Uma breve história do mundo dos quanta

CEDERJ / EXTENSÃO – FÍSICA
Uma breve história do mundo dos quanta
UNIDADE 5
Uma breve história do mundo dos quanta
Érica Polycarpo & Marta F. Barroso
Unidade 5
Propriedades da Função de Onda
Sumário:
• Apresentação
• Interpretação de Born para a função de onda
• Solução da Equação de Schrödinger para um potencial unidimensional
• Discussão
• Referências
Apresentação
Na aula passada, apresentamos a Equação de Schrödinger, a equação
diferencial satisfeita pela onda associada aos objetos microscópicos, cujo
comprimento de onda foi determinado primeiramente por de Broglie.
Nessa unidade, iremos discutir a noção de função de onda segundo a visão de
Borne também resolver a Equação de Schrödinger para um potencial conhecido.
Interpretação de Born para a função de onda
Ao analisarmos a Equação de Scrödinger (Eq. 6 da Unidade 4) verificamos que
as soluções dessa equação são funções complexas. Funções reais, como as soluções
da equação de onda clássica, são possíveis apenas para potenciais muito
particulares. Conseqüentemente, não há como dar às soluções da Equação de
Schrödinger uma existência física, assim como fazemos com as ondas na superfície da
água, ou em uma corda, ou mesmo com as ondas de luz. Nesses casos, a amplitude
da onda está associada a um deslocamento (no caso das ondas mecânicas) ou ao
campo elétrico (no caso da luz, ondas eletromagnéticas).
Ao mesmo tempo em que muitos se puseram a buscar soluções da Equação
de Schrödinger para sistemas sujeitos a diferentes potenciais, outros procuravam
desenvolver uma compreensão física adequada para essas soluções. Born and Dirac
foram figuras centrais no que diz respeito a essas questões.
Algumas das idéias que pretendemos discutir já foram apresentadas em
pontos específicos das unidades anteriores, especialmente da primeira, onde
discutimos a dualidade onda-partícula. Agora reunimos todas as informações, na
tentativa de construir um panorama consistente, ainda que qualitativo, da mecânica
quântica. È importante enfatizar que as idéias aqui descritas correspondem à
interpretação mais aceita da física quântica, a estatística. Há, porém, outras
interpretações na literatura, e sugerimos a referência [1] para uma boa discussão
sobre o tema.
As propriedades matemáticas indispensáveis à função de onda já haviam sido
bem determinadas pelo próprio Schrödinger: ela deve ser univocamente definida,
contínua e finita em todo o espaço e tempo. Born então, inspirado pelas idéias de
Einstein para os fótons, supôs que o quadrado da função de onda do elétron deveria
fornecer uma densidade de probabilidade para o elétron. Com essa interpretação,
era possível prever as probabilidades de espalhamento de partículas por alvos
atômicos, o que foi realizado com grande sucesso. Ao mesmo tempo, Heisenberg, no
artigo em que introduzia o Princípio da Incerteza, mostrou que não somente o caráter
Erica Polycarpo e Marta F. Barroso – pág.1
Max Born ganhou o
prêmio Nobel em
1954, pela sua
pesquisa
fundamental em
mecânica quântica,
em particular pela
sua interpretação
estatística da
função de onda.
CEDERJ / EXTENSÃO – FÍSICA
Uma breve história do mundo dos quanta
UNIDADE 5
determinístico da física clássica deveria ser abandonado, mas também o conceito
ingênuo de realidade que enxerga as partículas atômicas como se elas fossem
minúsculos grãos de areia. Nas palavras de Born, em seu discurso na entrega do
prêmio Nobel de 1954, “Grãos de areia têm, em cada instante, posição e velocidade
bem definidas. Com o elétron, a situação é bem diferente. Se a sua posição é medida
com acurácia crescente, a possibilidade de se determinar a sua velocidade diminui e
vice-versa”.
Ainda segundo Born, se chamamos ψ ( x, t ) a função de onda do elétron,
então
ψ ( x, t ) dx = ψ ( x, t )ψ * ( x, t )dx
2
(1)
nos dá a densidade de probabilidade de encontrar o elétron entre x e x + dx no
instante t. ψ ( x, t ) é, portanto, interpretada como uma amplitude de probabilidade.
Essa função contém toda a informação disponível, ou experimentalmente
acessível, sobre o elétron. Essas grandezas físicas experimentalmente acessíveis, os
observáveis (momento, energia, posição, carga, momento angular,...), correspondem
aos valores médios ou aos autovalores dos operadores associados a elas. Os
autovalores de um observável podem ser previstos teoricamente, bem como podem
ser previstas as probabilidades de que uma medida desse observável resulte em cada
um dos seus autovalores. Valores esses que são os únicos capazes de serem medidos.
A equação que determina os autovalores
∧
a de um observável A é:
∧
Aψ ( x, t ) = aψ ( x, t ),
(2)
∧
a qual diz que o resultado da atuação do operador A sobre o estado descrito pela
autofunçãoψ ( x, t ) é a própria autofunção multiplicada pelo número a .
O valor médio de um observável, ou o seu valor esperado, é dado por
∧
∧
A = ∫ ψ * ( x, t ) Aψ ( x, t )dx
(3)
∧
Para calcular os autovalores ou o valor esperado do operador A é preciso
escrevê-lo em termos da posição e do tempo. Para as grandezas momento e energia,
não é possível escrever os operadores com simples funções de x e t, mas como
operadores diferenciais:
∧
P ↔ −ih
∂
∂x
∧
E ↔ ih
e
∂
∂t
(4)
f , que é uma função da posição x ,
p e possivelmente do tempo t, o operador é obtido pela substituição na
∧
∧
∧
∂
e t = t.
função f ( x, p, t ) de x, p , t pelo operadores x = x, P = −ih
∂x
Assim, para qualquer grandeza dinâmica
do momento
Podemos então encontrar
solucionando a equação:
∧
P ψ p ( x , t ) ≡ −i h
as
autofunções
do
∂
ψ p ( x , t ) = pψ p ( x , t )
∂x
operador
momento,
(5)
Erica Polycarpo e Marta F. Barroso – pág.2
CEDERJ / EXTENSÃO – FÍSICA
Uma breve história do mundo dos quanta
UNIDADE 5
As soluções são ondas planas de momento
ψ p ( x, t ) = Ce ipx / h ,−∞ ≤ p ≤ ∞. É
fácil verificar que a probabilidade de se encontrar a partícula posição entre
− ∞ e + ∞ diverge, o que nos mostra que autofunções de momento não representam
um estado quântico aceitável. Como vimos anteriormente, soluções aceitáveis da
Equação de Schrödinger podem ser escritas em termos de uma expansão em integral
de Fourier:
∞
ψ ( x) = ∫ C ( p)e ipx / h dp
Coeficientes
(6)
−∞
C ( p ) = constante
indicam determinação completa do momento e,
portanto, indeterminação completa da posição, de onde se origina a divergência
da Eq. (1).
Solução da Equação de Schrödinger
Vejamos agora um exemplo de solução da Eq. de Schrödinger para um
potencial constante no tempo do tipo degrau. Embora esse tipo de potencial não seja
encontrado na natureza, ele é freqüentemente utilizado para aproximar situações
reais. Por serem fáceis de tratar matematicamente, são muito úteis na obtenção de
resultados que permitem ilustrar vários fenômenos quânticos realmente encontrados
na natureza.
Primeiramente, devemos notar que, se o potencial não depende do tempo,
podemos fazer uma separação de variáveis tal que a equação de Schrödinger seja
separada em duas.
Separação de variáveis na Equação de Schrödinger
Se escrevemos
ψ ( x, t ) = χ ( x)φ (t )
(1)
e substituimos na Equação de Schrödinger, obtemos:
i hχ ( x )
∂φ (t )
h2
∂ 2 χ ( x)
=−
φ (t )
+ U ( x) χ ( x)φ (t )
∂t
2m
∂x 2
Ao dividirmos os dois lados por
ih
(2)
χ ( x)φ (t ) , ficamos com
1 ∂φ (t )
h 2 1 ∂ 2 χ ( x)
=−
+ U ( x) .
2m χ ( x) ∂x 2
φ (t ) ∂t
(3)
Como o lado esquerdo da Eq. 3 só depende do tempo e o lado direito só
depende da posição, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos
convenientemente de E .
A solução do lado esquerdo,
ih
1 ∂φ (t )
= E,
φ (t ) ∂t
(4)
é dada por
Erica Polycarpo e Marta F. Barroso – pág.3
Lembrete: estamos
resolvendo o
problema em 1
dimensão. Caso
estivéssemos
resolvendo em três
dimensões, o
operador H seria
escrito como
→
h2 2
H =−
∇ + U (r )
2m
CEDERJ / EXTENSÃO – FÍSICA
Uma breve história do mundo dos quanta
UNIDADE 5
φ (t ) = Ae
E
−i t
h
= Ae −iwt ,
(5)
onde w é a freqüência da função de onda solução da Equação (2) e
com as relações de de Broglie, é a energia da partícula.
O lado direito da Eq.3 pode ser escrito como
E , de acordo
Hχ ( x) = Eχ ( x) ,
onde
(6)
H é um operador diferencial, chamado o operador Hamiltoniano:
h2 ∂2
H =−
+ U ( x) .
2m ∂x 2
(7)
A Eq. 6, também escrita como,
∂ 2 χ ( x ) 2m
+ 2 (E − U ( x) )χ ( x) = 0 ,
∂x 2
h
(8)
é conhecida como a Equação de Schrödinger independente do tempo, e as
ψ ( x, t ) = Aχ ( x)e − iwt são chamadas soluções estacionárias, e têm
energia bem definida. A Eq. 6 é uma equação de autovalor do operador linear H .
Determinadas as suas soluções χ n (x ) com autovalores E n , pode-se construir a
soluções do tipo
combinação linear
ψ ( x, t ) = ∑ C n χ ( x ) e
−i
Ent
h
,
(9)
que também é solução da Eq. de Schrödinger, porém não representa uma partícula
de energia bem definida.
Solução da Equação de Schrödinger independente do tempo
Vamos buscar agora as soluções da Equação de Schrödinger independente
do tempo para o potencial da Fig. 1, igual a
 0, x < 0
U ( x) = 
.
V0 , x > 0
(10)
U(x)
U (x)
Us(x)
V0
-ε
ε
x
Figura 1: Potencial degrau unidimensional (em azul). Em vermelho, apresentamos um potencial
que aproxima-se do degrau.
Erica Polycarpo e Marta F. Barroso – pág.4
CEDERJ / EXTENSÃO – FÍSICA
Uma breve história do mundo dos quanta
UNIDADE 5
Temos que considerar duas situações:
E > V0 e E < V0 .
Na primeira situação, podemos reescrever a Eq. 8, como
∂ 2 χ ( x)
+ k 2 χ ( x) = 0;
2
∂x
k2 =
2m
(E − V0 ) ,
h2
(11)
cuja solução mais geral é dada por
χ ( x) = Ae ikx + A' e -ikx ,
com
(12)
A e A´ sendo duas constantes complexas.
Quando a energia é menor que o potencial, a Eq. 8 pode ser reescrita como
∂ 2 χ ( x)
− ρ 2 χ ( x) = 0;
2
∂x
ρ2 =
2m
(V0 − E ).
h2
(13)
Nesse caso, a solução mais geral é dada por
χ ( x) = Be ρx + B' e - ρx ,
(14)
onde B e B´ são também constantes complexas. Note que, classicamente, não
haveria possibilidade da partícula se encontrar em uma região de x > 0.
Vejamos agora quais as condições de contorno que devem ser satisfeitas por
χ (x) . O potencial degrau da Eq. 10 pode ser aproximado pelo potencial
U s (x) ilustrado na Fig. 1 em vermelho, que é igual a U (x) em todo o espaço, exceto
em uma região muito pequena entre x = −ε e x = +ε , onde ele não apresenta um
degrau, mas varia continuamente. Nós podemos escrever, para o potencial U s (x ) ,
∂ 2 χ s ( x ) 2m
+ 2 (E − U s ( x) )χ s ( x) = 0
∂x 2
h
como uma equação de diferença:
∂χ s (+ε )
∂x 2
−
∂χ s (−ε )
∂x 2
ε
2m
= 2 ∫ (U s ( x) − E )χ s ( x)dx
h −ε
ε → 0 , U s (x) permanece finito, e portanto a integral permanece
finita e torna-se menor quando ε diminui. Para ε = 0 a integral é zero. Logo,
∂χ s ( x)
é contínua. Em um degrau finito (V0 finito), tanto a função de onda como a
∂x ε →0
Quando
sua primeira derivada são contínuas.
Soluções para
E > V0
Podemos agora aplicar essas condições de contorno para determinar as
constantes das nossas soluções, primeiramente para E > V0 , situação em que a
função de onda para qualquer valor de
x é do tipo (12).
Erica Polycarpo e Marta F. Barroso – pág.5
CEDERJ / EXTENSÃO – FÍSICA
Uma breve história do mundo dos quanta
UNIDADE 5
Vamos escrever as soluções para x < 0 e x > 0 como:
χ ( x < 0) = A1 e ik1x + A1 ´e − ik1 x e χ ( x > 0) = A2eik 2 x + A2´e − ik 2 x ,
com
k1 =
(15)
2m(E − V0 )
2mE
=
k
e
.
2
h2
h2
Desta forma, as condições de contorno se traduzem nas equações
χ ( x = 0) x < 0 = χ ( x = 0) x > 0 = A1 + A1 ´= A 2 + A 2 '
∂χ
∂χ
( x = 0) x < 0 =
( x = 0) x > 0 = ik1 ( A1 − A1 ´) = ik 2 ( A2 − A2 ´).
∂x
∂x
(16)
Supondo que inicialmente temos partículas que se aproximam do degrau vindo
da esquerda, e que sofrem reflexão e transmissão em x = 0 , temos A 2 ' = 0 , e o
sistema de Equações (15) pode ser resolvido para
A 1 ' /A 1 e A 2 /A 1 .
As soluções são:
A1 ' k 1 - k 2
=
A 1 k1 + k 2
e
A2
2k1
=
A 1 k1 + k 2
(17)
As razões são reais e positivas e não há deslocamento de fase na reflexão e na
transmissão. Para determinarmos a constante que está faltando, precisaríamos aplicar
a condição de normalização da função de onda, ou seja, igualarmos a integral do
quadrado da função de onda sobre todo o espaço a 1. As soluções que
determinamos, porém, são ondas planas, o que torna a normalização impossível, uma
vez que essa integral diverge. Como já foi mencionado anteriormente, a solução física
para uma partícula seria dada por um pacote de ondas planas que satisfazem as
condições determinadas acima.
Probabilidades de reflexão e de transmissão para
E > V0
Ao multiplicarmos as soluções da Equação de Schrödinger independente do
tempo encontradas acima pelo termo temporal, vemos que a função de onda para
x < 0 é na verdade uma onda estacionária, formada pela combinação das ondas
incidente e refletida, pois as localizações dos nós não mudam com o tempo.
Fisicamente, essas funções de ondas são úteis para descrever feixes estacionários de
partículas.
Podemos calcular as probabilidades de reflexão e de transmissão desses feixes
de partículas pelo potencial a partir da razão do fluxo refletido e do fluxo transmitido,
respectivamente, pelo fluxo incidente. Dado que o fluxo de probabilidade nos fornece
a probabilidade por unidade de tempo de encontrar uma partícula do feixe cruzando
o ponto x , ao se mover em uma dada direção, ele é proporcional à densidade de
probabilidade da onda que se move nessa direção nesse ponto, multiplicada pela
velocidade de propagação. Para x < 0 , a velocidade de propagação é
υ1 =
p1 hk1
p 2 hk 2
=
=
. Para x > 0 , a velocidade é υ 2 =
.
m
m
m
m
Erica Polycarpo e Marta F. Barroso – pág.6
CEDERJ / EXTENSÃO – FÍSICA
Uma breve história do mundo dos quanta
UNIDADE 5
Logo, as probabilidades de reflexão
R=
T=
υ1 A1 ´e
υ1 A1 e
ik1 x − iwt 2
υ 2 A2 ´e
υ1 A1 e
R e transmissão T , são dadas por:
ik1 x − iwt 2
=
A1
ik 2 x − iwt 2
ik1 x − iwt 2
A1 ´
=
2
2
= 1−
k 2 A2 ´
k1 A1
(k
4k1 k 2
2
2
=
+ k2
1
(k
)
4k 1 k 2
1
+ k2
2
(18)
)
2
É interessante notar que , classicamente, uma partícula com energia total E se
movendo no sentido crescente de x sofrerá uma força no ponto x = 0 , que atuará
no sentido de “freiá-la”, diminuindo a sua velocidade. Na mecânica quântica, como
acabamos de ver, há uma probabilidade apreciável da partícula ser refletida pelo
degrau de volta para a região x < 0 , mesmo que ela tenha energia suficiente para
atravessá-lo e passar para a região x > 0 . A probabilidade de transmissão somente
E >> V0 e k 2 → k1 . Em qualquer situação, como pode
ser visto a partir de (18), R + T = 1 .
tende a zero no limite em que
Soluções para
E > V0
Nesse caso, vamos escrever as soluções para x < 0 e x > 0 como:
χ ( x < 0) = A1 e ik1x + A1 ´e − ik1 x e χ ( x > 0) = B2e ρ 2 x + B2´e − ρ 2 x ,
com
k1 =
2mE
e ρ2 =
h2
2m(V0 − E )
h2
(19)
.
Para que a solução em x > 0 seja finita no infinito, é preciso que
condições de continuidade em x = 0 resultam no sistema
χ ( x = 0) x < 0 = χ ( x = 0) x > 0 = A1 + A1 ´= B 2 '
∂χ
∂χ
( x = 0) x < 0 =
( x = 0) x > 0 = ik1 ( A1 − A1 ´) = ik 2 B 2 ,
∂x
∂x
B 2 = 0 . As
(20)
cujas soluções são:
A 1 ' k 1 - iρ 2
=
A 1 k 1 + iρ 2
e
B2´
2k1
=
.
A 1 k1 + iρ 2
(21)
As razões entre as amplitudes são complexas e, portanto, as funções de onda
refletida e transmitida sofrem um deslocamento de fase.
Erica Polycarpo e Marta F. Barroso – pág.7
CEDERJ / EXTENSÃO – FÍSICA
Uma breve história do mundo dos quanta
UNIDADE 5
Probabilidades de reflexão e de transmissão para
E < V0
Comparando os fluxos refletido e transmitido com o fluxo incidente, como
fizemos anteriormente, obtemos as probabilidades de reflexão R e transmissão T .
R=
T=
υ1 A1 ´e ik1x − iwt
2
υ1 A1 e ik1 x − iwt
2
υ 2 A2 ´e
υ1 A1 e
=
A1
ik 2 x − iwt 2
ik1 x − iwt 2
A1 ´
=
2
2
=1
,
k 2 B2 ´
k1 A1
(22)
2
2
=0
ou seja, não há fluxo transmitido, o que está de acordo com a física clássica. Ao
verificarmos, porém, a densidade de probabilidade em x > 0 , encontramos um
comportamento completamente diferente do clássico. Vejamos:
ψ *ψ
x >0
= B2´* B2 ´e −2 ρ 2 x ,
(23)
isto é, a probabilidade de encontrar uma partícula decai rapidamente quando
x cresce, mas não é nula, como seria esperado classicamente. Este fenômeno,
denominado penetração na região classicamente proibida, se estende por uma
distância da ordem de 1 / k 2 . No limite clássico, o produto m(V 0 − E ) é tão grande,
quando comparado a
medida.
h 2 , que essa distância torna-se pequena demais para ser
Discussão
Outros potenciais além do potencial degrau são simples de serem tratados
matematicamente e úteis como aproximação de potenciais reais. Dentre eles, a
barreira de potencial nos permite estudar o efeito de tunelamento. A barreira de
potencial é um degrau de dimensão finita, ou seja, a região de potencial diferente de
zero está confinada a uma região pequena do espaço. Em certas condições, é
possível que partículas de energia menor que o potencial da barreira “tunelem”,
atravessando a região proibida e sendo transmitidas à região posterior, com potencial
novamente nulo. Certos tipos de decaimentos radioativos e processos de fissão de
núcleos pesados são governados por esse processo. Além disso, os transistores de
efeito de campo (FET – Field Effect Transistor) que estão presentes em quase todos os
chips de computadores controlam o fluxo de elétrons a partir do ajuste eletrônico da
altura de uma barreira de potencial. Soluções da Equação de Schrödinger para
potenciais desse tipo e similares podem ser encontradas em vários livros, que deixamos
como referências.
Referências
[1]FEYNMAN, LEIGHTON AND SANDS, The Feynman Lectures on Physics, Vol III. Editora
Addison Wesley, 1965.
[2] R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica, Editora Campus, 1979.
[3] S. Gasiorowicz, Física Quântica, Editora Guanabara Dois, 1979.
Erica Polycarpo e Marta F. Barroso – pág.8