Teoria de Drude para o comportamento Metálico Paul Karl Ludwig Drude, 1863 – 1906 Drude, Annalen der Physik 1, 566 e 3, 369 (1900) Sólidos ⇒ Rede cristalina O que era conhecido na época Traité de cristallographie, 1822 1897 ⇒ JJ Thompson descobre o elétron 1900 ⇒ Planck: sugere que a radiação é quantizada Estrutura da matéria Depois de Drude … 1905 ⇒ Einstein: quantum de luz se comporta como partícula 1913 ⇒ Bohr: Modelo de átomo estável 1919 ⇒ Rutherford: primeira evidência de um próton Estrutura da matéria 1924 ⇒ L. De Broglie: propriedades ondulatórias da matéria 1925 ⇒ Pauli: princípio de exclusão para elétrons em um átomo 1926 ⇒ Schrodinger: desenvolve a equação de onda para sistemas quânticos ⇒ Born interpreta probabilisticamente a função de onda 1927 ⇒ Heisenberg formula o princípio da incerteza Modelo de Drude Drude aplicou teoria cinética dos gases para um metal: gás de elétrons elétrons de condução (com massa m) que se movem num background de íons imóveis (carga positiva) ÁTOMO ISOLADO eZ a : núcleo Za ⇒ número atômico − e(Z a − Z ) → elétrons do caroço caroço + − eZ : elétrons de valência Metal: Na Za =11 Z =1 1s2 2s2 2p6 3s1 Metal Densidade de elétrons (n) Na Massa atômica A=23g Número de Avogadro Nav=6,02 X 1023 Densidade ρ=1,01g/cm3 Densidade de elétrons: N av × Z × ρ n= A n=2,65 X1022 elétrons/cm3 10 22 a 10 23 elétrons de condução / cm3 Densidade de elétrons (n) n(Na) =2,65 X1022 elétrons/cm3 Valores típicos (300K, 1 atm) 10 22 a 10 23 elétrons de condução / cm3 Gases clássicos 6,02 ×10 23 moléculas n= = 2,7 ×1019 moléculas / cm3 22,4 l n ~ (103 a 10 4 ) ngás clássico Número de portadores Número de portadores Gases clássicos 6,02 ×10 23 moléculas n= 22,4 l = 2,7 ×1019 moléculas / cm3 Kittel rs ⇒ raio da esfera cujo volume é igual ao volume por elétron de condução. V 4 1 3 = π rs = N 3 n 3 rs = 4πn 1 3 raio de Bohr • h2 a0 = = 0.529 A 2 me Nos metais rs a0 2a6 • −8 1 A = 10 cm Hipóteses do Modelo de Drude (1) Entre duas colisões: • aproximação de elétrons independentes (despreza a interação coulombiana entre os elétrons) • Aproximação de elétrons livres (despreza a interação elétron-caroço) • Na presença de campos externos (E, B), movimento de acordo com as leis de Newton (2) Colisões: “algum” mecanismo de colisão • apenas com o caroço diferente da Teoria Cinética dos Gases • colisões instântaneas r modificam v aleatoriamente Cuidado com a figura! (3) Taxa de colisão: • probabilidade de colisão por unidade de tempo 1 τ τ tempo de relaxação, tempo de colisão, tempo médio livre (mean free time) ⇒ tempo médio entre colisões sucessivas de um elétron l r v τ =l livre caminho médio τ ~ 10 −14 − 10 −15 s T ambiente (4) Após cada colisão: • Vfinal independe de vinicial • equilíbrio térmico através das colisões 1 2 3 mv = k BT 2 2 Equipartição clássica da energia Resultados do Modelo de Drude (a) Condutividade elétrica DC (b) Efeito Hall e magnetorresistência (c) Condutividade elétrica AC (d) Condutividade térmica (a) Condutividade elétrica DC r r E=ρ j r r j =σ E Lei de Ohm r E : campo elétrico r j : densidade de corrente σ= 1 ρ : resistividade ρ σ : condutivid ade V=RI Na ausência de campo elétrico: r v =0 r E=0 Na presença de campo elétrico: r E≠0 r r eE a=− m r r r eE v = v0 − t m r r eE v =− τ m substituindo temos r r E=ρ j em V = EL I V =ρ L A l I j= A A I lei de Ohm V = RI L R=ρ A r Considere n elétrons por unidade de volume com velocidade v r j será paralelo à tempo dt A r v ⇒ elétrons percorrem dL = vdt na direção de dL r v r v n° de elétrons que atravessam a área A em um intervalo de tempo dt = nAdL = nAvdt r r j = −nev r r j = − nev r r eE v =− τ m r r 1 j =σ E , σ = , σ = ne ρ 2 r ne 2τ r j= E m τ m resistividade ~ linear à temperatura ambiente condutividade elétrica resistividade elétrica ______________________________________________________ ρ ~ T ρ (µΩcm ) (ρ / T )373K (ρ / T )273K T >> θ D ρ ~ T 5 T << θ D 77K 273K 373K (Bloch T 5 law) ______________________________________________________ Li 1.04 8.55 12.4 1.06 Cu 0.2 1.56 2.24 1.05 Mg 0.62 3.9 5.6 1.05 Fe 0.66 8.9 14.7 1.21 Al 0.3 2.45 3.55 1.06 ______________________________________________________ m τ= ρne 2 l : livre caminho médio l = vτ (“mean free path”) distância média que um elétron caminha entre colisões 1 2 3 mv = k BT 2 2 l=vτ τ ~ 10 −14 a 10 −15 s Tamb v ~ 107 cm / s temperatura ambiente o l ≈ 1 a 10 A compatível com a idéia de Drude : elétrons X íons MAS ... ( veremos nas próximas aulas) 8 v ~ 10 cm / s + τ T ~ 800 K l 2 EF v ~ m 2 independente da temperatura é uma ordem de grandeza maior que à Tamb 3 • pode ser da ordem de 10 A ou mais com amostras à temperaturas bastante baixas e cuidadosamente preparadas l ~ cm ( 108 espaçamento entre íons) forte evidência que a idéia de Drude de elétrons colidindo em íons está errada! Equação de movimento dos “elétrons de Drude” Entre colisões r dpi r = f i (t ) dt r r r pi (t + dt ) − pi (t ) ≈ f i (t )dt Para cada um dos N elétrons Em um intervalo de tempo dt Nc = Ndt Vão colidir τ N n = N − N c = N (1 − dt τ ) Não vão colidir [ ] r r dt r p(t + dt ) = 1 − p (t ) + f (t )dt + O(dt 2 ) + τ Não colidiram [ τ dt r f (t )dt + O(dt 2 ) colidiram Desprezando os termos O(dt2) r r r dp p (t ) = f (t ) − dt τ O efeito das colisões é introduzir um amortecimento proporcional ao momento ] Dever de casa: Ashcroft – capítulo 1 Problemas 1 e 2 (b) Efeito Hall e magnetorresistência E. F. Hall, Am. J. Math. 2, 287 (1879) r r r v F = −e × H c Campos aplicados r H = H z kˆ r E = E x iˆ Campo induzido ou campo Hall Ey < 0 e<0 sinal dos portadores Em equilíbrio o campo transverso (ou campo de Hall) Ey contrabalançará a força de Lorentz e o fluxo de corrente será na direção x. Ex ρ (H ) = jx RH = magnetorresistência Ey jx H coeficiente de Hall Cálculo do coeficiente de Hall e magnetorresistência: r r r dp p = − +f dt τ r r r r v f = −e E + × H c Regime estacionário r r r r r dp v p = −e E + × H − = 0 dt c τ r r r dp v = −e × H dt c Movimento circular uniforme vH ωr eH mω r = e =e H ⇒ω = = ωc c c mc 2 Frequência de cíclotron No caso estacionário, as correntes são independentes do tempo: 0 = −eE x − ωc p y − 0 = −eE y + ωc p x − x por neτ − m px τ Frequência de cíclotron com eH ωc = mc py τ e usando r r j = −nev σ 0 E x = ωcτ j y + j x σ 0 E y = −ωcτ j x + j y com e mjα pα = − ne ne 2τ σ0 = m Rearrumando E x = ρ 0 j x + ρ 0ωcτ j y E y = − ρ 0ωcτ j x + ρ 0 j y com ne 2τ σ0 = m ωc = r tr E=ρ j r ρ0 E = − ρ 0ωcτ ρ0 = eH mc ρ 0ωcτ r j ρ0 1 σ0 O campo de Hall é obtido considerando que não existe corrente transversa jy = 0 ωcτ H Ey = − jx = − jx σ nec jx = σ 0 E x 0 RH = Ey jx H Ex ρ (H ) = jx 1 RH = − nec ρ (H ) = 1 σ0 Coeficiente Hall Só depende da densidade de portadores magnetorresistência independente de r H T baixa, amostra preparada c/ cuidado H = 10 4 G RH pode ser positivo! RH τ dependem da temperatura e das condições da amostra baixas temperaturas, amostras puras, H alto RH se aproxima de um valor limite (para muitos metais: limite Drude) resultado de Drude para magnetorresistência ρ (H ) ρ= não depende de H 1 σ0 com ne 2τ σ0 = m experimento mostra que ρ = ρ (H ) teoria quântica é necessária r r j não é paralelo a E σ 0 Ex = jx σ 0 E y = −ωcτ j x tgφ = Ey Ex = ωcτ φ é o ângulo Hall Para ωcτ << 1 , tgφ ~ φ ~ ωcτ << 1 r E e r j ωcτ << 1 são quase paralelos quando equivale a τ << T ωcτ << 1 (período de revolução) elétrons completam uma pequena parte da revolução antes de serem espalhados EFEITO HALL QUÂNTICO K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980) H. L. Störmer and D. C. Tsui, Science 220, 1241 (1983) B. I. Halperin, Scient. Am. 254, 52 (1986) T ~ 1.5 K; H ~ 15 T; Si - MOSFET 1985 Nobel de Física K. von Klitzing 1 α= 137.035963(15) h = 6453.204 ± 0.005 Ω 2 4e Ey jx Ex jx B. I. Halperin, Scient. Am. 254, 52 (1986) RH = Ey jx H ρ (H ) = Ex jx h = 6453.204 ± 0.005 Ω 2 4e 1 α= 137.035963(15) Continuamos na próxima aula (c) Condutividade elétrica AC corrente induzida em um metal por um campo elétrico dependente do tempo ( r r − iω t E (t ) = Re E (ω ) e r r dp − p r = − eE dt τ solução estacionária da forma r r − iωt p(t ) = p(ω ) e r r p j = −ne ; m r r j (t ) = j (ω ) e −iωt ) substituindo temos r r p(t ) = p(ω ) e − iωt r − iω p(ω ) = r − p(ω ) τ r − eE (ω ) ne 2 r E (ω ) r r p(ω ) m j (ω ) = − ne = 1 m − iω τ Lembrando que r r j (ω ) = σ (ω ) E (ω ) Temos σ0 σ (ω ) = 1 − iωτ com ne 2τ σ0 = m σ0 σ (ω ) = 1 − iωτ como Temos então Casos limite (a) (b) ω →0 ω →∞ σ = σ R + iσ I σ0 σR = (1 + ω 2τ 2 ) σ 0ωτ σI = (1 + ω 2τ 2 ) r r j (ω ) = σ (ω ) E (ω ) r r r j = σ R E0 cos(ω t ) + iσ I E0sen (ω t ) σR →σ0 σI → 0 σ I >> σ R r r r j = σ 0 E0 cos(ωt ) = σ 0 E Limite DC Resposta defasada aplicação : propagação de radiação EM em um metal O que deixamos de fora para chegar em (a) r H σ0 σ (ω ) = 1 − iωτ termo adicional na força : fator v/c menor que termo em j ~ 1A / mm 2 (b) r r E (r , ω ) o ~ r H r ~ 10 −10 E OK! campos também variam no espaço o λ ~ 10 , 10 A 3 v < 0.1cm / s r r − ep ×H mc r E 4 2 o l ~ 10 A, 10 A luz visível T ambiente λcampo >> l OK! r r r r j (r , ω ) = σ (ω ) E (r , ω ) λ >> l r r r r r r r r r r r 1 ∂H 4π 1 ∂E ∇.E = 0 ; ∇.H = 0 ; ∇ × E = − ; ∇× H = j+ c ∂t c c ∂t ρ =0, por enquanto dependencia temporal e − iω t r iω r r r r r r r r r r r i ω 4 π i ω ∇ × ∇ × E = ∇ ∇.E − ∇ 2 E = −∇ 2 E = ∇ × H = = σE − E c c c c ( ) ( ) r ω 2 4πiσ r − ∇ E = 2 1 + E c ω 2 2 r r ω 2 ∇ E + 2 ε (ω )E = 0 c com ε (ω ) = 1+ 4πiσ (ω ) ω função dielétrica σ0 σ (ω ) = 1 − iωτ ne 2τ , σ0 = m Limite de altas freqûencias ωτ >> 1 ω ε (ω ) = 1 − 2 ω 2 p Limite de altas frequências Válido para ω ~ ωp com 2 4 π ne ω p2 = m Frequência de plasma 2 r r ω 2 ∇ E + 2 ε (ω )E = 0 c ω p2 ε (ω ) = 1 − 2 ω Duas possibilidades (a) ω < ωp região de atenuação Quando ε é real e negativo as soluções da equação de onda sofrem decaimento exponencial no espaço, ie, a radiação não se propaga. (b) ω > ωp região de propagação Quando ε é positivo, as soluções são oscilatórias, a radiação se propaga e o metal se torna transparente. rs λp = = = 0.26 ν p ωp a0 c 2πc 3/ 2 ×103 o Α Os metais alcalinos mostram o comportamento previsto pela teoria de Drude. Em outros metais, outras contribuições para a constante dielétrica competem com o termo de Drude. aplicação: oscilações da densidade de carga no gás de elétrons equação da continuidade r r ∂ρ ∇. j + =0 ∂t r r ∇. j (ω ) = iωρ (ω ) Lei de Gauss r r ∇.E = 4πρ r r ∇.E (ω ) = 4πρ (ω ) r r Lembrando que j (ω ) = σ (ω )E (ω ) r r temos ∇. j (ω ) = σ (ω )4πρ (ω ) iωρ (ω ) = 4πσ (ω )ρ (ω ) Solução : 1+ 4π iσ (ω ) ω ε (ω ) = 0 =0 Propagação de oscilações na densidade de carga (PLASMON) ωτ >> 1 ω = ωp (freq. plasmon) PLASMON: quantum das flutuações longitudinais da densidade eletrônica de carga dos elétrons de valência ou condução num sólido. Gás de elétrons em background de carga positiva d=u r E = 4πσ = 4π n u e d 2u Nm 2 = − NeE = −4π nNe 2u dt Ashcroft e Mermin (1976) Kittel (1976) d 2u 4πne 2 + u=0 2 dt m ε D (ω ) = 1 − ω 2 p d 2u 2 + ω Pu = 0 2 dt ω P2 = 4πne 2 / m freq. do plasmon ω2 2 ω 1 −1 p Im ~ Im ~ δ 1 − 2 ~ δ (ω − ω p ) 2 ω ωp ε 1 − 2 + iα ω −1 Im ε ωp ω EXCITAÇÃO DO PLASMON • elétrons passando através de um filme metálico (ou semicondutor) • reflexão de elétrons ou fótons por um filme Observação experimental de plasmons Dever de casa: Ashcroft – capítulo 1 Problemas 5: Surface plasmons (d) Condutividade térmica Lei de Wiedemann-Franz (1853) ; empírica k = c te = σT n° de Lorenz → condutividade térmica σ → condutividade elétrica k Modelo de Drude: Corrente térmica carregada pelos elétrons de condução T1 r ∇T T2 T1 > T2 r jq r densidade térmica de corrente (vetor paralelo ao fluxo de jq : calor, igual à energia térmica por unidade de área por unidade de tempo) Lei de Fourier r r jq = −k∇T Modelo unidimensional x r ∇T T1 T2 elétrons chegando em x pelo lado com temperatura T1 tiveram última colisão em x − vτT 2 energia térmica ε [T (x − vτ )] n/2 elétrons por unidade de volume vindos de cada lado Densidade térmica de corrente T varia pouco em l = vτ Velocidade v nv jq = {ε [T ( x − vτ )] − ε [T ( x + vτ )]} 2 nv dε dT {− vτ − vτ } jq = 2 dT dx dε dT jq = −nv τ dT dx 2 v Em 3D 2 x = v 2 y = v 2 z 1 2 = v 3 dε N dε 1 dE n = = = cV dT V dT V dT 2 dε dT jq = −nv τ dT dx Lei de Fourier → 1 2 → jq = v τ cV − ∇T 3 r r jq = −k∇T 1 2 k = v τ cV 3 1 2 k = v τcV 3 No modelo de Drude : 1 2 1 v τ cV cV mv 2 k 3 3 = = ne 2τ ne 2 σ m cV = teoria cinética clássica 3 nk B 2 mv 2 3 = k BT 2 2 2 3 kB = T σ 2 e k Lei de Wiedemann-Franz 14243 1.11×10 −8 ω Ω / K 2 metade do valor experimental típico para metais 3n 2 EF Tambiente : (cV )real v 2 real ~ 100 1 (cV )Drude ~ 100 v 2 Drude cV = π2 3 k B2T g (EF ) (elétrons) cV = γT + β T 3 elétrons fonons CAMPO TERMOELÉTRICO (EFEITO SEEBECK) T1 r ∇T r E r jq T1 > T2 T2 Não é só a energia térmica que é diferente em regioões com diferentes T: a velocidade também deve ser diferente mv 2 3 = k BT 2 2 dv 1 d v2 = −τ vQ = {v( x − vτ ) − v(x + vτ )} = −τv dx 2 2 dx → Acumulo de carga E d v vQ = −τ dx 2 2 v 2 x 1 2 = v 3 Em 3D r r E v E = −e τ m r τ dv 2 r vQ = − ∇T 6 dT Em equilíbrio r r E = Q∇T r r vE + vQ = 0 2 1 d mv cv Q = − =− 3ne 3e dT 2 3 cV = nk B 2 Q <0 ⇒ thermopower kB Q=− = −0.43 ×10 −4 volt/K 2e expt ~ 100 vezes menor! cV real ~ 1 100 cV Drude Dever de casa: Ashcroft – capítulo 1 LER TODO!! Problemas 1, 2 e 5