras de erro.
Nota: Tenha em atenção os sentidos dos momentos lineares!
6.2
Colisões totalmente inelásticas
6.2.1. Calcule o valor médio e estime o erro associado aos valores medidos em 5.2.4.,
5.2.5. e 5.2.6..
6.2.2. Proceda como em 6.1.2., 6.1.3. e 6.1.4. mas usando os valores medidos em 5.2.2.,
5.2.4., 5.2.5. e 5.2.6..
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Nota: nos cálculos dos momentos lineares, após as colisões inelásticas, tenha em atenção que,
apesar das velocidades dos dois planadores serem iguais, os momentos não o são, porque as
massas são diferentes.
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Apêndice
Colisões entre dois corpos
v1
m1
v2 = 0
v1'
m2
O
m1
v2'
m2
O
X
Antes da colisão
X
Depois da colisão
Fig. A.1
Considere-se dois corpos de massas m1 e m2. Admite-se que o corpo 2 está inicialmente em
r
repouso e que o corpo 1, deslocando-se inicialmente com uma velocidade v 1 , colide com ele.
De acordo com as leis de Newton do movimento temos:
r
r
dP
Fext =
(A.1)
dt
r
onde Fext representa a resultante das forças externas que actuam sobre o sistema dos dois corpos e
r r
r
P = p1 + p 2 representa o momento linear total do sistema. As forças externas que actuam sobre os
corpos são os respectivos pesos e as reacções normais dos planos onde assentam, as quais se
anulam entre si. No momento da colisão actuam ainda os pares acção/reacção de um corpo sobre o
r
r
outro, que são forças internas ao sistema. Através desta análise conclui-se que Fext = 0 durante
todo o movimento. Assim,
r
r
dP r
= 0 ⇒ P = c te , ou seja
dt
r
r
p 1 + p 2 = c te ⇔
r
r
r
r
⇔ p1 + p 2 = p1' + p '2
(A.2)
r
r
onde os p i representam os momentos lineares dos corpos antes da colisão e os p 'i representam os
momentos depois da colisão. Para o sistema de referência representado na figura (e porque o
movimento é unidimensional) pode-se escrever:
p1 + p2 = p1' + p '2
(A.3)
No caso particular em que o corpo 2 está inicialmente em repouso temos:
p1 = p1' + p '2 .
(A.4)
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Por definição, uma colisão diz-se elástica quando a energia cinética se conserva durante o
processo:
E c1 + E c2 = E c' 1 + E c' 2
(A.5)
ou seja, porque o corpo 2 parte sempre do repouso:
Ec1 = Ec'1 + Ec' 2 ⇔
⇔
2
2
1
1
1
2
m1v1 = m1v1' + m2 v '2 ⇔
2
2
2
2
(A.6)
2
p2
p'
p'
⇔ 1 = 1 + 2
m1
m1
m2
Usando as expressões (A.4) e (A.6) pode-se escrever que:
m

1− 1

m2
 p1' = −
p
m1 1

1+

m2


2
 p 2' =
p
m1 1

1+

m2

(A.7)
Se o corpo 1 possui sempre o mesmo momento linear antes da colisão (p1) então (A.7) diz-nos que
m
os momentos lineares dos corpos depois da colisão são funções da relação de massas 1 .
m2
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gráfico 1
p'
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0.0
'
p2
'
'
p 1+p2
'
p1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
m1/m2
Uma colisão totalmente inelástica é, por definição, uma colisão tal que os dois corpos se
deslocam com a mesma velocidade após a colisão:
p1'
p '2
v =v ⇔
=
. (4')
m1 m2
'
1
'
2
(A.8)
Usando as relações (1') e (4') pode-se mostrar que:
m1


m2
 p1' =
p
m1 1

1+

m2
(5')


1
 p 2' =
p
m1 1

1+

m2

(A.9)
ou seja, nas condições de lançamento em que o corpo 1 tem sempre o mesmo momento linear
inicial, p1' e p 2' são funções exclusivas da relação entre as massas dos corpos.
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gráfico 2
1.2
p'
'
'
p 1+p2
1.0
0.8
'
p2
0.6
0.4
'
p1
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
m1/m2
A conservação do momento linear nas colisões elásticas verifica-se (para todas as relações entre
as massas) observando que essa grandeza se mantém, depois das colisões, constante e igual ao
valor que tinha antes das colisões. No caso das colisões inelásticas verifica-se o mesmo.
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