UPE/VESTIBULAR/2002 1 MATEMÁTICA 01. Os amigos Neto

UPE/VESTIBULAR/2002
MATEMÁTICA
01. Os amigos Neto, Maria Eduarda, Daniela e Marcela receberam um prêmio de R$ 132.000,00, que deve ser dividido, entre
eles, em partes inversamente proporcionais às respectivas idades.
Sabendo que as idades estão em progressão aritmética, que Daniela é a mais velha e tem 28 anos, Neto é o mais novo e tem 4
anos, podemos afirmar que
A) Neto recebeu R$ 78.750,00.
B) Marcela recebeu R$ 27.050,00.
C) Daniela recebeu R$ 13.700,00.
D) Neto recebeu o dobro de Maria Eduarda.
E) Maria Eduarda recebeu R$ 57.200,00.
02. Uma máquina produz 1500 unidades de um produto no período de 30 dias, ao custo total de R$ 0,25 por unidade. A
voltagem de funcionamento da máquina é 220 volts. Por razões de racionamento, a Concessionária de Energia resolve
reduzir a tensão em 10%. Para que essa possa funcionar, o empresário investe a importância de R$ 3000,00, para ser paga
em 20 meses (considerar o mês com 30 dias), na compra de um estabilizador de tensão.
Admitindo um lucro de 5% sobre o custo total de uma unidade do produto, o preço de venda, em real, deverá ser de
A) 0,3500.
B) 0,3600.
C) 0,3721.
D) 0,3584.
E) 0,3675.
03. Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. 12 delas são pentágonos regulares e as outras 20 são hexágonos
também regulares. Os lados dos pentágonos são iguais aos dos hexágonos de forma que podem ser costurados. Cada
costura une dois lados de duas dessas peças.
Quantas são as costuras feitas na fabricação da bola de futebol?
A) 60.
B) 64.
C) 90.
D) 120.
E) 180.
04. Seja ABCD um quadrado de lado 40cm. O raio da circunferência, que passa pelos pontos A e B e é tangente ao lado CD, é
A) 10 unidades de comprimento.
B) 15 unidades de comprimento.
C) 20 unidades de comprimento.
D) 25 unidades de comprimento.
E) 30 unidades de comprimento.
1
UPE/VESTIBULAR/2002
05. Considere o sólido gerado pela rotação do triângulo ABC, isósceles, com AB e BC, medindo 8m, em torno de uma reta,
contendo o lado BC.
C
O volume do sólido gerado é em m3
A) 128π.
30°
B) 128.
C) 182π.
D) 182.
B
E) 120π.
30°
A
06. O trapézio da figura tem perímetro de 60m e AD é paralela a BC.
B
x
C
6m
90º
A 3m F
A) A medida de x, em metros, é
90º
x
E
30º
D
( 2 + 3) .
50 + 3
2
B) A altura do trapézio é 4 m.
C) A medida da área do trapézio é 40 m2.
D) A medida de x, em metros, é
( 2 + 3) .
51 − 3
2
E) O ângulo A mede 30°.
07. Se A é a área da região do plano limitada pelo sistema:
| z − i | ≥ 2
 2
2
x + 4y − 8y − 12 ≤ 0
onde Z = x + i y
e i
é a unidade
imaginária, podemos afirmar que o valor de A, em unidades de área, é igual a
A) 2π.
B) 3π.
C) 4π.
D) 5π.
E) 6π.
2
2
08. A equação x + y – 4 x - 4 y + 8 = 0 representa, no plano cartesiano ortogonal,
A) uma circunferência de raio 2 e centro no ponto (2; 2).
B) uma parábola.
C) uma elipse.
D) um ponto no plano.
E) uma reta.
2
UPE/VESTIBULAR/2002
09. Considere os complexos Z = 2 + i e W = 1 + i, onde i é a unidade imaginária, então o menor grau de um polinômio, com
coeficientes reais que têm Z e W como raízes, é
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.
3
2
10. Seja f (x) = x – 9 x + 23 x – 15, um polinômio cujas raízes estão em progressão aritmética. Se n é um número inteiro tal
que f (x) > 0, para todo x > n, então n é igual a
A) 4.
B) 5.
C) 6.
D) 7.
E) 8.
11. Numa sala há 10 homens e 20 mulheres; metade dos homens e metade das mulheres têm olhos azuis. Uma pessoa, entre
eles, é escolhida aleatoriamente.
Podemos afirmar que a probabilidade dessa pessoa escolhida ser homem ou ter olhos azuis é
A)
2
.
3
B)
1
.
3
C)
2
.
5
D)
1
.
5
E) 0,2.
12. Considere a reta (r) de equação 3x + y – 6 = 0.
Então
A) o feixe de retas paralelas à ( r ) tem equação y – 3 x + n = 0, com n ∈ R.
B) a equação do feixe de retas paralelas à ( r ) tem equação y + 3 x - n = 0, com n ∈ R.
C) não é possível determinar a equação do feixe de retas paralelas à ( r ).
D) a reta y = x + 5 pertence ao feixe de retas paralelas à ( r ).
2
E) a reta y = a x + 1 pertence ao feixe de retas paralelas à ( r ) para qualquer valor de a.
3
UPE/VESTIBULAR/2002
Nas questões de 13 a 20, assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e, na coluna II, as falsas.
13.
I
0
II
0
Se o determinante de uma matriz quadrada A é nulo, então A é a matriz nula.
1
1
Se A é uma matriz de ordem n e A2 = 0 (matriz nula), então A = 0.
2
2
Se A é uma matriz tipo 3 X 4 e B uma matriz m X n, de modo que existe A.B e B.A, então m = 4 e n = 3.
3
3
A e B são matrizes quadradas, e det A = 5 e det B = 3, então det (A + B) = 8.
4
4
1 2 3
Seja a matriz A = 4 5 6  . O determinante da matriz A é nulo.
7 8 9 


 850 750 120 
 − 200 181 324 




14. Considerando as matrizes M = − 200 181 324 e N = 850 750 120 , o que podemos afirmar?




 190 320 450 
 190 320 450 
I
II
0
0
det (M) = det (N)
1
1
det (M) + det (N) = 1
2
2
det (M) + det (N) = 0
3
3
det (2.M) = 8. det (M)
4
4
det (M.N) = [det (M)] 2
I
II
0
0
15.
3
2
Se f(x) = 2x + ax + bx + c , onde a, b e c são números reais, é um polinômio tal que f ( 1 ) = f ( 2 ) =
f ( 3 ) = 2, então f ( 0 ) = - 10.
1
1
2
2
3
3
3
Se a, b e c são raízes da equação 2x − 4x + 5 = 0 , então a + b + c = 2.
A equação x
3
+x
2
+ x + 1 = 0 tem três raízes reais.
Se f (x) = 5 x + 8, então
f(9008) − f(9000)
=5
8
4
4
A função f definida por f(x) =
(x − 1).(x + 2)
x −1
é igual à função g definida por g (x) = x + 2.
4
UPE/VESTIBULAR/2002
16.
I
II
0
0
1
1
*
Se f: R +
R, definida por f (x) = Ln x, então f (x . y) = f (x) + f (y).
Se f é uma função definida no conjunto dos números reais positivos por
 f(x + y) =

 f(1) = 2
f(x).f(y)
, então
f(5) = 32.
2
2
A soma de duas funções injetoras é uma função injetora.
3
3
A trajetória de um objeto é dada pelo gráfico da função definida por f (t) = - t 2 + 8 t, onde t é medido em
segundos e f (t) é medido em metros. Após 3 segundos, o objeto alcançará a altura máxima.
4
4
Se f é uma função de A ⊂ R em R, definida por f(x) =
x +
x − 4 , então a imagem de f é o conjunto
{y ∈ R | y ≥ 4} .
17. Considere uma equação algébrica de grau n, P (x) = 0.
I
II
0
0
Se os coeficientes de P (x) forem reais e o polinômio admite uma raiz complexa não real z, admitirá
também o conjugado de z.
1
1
Se o grau n de P (x) for ímpar e os coeficientes forem reais, então o polinômio admitirá, no máximo,
n raízes complexas não reais.
2
2
Se os coeficientes de P (x) são complexos não reais e o número complexo Z = a + bi é raiz de P (x),
então w = a – bi é, obrigatoriamente, raiz de P(x).
3
3
Se os coeficientes de P (x) são reais e o termo de grau n for igual a 1, então as raízes inteiras do
polinômio, se existirem, serão múltiplas do termo independente de P (x).
4
4
I
II
0
0
1
1
Se α∈R é tal que P (α) = 0, então P (x) não é múltiplo de (x - α).
18.
Se x ∈ [0;
Se tg x =
π ] , a equação sen 3 x = 0
2
tem 3 soluções.
e sec x < 0, então cos x =
3
3
.
13
2
2
A equação sen x – cos x = 0 tem 4 soluções no intervalo [0 ; 2 π ].
3
3
A equação sen x = Ln x não tem solução no conjunto dos números reais.
4
4
Se f : (0; 2π )
R, definida por f (x) = e
Ln(sen x)
, então, f(x) = 1 tem duas soluções.
5
UPE/VESTIBULAR/2002
19.
I
II
0
0
A área total de um cubo, cuja diagonal mede 5 5 cm, é igual a 250 cm2.
1
1
O volume do sólido gerado pela rotação do retângulo de vértices A (0,2), B (0,5), C (2, 2) e D (2, 5), em
torno do eixo dos y, é 20 π unidades de volume.
2
2
Por quatro pontos não alinhados passam um e um só plano.
3
3
Uma pirâmide tem, por vértice, um vértice de um cubo e por base, a face oposta. O volume da pirâmide é
um terço do volume do cubo.
4
4
I
II
0
0
1
1
2
2
3
Uma esfera está inscrita em um cubo de aresta 6 cm, então o volume da esfera é 36 π cm .
20.
A reta de equação y = 2 x – 1 passa pelo centro da circunferência x
x
2
4
3
4
4
+ y
2
− 4x − 6y − 12 = 0 .
A reta de equação 3 x – 4 y – 43 = 0 é tangente à circunferência de centro (2; 3) e raio 5.
A área da elipse
3
2
+
y
2
= 1 é 36π unidades de área.
9
A área do triângulo de vértices A (0 ; 0) , B (4 ; 0) e C (0 ; 3) é 12 unidades de área.
A equação x
2
− y2
= 0 representa, no plano, um par de retas perpendiculares.
6