A Condutividade Elétrica

A Condutividade Elétrica
No modelo de dispersão da luz em meios materiais de Drude-Lorentz, calculamos
a susceptibilidade elétrica complexa,considerando a resposta dos nk elétrons do
tipo k por molécula, em um meio com N moléculas por unidade de volume,
onde a constante de amortecimento para os elétrons do tipo k é γk e a frequência de ressonância para esse tipo é escrita ωk , na presença de uma onda
eletromagnética monocromática de frequência ω. O resultado escreve-se
χc (ω) =
∑
k
m (ωk2
N nk e2
,
− ω 2 − iγk ω)
onde a soma é sobre os diferentes tipos de elétrons em cada molécula. Agora,
vamos supor que haja um certo número N0 de elétrons livres por unidade de
volume do meio material. Também vamos supor que esses elétrons livres estejam distribuídos uniformemente pelo material e, portanto, para cada molécula,
haverá
n0
=
N0
N
elétrons livres, já que N é o número de moléculas por unidade de volume.
Dessa forma, para incluirmos esses elétrons livres no modelo, vamos modificar
a susceptibilidade complexa acima de forma a termos
χ′c (ω) =
∑
k
m (ωk2
= χc (ω) −
N nk e2
N n0 e2
+
2
− ω − iγk ω) m (−ω 2 − iγ0 ω)
N n0 e2
,
mω (ω + iγ0 )
onde, para elétrons livres,
ω0
= 0
e a constante de amortecimento é escrita como γ0 . Para um meio não magnético,
isto é, com
µ = 1,
a Lei de Ampère-Maxwell é escrita como
∇×β
=
1 ∂D
4π
J+
,
c
c ∂t
onde, segundo o modelo que estamos adotando, o campo deslocamento elétrico
complexo é dado por
D
= ϵ + 4πP,
1
com
P
= χ′c (ω) ϵ.
Assim,
∇×β
=
=
=
=
4π
1
∂ϵ
J + [1 + 4πχ′c (ω)]
c
c [
∂t
]
ω
4πN n0 e2
4π
J−i
1 + 4πχc (ω) −
ϵ
c
c
mω (ω + iγ0 )
4π
ω 4πN n0 e2
ω
J+i
ϵ − i [1 + 4πχc (ω)] ϵ
c
c mω (ω + iγ0 )
c
]
[
2
4π
N n0 e
1
∂ϵ
J+
ϵ + [1 + 4πχc (ω)] .
c
m (γ0 − iω)
c
∂t
Concluímos, portanto, que quando há elétrons do material que podem se mover
livremente, a densidade de corrente adquire uma contribuição proporcional ao
campo elétrico, cuja constante de proporcionalidade é dada por
σ
N n0 e2
.
m (γ0 − iω)
=
Esse tipo de material é chamado ôhmico e a densidade de corrente produzida
pela presença do campo elétrico é dada pela Lei de Ohm:
JOhm
= σϵ.
No modelo que estamos considerando, a condutividade elétrica, para frequências
suficientemente baixas, fica
σ
≈
N n0 e2
,
mγ0
essencialmente real e, portanto, em fase com o campo elétrico. Para o cobre,
por exemplo, com uma condutividade da ordem de 5.9 × 107 Ω−1 m−1 e 8 × 1028
átomos/m3 , obtemos γ0 /n0 ≈ 4×1013 s−1 . Supondo apenas um elétron livre por
molécula, essa pequena análise mostra que a condutividade pode ser considerada
essencialmente real para frequências abaixo de cerca de 1011 s−1 (microondas,
por exemplo).
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