VETOR VELOCIDADE E VETOR ACELERAÇÃO

CINEMÁTICA BODIMENSIONAL
VETOR VELOCIDADE E VETOR ACELERAÇÃO............................................................................................. 1
LANÇAMENTO HORIZONTAL ........................................................................................................................... 3
LANÇAMENTO OBLÍQUO .................................................................................................................................. 4
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME ( M. C. U. ) ........................................................................................... 5
CINEMÁTICA BODIMENSIONAL
VETOR VELOCIDADE E VETOR ACELERAÇÃO
Ao estudar-se a cinemática dos movimentos retilíneos, trabalha-se com a velocidade e a aceleração apenas de forma
numérica, isto é, levando em consideração apenas o seu módulo. Mas já foi dito que se tratam de grandezas vetoriais e
como tais, a velocidade e a aceleração possuem também direção e sentido, o que será mostrado nesta seção.
VETOR VELOCIDADE
O vetor velocidade possui um módulo que pode ser determinado de diferentes formas, dependendo do movimento em
questão. A sua direção e o seu sentido, porém são sempre determinados da mesma forma.
Imagine uma pedra presa a um barbante colocada em rotação. Se o barbante se arrebenta em um certo ponto P, ver-se-á que
a pedra segue a trajetória retilínea mostrada abaixo:
v
P
Percebe-se que a direção do vetor velocidade é tangente à circunferência no ponto P e o sentido deste vetor é o mesmo do
movimento.
Conforme foi dito anteriormente, a direção e o sentido do vetor velocidade são sempre determinados da mesma forma.
Assim, pode-se generalizar: a direção do vetor velocidade é sempre tangente à curva no ponto em que o corpo se encontra e
o sentido é sempre o mesmo do movimento.
Desta forma, se um patinador descreve a seguinte trajetória, o seu vetor velocidade nos pontos A, B e C, será:
C
A
B
VETOR ACELERAÇÃO
O vetor aceleração é o vetor responsável pela variação do vetor velocidade. Sabe-se no entanto, que o vetor velocidade, bem
como toda grandeza vetorial, possui módulo, direção e sentido. Para variar tais características, o vetor aceleração é
decomposto em dois outros vetores perpendiculares entre si, cada um executando uma função específica:
 vetor aceleração tangencial ( at ): responsável pela variação do módulo do vetor velocidade
 vetor aceleração centrípeta ( ac ): responsável pela variação da direção e sentido do vetor velocidade
Por possuir duas componentes perpendiculares o vetor aceleração pode ser obtido pela soma vetorial das suas componentes.
Ou seja

ac


a  at  ac
a
at
a  at2  ac2
Para calcular-se o módulo do vetor aceleração, quando conhece-se o módulo das suas componentes perpendiculares, podese aplicar o teorema de Pitágoras:
VETOR ACELERAÇÃO TANGENCIAL
Vetor responsável pela variação do módulo ou intensidade do vetor velocidade. A sua direção, como o nome indica, é
tangente à trajetória, como o vetor velocidade.
O sentido do vetor aceleração tangencial pode ser:
 o mesmo do vetor velocidade, se o movimento for acelerado
v
at

contrário ao do vetor velocidade, se o movimento for retardado
v
at
Como o vetor aceleração tangencial varia o módulo do vetor velocidade, ele será nulo quando o movimento for uniforme,
uma vez que neste movimento o módulo do vetor velocidade é constante.
VETOR ACELERAÇÃO CENTRÍPETA
Vetor responsável pela variação da direção do vetor velocidade. A sua direção é perpendicular à direção do vetor velocidade
e o sentido, como o nome indica, é em direção ao centro da curva da trajetória.
v
ac
Como o vetor aceleração centrípeta varia a direção do vetor velocidade, ele será nulo quando o movimento for retilíneo,
uma vez que neste movimento a direção do vetor velocidade é constante.
LANÇAMENTO HORIZONTAL
Quando um corpo é lançado horizontalmente, ele descreve em relação ao solo uma trajetória parabólica. É o caso de
lançamento de um objeto de a partir de uma mesa horizontal e até mesmo o lançamento de uma bomba por um avião em
movimento horizontal.
O movimento é complexo, mas pode ser decomposto em dois outros movimentos mais simples e que já foram estudados
anteriormente: o movimento retilíneo uniforme (na direção horizontal), e a queda livre (na vertical)
Pode-se imaginar dois movimentos simultâneos: um no eixo x (horizontal) e outro no eixo y (vertical). Ao se tratar os
movimento independentemente, podemos aplicar as equações de cada um dos movimentos, com apenas uma variável em
comum: o tempo. O tempo decorrido para que o corpo alcance o solo na vertical é o mesmo com que ele descreve o
movimento na horizontal, isto é o movimento horizontal não influi no tempo de queda do corpo. Tanto é verdade, que dois
corpos, um corpo lançado horizontalmente e outro abandonado em queda livre, da mesma altura e ao mesmo tempo atingem
o solo no mesmo instante.
No movimento horizontal podemos usar a equação do M.R.U:
d  v t
No movimento vertical podemos usar as equações da Queda livre:
vy  g  t
1
h  g  t2
2
vy  2  g  h
2
LANÇAMENTO OBLÍQUO
O Lançamento oblíquo de projéteis acontece, quando a partir do solo, um corpo é lançado com uma velocidade inicial (vo),
inclinada de um determinado ângulo () com a horizontal.
É o caso de um lançamento de uma bala de canhão, de um jogador de futebol cobrando um “tiro de meta” ou um jogador de
basquete lançando uma bola diretamente ao cesto.
Assim como o lançamento horizontal, este movimento também pode ser decomposto em dois outros movimentos mais
simples e que já foram estudados: o movimento retilíneo uniforme (na direção horizontal), e o lançamento vertical. Um
detalhe no entanto deve ser observado antes de ser usar as fórmulas destes movimentos. Como a velocidade inicial é
inclinada em relação à horizontal, só se pode utilizar nas fórmulas do movimento horizontal a componente horizontal da
velocidade e na vertical o raciocínio é o mesmo. Então para utilizar-se as velocidades iniciais na horizontal (vox) e na
vertical (voy), deve-se efetuar o seu calculo, com base nos conhecimentos de vetores:
vox  vo . cos
voy  vo . sen 
Com este cálculo efetuado, pode-se utilizar a equações dos movimentos mencionados:
No eixo x, movimento horizontal: movimento retilíneo uniforme:
d  vox  t
No eixo y, movimento vertical: lançamento vertical:
v y  v0y  g  t h  v  t  1 g  t 2
0y
2
v y  v0y  2  g  h
2
2
OBSERVAÇÕES
 tempo t que aparece nas equações acima se refere somente a um dois dos movimentos do lançamento horizontal: a
subida ou a descida.
 Para se determinar a distância alcançada pelo objeto (ou alcance), deve-se utilizar a equação do M.R.U., com um tempo
igual a 2t.
 No ponto de altura máxima, apenas a componente vertical da velocidade é nula, não o sendo a velocidade do corpo.
 Para ângulos complementares, o alcance é o mesmo.
 O alcance máximo é atingido quando o ângulo de lançamento é 45º.
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME ( M. C. U. )
Diz-se que um movimento é circular quando a sua trajetória é uma circunferência ou um arco de circunferência.
Exemplos: Vitrola, ponteiros de um relógio, hélice de um motor.
movimento é chamado de uniforme, por causa da sua velocidade que é sempre constante.
v
ac
r

ac
v
ac
v
ac
v
O movimento Circular Uniforme é periódico, isto é, repete-se em intervalos de tempos iguais. Este intervalo de tempo, é
denominado período ( T ), e no caso do M. C. U. é o tempo gasto para o corpo em movimento completar uma volta, ou seja,
retornar ao ponto de origem. A unidade de período no S. I. é o segundo (s).
Todo movimento periódico acontece um determinado número de vezes num intervalo de tempo. Este número é denominado
de freqüência. Portanto, no M. C. U., freqüência ( f ): é o número de voltas completadas na unidade de tempo. A unidade de
freqüência no S. I. é o Hertz (Hz) ou rotação por segundo (r. p. s.), mas também é utilizado na prática a rotação por minuto
(r. p. m.).
A relação entre freqüência e período é facilmente demonstrada como:
f 
1
T
Uma vez que se trata de um movimento circular, são percorridos ângulos ao longo tempo. A relação ente o ângulo
percorrido e o tempo recebe o nome de Velocidade angular ( ).


t
Neste movimento, a velocidade angular é constante, uma vez que se trata de um movimento uniforme, isto é, são
percorridos ângulos iguais em tempos iguais. A unidade de velocidade angular no S. I. é o radiano/segundo (rad/s); mas
também pode ser utilizado o grau/segundo (º/s).
Uma relação importante entre velocidade angular pode ser facilmente deduzida:
Além de serem percorrido um ângulo, no decorrer do tempo, também é percorrida uma determinada distância. A relação
entre distância percorrida e tempo já foi estudada nos movimento retilíneos. Aqui, ela vai receber o nome de Velocidade
Linear ou Tangencial ( v ), para ser distinguida da velocidade angular
A sua relação com a velocidade angular é:
v  .r
Onde r é o raio da circunferência.
Como durante o movimento circular, há uma variação na direção do vetor velocidade, existe um vetor aceleração,
caracterizado aqui somente pela Aceleração centrípeta ( ac), uma vez que o movimento é uniforme.
v2
ac 
r
TRANSMISSÃO DO M. C. U.
O Movimento circular uniforme pode ser transmitido de um corpo a outro através de roldanas, polias e eixos. Para esses
casos, temos duas situações: transmissão pelo centro e transmissão pela periferia.
A transmissão pelo centro ocorre quando dois ou mais corpos circulares possuem uma união pelo seu eixo. Neste caso, a
velocidade angular, a freqüência e o período são iguais para todos os movimentos
1   2
f1  f1
T1  T2
R1
R2
1
2
A transmissão pela periferia ocorre quando dois ou mais corpos circulares possuem uma união pela sua parte externa través
de polias ou roldanas ou através de contato direto, como é o caso das engrenagens. Neste caso, a velocidade linear é igual
para todos os movimentos.
v2
1.R1   2 .R2
R1
v1
v1  v2
f1.R1  f 2 .R2
R2
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