MS612 – Análise Numérica II

Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Prof. Ricardo Biloti ([email protected])
http://www.ime.unicamp.br/~biloti
MS612 – Análise Numérica II
1◦ sem. 2012
goo.gl/tYmHb
1. Considere o gráfico de f : [a, b] → R abaixo. Esboce sobre o gráfico, o melhor possı́vel, a reta que
melhor aproxima f em [a, b], na norma infinito. Justifique seu esboço.
a
b
2. Encontre a reta que melhor aproxima para f (t) = ln(1 + t) em [0, 1], na norma infinito. Compare-a
com o polinômio de Taylor de grau 1 para f , em torno de x = 0.
3. Considere a sequência {fk } ⊂ C[0, 1], definida por
1 − kx, para 0 ≤ x ≤ 1/k,
fk (x) =
0, para 1/k < x ≤ 1.
Mostre que para todo x ∈ [0, 1] a sequência numérica {fk (x)} é convergente. Mostre também que,
apesar disto, {fk } não é convergente em C[0, 1].
4. Construa a matriz C, de mudança de base, tal que Cb = a, onde b é o vetor de coeficientes de um
polinômio de grau n representado na base dos polinômios de Chebyshev e a é o vetor de coeficientes do
mesmo polinômio, representado na base canônica. Observe que (C)ij é o coeficiente de ti do polinômio
de Chebyshev de ordem j.
5. Considere f (t) = cos(π t), para −1 ≤ t ≤ 1. Encontre um polinômio p tal que kf − pk∞ ≤ 10−8 .
Utilize a técnica de economização de potências.
6. Considere a equação diferencial y 00 − 2xy 0 + y = 0, com condição inicial y(0) = 0 e y 0 (0) = 1.
(a) Encontre a solução dessa equação por série de potência em torno de x = 0.
(b) Seja yK é a soma parcial da série obtida, até o termo de ordem K. Qual deve ser K para que
kyK+1 − yK k∞ < 10−8 .
(c) Utilize a técnica e economização de potências para obter um polinômio p, tal que kyK − pk∞ <
10−8 .
7. Construa os primeiros 6 polinômios de Legendre em L2 [−1, 1].
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2
1
t−b
pn (t), onde pn (t) = Pn (s), s = 1 + 2
e Pn é o polinômio de Legendre de ordem
kpn k
b−a
n, definido em [−1, 1]. Mostre que {qn } é uma seqüência de polinômios ortonormais em L2 [a, b].
R∞
9. Considere o L2 [0, ∞), com produto interno dado por hu, vi = 0 e−x u(x)v(x) dx. Os polinômios
de Laguerre são uma famı́lia de polinômios ortogonais, obtidos pela ortogonalização de {1, x, x2 , . . .}.
Construa os primeiro três polinômios de Laguerre.
8. Seja qn (t) =
10. Qual o polinômio de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima f (x) = (x + 1)−2 em L2 [0, ∞)?
11. Aproxime f (t) =
t
|t| ,
para t 6= 0, por uma reta, no sentido de quadrados mı́nimos, em [−1, 1].
√
12. Aproxime f (t) = t + 1, para −1 ≤ t ≤ 1, por um polinômio de grau no máximo 2, no sentido de
quadrados mı́nimos. Qual seria a aproximação de f por um polinômio de grau no máximo 1?
13. Encontre o polinômio p(t) = c1 +c2 t que melhor aproxima f (t) = t2 , no sentido de quadrados mı́nimos,
em [0, 1]. Confira sua resposta verificando que f − p é ortogonal a P1 = {a0 + a1 t | a0 , a1 ∈ R}.
14. Verifique que {1, cos(t), sin(t), . . . , cos(nt), sin(nt), . . .} é um conjunto ortogonal de funções em L2 [−π, π].
15. Construa o operador de projeção ortogonal em V ⊂ L2 [−1, 1], para V = span{e−t , 1, et }. Encontre a
melhor aproximação de f (t) = t2 em V , no sentido de quadrados mı́nimos.
16. Seja X = (x1 x2 · · · xk ) ∈ Rn×k , n > k. Considere sua decomposição QR. Se Q = (q1 q2 · · · qk ),
mostre que span{x1 , . . . , xj } = span{q1 , . . . , qj }, para j = 1, 2, . . . , k.
17. Sejam x e y ∈ Rn . Defina ψ : R → R por ψ(α) = kx − αyk2 . Mostre que ψ é minimizada quando
α = xT y/y T y.
18. Seja A ∈ Rm×n , A = (a1 · · · an ), m ≥ n, e de posto completo. Suponha A = QR, Q = (q1 · · · qn ) ∈
Rm×n , com as colunas de Q sendo ortonormais entre si e R ∈ Rn×n é triângular superior com diagonal
positiva. Particione as matrizes como
R̃ s
A = [Ã | an ]
Q = [Q̃ | qn ]
R=
.
0 rnn
Construa um algoritmo para calcular qn , conhecidos q1 , q2 , . . . , qn−1 . Mostre que esse algoritmo é
exatamente o Gram-Schmidt clássico.
19. Sejam A, Q e R como do exercı́cio anterior. Considere as partições
r11 rT
A = [a1 | Ã]
Q = [q1 | Q̃]
R=
.
0 R̃
Use essas partições para formular um algoritmo para o cálculo da decomposição QR. Mostre que esse
algoritmo é exatamente o Gram-Schmidt modificado.
20. Sejam A ∈ Rm×n e b ∈ Rm . Mostre que o sistema normal, AT Ax = AT b, sempre tem solução.
21. Encontre uma reflexão H que mapeie o vetor (3 4 1 3 1)T num múltiplo de e1 . Escreva H de duas
formas: (i) como H = I − γuuT e (ii) como um matriz única completamente formada. Utilize ambas
as formas para calcular Ha, com a = (0 2 1 − 1 0)T .
22. Encontre a solução de quadrados mı́nimos para o ajuste dos pontos tabelados abaixo por uma curva
do tipo φ(t) = c0 e−t + c1 + c2 et .
ti −2.000 −1.200 −0.400 0.000 0.400 1.200 2.000
yi −0.181
0.734
1.254 1.480 1.731 2.485 4.025
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23. Encontre o polinômio que satisfaz as seguintes condições:
p(0) = y0
p(L) = yL
p0 (0) = g0
Represente este polinômio como combinação linear de
três polinômios. O que eles têm de especial?
x2
,
L2
1−
x2
L2
e x 1−
x
L
. Faça o gráfico destes
24. Considere o problema de encontrar um polinômio que atenda aos seguintes requisitos:
p(−1) = y0 ,
p(1) = y1 ,
0
p0 (1) = g1 .
p (−1) = g0 ,
Encontre uma base adequada para a representação do polinômio, na qual a determinação de seus
coeficientes fique o mais simples possı́vel.
25. Esboce um algoritmo para avaliar um polinômio de grau n representado nas formas de (a) Lagrange;
(b) Baricêntrica e (c) Newton. Compare o número de operações realizadas pelos seus algoritmos.
26. Interpolação nos pontos de Chebyshev. O propósito deste exercı́cio é demonstrar que a interpolação sobre os zeros dos polinômios de Chebyshev gera o menor majorante para o erro de interpolação.
Se f possui (n + 1) derivadas contı́nuas, o erro de interpolação satisfaz a desigualdade
max |f (t) − p(t)| = kf − pk∞ ≤
t
Mn+1
kwk∞ ,
(n + 1)!
onde p é o polinômio interpolador de grau no máximo n em {t0 , t1 , . . . , tn } ⊂ [−1, 1], Mk = kf (k) k∞ e
w(t) = (t − t0 )(t − t1 ) · · · (t − tn ). Desejamos escolher os pontos de interpolação tj , j = 0, 1, . . . , n, de
maneira que kwk∞ seja mı́nima.
(a) Verifique que w é um polinômio de grau (n + 1) com coeficiente lı́der 1.
(b) Verifique que w pode ser reescrito como w(t) = tn+1 − q(t), onde q é um polinômio de grau no
máximo n.
(c) Verifique que o problema mint0 ,...,tn kwk∞ é equivalente a
min ktn+1 − qk∞ ,
q∈Pn
ou seja, encontrar em Pn , espaço dos polinômios de grau no máximo n, o polinômio que melhor
aproxima tn+1 .
(d) Como o problema do ı́tem anterior pode ser escrito como um problema aproximação uniforme,
utilizando o teorema de caracterização da melhor aproximação na norma infinito, verifique que,
para a melhor aproximação q, o erro de aproximação e(t) = tn+1 − q(t) ≡ w(t) deve possuir uma
sequência de (n + 2) pontos alternantes maximais, ou seja, deve haver τj , j = 0, 1, . . . , (n + 1)
tais que
τjn − q(τj ) = s(−1)j ktn+1 − qk∞ ,
para j = 0, 1, . . . , (n + 1), com |s| = 1.
(e) Verifique que Tk (x) = cos(k arccos(x)), o polinômio de Chebyshev
de grau k, possui (k + 1)
(k−j)
pontos maximais no intervalo [−1, 1], dados por xj = cos − k π , para j = 0, 1, . . . , k.
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(f) Verifique que o coeficiente lı́der de Tn é 2n−1 . (Dica: utilize a relação de recorrência para a
geração dos polinômios de Chebyshev: Tn+1 (x) = 2tTn (x) − Tn−1 (x).)
(g) Usando (d), (e) e (f), mostre que a melhor aproximação de tn+1 em Pn é dada por q(t) =
tn+1 − 21n Tn+1 (t). Portanto w(t) = 21n Tn+1 (t).
(h) Conclua que a melhor escolha para os (n+1) pontos de interpolação, de maneira
a minimizar kwk∞
h
i
π
são os zeros do polinômio de Chebyshev de grau n + 1, dados por tj = cos − n+1 (n + 1 − j + 21 ) ,
para j = 0, 1, . . . , n.
1
27. Considere a função f (x) = 1+x
2 , definida em [−5, 5]. (a) Grafique os polinômios de graus 3, 4, . . . , 18,
construı́dos por interpolação em pontos regularmente distribuı́dos no intervalo [−5, 5]. (b) Estime a
norma infinito do erro para cada um destes polinômios. (c) Faça um gráfico exibindo a norma infinito
do erro contra o grau do polinômio interpolador. (d) Repita os ı́tens (a), (b) e (c) porém interpolando
nos zeros dos polinômios de Chebyshev (lembre de mapea-los para o intervalo [−5, 5]).
28. Majorante grosseiro para o erro de interpolação. Seja h = maxj (tj+1 − tj ), e p o polinômio
interpolador em t0 , t1 , . . . , tn . Mostre que
kf − pk∞ ≤
kf (n+1) k∞ hn+1
.
4(n + 1)
29. Considere o problema de interpolação de Hermite em dois pontos, onde desejamos encontrar p,
polinômio de grau no máximo 5, tal que
p(j) (ti ) = f (j) (ti ),
i = 0, 1,
j = 0, 1, 2.
Se h = t1 − t0 , mostre que
(a)
kf − pk∞ ≤
kf (6) k∞ 6
h ,
6!26
(b) kf 0 − p0 k∞ ≤
kf (6) k∞ 5
h ,
5!24
(c) kf 00 − p00 k∞ ≤
kf (6) k∞ 4
h .
4!24
30. (a) Mostre que B = {φ0 , . . . , φn , ψ0 , . . . , ψn } é base para H3 (π), onde π = {t0 , t1 , . . . , tn }, com tj < tj+1 ,
e φj e ψj são tais que φj (tk ) = δjk , φ0j (tk ) = 0, ψj (tk ) = 0 e ψj0 (tk ) = δjk , para j, k = 0, 1, . . . , n. (b)
Construa expressões para φj (t) e ψj (t).
31. Considere o problema de encontrar um polinômio de grau no máximo 2 tal que
p(−1) = f− ,
p0 (0) = g
e
p(1) = f+ .
(a) Verifique que se houver base B = {φ0 , φ1 , φ2 } para P2 , tal que
φ0 (−1) = 1,
φ1 (−1) = 0,
φ2 (−1) = 0,
φ00 (0) = 0,
φ01 (0) = 1,
φ02 (0) = 0,
φ0 (1) = 0,
φ1 (1) = 0,
φ2 (1) = 1,
então o problema de interpolação tem solução dada por p(t) = f− φ0 (t) + gφ2 (t) + f+ φ1 (t).
(b) Mostre que de fato não existe base B com as propriedades do ı́tem anterior.
(c) Prove que o problema de interpolação proposto não tem solução, apesar de terem sido impostas
três condições para a determinação de um polinômio com três coeficientes.
32. Considere o problema abaixo, onde σ(t) > 0,

00

 Lu(t) ≡ u (t) − σ(t)u(t) = f (t),
u(0) = 0,


u(1) = 0.
0 ≤ t ≤ 1,
Proponha encontrar ũ ∈ H3 (π), com π = {0, 1/2, 1}, tal que Lũ(tk ) = f (tk ), para 0 < t1 < t2 < 1/2 <
t3 < t4 < 1, e ũ(0) = ũ(1) = 0. (a) Utilizando a base do exercı́cio 30, exiba o sistema linear que será
necessário resolver para encontrar ũ. (b) Encontre ũ no caso de σ(t) = t, e f (t) = t(1 − t).
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33. (a) Escreva um programa em Matlab/Octave para encontrar a spline cúbica interpolante. (b) Encontre
as splines cúbicas que interpolam f (x) = log(x), em [0.01, 1], em 5 e em 10 pontos regularmente
espaçados. Utilize diferentes condições de borda.
34. B-spline. Considere π : t−1 < t0 < t1 < · · · < tn < tn+1 , uma malha de pontos regularmente
espaçados, com espaçamento h. Sabendo que a B-spline Bj associada ao ponto tj tem as propriedades
abaixo, encontre a expressão para Bj (x). Faça o gráfico de Bj (t).
tj−2 tj−1
tj
tj+1
tj+2
Bj (t)
0
1
4
1
0
Bj0 (t)
0
0
− h3
0
Bj00 (t)
0
3
h
6
h2
− h122
6
h2
0
35. Reformule os problemas de valor inicial abaixo para que fiquem no formato do problema de valor inicial
padrão (uma equação de primeira ordem vetorial, com condição inicial).
• u00 − p(x)u0 − q(x)u = r(x),
• v 000 = v + cos(x),
• u0 = −v,
v 0 = u,
v(0) = 1,
u(0) = 1,
u(0) = α,
u0 (0) = β,
v 0 (0) = v 00 (0) = 0,
v(0) = 0.
36. Mostre que o método de Euler Reverso é consistente e de primeira ordem.
√
37. Considere o problema y 0 = −100(y − t), y(0) = 1, para t ∈ [0, 3].
(a) Resolva-o pelo método de Euler com h = 0.01, com h = 0.02 e com h = 0.04.
(b) Resolva-o pelo método de Euler Reverso com h = 0.01, com h = 0.02 e com h = 0.04.
(c) Como explicar o comportamento das soluções aproximadas encontradas nos itens (a) e (b)?
38. Revise as regras básicas de integração numérica. Utilizando a fórmula do erro para a regra de integração
do Trapézio, mostre que o método do Trapézio abaixo é consistente e de segunda ordem.
yn = yn−1 +
h
[f (tn−1 , yn−1 ) + f (tn , yn )].
2
39. Encontre o fator de amplificação para os métodos do Trapézio implı́cito e explı́cito e esboce suas regiões
de A-estabilidade. Estes métodos são A-estáveis?
40. Extrapolação de Richardson. Considere um método numérico, de ordem p, para estimar a solução
do PVI y 0 = f (t, y), t > tn , com y(tn ) = yn . O objetivo deste exercı́cio é construir uma estratégia
para estimar y(tn+1 ). Note que como estamos fornecendo condição inicial em tn , estamos tacitamente
assumindo que erros anteriores ao passo n não estão sendo considerados. Representando o método
numérico por Ψ, podemos escrever
y(tn+1 ) = Ψ(h, tn , yn ) + Chp+1 + O(hp+2 ).
(1)
(a) Supondo que o erro cometido em dois passos seja o dobro do erro cometido em um passo (o que
é verdade quando h → 0), observe que
p+1
h
+ O(hp+2 ).
y(tn+1 ) = Ψ(h/2, tn , yn ) + 2C
2
(2)
(Por Ψ(h/2, tn , yn ) estamos representando dois passos do método Ψ, de tamanho h/2 cada um.)
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6
(b) Mostre que
2p Ψ(h/2, tn , yn ) − Ψ(h, tn , yn )
+ O(hp+2 ).
2p − 1
Desta forma, a partir de um método de ordem p, podemos definir um novo método, de ordem
p + 1, Φ, por
2p Ψ(h/2, tn , yn ) − Ψ(h, tn , yn )
yn+1 = Φ(h, tn , yn ) ≡
.
2p − 1
y(tn+1 ) =
41. Escreva um programa em Matlab/Octave para resolver o PVI abaixo, utilizando uma estratégia de
controle de passo, respeitando a tolerância de 10−4 para o erro local.
y 0 = −100(y − sin t),
0 ≤ t ≤ 3,
y(0) = 1.
Quantos passos foram necessários para aproximar t(3)? Quais foram o menor e o maior passos computados?
42. Considere o problema y 0 = t2 − 10y, y(0) = 1, para t ∈ [0, 3].
(a) Determine (experimentalmente) o passo h constante para que o método de Euler tenha erro local
inferior a 10−4 .
(b) Resolva o PVI utilizando a estratégia de controle de passo, mantendo o mesmo limite para o erro
local. Quantos passos foram necessários para atingir t = 3?
(c) Este problema pode ser considerado um problema de stiff?
43. O sistema abaixo modela a reação quı́mica entre HBrO2 , Br− e Ce(IV)1 .
y10 = 77.27{y2 + y1 (1 − 8.375 · 10−6 y1 − y2 )}
1
{y3 − (1 + y1 )y2 }
y20 =
77.27
y30 = 0.16(y1 − y3 ).
(3)
(4)
(5)
Considerando as condições iniciais y1 (0) = y2 (0) = y3 (0) = 1, aproxime sua solução no intervalo [0, 2],
com erro local limitado a 10−3 .
(a) Exiba o gráfico das três componentes da solução. Construa um gráfico exibindo o comportamento
do passo h ao longo do intervalo de integração.
(b) Repita o item anterior, utilizando um método de ordem superior ao usado no item anterior.
44. Construa os métodos de Adams-Bashforth de três passos e de Adams-Moulton de três passos.
45. (a) Construa um método explı́cito de dois passos, interpolando f em tn−2 e tn−1 e depois integrando
a equação diferencial em [tn−2 , tn ]. (b) Construa um método implı́cito, interpolando também em tn .
46. RAo invés de interpolar f e depois integrar o polinômio interpolador para subtitui-lo em y(tn )−y(tn−1 ) =
tn
tn−1 f (t, y(t))dt, pode-se interpolar y e depois derivar o polinômio interpolador para substitui-lo em
y 0 (tn ) = f (tn , y(tn )). Construa um método de dois passos e um método de três passos utilizando esta
idéia.
47. Considere o PVC
−u00 + (12 + 16t2 )u = 0,
−1 ≤ t ≤ 1,
u(−1) = −u(1) = −e2 .
(a) Justifique a aplicação do método de Rayleigh-Ritz para a resolução deste problema.
1
http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator
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(b) Explique como aproximar a solução por um polinômio de primeiro grau por partes, através desse
método.
(c) Construa o sistema linear a ser resolvido para obter esta aproximação.
48. Suponha que o PVC abaixo tem solução única.
u00 − p(t)u0 − q(t)u = f,
0 ≤ t ≤ 1,
u(0) = α,
u(1) = β.
Supondo que q(t) ≥ q ∗ > 0, para 0 ≤ t ≤ 1, prove que o método da colocação com splines cúbicas
tem solução única uN para qualquer partição regular πN de [0, 1], com espaçamento entre os nós
suficientemente pequeno.
49. Aproxime a solução do PVC do exercı́cio 47 pelo método da colocação, com splines cúbicas. Varie o
tamanho da partição do intervalo para observar o comportamento da aproximação obtida. Compare
2
estas aproximações com a solução analı́tica (u = te2t ).