Modelo de Drude - Instituto de Física / UFRJ

Teoria de Drude para o
comportamento Metálico
Paul Karl Ludwig Drude,
1863 – 1906
Drude, Annalen der Physik
1, 566 e 3, 369 (1900)
Sólidos ⇒ Rede cristalina
O que era conhecido na época
Traité de
cristallographie,
1822
1897 ⇒ JJ Thompson descobre o elétron
1900 ⇒ Planck: sugere que a radiação é
quantizada
Estrutura da matéria
Depois de Drude …
1905 ⇒ Einstein: quantum de luz se comporta
como partícula
1913 ⇒ Bohr: Modelo de átomo estável
1919 ⇒ Rutherford: primeira evidência de um
próton
Estrutura da matéria
1924 ⇒ L. De Broglie: propriedades ondulatórias da
matéria
1925 ⇒ Pauli: princípio de exclusão para elétrons em
um átomo
1926 ⇒ Schrodinger: desenvolve a equação de onda
para sistemas quânticos
⇒ Born interpreta probabilisticamente a função
de onda
1927 ⇒ Heisenberg formula o princípio da incerteza
Modelo de Drude
Drude aplicou teoria cinética dos gases para
um metal: gás de elétrons
elétrons de condução (com massa m)
que se movem num background de
íons imóveis (carga positiva)
ÁTOMO ISOLADO
eZ a : núcleo
Za ⇒ número atômico
− e(Z a − Z ) → elétrons do caroço
caroço
+
− eZ : elétrons de valência
Metal: Na
Za =11
Z =1
1s2 2s2 2p6 3s1
Metal
Densidade de elétrons (n)
Na
Massa atômica A=23g
Número de Avogadro Nav=6,02 X 1023
Densidade ρ=1,01g/cm3
Densidade de elétrons:
N av × Z × ρ
n=
A
n=2,65 X1022 elétrons/cm3
10 22 a 10 23 elétrons de condução / cm3
Densidade de elétrons (n)
n(Na) =2,65 X1022 elétrons/cm3
Valores típicos (300K, 1 atm)
10 22 a 10 23 elétrons de condução / cm3
Gases clássicos
6,02 ×10 23 moléculas
n=
= 2,7 ×1019 moléculas / cm3
22,4 l
n ~ (103 a 10 4 ) ngás clássico
Número de
portadores
Número de portadores
Gases clássicos
6,02 ×10 23 moléculas
n=
22,4 l
= 2,7 ×1019 moléculas / cm3
Kittel
rs ⇒ raio da esfera cujo
volume é igual ao volume por
elétron de condução.
V 4
1
3
= π rs =
N 3
n
 3 
rs = 

 4πn 
1
3
raio de Bohr
•
h2
a0 =
= 0.529 A
2
me
Nos metais
rs
a0
2a6
 •

−8
1 A = 10 cm 


Hipóteses do Modelo de Drude
(1) Entre duas colisões:
• aproximação de elétrons independentes
(despreza a interação coulombiana entre os elétrons)
• Aproximação de elétrons livres
(despreza a interação elétron-caroço)
• Na presença de campos externos (E, B),
movimento de acordo com as leis de Newton
(2) Colisões:
“algum” mecanismo de colisão
• apenas com o caroço
diferente da Teoria Cinética dos Gases
• colisões instântaneas
r
modificam v aleatoriamente
Cuidado
com a
figura!
(3) Taxa de colisão:
• probabilidade de colisão por unidade de tempo
1
τ
τ
tempo de relaxação, tempo de colisão, tempo médio
livre (mean free time) ⇒ tempo médio entre colisões
sucessivas de um elétron
l
r
v τ =l
livre caminho médio
τ ~ 10
−14
− 10
−15
s
T ambiente
(4) Após cada colisão:
• Vfinal independe de vinicial
• equilíbrio térmico através das colisões
1 2 3

 mv = k BT 
2
2

Equipartição clássica da energia
Resultados do Modelo de Drude
(a) Condutividade elétrica DC
(b) Efeito Hall e magnetorresistência
(c) Condutividade elétrica AC
(d) Condutividade térmica
(a) Condutividade elétrica DC
r
r
E=ρ j
r
r
j =σ E
Lei de Ohm
r
E : campo elétrico
r
j : densidade de corrente
σ=
1
ρ : resistividade
ρ
σ : condutivid ade
V=RI
Na ausência de campo elétrico:
r
v =0
r
E=0
Na presença de campo elétrico:
r
E≠0
r
r
eE
a=−
m
r
r r eE
v = v0 −
t
m
r
r
eE
v =− τ
m
substituindo
temos
r
r
E=ρ j
em
V = EL
I
V =ρ L
A
l
I
j=
A
A
I
lei de Ohm
V = RI
L
R=ρ
A
r
Considere n elétrons por unidade de volume com velocidade v
r
j
será paralelo à
tempo dt
A
r
v
⇒ elétrons percorrem dL = vdt na direção de
dL
r
v
r
v
n° de elétrons que atravessam a área A em um intervalo
de tempo dt
= nAdL = nAvdt
r
r
j = −nev
r
r
j = − nev
r
r
eE
v =− τ
m
r
r
1
j =σ E , σ =
, σ = ne
ρ
2
r ne 2τ r
j=
E
m
τ
m
resistividade ~ linear à
temperatura ambiente
condutividade elétrica
resistividade elétrica
______________________________________________________ ρ ~ T
ρ (µΩcm )
(ρ / T )373K
(ρ / T )273K
T >> θ D
ρ ~ T 5 T << θ D
77K
273K
373K
(Bloch T 5 law)
______________________________________________________
Li
1.04
8.55
12.4
1.06
Cu
0.2
1.56
2.24
1.05
Mg
0.62
3.9
5.6
1.05
Fe
0.66
8.9
14.7
1.21
Al
0.3
2.45
3.55
1.06
______________________________________________________
m
τ=
ρne 2
l : livre caminho médio
l = vτ
(“mean free path”)
distância média que um elétron caminha entre colisões
1 2 3
mv = k BT
2
2
l=vτ
τ ~ 10 −14 a 10 −15 s
Tamb
v ~ 107 cm / s
temperatura ambiente
o
l ≈ 1 a 10 A
compatível com a idéia de Drude : elétrons X íons
MAS ...
( veremos nas próximas aulas)
8
v ~ 10 cm / s
+
τ
T ~ 800 K
l
2 EF
v ~
m
2
independente da temperatura
é uma ordem de grandeza maior que à Tamb
3
•
pode ser da ordem de 10 A ou mais
com amostras à temperaturas bastante baixas e cuidadosamente preparadas
l ~ cm
( 108 espaçamento entre íons)
forte evidência que a idéia de Drude de elétrons
colidindo em íons está errada!
Equação de movimento dos “elétrons de Drude”
Entre colisões
r
dpi r
= f i (t )
dt
r
r
r
pi (t + dt ) − pi (t ) ≈ f i (t )dt
Para cada um dos N elétrons
Em um intervalo
de tempo dt
Nc =
Ndt
Vão colidir
τ
N n = N − N c = N (1 −
dt
τ
) Não vão colidir
[
]
r
r
 dt  r
p(t + dt ) = 1 −  p (t ) + f (t )dt + O(dt 2 ) +
 τ 
Não colidiram
[
τ
dt r
f (t )dt + O(dt 2 )
colidiram
Desprezando os termos O(dt2)
r r
r
dp
p (t )
= f (t ) −
dt
τ
O efeito das colisões é introduzir um amortecimento
proporcional ao momento
]
Dever de casa:
Ashcroft – capítulo 1
Problemas 1 e 2
(b) Efeito Hall e magnetorresistência
E. F. Hall, Am. J. Math. 2, 287 (1879)
r r
r
v
F = −e × H
c
Campos aplicados
r
H = H z kˆ
r
E = E x iˆ
Campo induzido ou
campo Hall
Ey < 0
e<0
sinal dos
portadores
Em equilíbrio o campo transverso (ou campo de Hall) Ey
contrabalançará a força de Lorentz e o fluxo de corrente
será na direção x.
Ex
ρ (H ) =
jx
RH =
magnetorresistência
Ey
jx H
coeficiente de Hall
Cálculo do coeficiente de Hall e magnetorresistência:
r
r r
dp
p
= − +f
dt
τ
r r
r
r
v


f = −e E + × H 
c


Regime estacionário
r
r
r r
r
dp
v

 p
= −e E + × H  − = 0
dt
c

 τ
r
r r
dp
v

= −e × H 
dt
c

Movimento circular uniforme
vH
ωr
eH
mω r = e
=e
H ⇒ω =
= ωc
c
c
mc
2
Frequência de cíclotron
No caso estacionário, as correntes são independentes do tempo:
0 = −eE x − ωc p y −
0 = −eE y + ωc p x −
x por
neτ
−
m
px
τ
Frequência de cíclotron
com
eH
ωc =
mc
py
τ
e usando
r
r
j = −nev
σ 0 E x = ωcτ j y + j x
σ 0 E y = −ωcτ j x + j y
com
e
mjα
pα = −
ne
ne 2τ
σ0 =
m
Rearrumando
E x = ρ 0 j x + ρ 0ωcτ j y
E y = − ρ 0ωcτ j x + ρ 0 j y
com
ne 2τ
σ0 =
m
ωc =
r tr
E=ρ j
r  ρ0
E = 
 − ρ 0ωcτ
ρ0 =
eH
mc
ρ 0ωcτ  r
 j
ρ0 
1
σ0
O campo de Hall é obtido considerando que não
existe corrente transversa
jy = 0
ωcτ
H
Ey = −
jx = −
jx
σ
nec
jx = σ 0 E x
0
RH =
Ey
jx H
Ex
ρ (H ) =
jx
1
RH = −
nec
ρ (H ) =
1
σ0
Coeficiente Hall
Só depende da
densidade de
portadores
magnetorresistência
independente de
r
H
T baixa, amostra preparada
c/ cuidado
H = 10 4 G
RH pode ser
positivo!
RH
τ
dependem da temperatura e das condições da amostra
baixas temperaturas, amostras puras, H alto
RH se aproxima de um valor limite
(para muitos metais: limite Drude)
resultado de Drude para magnetorresistência
ρ (H )
ρ=
não depende de H
1
σ0
com
ne 2τ
σ0 =
m
experimento mostra que
ρ = ρ (H )
teoria quântica
é necessária
r
r
j não é paralelo a E
σ 0 Ex = jx
σ 0 E y = −ωcτ j x
tgφ =
Ey
Ex
= ωcτ
φ
é o ângulo Hall
Para
ωcτ << 1 , tgφ ~ φ ~ ωcτ << 1
r
E e
r
j
ωcτ << 1
são quase paralelos quando
equivale a
τ << T
ωcτ << 1
(período de revolução)
elétrons completam uma pequena parte da revolução antes de
serem espalhados
EFEITO HALL QUÂNTICO
K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980)
H. L. Störmer and D. C. Tsui, Science 220, 1241 (1983)
B. I. Halperin, Scient. Am. 254, 52 (1986)
T ~ 1.5 K; H ~ 15 T; Si - MOSFET
1985 Nobel de Física K. von Klitzing
1
α=
137.035963(15)
h
= 6453.204 ± 0.005 Ω
2
4e
Ey
jx
Ex
jx
B. I. Halperin, Scient. Am. 254, 52 (1986)
RH =
Ey
jx H
ρ (H ) =
Ex
jx
h
= 6453.204 ± 0.005 Ω
2
4e
1
α=
137.035963(15)
Continuamos na próxima aula
(c) Condutividade elétrica AC
corrente induzida em um metal por um
campo elétrico dependente do tempo
(
r
r
− iω t
E (t ) = Re E (ω ) e
r
r
dp − p r
=
− eE
dt
τ
solução estacionária da
forma
r
r
− iωt
p(t ) = p(ω ) e
r
r
p
j = −ne
;
m
r
r
j (t ) = j (ω ) e −iωt
)
substituindo
temos
r
r
p(t ) = p(ω ) e − iωt
r
− iω p(ω ) =
r
− p(ω )
τ
r
− eE (ω )
 ne 2  r

 E (ω )
r
r
 p(ω )   m 
j (ω ) = − ne
=
1
 m 
− iω
τ
Lembrando que
r
r
j (ω ) = σ (ω ) E (ω )
Temos
σ0
σ (ω ) =
1 − iωτ
com
ne 2τ
σ0 =
m
σ0
σ (ω ) =
1 − iωτ
como
Temos então
Casos limite
(a)
(b)
ω →0
ω →∞
σ = σ R + iσ I
σ0
σR =
(1 + ω 2τ 2 )
σ 0ωτ
σI =
(1 + ω 2τ 2 )
r
r
j (ω ) = σ (ω ) E (ω )
r
r
r
j = σ R E0 cos(ω t ) + iσ I E0sen (ω t )
σR →σ0
σI → 0
σ I >> σ R
r
r
r
j = σ 0 E0 cos(ωt ) = σ 0 E
Limite DC
Resposta defasada
aplicação : propagação de radiação EM em um metal
O que deixamos de
fora para chegar em
(a)
r
H
σ0
σ (ω ) =
1 − iωτ
termo adicional na força :
fator v/c menor que termo em
j ~ 1A / mm 2
(b)
r r
E (r , ω )
o
~
r
H
r ~ 10 −10
E
OK!
campos também variam no espaço
o
λ ~ 10 , 10 A
3
v < 0.1cm / s
r r
− ep
×H
mc
r
E
4
2
o
l ~ 10 A, 10 A
luz visível
T ambiente
λcampo >> l
OK!
r r
r r
j (r , ω ) = σ (ω ) E (r , ω )
λ >> l
r
r
r r
r r
r r
r
r
r
1 ∂H
4π
1 ∂E
∇.E = 0 ; ∇.H = 0 ; ∇ × E = −
; ∇× H =
j+
c ∂t
c
c ∂t
ρ =0, por enquanto
dependencia temporal
e − iω t
r iω r 
r r r r r r
r
r
r
r
i
ω
4
π

i
ω
∇ × ∇ × E = ∇ ∇.E − ∇ 2 E = −∇ 2 E = ∇ × H = =  σE − E 
c  c
c 
c
(
) ( )
r ω 2  4πiσ  r
− ∇ E = 2 1 +
E
c 
ω 
2
2
r
r
ω
2
∇ E + 2 ε (ω )E = 0
c
com
ε (ω ) = 1+
4πiσ (ω )
ω
função dielétrica
σ0
σ (ω ) =
1 − iωτ
ne 2τ
, σ0 =
m
Limite de altas freqûencias
ωτ >> 1
ω
ε (ω ) = 1 − 2
ω
2
p
Limite de altas frequências
Válido para
ω ~ ωp
com
2
4
π
ne
ω p2 =
m
Frequência de plasma
2
r
r
ω
2
∇ E + 2 ε (ω )E = 0
c
ω p2
ε (ω ) = 1 − 2
ω
Duas possibilidades
(a)
ω < ωp
região de atenuação
Quando ε é real e negativo as soluções da equação de onda
sofrem decaimento exponencial no espaço, ie, a radiação não se
propaga.
(b)
ω > ωp
região de propagação
Quando ε é positivo, as soluções são oscilatórias, a radiação se
propaga e o metal se torna transparente.
 rs 
λp =
=
= 0.26 
ν p ωp
 a0 
c
2πc
3/ 2
×103
o
Α
Os metais alcalinos mostram o
comportamento previsto pela
teoria de Drude.
Em outros metais, outras contribuições para a constante dielétrica
competem com o termo de Drude.
aplicação: oscilações da densidade de carga no gás de elétrons
equação da
continuidade
r r ∂ρ
∇. j +
=0
∂t
r r
∇. j (ω ) = iωρ (ω )
Lei de Gauss
r r
∇.E = 4πρ
r r
∇.E (ω ) = 4πρ (ω )
r
r
Lembrando que j (ω ) = σ (ω )E (ω )
r r
temos ∇. j (ω ) = σ (ω )4πρ (ω )
iωρ (ω ) = 4πσ (ω )ρ (ω )
Solução :
1+
4π iσ (ω )
ω
ε (ω ) = 0
=0
Propagação de oscilações na densidade de carga (PLASMON)
ωτ >> 1
ω = ωp
(freq. plasmon)
PLASMON: quantum das flutuações longitudinais da
densidade eletrônica de carga dos elétrons de valência
ou condução num sólido.
Gás de elétrons em
background de carga
positiva
d=u
r
E = 4πσ = 4π n u e
d 2u
Nm 2 = − NeE = −4π nNe 2u
dt
Ashcroft e Mermin (1976)
Kittel (1976)
d 2u 4πne 2
+
u=0
2
dt
m
ε D (ω ) = 1 −
ω
2
p
d 2u
2
+
ω
Pu = 0
2
dt
ω P2 = 4πne 2 / m
freq. do
plasmon
ω2




2


ω
1
 −1
p



Im  ~ Im
~ δ 1 − 2  ~ δ (ω − ω p )
2
 ω 
 ωp

 ε 


 1 − 2 + iα 
 ω

 −1 
Im 
ε 
ωp
ω
EXCITAÇÃO DO
PLASMON
• elétrons passando através de um filme metálico
(ou semicondutor)
• reflexão de elétrons ou fótons por um filme
Observação experimental de plasmons
Dever de casa:
Ashcroft – capítulo 1
Problemas 5:
Surface plasmons
(d) Condutividade térmica
Lei de Wiedemann-Franz (1853) ; empírica
k
= c te =
σT
n° de Lorenz
→ condutividade térmica
σ → condutividade elétrica
k
Modelo de Drude:
Corrente térmica carregada pelos elétrons de condução
T1
r
∇T
T2
T1 > T2
r
jq
r densidade térmica de corrente (vetor paralelo ao fluxo de
jq : calor, igual à energia térmica por unidade de área por
unidade de tempo)
Lei de Fourier
r
r
jq = −k∇T
Modelo unidimensional
x
r
∇T
T1
T2
elétrons chegando em x pelo lado
com temperatura T1 tiveram última colisão
em
x − vτT
2
energia térmica
ε [T (x − vτ )]
n/2 elétrons por unidade de
volume vindos de cada lado
Densidade
térmica de
corrente
T varia pouco
em l = vτ
Velocidade v
nv
jq = {ε [T ( x − vτ )] − ε [T ( x + vτ )]}
2
nv dε dT
{− vτ − vτ }
jq =
2 dT dx
dε dT
jq = −nv τ
dT dx
2
v
Em 3D
2
x
= v
2
y
= v
2
z
1 2
= v
3
dε N dε 1 dE
n
=
=
= cV
dT V dT V dT
2 dε dT
jq = −nv τ
dT dx
Lei de Fourier
→
1 2
 → 
jq = v τ cV  − ∇T 
3


r
r
jq = −k∇T
1 2
k = v τ cV
3
1 2
k = v τcV
3
No modelo de Drude :
1 2
1
v τ cV
cV mv 2
k 3
3
=
=
ne 2τ
ne 2
σ
m
cV =
teoria cinética clássica
3
nk B
2
mv 2 3
= k BT
2
2
2
3  kB 
=   T
σ 2 e 
k
Lei de Wiedemann-Franz
14243
1.11×10 −8 ω Ω / K 2
metade do valor experimental típico para metais
3n
2 EF
Tambiente : (cV )real
v
2
real
~ 100
1
(cV )Drude
~
100
v
2
Drude
cV =
π2
3
k B2T g (EF )
(elétrons)
cV = γT + β T 3
elétrons
fonons
CAMPO TERMOELÉTRICO (EFEITO SEEBECK)
T1
r
∇T
r
E
r
jq
T1 > T2
T2
Não é só a energia térmica que é
diferente em regioões com diferentes
T: a velocidade também deve ser
diferente
mv 2 3
= k BT
2
2
dv
1
d  v2 
 
= −τ
vQ = {v( x − vτ ) − v(x + vτ )} = −τv
dx  2 
2
dx
→
Acumulo de carga
E
d v

vQ = −τ
dx  2
2
v
2
x



1 2
= v
3
Em 3D
r
r
E
v E = −e τ
m
r
τ dv 2 r
vQ = −
∇T
6 dT
Em equilíbrio
r
r
E = Q∇T
r r
vE + vQ = 0
2
1
d
mv
cv
 
Q = − 
=−
3ne
 3e  dT 2
3
cV = nk B
2
Q <0 ⇒ thermopower
kB
Q=−
= −0.43 ×10 −4 volt/K
2e
expt ~ 100 vezes menor!

 cV real

~
1
100

cV Drude 

Dever de casa:
Ashcroft – capítulo 1
LER TODO!!
Problemas 1, 2 e 5