Short Courses Modelos Numéricos em Geociências Jose

MODELOS NUMÉRICOS EM GEOCIÊNCIAS
José Ricardo Sturaro1, José Silvio Govone2
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DGA/IGCE/UNESP/ Rio Claro, SP, Brasil, [email protected]
DEMAC/IGCE/UNESP/ Rio Claro, SP, Brasil, [email protected]
Resumo: A aplicação de métodos ou modelos numéricos
é insuficiente para descrever um dado probabilístico. Por
em Geociências tem aumentado consideravelmente nas
exemplo:
ultimas décadas. Isto se deve ao fato prático do avanço
- um lançamento de um dado produz valores aleatórios
extraordinário
dentro de um conjunto [ 1, 2, 3, 4, 5, 6]
da
informática
que
possibilitou
o
processamento de grande quantidade de informações,
O conjunto de resultados e suas probabilidades
comumente encontrada como resultados dos fenômenos em
associadas são denominados como lei de probabilidade ou
Geociências. Considerando que estes resultados não se
distribuição de probabilidade de uma variável aleatória.
adequam aos modelos determinísticos, recorreu-se aos
Apesar
fundamentos das variáveis aleatórias, cujo processamento
influenciaram no valor da variável, é possível prever a um
intenso, possibilita obter um dos alvos mais importantes da
valor médio em locais não amostrados, baseado nos dados já
Geociências, que são as estimativas em locais não
coletados, de acordo com os recursos das funções aleatórias.
amostrados. Dentro deste contexto, destacam-se os métodos
Solos e rochas, dos quais resultam as propriedades
estatísticos e geoestatísticos ou, ainda, modelos numéricos
geocientificas constituem-se de materiais de elevada
determinísticos, porém conduzidos pelos procedimentos
heterogeneidade e conforme a escala de mapeamento a ser
estocásticos.
adotada, a hipótese de uma classificação homogênea pode se
da
nossa
ignorância
dos
mecanismos
que
revelar totalmente inadequada. Este importante aspecto
Palavras-Chave: Geoestatística, Variograma, Krigagem
torna-se mais evidente quando se deseja quantificar as
1. INTRODUÇÃO
variabilidade natural destas propriedades. Nestes casos, é
propriedades dos solos ou das rochas, sem considerar a
Os modelos matemáticos básicos aplicados em
Geociências
são
os
modelos
determinísticos
e
os
usual a atribuição de valores numéricos para zonas
consideradas homogêneas, os quais, porém, não apresentam
qualquer significado prático. A variabilidade é considerada
probabilísticos.
Os modelos determinísticos são os que apresentam
por somente um único valor, cuja determinação seguramente
resultados exatos, como por exemplo, a área de um círculo,
envolve julgamentos pessoais ou, ainda, é ignorada, quando
o volume de uma esfera ou ainda aproximações físicas
a média aritmética ou outro valor médio, obtidos do
como a velocidade de queda de um objeto no vácuo e
conjunto de amostras, são empregados como parâmetros no
outros.
modelamento dos projetos.
Os modelos probabilísticos estão relacionados com as
Por outro lado a aplicação da estatística clássica está, por
variáveis aleatórias. Estas variáveis podem assumir um valor
razões formais, limitada, nas avaliações de variabilidade,
entre muitos valores possíveis, isto é somente um valor fixo
pela dispersão dos valores em torno de um valor médio ou
de tendência central. A variabilidade espacial das
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Proceedings of the 9th Brazilian Conference on Dynamics Control and their Applications
Serra Negra, SP - ISSN 2178-3667
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Titulo do Trab
Autor 1, Autor 2, Autor 3, etc.
propriedades físicas, resultantes de uma formação complexa
variáveis associadas a esses fenômenos nos diversos
pontos de amostragem.
como solos e rochas, requer um novo conjunto de
Tal complexidade de processos que originam os dados, faz
ferramentas para sua análise.
A importância da variabilidade espacial pode ser
parecer que os mesmos possuem um comportamento
ressaltada, por exemplo, quando se classificam solos
aleatório, quando, de fato, eles apenas refletem o
segundo algumas propriedades geotécnicas, isto é dois solos
desconhecimento que se tem de todos os processos e de suas
distintos podem possuir a mesma distribuição de freqüência,
interações no fenômeno natural. Dentro deste contexto, os
com médias e variâncias estatisticamente iguais, porém a
modelos probabilísticos surgem como uma alternativa
variação espacial das propriedades em análises, dentro de
consistente para modelar este comportamento, por meio do
cada tipo de solo, pode ser completamente diferente.
uso de funções aleatórias.
As propriedades em geociências, dado às suas
Para contornar esta situação, pode-se trabalhar com
características, enquadram-se no universo de variáveis,
determinadas funções aleatórias, definidas em condições de
cujos valores são respostas a processos naturais, como
estacionariedade espacial, que fornecem subsídios para
geológicos, pedológicos e outros.
estimar
Desta forma, a
metodologia da geoestatística, fundamentada nos modelos
os
parâmetros
básicos
da
distribuição
de
utilizadas
em
probabilidade em locais não amostrados.
probabilísticos, constitui uma abordagem apropriada para
quantificar
a
aparente
aleatoriedade
das
variáveis
2. FUNÇÃO VARIOGRAMA
Dentre
geociencientíficas, efetuando estimativas e avaliando-se
as
funções
que
são
geoestatística, destaca-se o semivariograma
incertezas.
Na análise Geoestatística, a variabilidade espacial é
derivado do
momento de inércia calculado para uma variável Z(x) em
avaliada e modelada, para em seguida se empregar técnicas
diversos intervalos de distância para uma direção h, cujo
apropriadas de estimativas, cujos resultados serão imagens
gráfico da Figura 1 demonstra a dedução do semivariograma
representativas da distribuição no espaço, das propriedades
[8].
que estão sendo analisadas.
É necessário ter-se um modelo do comportamento
do fenômeno natural do qual resultou as variáveis em
estudo,
entretanto
o conhecimento em detalhes do
comportamento de fenômenos naturais, é de difícil alcance.
Basta imaginar a gênese complexa do teor de argila, como
produto da ação do intemperismo sobre as rochas,
originando os solos ou então a formação de uma pluma de
contaminação por efluentes tóxicos. Caso houvesse um
perfeito conhecimento dos processos físicos e/ou químicos
que geraram os valores das variáveis, poder-se-ia, então,
usar modelos determinísticos com um número pequeno de
amostras, para se fazer estimativa. Acontece, porém, que
para a análise das variáveis, oriundas de fenômenos naturais,
é necessário admitir alguma incerteza nos resultados das
Figura 1: Diagrama de dispersão de uma variável Z(x)
para uma determinada distância h.
O momento de inércia, definido neste contexto
como semivariograma, constitui-se na metade da média das
diferenças quadráticas entre as coordenadas de cada par de
pontos do diagrama de dispersão espacial de Z(x), ou seja:
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Para a confecção do semivariograma as seguintes
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
1 n 
=

- Z
Variograma

Z
 x + h  
2n i = 1  x 


suposições básicas são requeridas:
- as diferenças entre pares de valores de amostras
(1)
são determinadas pela orientação espacial relativa dessas
amostras;
O valor ½ da equação representa a distância
- ao assumir as condições de estacionariedade os
perpendicular dos pontos em relação à linha de 45º (graus)
valores da área de interesse não apresentam tendência que
do diagrama de dispersão. Esta divisão por dois resulta na
possa afetar os resultados e assim a preocupação será apenas
denominação de semivariograma, porém, muitos autores
com a variância das diferenças entre valores das amostras.
chamam simplesmente de variograma
Nota-se neste caso que uma função do tipo esférica é
De forma geral, o semivariograma é a função de
representativa da seqüência probabilística proposta, isto é,
incremento com a distância h em uma determinada direção
quando a probabilidade do evento anterior ocorrer é de 3/4.
visto que, quanto mais afastados forem os pontos de
3. ESTIMATIVA LINEAR: KRIGAGEM
amostragem, mais seus valores em média deverão ser
A krigagem constitui-se num método de estimativa
diferentes. Esta característica reflete bem a noção de zona de
linear e local, efetuado dentro de vizinhanças estacionárias,
influência de uma amostra [9].
que procura minimizar, sem viés, o erro de estimativa,
levando em consideração as características espaciais de
autocorrelação de variáveis regionalizadas. Nessas variáveis
deve existir certa continuidade espacial, o que permite que
os dados obtidos por amostragem de alguns pontos possam
ser usados para parametrizar a estimação de pontos onde o
valor da variável seja desconhecido. Ao ser constatado,
inclusive, que a variável não possui continuidade espacial na
área estudada, não tem sentido efetuar estimativas e/ou
interpolações usando a krigagem.
Obedecida, porem essa condição a krigagem pode
Figura 2 – Esquema padrão de um modelo variográfico
ser aplicada para:
perfeito
1) previsão do valor pontual de uma variável regionalizada
Desta forma, quando se calcula o momento de inércia
em um determinado local dentro do campo geométrico; é
para vários intervalos de distância, elabora-se um gráfico
um procedimento de interpolação exato que leva em
para
de
consideração todos os valores observados, o qual pode ser a
semivariograma experimental da variável Z(x). Estes
base para cartografia automática por computador quando se
semivariogramas são normalmente feitos para várias
dispõe de valores de uma variável regionalizada dispostos
direções, notadamente aquelas que possuem maior e menor
por uma determinada área;
continuidade
2) cálculo médio de uma variável regionalizada para um
uma
determinada
da
variável,
direção,
denominado
constatadas
em
trabalhos
volume maior que o suporte geométrico da amostragem.
preliminares de campo e mapas de isovalores das
O estimador pode ser assim expresso:
propriedades que estão em análise.
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Autor 1, Autor 2, Autor 3, etc.
Z* =
n
γ (v,V ) :
λi Z( xi )
i =1
representa o semivariograma médio entre os
elementos do conjunto de amostras estimadoras com suporte
(2)
onde são os pesos associados às informações Z(xi) e Z*
refere-se à estimativa de um ponto, de uma área ou de um
v e o domínio v a ser estimado; este termo considerada a
volume.
posição das amostras em relação á unidade a ser avaliada.
atribuídos aos valores de Z(xi), entretanto há interesse
γ (v, v ) : constitui-se no valor médio do semivariograma
somente por uma combinação que forneça o melhor
entre todas as amostras estimadoras de suporte v, situadas na
estimador não enviesado. As condições básicas para que esta
vizinhança de estimativa; este termo considera a influência
situação seja atingida são: o valor estimado deve ser não
relativa das posições das amostras.
enviesado e a variância da estimativa ser minimizada
γ (V ,V ) :
Existe uma infinidade de pesos que podem ser
O não viés requer que o erro de estimativa seja em
entre todos os possíveis pontos dentro da unidade V; desta
média igual à zero:
{
}
forma são consideradas as feições geométricas da unidade a
E Z (xo ) - Z * = 0
(3)
ser estimada.
Para isso é necessário estabelecer a condição
Para minimizar esta equação, sujeita a condições de
 λi = 1 ,
não enviezamento
visto que,
λi ,
E{Z * } = m  i = E{Z(x o )}
onde
{ }
E z*
(4)
λ
i
= 1 , em relação aos ponderadores
faz-se o uso da técnica Lagrangiana, com o
desenvolvimento das n derivadas parciais e igualando-as a
zero; matematicamente, tem-se:
é a variância mínima de estimativa
A equação geral da variância de estimativa, que usa
um conjunto de amostra s i pode ser assim expressa:
n
2 =2
σE
representa o valor médio do semivariograma
n
n
λi γ (s i , V ) i =1
(
λi λ j γ s i , s j
δα E2
=0
δλi
para i = 1, 2, 3.......n
(6)
)
Este procedimento gera um sistema linear de n+1 equações,
conhecido como sistema de equações de krigagem. A
i =1 j =1
solução deste sistema gera os ponderadores ótimos assim
_
+ γ (V , V )
como, a variância da estimativa.
(5)
onde :
γ
λi são os pesos para cada amostra s i
é a função semivariograma médio
V corresponde ao domínio a ser estimado, podendo ser um
bloco, área ou ponto v é um elemento do conjunto de
amostras com suporte v.
O significado de cada termo da equação geral de
variância de estimativa é o seguinte:
REFERÊNCIAS
[1] CLARK, I. Pratical geostatistics. London: Applied
Science Publishers , 1979. 129p
[2] DAVIS, J.C. Statistics and data analysis in geology.
New York: John Wiley , 1986. 646p.
[3] DEUTSCH, C.V. Geostatistical Reservoir Modeling.
Oxford University Press. New York, 2002. 376 p.
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Proceedings of the 9th Brazilian Conference on Dynamics Control and their Applications
Serra Negra, SP - ISSN 2178-3667
1492
[4] DEUTSCH, C.V., JOURNEL, A.G. GSLIB:
Geostatistical Software Library and User’s Guide: 2nd.
Ed. Oxford Univ. Press, New York, 1992.
[5] GOOVAERTS, P. Geostatistics for Natural Resources
Evaluation. Oxford Univ. Press. New York, 512 p. 1997.
[6] GOOVAERTS, P. Geostatistics in soil science: state-ofthe-art and perspectives. Geoderma 89, 1-47, 1999.
[7] ISAAKS, E.H.; SRIVASTAVA, R.M. Applied
geostatistics. New York: Oxford University Press, 1989.
561p.
[8] JOURNEL, A.G.; HUIJBREGTS, J.C.H. Mining
geostatistics. London: Academic Press, 1989. 600p.
[9] MATHERON, G. Traité de Géostatistique appliquée.
Memóires du Bureau de Recherches Géologiques et
Miniéres, 1962. tome I, 333p. tome II, 172p.
[10] OLEA, R.A. Systematic sampling of spatial function.
Kansas: Kansas Geological Survey, 1984. 57p. (Series on
Spatial Analysis, 7).
[11] RENDU, J.M. An introduction to geostatistical
methods of mineral evaluation. Johannesburg: Institute of
Mining and Metallurgy, 1978. 83p
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Proceedings of the 9th Brazilian Conference on Dynamics Control and their Applications
Serra Negra, SP - ISSN 2178-3667
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