Exemplo: eq. Poisson 1D - Engenharia Aeroespacial UFABC

Universidade Federal do ABC
Aula 3
Volumes Finitos
EN3224 Dinâmica de Fluidos
Computacional
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Duas metodologias
Leis de Conservação
Integrais
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs
O Método dos Volumes Finitos (MVF)
Leis de Conservação
Integrais
O Método dos Volumes Finitos baseia-se
nas Leis de Conservação Integrais.
Uma lei de conservação é implementada
através de uma distribuição de pequenos
volumes de controle na malha
computacional:
Falta estabelecer
• como definir os volumes de controle
• tipo de aproximação no seu interior
• métodos numericos para o cálculo das
integrais e fluxos
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Definição dos volumes de controle
MVF centrado nos vértices MVF centrado nas células
1D
2D
OBS: podem ser usadas grades diferentes para variáveis diferentes.
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Discretização de subproblemas locais
Formulação para um único volume
• A lei de conservação integral deve ser satisfeita para cada VC e para todo o
domínio.
• O sistema linear é obtido expressando-se a as integrais em termos de valores
médios
Integração numérica
onde wi ≥ 0 são os pesos e xi são
os nós da regra da quadratura.
Estas fórmulas podem ser derivadas pela integral exata de um polinômio interpolador.
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Regras de Newton-Cotes de
quadraturas para intervalos
1D
Integral numérica pra quadriláteros/hexaedros
Usa-se um mapeamento para um quadrado
unitário e aplicam-se as regras de quadratura
em cada coordenada.
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Regras de Newton-Cotes de
quadraturas para triangulos
2D
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Regras de Newton-Cotes de
quadraturas para tetraedros
3D
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Técnicas de Interpolação
• Problema: as soluções são obtidas para os nós computacionais
(vértices e centros dos VCs).
• Faz-se necessário aplicar interpolações para se obter os valores
nos pontos de quadratura.
Integrais de volume
regra do ponto médio
Integrais de superfície
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Técnicas de Interpolação
Aproximação de fluxos convectivos:
Como definir os valores de
interface
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ESQUEMAS DE APROXIMAÇÃO
DIFERENCIAL SOBRE VOLUMES FINITOS
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“Upwind difference approximation” (UDS)
“Upstream" ou "upwind“ é uma escolha clássica para as
equações de transporte, que pode ser entendida, do ponto de
vista mecânico, como a escolha da "informação prévia" com
relação à localização da borda s, comum entre dois volumes
de controle.
s
ui
ui+1
Sentido do cálculo
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“Upwind difference approximation” (UDS)
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Aproximação da diferença central
(“Central Difference Scheme” - CDS)
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“Linear upwind difference scheme” (LUDS)
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“Quadratic upwind difference scheme”
(QUICK)
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Cálculo de integrais de superfície
Aproximação dos fluxos convectivos:
• qualquer esquema de volumes finitos de segunda ordem de é uma
combinação linear de CDS e Aproximações LUDS
(por exemplo,
.
• sistemas de ordem alta podem ser facilmente obtidos por ajuste polinomial
com base em pm(x), m> 2, mas vale a pena somente se a regra de quadratura
corresponde à sua precisão.
• esquemas de alta ordem são preferíveis para produzir melhores resultados
do que uma baixa ordem apenas assintoticamente ou seja, para malhas
suficientemente refinadas.
Aproximação de fluxos difusivos:
inclinações
de retas
Diferença central de segunda ordem de exatidão
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Discretização de problemas de transporte
As equações de transporte dominadas por convecção (onde Pe >>1 ou Re >> 1) são,
essencialmente hiperbólicas, o que pode dar origem a dificuldades numéricas.
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Exemplo: a equação de convecção-difusão 1D
desvio
"smearing"
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oscilação
"wiggles"
Equação de convecção-difusão discretizada
Esquema de diferenças upwind
Esquema de diferenças centrais
Condições de contorno
Sistema linear
onde A é uma matriz, tridiagonal não simétrica com coeficientes constantes
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Solução exata do esquema de diferenças
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Comportamento numérico do esquema de
diferenças
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Avaliação do esquema de diferença central
Critério: o esquema de diferença não produz oscilações se c ≤ 0
Sob esta condição, a matriz A é diagonalmente dominante.
Além disso, A é um M-matriz, isto é, todas as entradas da sua inversa são nãonegativos.
Esquema de diferença central
• esta condição é muito restritiva para Pe grande.
• wiggles ocorrem apenas nas vizinhança de gradientes.
• refinamento da malha local é útil em caso de Pe moderado.
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Avaliação do esquema de diferença upwind
Esquema de diferença upwind: c = -1 é negativo incondicionalmente
série de Taylor:
O erro de truncamento é O (Dx) para a equação original, mas O (Dx) 2 para a
chamada equação modificada
onde
é o coeficiente de difusão numérica (artificial)
O UDS não oscila, mas não é recomendado
devido à sua baixa precisão.
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Método dos volumes finitos (MVF)
Origens: mecânica estrutural, cálculo das variações para condições de contorno elípticas.
Problemas de Condições de
Contorno
Problemas de
Minimização
⊕ o funcional contém derivadas de ordem inferior
⊕ soluções a partir de uma ampla classe de funções são admissíveis
⊕ condições de contorno para domínios complexos podem ser facilmente manipulados
⊖ às vezes não há funcional associado às condições de contorno originais
Técnicas modernas: formulação via resíduos ponderados (forma fraca da EDP)
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Teoria 1: minimização de problemas 1D
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Condição necessária em um dos extremos
arbitrária
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Lemma de Du Bois Reymond
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Exemplo: eq. Poisson 1D
Restrições impostas à solução w = u do problema de minimização
Euler-Lagrange
condição de contorno essencial
condição de fronteira natural
Equação de Poisson: a solução
minimiza o functional
em (0, 1)
cond. contorno Dirichlet
cond. contorno Neumann
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Exemplo: eq. Poisson 2D
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Exemplo: eq. Poisson 2D
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O Método de Rayleigh-Ritz
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Exemplo: eq. Poisson 1D
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Exemplo: má escolha das funções de base
Considere a base polinomial
•A é conhecida como a matriz de Hilbert que é definida-positiva. Mas, é completa e não é
bem organizada, de modo a que a solução é computacionalmente cara e corrompida por erros
de arredondamento.
• Para A ser esparsa, as funções de base devem ter um suporte compacto.
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Fundamento do Método dos Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos é uma abordagem
sistemática para a geração de trechos de funções
polinomiais de base com propriedades favoráveis.
O domínio computacional W é subdividido em um
número de subdomínios K, chamados de
elementos:
A triangulação Th é admissível se a intersecção de quaisquer dois elementos for um
conjunto vazio ou um vértice/aresta/face da grade comum.
O subespaço de elementos finitos Vh é composto por trechos de funções polinomiais,
tipicamente da forma
Qualquer função v  Vh é unicamente determinada por um número finito de graus
de liberdade (valores ou derivadas em certos pontos chamados de nós).
Cada função de base ji representa exatamente um grau de liberdade e tem uma
estrutura compacta: as matrizes resultantes são esparsas.
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Aproximação via elementos finitos
Um elemento finito é representado por uma tripla (K, P, S), onde
K é um subconjunto fechado de W
P é o espaço polinomial para as funções de forma
S é o conjunto de graus de liberdade locais
Funções de base possuem a propriedade
Solução aproximada: os valores nodais u1,. . . , uN pode ser calculada pelo método de Ritz
desde que exista um problema de minimização equivalente.
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Exemplo: eq. Poisson 1D
Encontrar os valores nodais u1,. . . , uN que minimizam o funcional
Funções base locais para
Solução aproximada para x  ei
contínua e linear por partes
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Exemplo: eq. Poisson 1D
O método de Ritz produz um sistema linear da forma Au = F, onde
Estas integrais podem ser avaliada exatamente ou numericamente (usando uma
regra de quadratura)
Stiffness matrix e load vector para uma grade uniforme
Este é o mesmo sistema linear como o obtido para o método de diferença finita!
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Existência de um problema de minimização
As condições suficientes para que uma EDP eliptica
seja ma equação de Euler-Lagrange de um problema variacional são:
• O operador L deve ser linear.
• O operador L deve ser auto-adjunto (simétrico)
para todos os u,v admissíveis.
• O operador L deve ser definido positivo
Neste caso, a única solução u minimiza o funcional
ao longo do conjunto de funções admissíveis.
Condições de contorno não-homogêneas modificam este conjunto, podendo dar
origem a outros termos do funcional a ser minimizado.
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Exemplo: eq. Poisson 1D
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Método dos Mínimos Quadrados
corresponde a uma derivada do EDP inicial.
• requer condições de contorno adicionais e suavidade adicional.
• faz sentido reescrever uma EDP de alta ordem como um sistema de primeira ordem
Vantagem: as matrizes de uma discretização pelo método dos mínimos quadrados são
simétricos
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Formulação via resíduos ponderados
Ideia: tornar o resíduo ortogonal a um espaço de funções de teste.
Seja
a solução de
O resíduo é zero se a sua projeção sobre cada função de teste for igual a zero.
Funções de teste
Formulação fraca: encontrar u  V0 tal que
onde
Integração por partes:
é uma forma bilinear e
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Discretização de elementos finitos
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Exemplo: eq. Poisson 1D
Problema de valor de contorno
Formulação fraca
Integração por partes
Solução aproximada
Problema contínuo
Problema discreto
(método de Galerkin)
Este é um sistema (esparso) linear da forma Au = F, onde
Os métodos de Galerkin e Ritz são equivalentes se existe o problema de minimização
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Exemplo: eq. Poisson 2D
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Exemplo: eq. Poisson 2D
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