Produto - PUC Minas

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APÊNDICES
Apêndice A Produto: Sequência Didática
"Indústria de cosméticos é excelente setor para quem
deseja montar o próprio negócio"
O lucro deve ser uma consequência do empenho da empresa em satisfazer
seus clientes...
Podemos considerar como cosmético tudo aquilo relacionado à beleza
humana.
São substâncias ou tratamentos aplicados ao rosto e outras partes do
corpo para alterar a aparência, embelezar ou realçar as características da
pessoa.
A palavra “cosmético”, deriva do grego “Ko.osme.ti.kós”, que significa
“hábil em adornar”. Há milhares de anos, homens e mulheres utilizavam
os cosméticos para esse fim. Arqueólogos encontraram em túmulos egípcios
sinais de uso de pintura para os olhos e unguentos aromáticos. Na antiga
Grécia, óleos para banho e outros produtos eram utilizados com o intuito de
embelezamento; em Roma, temos relatos de pós utilizados para tornar a pele
mais branca, carvões para delinear os olhos, pintar os cílios e as sobrancelhas,
e carmim para a face...
Atualmente, a fabricação de cosméticos é uma atividade que pode
render bons lucros. Sem necessidade de instalações ou equipamentos
sofisticados, e com alguns cuidados para manuseio e armazenamento, pode se
fabricar grande diversidade de produtos destinados para os diferentes fins,
como shampoos, creme para cabelos, rosto, mãos e pés, perfumes, dentre
outros artigos.
Fonte: http://www.cpt.com.br/cursos-pequenasindustrias-comomontar/artigos/industriade-cosmeticos-e-excelente-setor-para-quem-deseja-montar-o-proprio-negocio
Lendo essa reportagem, o senhor Aroma de Cheiro Bom, dono de uma
empresa do ramo de cosméticos, pretende lançar um novo perfume masculino
no mercado. Com esse objetivo, encomendou uma pesquisa de opinião a um
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instituto especializado para levantar hábitos, preferências e tendências dos
homens brasileiros (adultos) com relação ao uso de perfumes.
O instituto selecionou uma pequena parcela de homens, a fim de
coletar as informações necessárias por meio de uma pesquisa de campo.
Depois de coletadas as informações, a equipe do Instituto precisava fazer a
análise desses dados para enviar à empresa um relatório, mas surgiu um
problema. O instituto estava sem um funcionário habilitado para elaborar esse
relatório. Dessa maneira, o instituto enviou para a empresa um banco de dados
com os resultados da pesquisa elaborada, conforme apresentado abaixo:
BANCO DE DADOS
Entrevistado
(homem)
Estado
Civil
Idade
(anos)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Solteiro
Casado
Divorciado
Casado
Solteiro
Casado
Solteiro
Casado
Solteiro
Viúvo
Solteiro
Casado
Divorciado
Solteiro
Casado
Divorciado
Viúvo
Solteiro
Casado
Casado
Casado
Viúvo
Solteiro
Divorciado
Casado
27
38
34
22
18
35
30
41
52
28
29
35
31
32
20
22
38
34
21
25
28
32
42
51
28
Renda
Mensal
(em reais)
2000
900
1500
2600
1400
950
1980
600
1300
500
2200
1550
800
880
1100
1620
1450
1780
2780
3000
2700
1400
980
780
2100
Tipo de
Perfume
Preferido
Suave
Doce
Cítrico
Suave
Suave
Amadeirado
Cítrico
Amadeirado
Doce
Suave
Cítrico
Amadeirado
Amadeirado
Suave
Amadeirado
Doce
Cítrico
Amadeirado
Suave
Doce
Cítrico
Doce
Amadeirado
Cítrico
Suave
Número de
Aplicações
Diárias
1
1
3
2
2
1
3
2
1
1
2
3
3
2
2
1
1
1
3
3
2
1
3
2
2
Preço do
Perfume
(em reais)
150
80
100
200
80
80
150
65
120
69
150
150
89
79
100
150
130
200
300
300
250
200
150
69
150
O senhor Aroma, não sabe como retirar as informações que precisa
para chegar a uma conclusão sobre seu público alvo. Ele resolve solicitar sua
ajuda para que possa compreender melhor o que significam esses dados e
Testaria
outra
marca?
Sim
Sim
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Sim
Sim
Não
Não
Sim
Não
Sim
Sim
Não
Sim
Não
Não
Sim
Sim
Não
Sim
Não
Não
79
como eles podem ser úteis para o lançamento de seu mais novo produto: o
perfume masculino.
Que tal discutirmos os questionamentos e propósitos abaixo? Vamos
avante ajudar o senhor Aroma!!!
ATIVIDADE 01:
Façam um pequeno texto explicando para o Sr Aroma como vocês entendem o
procedimento que o instituto utilizou e quais as possíveis perguntas que ele fez
para a geração desse banco de dados.
Escrevam a conclusão do seu grupo em relação à relevância dos itens
discutidos nesta atividade e compartilhem com os outros grupos essas
conclusões.
Registrem as informações que foram relevantes em outros grupos e diferentes
das apontadas pelo seu grupo.
ATIVIDADE 02:
Com base nesse conjunto de dados levantados pelo instituto, descreva quais
as técnicas ou procedimentos que o grupo utilizaria para apresentar um resumo
de tal maneira que gerasse informações para o dono da empresa tomar uma
decisão.
ATIVIDADE 03:
Utilizem as técnicas e/ou procedimentos que decidiram na atividade 2 e façam
um resumo das características dos homens pesquisados, para que o senhor
Aroma possa conhecer o seu público-alvo.
80
ATIVIDADE 04:
Com base nos resultados obtidos pelo grupo até este momento, elaborem um
relatório sucinto, explicando as características dos homens nos quais o dono
da empresa deve investir para ter sucesso com o lançamento de seu perfume.
Compartilhem com os outros grupos a conclusão apresentada e registrem algo
diferente que os outros grupos puderam concluir.
ATIVIDADE 05:
Uma das coisas que devemos tomar cuidado com o lançamento de um produto
no mercado é a questão do seu preço final ao consumidor. Discuta com o
grupo como analisariam a relação existente entre “Renda” e “Valor do Produto”.
ATIVIDADE 06:
Como o grupo faria a comparação entre homens solteiros e casados quanto à
renda mensal e como isso poderia ajudar o senhor Aroma?
ATIVIDADE 07:
Crítica ao estudo elaborado:
a) Identifique público que o Instituto pesquisou
b) Você acha suficiente o número de pessoas utilizado nessa pesquisa para se
chegar a conclusão obtida? Explique.
c) Você considera que as conclusões dessa pesquisa poderiam representar
"todos" os homens brasileiros?
d) As perguntas utilizadas no questionário que originou esse banco de dados
são suficientes para resolver o problema do empresário? Justifique.
e) Quais outros critérios que o instituto deveria ter informado ou realizado que o
grupo acrescentaria para ajudar o dono da empresa a conhecer melhor seu
público alvo.
81
Apêndice B MATERIAL DE APOIO DIDÁTICO PARA OS PROFESSORES
DA REDE ESTADUAL DE ENSINO DO ESPIRITO SANTO
CADERNO DE
APOIO:
ESTATÍSTICA
Thiago Campos Magalhães
Tânia Fernandes Bogutchi
82
SUMÁRIO
1. PRINCIPAIS OBJETIVOS .................................................................................. 83
2. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 84
3. VARIÁVEL .......................................................................................................... 86
4. TABELAS DE FREQUÊNCIAS .......................................................................... 88
5. ATIVIDADES RELACIONADAS ......................................................................... 91
6. REPRESENTAÇÕES
GRÁFICAS:
CONSTRUÇÃO,
LEITURA
E
INTERPRETAÇÃO DE DADOS .............................................................................. 93
7. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NO EXCEL ..................................................... 99
8. ATIVIDADES RELACIONADAS ....................................................................... 105
9. ESTUDO DAS MEDIDAS ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS ............................. 109
Medidas de Posição e Medidas de Variação para dados não agrupados: .....110
Medidas de Posição e Medidas de Variação para dados agrupados em
tabelas com e sem intervalos de classes: .......... ..............................................114
10.ATIVIDADES RELACIONADAS ...................................................................... 123
11.SUGESTÃO PARA UMA PRÁTICA INVESTIGATIVA .................................... 128
12.REFERÊNCIAS ................................................................................................ 131
83
1. PRINCIPAIS OBJETIVOS
 Reconhecer a importância da estatística no cotidiano e suas contribuições
às mais diversas áreas;
 Identificar e classificar os tipos de variáveis;
 Interpretar e construir tabelas de frequências a partir de dados brutos;
 Construir, com apoio do Excel®, gráficos para representar e agrupar um
conjunto de dados;
 Interpretar gráficos com diferentes representações;
 Calcular média, mediana e moda para variáveis quantitativas e refletir sobre
o uso de cada uma dessas medidas;
 Compreender a necessidade de trabalhar com uma medida que revele o
grau de dispersão (em torno da média) de um conjunto de valores e calcular
a variância, desvio padrão e o coeficiente de variação;
 Compreender a necessidade de se trabalhar com dados agrupados e,
nesse caso, associar a eles medidas de centralidade e variabilidade;
 Realizar cálculos estatísticos com o auxílio da calculadora.
84
2. INTRODUÇÃO
Uma empresa do ramo de perfumaria pretende lançar um perfume
masculino no mercado. Para definir seu público-alvo, encomendou uma
pesquisa de opinião a um instituto especializado sobre os hábitos, as
preferências e as tendências dos homens brasileiros (adultos) em relação ao
uso de perfumes.
O que o instituto deveria fazer para conduzir a pesquisa de modo
adequado?
Em uma pesquisa, é importante que se conheça, inicialmente, o conjunto
de dados (variáveis) que têm em comum a característica que está sendo
investigada. Esse conjunto é chamado de universo estatístico ou população.
No exemplo, a população é constituída por todos os homens brasileiros
adultos. No entanto, é inviável entrevistar todos os elementos da população.
Por isso o instituto selecionou uma parcela dessa população, para coletar as
informações. A essa parcela (parte ou subconjunto) da população damos o
nome de amostra. A escolha da amostra é complexa, e os profissionais do
instituto deveriam considerar diversos aspectos como idade, condições sociais,
culturais, econômicas, entre outros.
Depois de coletados os dados, a equipe deveria organizá-los em tabelas
e gráficos, com o auxílio de softwares computacionais. Além disso, deveriam
ser calculadas medidas que resumissem quantitativamente, o conjunto de
informações obtidas.
Por fim, o instituto levantaria informações sobre tendências do uso de
perfumes e faria a confirmação dos dados, verificando a margem de erro
apresentada pelos seus dados.
A ciência que se dedica a esse trabalho é a Estatística.
Os levantamentos estatísticos de uma pesquisa costumam ser
amplamente divulgados nos meios de comunicação. Quase sempre esses
levantamentos estão diretamente relacionados ao cotidiano das pessoas,
envolvendo temas como hábitos de consumo, comportamento, saúde,
desenvolvimento humano, economia, por exemplo.
85
Neste caderno, enfocaremos apenas a análise descritiva e quantitativa
de um conjunto de dados, representando-o em formas de gráficos ou tabelas, e
associando a eles algumas medidas. O estudo das etapas de seleção da
amostra (amostragem) e a análise confirmatória dos dados obtidos na pesquisa
(inferência) não fazem parte dos objetivos desse estudo.
86
3. VARIÁVEL
Suponha que cada entrevistado da amostra pelo instituto teve de
responder às seguintes questões:
1. Qual é sua idade?
2. Qual é seu estado civil? (solteiro, casado, divorciado ou viúvo)
3. Qual é sua renda mensal?
4. Que tipo de perfume você prefere: Suave, Doce, Cítrico ou
Amadeirado?
5. Quantas vezes por dia você aplica o perfume?
6. Quanto custa o perfume que você usa atualmente?
7. Você usaria uma nova marca de perfume (Sim, Não)?
Cada
um
dos
itens levantados
pelo
questionário
acima,
são
denominados variáveis.
As perguntas relacionadas aos itens 2, 4 e 7 exigem respostas que
fornecerão variáveis qualitativas, relacionadas a atributos, qualidades ou
preferências do entrevistado. Já os itens 1,3, 5 e 6 exigem respostas que
fornecerão variáveis quantitativas, pois tratam-se de valores numéricos.
Na tabela a seguir, está representada parte dos dados coletados
referente a vinte e cinco questionários da pesquisa.
87
Estado
Idade
Civil
Renda
Tipo de
Número de
Preço
Testaria
Mensal
Perfume
Aplicações
do
outra
(em
Preferido
Diárias
Perfume
marca?
Reais)
(em
Reais)
Solteiro
27
2000
Suave
1
150
Sim
Casado
38
900
Doce
1
80
Sim
Divorciado 34
1500
Cítrico
3
100
Sim
Casado
22
2600
Suave
2
200
Não
Solteiro
18
1400
Suave
2
80
Sim
Casado
35
950
Amadeirado 1
80
Não
Solteiro
30
1980
Cítrico
150
Sim
Casado
41
600
Amadeirado 2
65
Sim
Solteiro
52
1300
Doce
1
120
Sim
Viúvo
28
500
Suave
1
69
Não
Solteiro
29
2200
Cítrico
2
150
Não
Casado
35
1550
Amadeirado 3
150
Sim
Divorciado 31
800
Amadeirado 3
89
Não
Solteiro
32
880
Suave
79
Sim
Casado
20
1100
Amadeirado 2
100
Sim
Divorciado 22
1620
Doce
1
150
Não
Viúvo
38
1450
Cítrico
1
130
Sim
Solteiro
34
1780
Amadeirado 1
200
Não
Casado
21
2780
Suave
3
300
Não
Casado
25
3000
Doce
3
300
Sim
Casado
28
2700
Cítrico
2
250
Sim
Viúvo
32
1400
Doce
1
200
Não
Solteiro
42
980
Amadeirado 3
150
Sim
Divorciado 51
780
Cítrico
2
69
Não
Casado
2100
Suave
2
150
Não
28
3
2
88
4. TABELAS DE FREQUÊNCIAS
A organização dos dados em tabelas possibilita a organização dos
resultados obtidos em uma pesquisa.
Para cada variável estudada, contamos o número de vezes que cada um
de seus valores (realizações) ocorre. O número obtido é chamado de
Frequência Absoluta e pode ser indicado Fa.
Por exemplo:
Considerando os valores assumidos da variável "Tipo de Perfume
preferido", vamos obter suas respectivas frequências absolutas:
 Amadeirado: Fa = 7
 Cítrico: Fa = 6
 Doce: Fa = 5
 Suave: Fa = 7
Observe que a soma das frequências absolutas deve ser sempre igual
ao número total de dados disponíveis. De fato, temos que: 7 + 6 + 5 + 7 = 25.
A fim de tornar a análise dos dados mais significativa, os resultados de
uma pesquisa são divulgados, geralmente, em jornais e revistas, por valores
correspondentes às frequências absolutas acompanhadas do número total de
valores obtidos. Dessa forma, caso essa pesquisa fosse realizada novamente
com um número maior ou menor de entrevistados, teríamos uma ferramenta
para comparar resultados obtidos por duas ou mais amostras. Essa medida é
conhecida Frequência Relativa e, indicada por Fr, representa a razão entre a
frequência absoluta e o total de dados descritos na amostra (N), isto é: Fr =
Fa
N
;
com 0 ≤ Fa ≤ N teremos que 0 ≤ Fr ≤ 1. Por este motivo, é comum expressar
a frequência relativa por meio de porcentagem.
Vamos construir a tabela de frequência completa para a variável "Tipo
de Perfume".
89
TIPO DE PERFUME FA
FR
FR (%)
7
7
28
= 0,28
25
Cítrico
6
6
24
= 0,24
25
Doce
5
5
20
= 0,20
25
Suave
7
7
28
= 0,28
25
Total
25
1
Amadeirado
100
Temos, no entanto, outro tipo de tabela para envolver certas variáveis,
na qual seus valores estão distribuídos em intervalos, não havendo
praticamente repetição. Por exemplo, quando observamos os valores
assumidos pela variável "Renda Mensal", notamos que eles se distribuem num
intervalo de R$ 500,00 a R$ 3.000,00. Nesse caso, vamos construir tabelas de
frequência agrupando os dados em classes ou intervalos de valores.
Por uma questão de padronização, iremos, aqui, adotar que o número
de classes será o inteiro mais próximo da raiz quadrada do número de
elementos da amostra em análise, ou seja, o número de classes (K) ou número
de intervalos será fornecido pelo valor inteiro mais próximo da fórmula K = N.
No exemplo proposto segue que: K = 25 = 5.
Observamos que o menor valor do conjunto de dados foi 500. Logo, a
partir deste, faremos o que chamamos de amplitude das classes (H), ou seja,
um intervalo fixo a cada classe. Para isto, basta tomarmos a razão entre a
amplitude total (R), distância entre os extremos da amostra, ou seja, o valor
máximo subtraído do valor mínimo dos dados em análise e dividirmos
pelo número de classes que foi calculado.
90
R
Logo, teríamos que: H = 1,05. K , como R = 3000 − 500 = 2500 e K = 5,
temos que H = 1,05.
2500
5
= 525. Assim, o intervalo vai de 525 em 525 a partir
de 500 até completar as 5 classes determinadas.
Convencionamos que cada intervalo construído será fechado à esquerda
e aberto à direita e usaremos a notação a Ⱶ b para representar o intervalo
formado pelos números reais que estão entre a e b, incluindo o valor de a e
excluindo o valor de b, isto é, a Ⱶ b = {x ∈ R/ a ≤ x < b}.
Com as informações anteriores, construiremos a tabela de frequência
para a variável "Renda Mensal":
RENDA MENSAL FA
FR
FR (%)
500 Ⱶ 1025
8
8
= 0,32
25
32
1025 Ⱶ 1550
6
6
= 0,24
25
24
1550 Ⱶ 2075
5
5
= 0,20
25
20
2075 Ⱶ 2600
2
2
= 0,08
25
8
2600 Ⱶ 3125
4
4
= 0,16
25
16
Total
25
1
100
91
5. ATIVIDADES RELACIONADAS
Atividade 01:
Para seleção ao cursinho Pré-Enem do professor Pardal, os estudantes
responderam a um questionário no qual constavam, entre outras, as seguintes
perguntas:
a. Qual é a área profissional pretendida?
b. Estudou o Ensino Médio em rede privada ou em rede pública?
c. Qual é a renda mensal de sua família?
d. Quantos irmãos você tem?
e. Qual é sua disciplina favorita?
f. Quantas vezes você já cursou este tipo de preparatório?
g. Possui acesso à internet?
h. Qual é, aproximadamente, a distância de sua casa ao cursinho?
Sabendo que cada uma das perguntas anteriores define um tipo de variável,
relacione as questões que envolvem variáveis qualitativas e as questões que
envolvem variáveis quantitativas. Cite exemplos de possíveis resultados para
as perguntas a, e e f.
Nas atividades de 02 a 04 use a tabela da página 84.
Atividade 02:
Construa uma tabela de frequência adequada para a variável "Estado Civil".
Quem apresenta maior e menor percentual entre os relacionados desta
variável?
Atividade 03:
Considerando a variável "Testaria outra marca", determine:
a) A frequência absoluta que corresponde à resposta não.
b) A frequência relativa que corresponde à resposta sim.
92
Atividade 04:
Faça uma tabela de frequência adequada para a variável "Preço do perfume".
Qual é o intervalo, em Reais, que assume o maior percentual dos entrevistados
neste problema?
Atividade 05:
Na tabela abaixo, estão representados os resultados de um levantamento
realizado com 200 pessoas, no cinema de um shopping da capital capixaba,
sobre seus gastos em relação ao consumo na alimentação durante uma
sessão de filme.
GASTOS
NÚMERO DE
(EM REAIS)
PESSOAS
25 Ⱶ 30
30 Ⱶ 35
35 Ⱶ 40
40 Ⱶ 45
60
X + 50
3X
X
2
a) Determine o valor da incógnita x.
b) Que porcentagem do total de entrevistados gasta entre R$ 35,00 e R$ 40,00
com alimentação no cinema?
c) Que porcentagem do total de entrevistados gasta menos de R$ 35,00 com
alimentação no cinema?
93
6. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS: CONSTRUÇÃO, LEITURA E
INTERPRETAÇÃO DE DADOS
Umas das principais ferramentas da linguagem matemática apropriada
para descrição de dados de pesquisas econômicas, físicas e sociais são os
gráficos. Este recurso é uma representação, um diagrama, um desenho que
demonstra a relação entre duas ou mais variáveis.
Existem diversos tipos de gráficos aplicados na Estatística, tendo, como
principal objetivo, possibilitar uma leitura mais simples e rápida dos dados
observados na pesquisa. Os gráficos "falam" dos dados de uma forma mais
completa, simples e direta do que o texto e até mesmo do que as tabelas. Por
isso, essas representações devem atender alguns requisitos fundamentais
como: simplicidade, clareza e veracidade. Além disso, é importante que a
escolha do tipo de representação gráfica seja adequada com a natureza dos
dados envolvidos.
Na leitura inicial de um gráfico, devemos ser capazes de identificar o
objetivo geral da pesquisa, as variáveis e como foram medidas. Para isso, todo
gráfico estatístico deve conter um título que informe o que pretende divulgar.
 Gráfico de Barras ou de Colunas:
Estes são os gráficos mais simples, tanto para construção, quanto para
leitura e interpretação. Permitem uma comparação rápida dos valores
apresentados. São muito utilizados em pesquisas nas quais contamos o
número de ocorrências dos valores do domínio de uma das variáveis, que não
é numérica. A decisão entre usar colunas ou as barras é uma questão de
estética. Os gráficos de barras costumam ser mais utilizados quando os valores
da variável estudada são palavras e, escritas na horizontal, tornam a leitura
mais fácil.
Então, ele é usado para ilustrar qualquer tipo de série, desde que uma
das variáveis seja quantitativa. Todas as barras (colunas) devem ter a mesma
largura e serem espaçadas umas das outras de metade da largura (altura) da
barra (coluna).
94
Exemplo: O gráfico abaixo representa o rendimento anual de 100 alunos de
uma escola na disciplina de matemática.
 Gráfico de Linhas:
Os gráficos em linha são muito utilizados para representar evolução
(tendências de aumento ou diminuição) dos valores numéricos de uma variável.
Assim, encontramos, com frequência, esse tipo de representação em análises
econômicas, incidência de moléstias, política, crescimento populacional, custo
de vida etc. Este tipo de gráfico é também muito utilizado na representação de
séries temporais.
Exemplo: O gráfico abaixo mostra a evolução da intenção de votos do povo
brasileiro entre os três principais candidatos a Presidência da República, na
eleição de 2014.
95
Fonte: ESTADO DE MINAS, 2014.
 Gráfico de Setores:
O gráfico em setores, mais conhecido como gráfico de "pizzas", é
construído fundamentado em um círculo.
Os setores são tais que as medidas de suas áreas e a medida de seus
ângulos centrais são, respectivamente, proporcionais aos dados da série.
Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta, lembrando
que o total da série corresponde a πr². caso a relação entre os setores seja a
área, ou a 360º, caso a relação entre os setores seja o ângulo central.
Este tipo de representação gráfica é muito utilizado para representar
uma contagem do número de ocorrências dos valores de uma variável não
numérica E mostrar a relação das partes com o todo. É muito importante
salientar
que
todos
os
resultados
encontrados
(100%)
devem
ser
representados num mesmo círculo. Costuma-se usar gráficos de setores para
tabelas geográficas ou por categorias, desde que não haja muitas subdivisões.
Em hipótese alguma se pode usar deste tipo de representação para séries
mistas.
Exemplo: O gráfico abaixo mostra a preferência por modalidade esportiva
referente a um grupo de 100 alunos de uma escola localizada numa região
carente do Município de Aracruz-ES.
96
 Pictogramas:
O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao
público, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A
representação gráfica consta de figuras.
Este tipo de representações gráficas é construído a partir de outros
gráficos, acrescentando-se a ele figuras relacionadas à situação pesquisada.
Este tipo de gráfico pode ser atraente, mas torna a informação menos clara.
Pictogramas
costumam
não
respeitar
os
três
pilares
mencionados
anteriormente: simplicidade, clareza e veracidade.
Exemplo: O gráfico abaixo mostra a distribuição das idades dos jovens por
sexo, na faixa etária de 14 a 17 anos de idade.
97
 Histogramas e Polígonos de Frequência:
Um histograma de frequência é utilizado quando se deseja demonstrar
dados agrupados e é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas
bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos
médios coincidem com os pontos médios dos intervalos de classe.
98
Tomando como referência um histograma de frequência, pode-se
construir, a partir desse histograma, um polígono de frequência, bastando, para
isso, ligar os pontos médios, conforme demonstrado a seguir:
Existem muitos
outros tipos de gráficos, específicos para
determinados fatos, como: o gráfico polar, cartograma, boxplot, ramo-efolhas etc.
99
7. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NO EXCEL
Com uso de simples tecnologias como, por exemplo, o Excel®, podemos
construir, facilmente, qualquer tipo dos gráficos citados anteriormente. Vamos
tomar, como demonstração, a tabela da página 84, e representarmos um
gráfico de setores para variável "estado civil" usando esta ferramenta.
1º Passo: Abra uma planilha do Excel e construa uma tabela
referenciando a frequência absoluta para cada tipo de variável relacionada a
"estado civil".
100
2º Passo: Selecione a tabela construída no primeiro passo e
clique no menu Inserir - Pizza - Pizza 2D.
3º Passo: Ao concluir o segundo passo, aparecerá a imagem
abaixo:
101
4º Passo: Clique no menu layout de gráfico e faça as edições
necessárias, por exemplo, clicando no layout 6 o gráfico ficaria com a seguinte
edição:
Homens
16%
32%
Solteiro
Casado
12%
Viúvo
Divorciado
40%
Se quisermos construir um gráfico de colunas para a tabela de
frequência "Tipo de perfume", da página 84, basta seguir os mesmos
procedimentos da construção anterior, porém, ao invés de selecionar gráfico de
pizzas, selecionaremos o gráfico de coluna, conforme demonstrado a seguir:
102
O resultado será, então, o seguinte:
Tipo de Perfume
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Amadeirado
Cítrico
Doce
Suave
Se quisermos construir um histograma de frequência para a tabela de
dados agrupados em intervalos de classes relacionadas à variável "Renda
Mensal" da página 93, basta seguirmos os mesmos procedimentos da
construção anterior. Porém, ao editar o gráfico, vamos deixar as barras
justapostas, dando o formato do histograma. Para isso, temos os seguintes
passos:
103
1º Passo: Copie e cole a tabela de distribuição de
frequências com intervalos de classes no Excel® e, selecionando as
frequências absolutas, clique no menu inserir - colunas - coluna 2D.
2º Passo: Quando o passo anterior for concluído, aparecerá
na tela um gráfico de colunas que será editado seguindo o seguinte esquema:
Selecione o layout e edite os campos referentes ao título e eixos coordenados
de acordo com a tabela.
Homens
Renda Mensal
10
8
6
4
2
0
Série1
1
2
3
Renda
4
5
104
3º Passo: Agora vamos deixar as colunas justapostas,
clicando com o botão direito do mouse em cima de qualquer uma das colunas,
selecione a função "formatar série de dados", e em "largura do espaçamento"
digite 0%.
4º Passo: Para finalizarmos, basta substituirmos o eixo das
classes pelos dados da tabela. Para isso, clique sobre o eixo horizontal e, com
ele selecionado, clique com o botão direito do mouse, selecione a função
"selecionar dados" e, clicando em "editar", selecione os dados da tabela
referentes aos intervalos de classes. O histograma estará pronto!
Renda Mensal
10
Homens
8
6
4
2
0
500 Ⱶ 1025
1025 Ⱶ
1550
1550 Ⱶ
2075
Renda
2075 Ⱶ
2600
2600 Ⱶ
3125
105
8. ATIVIDADES RELACIONADAS
Atividade 01:
Utilizando o Excel® e a tabela da página 84, construa um gráfico de setores
para representar a variável "Tipo de Perfume" e um histograma de frequência
para representar a distribuição com intervalos de classes para variável "Preço
do Perfume".
Atividade 02:
Os alunos da turma de Educação Física devem optar por um, e somente um,
dos três esportes para treinar: Futebol; Vôlei ou Basquete.
A distribuição da escolha de 180 alunos está indicada pelo gráfico a seguir:
Sabendo que o ângulo central do setor representado pelos alunos que optaram
pelo futebol é 250º e que apenas 25 alunos optaram por treinar Basquete,
determine:
a) A medida do ângulo do setor correspondente à modalidade do Basquete;
b) O número de alunos que optaram por treinar Vôlei e o ângulo do setor
correspondente.
106
c) Os percentuais referentes às quantidades de alunos por modalidade
esportiva.
Atividade 03:
A variação do saldo diário (em milhares de Reais) das contas da empresa do
Senhor Rico, referente aos 10 primeiros dias do mês de maio de 2016,
encontra-se representada no gráfico de linhas abaixo:
Saldo (x 1000)
Variação do Saldo Diário
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
Dia
Esse saldo representa a diferença entre os valores recebidos e os valores
gastos pela empresa. Com base no exposto, determine:
a) Em quais dias a empresa do Sr. Rico operou "no vermelho", ou seja, com
saldo bancário negativo?
b) Identifique os períodos de crescimento e de decrescimento do saldo.
c) Se no 4º dia a empresa pagou R$ 20.000,00 de contas, qual foi o valor
recebido nesse dia?
d) Se no 8º dia a empresa recebeu R$ 30.000,00, que valor a empresa gastou
nesse dia?
e) Se no dia 10 a empresa gastou R$ 6.000,00, que valor ela recebeu nesse
dia?
107
Atividade 04:
O gráfico abaixo mostra a produção de veículos da empresa CALHAMBEQUE,
no período de 2004 a 2007.
Com base nos dados apresentados no gráfico, responda:
a) Qual foi, aproximadamente, o aumento relativo e percentual da produção de
veículos no período apresentado?
b) Em qual período anual houve o maior e o menor desempenho percentual na
produção de veículos?
c) Se a partir de 2005, a cada ano, a empresa apresentasse mais duas
unidades do gráfico em relação ao ano anterior, qual seria a estimativa de
veículos para o ano de 2010?
108
Atividade 05:
Analisando os dados dispostos no gráfico abaixo, responda as perguntas
propostas:
a) Qual região brasileira apresentou, em 2010, o maior e o menor percentual de
crianças com 10 anos ou mais que possuíam aparelhos celulares?
b) Em percentual, qual seria a média brasileira dos estudantes com 10 anos ou
mais que não possuíam aparelhos celulares em 2010?
c) Podemos afirmar que, da média encontrada no item anterior, as regiões
Norte e Nordeste, juntas, foram responsáveis por mais da metade do
percentual calculado? Justifique sua reposta.
d) Em relação à média brasileira dos estudantes com 10 anos ou mais que
possuíam aparelhos celulares em 2010, é correto afirmar que a região sul do
país colabora com essa média em mais de 12%? Justifique sua resposta.
109
9. ESTUDO DAS MEDIDAS ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS
Quando a variável em estudo é quantitativa, podemos resumir certas
informações dos dados (valores) por algumas medidas descritivas. Por
exemplo, para se conhecer o peso típico de recém-nascidos numa
comunidade, podemos calcular a média ou a mediana dos pesos dos recémnascidos nessa comunidade. Para se ter ideia da magnitude de variação do
peso dessas crianças, podemos calcular o chamado desvio padrão.
Em suma, nesta etapa, vamos aprender a calcular e a interpretar certas
medidas estatísticas que descrevem informações específicas de um conjunto
de dados.
Definimos Medidas Estatísticas como Valores Numéricos calculados
sobre o conjunto de valores observados da Variável Quantitativa em estudo,
cuja interpretação fornece informações específicas sobre o comportamento da
variável naquele conjunto de dados.
Estudaremos, aqui, as principais medidas conhecidas como: Medidas
de Tendência Central (ou de Posição) e as Medidas de Dispersão (ou de
Variação)
O esquema abaixo mostra como estarão sendo abordados esses
termos:
110
Medidas de Posição e Medidas de Variação para dados não
agrupados:
Dada a nota final de 7 alunos de uma turma (4 − 5 − 5 − 6 − 6 − 6 − 8),
podemos perceber que esses dados não estão agrupados em tabelas. Estão
apenas na formatação de um rol. Assim, podemos determinar as medidas
descritivas desta distribuição usando das ferramentas a seguir:
a) Média Aritmética: 𝐗
De um modo geral, dado um conjunto de n valores de uma certa variável
x, podemos definir a média aritmética por:
X=
n
i =1(x i )
n
.
Assim, teríamos,
no exemplo proposto, que a média aritmética das notas finais dos setes alunos
foi:
X=
4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 8 40
=
≅ 5,71
7
7
b) Mediana: Me
É o elemento que está exatamente no centro das informações
ordenadas.
A mediana é um valor do domínio da variável que divide os dados
observados em dois grupos com a mesma quantidade de observações.
O procedimento para determinação da mediana depende do número de
observações. Deveremos seguir os seguintes passos:
I) Se N for ímpar a mediana é o termo de ordem P 
N 1
.
2
II) Se N for par é a média aritmética dos termos de ordem: P1 
N
N
e P2   1
2
2
No exemplo proposto, a nota mediana dos alunos seria calculada pelo
item I, tendo em vista que a série apresenta um total de sete alunos, ou seja,
uma quantidade ímpar de observações. Assim:
111
P=
7+1
2
8
= = 4, portanto, a nota final mediana dos alunos relacionados
2
seria a variável que ocupa a quarta posição no rol, ou seja, a Me = 6.
c) Moda: Mo
Moda é o valor mais frequente da distribuição. Para distribuições simples
(sem agrupamento em classes), a identificação da Moda é facilitada pela
simples observação do elemento que apresenta maior frequência.
Neste caso, a nota modal dos alunos é Mo = 6, pois a nota (variável 6)
foi a quem mais se destacou em relação as outras.
A moda é, aproximadamente, a diferença entre o triplo da mediana e o
dobro da média, segundo o processo obtido pela fórmula de Pearson: 𝐌𝐨 ≅
𝟑𝐌𝐞 − 𝟐𝐗. Esta fórmula dá uma boa aproximação quando a distribuição
apresenta razoável simetria em relação à média.
Podemos perceber que, trabalhando com a fórmula de Pearson, no
exemplo proposto, chegaríamos ao mesmo valor.
Verificamos que as Medidas de Posição expressam a característica dos
dados observados tenderem a se agrupar em torno dos valores centrais, e que
elas representam valores intermediários da série (entre o menor e o maior
valor), em torno dos quais os elementos da série estão distribuídos. Em
síntese, podemos dizer que as Medidas de Posição tentam traduzir a
semelhança que os dados estatísticos referentes à observação de um
fenômeno apresentam entre si, conforme se pode notar pela observação das
séries abaixo.
SÉRIE
VALORES
3
7
MÉDI
MEDIAN
MOD
A
A
A
1
1
10 10 11 15 18 20 35
13
10,5
10
2
12 12 13 13 13 13 13 13 14 14
13
13
13
3
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
13
13
13
112
A julgar apenas pela Média, teríamos que concluir pela igualdade entre
as três séries 1, 2 e 3. Se estendermos nossa análise, incluindo as medidas
Média, Mediana e Moda, teríamos que concluir pela igualdade entre as séries 2
e 3. Mas como os conjuntos são pequenos, conseguimos observar que eles
não são iguais.
Frequentemente, as Medidas de Tendência Central não são suficientes
para caracterizar completamente uma série numérica, conforme pode ser
observado nas séries de dados acima.
O que se constata, é que os fenômenos passíveis de análise pelo
método estatístico, bem como os dados estatísticos a eles referentes,
caracterizam-se tanto pela sua semelhança quanto pela sua variabilidade.
Chamamos de dispersão ou variabilidade, à maior ou menor
diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência
central tomado como ponto de comparação. Analisando os conjuntos de dados
acima, podemos dizer que a série 3 apresenta dispersão ou variabilidade nula
(todos os valores iguais entre si), e que o conjunto 2 apresenta dispersão ou
variabilidade menor que o conjunto 1. Para justificar esta última afirmação,
basta apenas observarmos os valores extremos das duas séries.
Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou
menor dispersão (ou variabilidade) entre esses valores e uma respectiva
medida de posição, a Estatística recorre às Medidas de Dispersão ou de
Variabilidade.
d) Variância S² e Desvio Padrão S:
Tanto a variância quanto o desvio padrão são medidas que fornecem
informações complementares à informação da média aritmética. Estas medidas
avaliam a dispersão do conjunto de valores em análise. Para calcularmos a
variância e o desvio padrão, devemos considerar os desvios de cada valor em
relação à média aritmética.
A expressão que nos permite calcular a variância para dados não
n
agrupados pode se dar por: S 2 
(x
i 1
i
 x)2
(n  1)
.
113
Se voltarmos ao exemplo proposto sobre as notas finais dos sete alunos,
podemos chegar ao cálculo da variância com a expressão acima, tomando,
como apoio, a construção da seguinte tabela:
DESCRIÇÃO
NOTAÇÃO RESULTADOS NUMÉRICOS
Valores (Notas dos alunos)
Xi
Média
X
Desvios
(𝑋𝑖 − 𝑋 )
Desvios quadráticos
(𝑋𝑖 − 𝑋)²
4
5
5
6
6
6
8
6
−2
−1
4
1
−1
1
0
0
0
0
0
0
2
4
Portanto, a variância das notas finais dos sete alunos seria dada por:
𝑆² =
4 + 1 + 1 + 4 10
=
≅ 1,67.
7−1
6
Como a variância de um conjunto de dados é calculada em função dos
desvios quadráticos, sua unidade de medida equivale à unidade de medida dos
dados ao quadrado. Nesse contexto, é mais comum se trabalhar com a raiz
quadrada positiva da variância. Esta medida é conhecida como desvio padrão,
o qual é expresso na mesma unidade de medida dos dados em análise. Então,
o cálculo do desvio padrão nada mais será do que sempre extrair a raiz
quadrada da variância. Neste exemplo, teríamos que: 𝑆 =
𝑆² = 1,67 ≅ 1,29.
Ao compararmos os desvios padrões de vários conjuntos de dados,
podemos avaliar quais dados se distribuem de forma mais ou menos dispersa
em relação à média, ou seja, o desvio padrão representa a distância
padronizada dos dados em relação à média, sendo que, quanto maior for o
desvio padrão, maior dispersão apresentará a distribuição e quanto menor for o
desvio padrão, menor dispersão apresentará a distribuição.
O desvio padrão fornece informação sobre a dispersão (Variância
ou heterogeneidade) dos valores.
114
e) Coeficiente de Variação CV:
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação
em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries
distintas. É dado por: CV
=
S
X
O Coeficiente de Variação é a razão entre o Desvio Padrão e a
Média Aritmética, e é, geralmente, expresso em porcentagem. Trata-se de
um número puro (sem unidade de medida), sendo, portanto, uma medida
relativa.
A grande utilidade do Coeficiente de Variação é permitir a comparação
de variabilidade de diferentes conjuntos de dados.
Remetendo-se ao nosso exemplo inicial, podemos verificar que o
coeficiente de variação em relação às notas finais dos sete alunos seria
calculado por: CV =
1,29
6
≅ 0,22 = 22%. Isso significa que o grau de
concentração dos dados em torno da média é de 22%.
Diz-se que a distribuição possui pequena variabilidade (dispersão)
quando o coeficiente der até 10%; média dispersão quando estiver acima de
10% até 20%; e grande dispersão quando superar os 20%. Alguns analistas
consideram: Baixa dispersão: 𝐶𝑉 ≤ 15%; Média dispersão: 15% < 𝐶𝑉 < 30% e
Alta dispersão: 𝐶𝑉 ≥ 30%.
Medidas de Posição e Medidas de Variação para dados agrupados
em tabelas com e sem intervalos de classes:
Nas páginas anteriores, já trabalhamos com as definições das principais
medidas estatísticas descritivas. Elas foram citadas em um contexto
envolvendo dados não agrupados em tabelas. Veremos agora a formatação e o
manejo de cálculos para tais medidas envolvendo um conjunto de dados
agrupados em tabelas que envolvam ou não intervalos de classes. Para isso,
seguem dois exemplos que servirão de norte para o cálculo das medidas
estatísticas:
115
Exemplo 01: Em uma sala de aula, foi perguntado a uma amostra de 20
alunos, quantos irmãos eles têm. Os dados foram organizados na tabela
abaixo:
QUANTIDADE DE IRMÃOS (XI) FREQUÊNCIA ABSOLUTA (FA)
0
1
2
3
4
Total
2
5
10
2
1
20
Para o cálculo das medidas, podemos, ao invés de desmembrar e somar
uma por uma, associar de forma multiplicativa cada variável com sua
respectiva frequência absoluta. Assim, teríamos:
a) Média Aritmética 𝐗:
X=
n
i=1
Xi . Fai
n
No exemplo citado, teríamos:
(Xi)
(Fa) (Xi. Fa)
0
2
0
1
5
5
2
10
20
3
2
6
4
1
4
Total
20
35
116
Portanto, a média do quantitativo de irmãos dos alunos seria dada por:
X=
35
20
= 1,75 ≅ 2 irmãos por aluno.
b) Mediana Me:
Neste caso, a mediana seria a variável que primeiramente envolvesse a
n
posição da mediana P = , em sua frequência acumulada.
2
(Xi)
(Fa) (Xi. Fa) Fac
0
2
0
2
1
5
5
7
2
10
20
17
3
2
6
19
4
1
4
20
Total
20
35
-
Pelo exemplo, temos que a posição da mediana seria dada por P =
20
2
= 10, ou seja, analisando esta posição na tabela e observando a coluna da
Fac, percebemos claramente que a variável que representa a quantidade
mediana de irmão é a variável Xi = 2. Logo temo que a Me = 2. Perceba que
ela está muito próxima da média, que foi de 1,75.
c) Moda Mo:
Neste caso, determinamos a moda observando qual variável X i, obteve a
maior frequência absoluta. Pelo exemplo exposto, fica notório perceber que a
moda seria representada pela variável Xi = 2, pois a ela temos referente a
maior frequência absoluta da distribuição, Fa = 10, portanto, a Mo = 2.
117
(Xi)
(Fa)
0
2
1
5
2
10
3
2
4
1
Total
20
d) Variância S² e Desvio Padrão S:
Para o cálculo dessas medidas, vamos projetar o numerador da fórmula
da variância na própria tabela.
n
Neste caso, a variância seria dada por: S 2 
[ Fa.( x
i 1
i
 x)2 ]
(n  1)
, e,
portanto teríamos que, como a média da quantidade de irmãos foi de X = 1,75,
a projeção da tabela ficaria assim:
(Xi)
(Fa) (𝑿𝒊 − 𝑿) (𝑿𝒊 − 𝑿)² Fa.(𝑿𝒊 − 𝑿)²
0
2
- 1,75
3,06
6,12
1
5
- 0,75
0,56
2,80
2
10
0,25
0,06
0,6
3
2
1,25
1,56
3,12
4
1
2,25
5,06
5,06
Total
20
-
-
17,70
118
Assim, teríamos que a variância seria S² =
padrão, então, seria fornecido por: 𝑆 =
17,70
20−1
=
17,70
19
≅ 0,93 e o desvio
𝑆² = 0,93 ≅ 0,96.
e) Coeficiente de Variação CV:
Este cálculo não muda nada em relação aos dados não agrupados.
Portanto, o coeficiente de variação para esta distribuição seria dado por:
CV =
0,96
1,75
≅ 0,55 = 55%. Isso significa que o grau de concentração dos
dados em torno da média é de 55%. Esta distribuição apresenta uma alta
dispersão dos dados em torno da média.
Exemplo 02: A distribuição de frequência abaixo mostra as notas de 2000
candidatos em uma prova de concurso. As notas foram organizadas em
classes (intervalos):
Notas
Fa
0Ⱶ2
40
2Ⱶ4
440
4Ⱶ6
520
6Ⱶ8
640
8 Ⱶ 10
360
Total
2000
Para o cálculo das medidas, temos que encontrar o ponto médio de cada
classe, pois, apesar de sabermos a frequência absoluta de cada classe, não
sabemos a qual ou quais variáveis elas estão atreladas. Com isso, o ponto de
referência de cada classe fica sendo o valor do ponto médio. Assim teríamos:
119
a) Média Aritmética 𝐗:
X=
n
i=1
PMi . Fai
n
Notas
Fa
PM (PM.Fa)
0Ⱶ2
40
1
40
2Ⱶ4
440
3
1320
4Ⱶ6
520
5
2600
6Ⱶ8
640
7
4480
8 Ⱶ 10
360
9
3240
Total
2000
-
11680
Portanto, a média de pontuação dos candidatos desse concurso seria
dada por:
X=
11680
2000
= 5,84 ≅ 6 pontos por candidato.
b) Mediana Me:
Para o cálculo da mediana, percebemos que, como os dados estão
agrupados em intervalos de classes, precisamos, primeiramente, encontrar
qual seria a classe mediana, ou seja, a classe que contém o valor da posição
da mediana. Para isso, já sabemos que basta calcularmos o valor da posição
P=
n
2
e comparar com a frequência acumulada. Assim temos que:
120
Notas
Fa
Fac
0Ⱶ2
40
40
2Ⱶ4
440
480
4Ⱶ6
520
1000
6Ⱶ8
640
1640
8 Ⱶ 10
360
2000
Total
2000
-
É perceptível que a posição da mediana seria dada por: P =
2000
2
=
1000, onde verificamos que classe mediana ficaria sendo a terceira classe.
(Classe mediana: 3ª Classe).
A expressão que nos auxilia no cálculo para esse tipo de agrupamento é
calculada dentro da devida classe, sendo, sua formulação genérica, dada por:
 P  F ' ac 
Me = Li + 
  h onde:
 Fi

Li - Limite inferior da classe mediana;
F'ac- Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
P - É a posição da mediana;
Fa - É a frequência absoluta da classe mediana;
h - É a amplitude das classes.
No exemplo, a mediana seria calculada como:
Me = 4 +
1000 − 480
520
. 2 ∴ Me = 4 +
. 2 ∴ Me = 4 + 1.2 ∴ Me = 4 + 2 ∴ Me
520
520
=6
c) Moda Mo:
Neste caso, o cálculo da moda também é efetuado dentro da classe
modal, que é localizada pela classe que oferece a maior frequência absoluta da
distribuição. Feito isso, aplica-se a fórmula de Czuber:
Mo = Li +
Em que:
∆1
∙h
∆1 + ∆2
121
𝑳𝒊 = Limite Inferior da classe modal;
∆𝟏 = Diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente anterior;
∆𝟐 = Diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente posterior;
𝒉 = Amplitude das classes.
Notas
Fa
0Ⱶ2
40
2Ⱶ4
440
4Ⱶ6
520
6Ⱶ8
640
8 Ⱶ 10
360
Total
2000
Pela tabela de distribuição, destacamos a classe modal como sendo a
quarta classe, pois 640 é o registro de maior frequência absoluta nesta
distribuição.
Aplicando a fórmula, temos:
Mo = 6 +
(640 − 520)
∙2
640 − 520 + (640 − 360)
120
∙2
120 + 280
120
Mo = 6 +
∙2
400
120
Mo = 6 +
∙2
400
Mo = 6 +
Mo = 6 + 0,3 ∙ 2
Mo = 6 + 0,6
Mo = 6,6
122
d) Variância S² e Desvio Padrão S:
Para o cálculo dessas medidas, vamos também projetar o numerador da
fórmula da variância na própria tabela.
n
Neste caso, a variância seria dada por: S 
2
[ Fa.( PM  x )
2
i 1
]
.
(n  1)
Percebemos que a variável deu lugar ao ponto médio das classes, já que não
sabemos ao certo quem e quantas vezes tais variáveis apareceram, e, portanto
teríamos que, como a média da quantidade da distribuição foi de X = 5,84, a
projeção da tabela ficaria assim:
(𝑷𝑴 − 𝑿) (𝑷𝑴 − 𝑿)²
Fa.(𝑷𝑴 − 𝑿)²
Notas
Fa
PM
0Ⱶ2
40
1
- 4,84
23,43
937,20
2Ⱶ4
440
3
- 2,84
8,07
3550,80
4Ⱶ6
520
5
- 0,84
0,71
369,20
6Ⱶ8
640
7
1,16
1,35
864
8 Ⱶ 10
360
9
3,16
9,99
3596,40
Total
2000
-
-
-
9317,60
Assim, teríamos que a variância seria S² =
o desvio padrão então seria fornecido por: 𝑆 =
9317,60
2000 −1
=
9317,60
1999
≅ 4,66 e
𝑆² = 4,66 ≅ 2,16.
e) Coeficiente de Variação CV:
Este cálculo não muda em relação aos dados anteriormente. Portanto, o
coeficiente de variação para esta distribuição seria dado por: CV =
2,16
5,84
≅
0,37 = 37%. Isso significa que, o grau de concentração dos dados em torno
da média é de 37% Esta distribuição apresenta uma alta dispersão dos dados
em torno da média.
123
10. ATIVIDADES RELACIONADAS
Atividade 01:
Em um edifício comercial com 50 lojas, 30 lojistas pagam uma taxa de
manutenção de R$ 200,00. Para os demais, essa taxa é de R$ 250,00. Qual é
o valor da taxa média de manutenção nesse edifício?
Atividade 02:
Sabendo que a média aritmética de um conjunto de dados formado por trinta
números é igual a 16, descreva o que aconteceria com essa média aritmética
se:
a) Acrescentarmos o número 30 a esse conjunto de dados?
b) Retirarmos o número 40 desse conjunto de dados?
c) Acrescentarmos o número 60 a esse conjunto e retirarmos o número 20?
Atividade 03:
O gráfico de setores abaixo representa a pesquisa realizada em uma sala de
aula com 40 alunos acerca da quantidade de irmãos desses alunos.
124
Com base no exposto, determine:
a) Quantos alunos dessa turma possuem pelo menos três irmãos?
b) Qual é o número médio, mediano e modal de irmãos dos alunos dessa
turma?
Atividade 04:
O conjunto de dados a seguir representa o tempo de espera (em minutos) de
10 pessoas que foram atendidas em um banco da cidade durante o início da
tarde:
5 - 9 - 26 - y - 18 - 8 - x - 23 - 1 - 16
Sabendo que o tempo médio e mediano foi, respectivamente, de 14 e 15
minutos, determine:
a) Os valores de x e y tal que 9 < 𝑥 < 16 e 18 < 𝑦 < 23.
b) Podemos detectar um tempo de espera modal no conjunto de dados?
Justifique.
c) As medidas de variação para este conjunto de dados.
Atividade 05:
A Segunda Guerra Mundial (1939–1945) foi o conflito que causou mais vítimas
em toda a história da Humanidade.
125
Analisando os dados da tabela, determine:
a) Calcule a média e a mediana do número de mortos na II Guerra. Por que a
média é bem superior à mediana?
b) Em que condição a média ficaria mais próxima da mediana? Justifique sua
resposta com possíveis cálculos.
Atividade 06:
As temperaturas máximas diárias registradas no mês de janeiro, na capital
Pernambucana, estão indicadas na tabela abaixo:
Temperatura
Máxima (ºC)
Número
𝐏𝐌
de
(𝐏𝐌. 𝐅𝐚)
(𝑷𝑴 −
(𝑷𝑴 −
𝐅𝐚. (𝑷𝑴 −
𝑿)
𝑿)²
𝑿)²
-
-
Dias
25 Ⱶ 28
7
28 Ⱶ 31
10
31 Ⱶ 34
8
34 Ⱶ 37
4
37 Ⱶ 40
2
Total
31
Bbbb
-
Complete a tabela com os dados necessários e determine a média, o desvio
padrão e o coeficiente de variação.
Atividade 07:
Com os dados obtidos em uma pesquisa sobre quanto tempo crianças de 7
anos passam na internet diariamente, construiu-se o seguinte histograma:
126
Com base no histograma acima, responda:
a) Que porcentagem do total de crianças fica entre meia hora e uma hora e
meia na rede?
b) Qual é a média e a mediana do tempo de uso da internet?
c) A partir do histograma anterior, faça outro histograma agrupando os tempos
de hora em hora. Calcule as medidas descritas de posição e de variação.
Atividade 08:
Um determinado estado é composto por duas regiões, A e B, cada uma com
cinco cidades de mesma população. Feito um levantamento para saber o grau
de satisfação da população de cada cidade em relação à respectiva
administração municipal, constatou-se o seguinte resultado com notas de 0 a
10:
Região A 7,0 4,5 5,5 5 3
Região B 5
8,5 3
1 7,5
Em qual das regiões as opiniões são menos divergentes? Justifique sua
resposta.
127
Atividade 09:
Um professor de Matemática elaborou, através do computador, um histograma
das notas obtidas pela turma em uma prova cujo valor era 5 pontos. Entretanto,
o histograma ficou incompleto, pois este professor esqueceu-se de fornecer o
número de alunos que obtiveram notas iguais a 2, 4 ou 5. Veja a ilustração a
seguir:
Com base no exposto, determine a nota modal para os alunos dessa classe.
Atividade 10:
Sejam 𝑋1 ; 𝑋2 ; … ; 𝑋𝑛 os n valores assumidos por uma variável quantitativa. O
que acontece com a média aritmética X , com a variância (S²) e com o desvio
padrão (S) desses valores, quando cada 𝑋𝑖 (para i = 1,2,3, . . . , n) é:
a) Aumentado de duas unidades?
b) Multiplicado por 2?
Justifique suas respostas.
128
11. SUGESTÃO PARA UMA PRÁTICA INVESTIGATIVA
Uma das grandes competências que permeia o estudo da Estatística é a
contextualização sociocultural, no sentido de que ela permite ao jovem
estudante fazer uma leitura consciente e crítica das questões do cotidiano e
dos problemas de nossa sociedade e, desse modo, o prepara para intervir e
propor soluções para problemas diversos. Não é difícil enumerar temas que
podem ser discutidos no estudo da Estatística: Saúde e bem-estar; Meio
ambiente; Violência urbana; Desigualdades sociais e regionais; Trabalho;
Comunicação; Mundo digital; Economia; entre outros.
Neste material, fizemos um breve estudo da Estatística Descritiva, com
tabelas de frequências, gráficos, medidas de posição e de variação.
Agora, passamos a "bola" para vocês, que, com autonomia e
criatividade, deverão desenvolver este roteiro de atividades proposto a seguir:
Agora é com vocês! Mãos à obra!
129
ATIVIDADE 01:
Levantamento de uma problemática e a busca pelos dados.
Reúnam-se em grupo de cinco pessoas e discutam (levantem) temas
interessantes para uso de uma pesquisa estatística dentro da comunidade de
sua escola. Após o levantamento destas informações, debatam suas ideias
com os demais grupos da sua turma.
ATIVIDADE 02:
Seleção do Tema (problema) da pesquisa e busca pelos tipos de variáveis
a serem analisadas.
Dentre os temas debatidos na questão anterior, descreva qual foi o selecionado
pelo grupo, e apontem as respectivas variáveis que possam ser úteis dentro da
pesquisa, classificando-as em: Variáveis Quantitativas (Discretas/Contínuas)
ou Qualitativas (Nominal/Ordinal). Após este estudo, elaborem um simples
questionário que atenda a escolha da pesquisa do seu grupo.
ATIVIDADE 03:
É hora de ir a campo!
Aplique o questionário ao público destinado à sua pesquisa. Sejam breves,
objetivos e, acima de tudo, imparciais e verdadeiros com a execução da
pesquisa proposta pelo grupo.
ATIVIDADE 04:
Verificando e organizando os frutos da pesquisa.
Chegou a hora de começarmos a "tratar as informações" que foram coletadas
na pesquisa de seu grupo! Procure construir tabelas que organizem os dados
coletados, buscando resumir as informações, fazendo o que chamamos de
tabulação de dados.
130
ATIVIDADE 05:
Construindo Gráficos.
Debata com o grupo e construa, com o apoio do Microsoft Excel®, possíveis
gráficos que possibilitem uma boa representação de algumas das variáveis
tratadas pela sua pesquisa.
ATIVIDADE 06:
Escolhendo variáveis para o trabalho descritivo.
Escolha duas variáveis quantitativas de sua pesquisa e as organizem em uma
distribuição de frequências com intervalos de classes, ao final, utilize do
Microsoft Excel, para apresentar esses dados através de um Histograma de
Frequência.
ATIVIDADE 07:
Estudo das medidas estatísticas descritivas.
Com base na atividade anterior, determine as Medidas de Tendência Central e
as Medidas de Dispersão que envolvam os dados selecionados. Façam um
breve relatório do que essas medidas representam para vocês dentro da
pesquisa do grupo.
ATIVIDADE 08:
Apresentação da pesquisa.
Agora seu grupo deverá apresentar, de forma dinâmica e criativa, para o
restante da turma, a pesquisa que foi realizada. Estejam preparados para
possíveis perguntas sugeridas pelo tema.
131
12. REFERÊNCIAS
BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística aplicada às ciências sociais. 7 ed.,
rev. Florianópolis: Ed. UFSC, 2007. 315 p. (Série Didática)
DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas em Matemática. São
Paulo: Ática, 1991.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática: São Paulo: Ática, 2009.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI, José Ruy Jr..
Matemática fundamental. Volume único. São Paulo: FTD, 2002.
HARZAN, Samuel; IEZZI, Gerson; DEGENSZAJN, David. Fundamentos de
Matemática Elementar. V.11, 2.ed. São Paulo: Editora Atual. 2013.
IEZZI, Gelson; ALMEIDA, N. DEGENSZAJN, D.; DOLCE, O.; PÉRIGO,
R. Matemática: ciência e aplicações, volume 1: ensino médio. 8. ed. São
Paulo: Atual, 2014a. 448 p.
IEZZI, Gelson; ALMEIDA, N. DEGENSZAJN, D.; DOLCE, O.; PÉRIGO, R.
Matemática: ciência e aplicações, volume 3: ensino médio. 8. ed. São Paulo:
Atual, 2014b. 336 p.
PAIVA, Manoel. Matemática. Vol. I. São Paulo: Moderna, 1995.
TROTTA, Fernando. Matemática por Assunto: análise
probabilidade e estatística. V.4. Rio de Janeiro: Scipione, 1988.
combinatória,