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Exercício Geoestatística :
1)O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é frequentemente
modelado com uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson.
Considere que, em média, há λ=20 chamadas por hora. A distribuição de Poisson é
dada por:
 e   x
para   {0,1,...}

p( x)   x !
0
para os demais valores

a)Qual é a probabilidade de que haja exatamente 18 chamadas telefônicas em 1 hora?
Exercício Geoestatística :
1)O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é frequentemente
modelado com uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson.
Considere que, em média, há λ=20 chamadas por hora. A distribuição de Poisson é
dada por:
 e   x
para   {0,1,...}

p( x)   x !
0
para os demais valores

a)Qual é a probabilidade de que haja exatamente 18 chamadas telefônicas em 1 hora?
P (18)  ?
 e20 2018
P(18)  
 0, 084
 18!
P(18)  0, 084
Exercício Geoestatística :
1)O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é frequentemente
modelado com uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson.
Considere que, em média, há λ=20 chamadas por hora. A distribuição de Poisson é
dada por:
 e   x
para   {0,1,...}

p( x)   x !
0
para os demais valores

a)Qual é a probabilidade de que haja 3 ou menos chamadas telefônicas em 30 minutos?
P( x  3)  ?
P( x  3)  p( x  0)  p( x  1)  p( x  2)  p( x  3)
  20  60 min
  ?  30 min
  10
e10100
e10101
P(0) 
 0; p(1) 
 0, 0005;
0!
1!
p(2)  0, 0023; p(3)  0, 0076
P( x  3)  0  0, 0005  0, 0023  0, 0076  0, 0104  P( x  3)  0, 0104
2) Considere que o número de erros ao longo de uma superfície magnética
gravadora seja uma variável aleatória de Poisson, com uma media de um erro a
cada 105 bits. Um setor de dados consiste em 4096 bytes de 8 bits.
 e   x
para   {0,1,...}

p( x)   x !
0
para os demais valores

1
 5
10 bits
um erro/105 bits
1 setor de dados = 4096  8 = 32768bits
  1  100000bits
  x  32768bits
  0,32768
a)Qual a probabilidade de mais de um erro em um setor?
b)Qual a probabilidade de observar menos de dois erros em um setor?
1)A função densidade de probabilidade do tempo em horas de falha de um
componente eletrônico de uma copiadora é f(x)=exp(-x/3000 para x>0 e
. Determine a probabilidade de que:
f(x)=0, para x  0
x
  3000
e
p( x)   3000 para x  0

para x  0
0
a)Um componente falhe no intervalo de 1000 a 2000 horas.
P(1000  x  2000)  ?
1)A função densidade de probabilidade do tempo em horas de falha de um
componente eletrônico de uma copiadora é f(x)=exp(-x/3000 para x>0 e
. Determine a probabilidade de que:
f(x)=0, para x  0
x
  3000
e
p( x)   3000 para x  0

para x  0
0
a)Um componente falhe no intervalo de 1000 a 2000 horas.
P(1000  x  2000)  ?
2000

x
3000
1
e
2
3
P(1000  x  2000)  
dx  [e  e 3 ]
3000
1000
 [0, 2031]  0, 2031
Para qual valor de K a função f(x)=Ke-x para x<0 é uma função densidade de
probabilidade. Determine a sua média e variância.
Obs.: Lembrando que: Regra de integração por partes:
2
2 x
u

x
x
e
dx
. Seja
Exemplo: Encontrar 
du  2xdx
e
ve
x
Então temos:
e
 udv  uv   vdu
dv  e x dx
. Então
2 x
2 x
x
x
e
dx

x
e

2
xe

 dx
Agora, aplicamos integração por partes para a integral à direita. Seja
ux
e
dv  e x dx . Então du  dx
e
v  ex
. Assim obtemos:
x
x
x
x
x
xe
dx

xe

e
dx

xe

e
 C . Portanto:


2 x
2 x
x
x
2 x
x
x
x
e
dx

x
e

2[
xe

e

C
]

x
e

2
xe

2
e
C

Distribuições Contínuas de Probabilidade: Seja X uma variável aleatória contínua. A
função f(x) é uma função densidade de probabilidade se: f(x)  0 e
b


f(x)dx  1
Obs: P(a <X<b)=
 f(x).dx
a

Variância: Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade f(x). Então, a
variância de X é dada por:
2
2
Var (X )  E (X )  [E (X )]
, onde
E( X )  
2


x2 . f ( x).dx
Resposta:



x
ke dx  1, sendo que x > 0 temos:
ke  x

0
E[ x]  

0
0
ke x dx  1
 1k[e   e 0 ]  1 k[0  1]  1 k  1

0



xf ( x)dx  
xe x dx   xe  x 

0

x

dv

e
dx u  x

x
xe dx 
x
v


e
du  dx

0
x
x
x 

0
e
dx

[

xe

e
]


e
(


1)

e
(1)]
0

0


0
xe x dx  [1]  1
, Assim: E[x]=1.
var[ x]  E[ x 2 ]  ( E[ x]) 2
E[ x 2 ]  

0
2
x

u

x
dv

e
dx

2 x
x e dx 
x
du

2
xdx
v


e


E[ x ]   x e   e 2 xdx   x e
2
2 x
x
0
0
0
E[ x 2 ]  2e  0e0  2 1  2
var[ x]  2  12  var[ x]  1
2 x

 2[e  x ( x  1)]0
0
EXERCÍCIO:
1)Para qual valor de K a função f(x)=2Ke-2x para x > 0 é uma função densidade de
probabilidade. Determine a sua média e variância.
1)Para qual valor de K a função
k  2x
f ( x)  e
2
para x > 0 é uma função densidade de probabilidade. Determine a sua média e
variância.
GEOESTATÍSTICA
Definição de covariância pelo livro Probabilidade: um curso introdutório (Por Carlos
Alberto Barbosa Dantas):
Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional. As esperanças das componentes X e
Y nos fornecem uma medida de posição das respectivas distribuições nos respectivos
eixos das coordenadas do plano. As variâncias de X e Y dão uma medida de dispersão
dos valores de X e de Y em torno das respectivas médias E(X) e E(Y).
A covariância dá uma ideia da dispersão dos valores da variável bidimensional (X, Y)
em relação ao ponto (E(X), E(Y)).
Definição de variável aleatória contínua: Diz-se que X é uma variável aleatória
contínua, se existir uma função f, denominada função densidade de probabilidade (fdp)
de X que satisfaça às seguintes condições (Livro Probabilidade – Aplicações à
Estatística (Paul L. Meyer)):
(a) f ( x)  0 para todo x,
(b)



f ( x)dx  1,
b
(c) para quaisquer a, b, com    a  b  , teremos P(a  X  b)=  f ( x)dx.
a
Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade:
Variáveis Aleatórias:
Uma variável é dita aleatória quando o valor da mesma é obtido através de
observações ou experimentos, e a cada valor estiver associada certa probabilidade.
Denota-se uma variável por letra maiúscula e os valores assumidos por ela por letra
minúscula.
Uma variável é dita Discreta quando assume valores em pontos isolados ao longo de
uma escala (nº finito ou infinito enumerável de valores).
Exemplo: Nº de alunos na sala
Uma variável é dita Contínua quando assume qualquer valor ao longo de um intervalo
(nº infinito não enumerável de valores).
Exemplo: Tempo, temperatura, peso, etc.
Variáveis Regionalizadas:
Uma variável regionalizada é qualquer função numérica com uma distribuição
espacial que varia de um lugar par outro com continuidade aparente, mas cujas
variações não podem ser representadas por uma função determinística. (As funções
determinísticas sempre retornam o mesmo resultado quando são chamadas com o uso
de um conjunto específico de valores de entrada e quando lhes é dado o mesmo estado
do banco de dados. As funções não determinísticas podem retornar resultados
diferentes cada vez que são chamadas com um conjunto específico de valores de
entrada, mesmo se o estado do banco de dados que elas acessam permaneça o
mesmo. Bastante utilizado em programação – banco de dados.).
Em geologia, todas as observações quantitativas feitas em duas ou três
dimensões (área ou volume, respectivamente), sejam elas geoquímicas, geofísicas,
sedimentológicas etc., podem ser consideradas como exemplos de variáveis
regionalizadas.
Segundo Bubenicek & Haas (1969), as características qualitativas de variáveis
regionalizadas que os métodos estatísticos convencionais não conseguem reconhecer
são:
1.Localização: os valores de uma variável regionalizada são dependentes de suas
funções espaciais relativas dentro do campo geométrico (depósito); além disso, estes
valores são dependentes do tamanho da amostra, de sua forma e orientação (suporte
amostral).
2.Suporte: por vezes a variável regionalizada Z(x) não está definida num ponto, mas
sobre uma área ou volume centrado em x.
3.Continuidade: a variação espacial de uma variável regionalizada pode ser,
dependendo do fenômeno, grande ou pequena, mas deve existir uma certa
continuidade ponto a ponto.
4.Anisotropias: A regionalização pode apresentar anisotropias (anisotropia:
característica que uma substância possui em que uma certa propriedade física varia
com a direção.) quando apresenta variações graduais numa direção e rápida ou
irregular em outra.
5.Fenômenos de transição: No campo da variável, particularmente em formações
sedimentares, as estruturas são frequentemente encontradas consistindo em lentes
superpostas. Essas estruturas formam uma rede de descontinuidades nas bordas das
lentes, que é caracterizada como fenômeno de transição.
O variograma:
O variograma é a ferramenta básica que permite descrever quantitativamente
a variação no espaço de um fenômeno regionalizado.
A natureza estrutural de um conjunto de dados (assumido pela variável
regionalizada) é definida a partir da comparação de valores tomados simultaneamente
em dois pontos, segundo uma determinada direção.
A função variograma 2 ( h) é definida como sendo a esperança matemática
do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço, separados por uma
distância h, conforme a seguinte expressão:

2 (h)  E  Z ( x  h)  Z ( x)
2

Como na estatística clássica, pode-se definir a média e a variância de uma
variável regionalizada de acordo com as seguintes relações:
Média:
m  E  Z ( x) 

Variância: Var  Z ( x)  E  Z ( x)  m
2

A variância é conhecida em notação geoestatística como C(0), ou seja, a covariância
para distância de separação nula.
Desta mesma forma, pode-se definir a covariância C(h) entre pontos separados por
uma distância h:
C(h)  E  Z ( x  h)  Z ( x)  m2
A função  ( h) é denominada função semivariograma ( (h)  C (0)  C (h) ), que é a
metade da função variograma; entretanto, muitos autores usam simplesmente o termo
função variograma para expressá-la.
Comportamento próximo a origem:
O grau de continuidade da mineralização é dado pelo comportamento do
variograma próximo à origem. Assim, quanto a esse comportamento podem ser
descritos quatro tipos básicos, a saber:
1.Parabólico (Fig. A): o variograma descreve uma curva parbólica próximo à origem e
representa um alto grau de continuidade das amostras selecionadas. Esse tipo pode ser
exemplificado por um variograma construído a partir de dados de espessura de uma
camada.
2.Linear (Fig. B): caracterizado por um comportamento linear na origem, ou seja, por
uma tangente oblíqua à origem, representando uma continuidade média das amostras.
Entenda-se por continuidade média das amostras uma grande homogeneidade destas a
pequenas distâncias e uma progressiva perda de homogeneidade com o aumento da
distância. Esse comportamento é típico de muitos depósitos minerais metálicos.
3.Efeito pepita (Fig. C): esse tipo apresenta uma descontinuidade na origem. Essa
descontinuidade pode ser reflexo de dois fatores não mutuamente exclusivos – erros de
medida na amostragem e microvariabilidades.
4.Efeito pepita puro (Fig. D): é um tipo extremo de comportamento do variograma
próximo à origem e reflete a variação espacial de um fenômeno de transição, onde para
um dado valor de patamar a amplitude (a amplitudo reflete o grau de homogeneização
entre as amostras, ou seja: quanto maior for a amplitude, maior será a homogeneidade
entre as amostras) terá um valor infinitesimalmente menor que as distâncias de
observação.
Modelos de variogramas:
Os modelos de variogramas mais comuns na natureza listados conforme as
equações apresentadas a seguir:
Seno cardinal

 h 
 sen  a  
 
 (h)  C0  C 1 
h 


a 
Cauchy genérico






1
 (h)  C0  C 1 
   0
2 
  h  
 1   a   
     
Exponencial

  h  
 (h)  C0  C 1  exp      
  a  

Cúbico
  h 2 35  h 3 7  h 5 3  h 7 
 (h)  C0  C 7            
4  a  5  a  4  a  
  a 
Estável

  h   
 (h)  C0  C 1  exp         0
  a  



Linear
 (h)  C0   C
Gauss

  h 2  
 (h)  C0  C 1  exp      
  a  



Gamma




1
   0
 (h)  C0  C 1 

  h 
 1   
  a 
Potencial

h
 (h)  C0  C   0    2
a
KBessel



h


 
h
a
 (h)  C0  C 1  1  K     0,
 2   
a




Onde Kα(h) é a função modificada de Bessel de ordem –α.
jBessel

 h 
J   

d
a
 (h)  C0  C 1  2   1        1,

2
h 

  
a 

Onde d = dimensão do espaço e Jα (h) é a função Bessel de ordem α.
Esférico
 3  h  1  h 3 
 (h)  C0  C        para h < a
 2  a  2  a  
 (h)  C0  C para h  a
Métodos Computacionais
Os métodos computacionais, assim denominados por dependerem de computadores
para o cálculo de recursos/reservas minerais, fazem uso das funções matemáticas de
interpolação, as quais são aplicadas para o cálculo das variáveis de interesse nos
blocos de cubagem.
Ao conjunto de blocos de cubagem que compõem o depósito denomina-se
modelo tridimensional de blocos:
Modelo tridimensional de blocos de um
depósito hipotético.
Geoestatística e
Modelo de Blocos
•
Interpolação de Teores
–
–
–
–
•
Models > Interpolate Grade > Basic Grade Interpolation
PROCESSO: GRADE
Tollbar
AU e CU
Visualizando o Modelo de Blocos
– Data > Load > Block Model
– om (open-model-file)
•
Criando Legenda
– Em função de AU
• Estéril = 0.0 a 0.75 (azul)
• Lixiviação = 0.75 a 1.5 (amarelo)
• Usina = 1.5 a 99 (vermelho)
Geoestatística e
Modelo de Blocos
•
Avaliação do Modelo de Blocos
– Model > Evaluate > Wireframe
– evw (evaluate-wireframe)
Geoestatística e
Modelo de Blocos
•
Criando o Modelo de Estéril
– Models > Create Model > Fill Wireframe with Cells
– PROCESS: TRIFILL
•
Combinando os modelos de blocos
– Models > Manipulate Model > Add Two Block Models
– PROCESS: ADDMOD
•
Otimizando o Modelo de Blocos
– Models > Manipulate Models > Optmise Block Model
– PROMOD
A subdivisão ideal em blocos, baseada na prática de avaliação de recursos, seria igual
à metade do espaçamento médio entre os furos de sonda. Segundo Vallêe & Côte
(1992), a krigagem de blocos com dimensões muito menores que a metade da malha
de amostragem deveria ser evitada, pois tais estimativas exibem extrema variabilidade.
Os métodos computacionais fazem uso das funções matemáticas de
interpolação, entre as quais: inverso da potência da distância e krigagem ordinária.
Os blocos de cubagem podem ser avaliados se atenderem aos seguintes
requisitos:
• Estiverem no domínio do depósito.
• Apresentarem amostras de furos vizinhos, seguindo um critério de seleção.
• Forem passíveis de avaliação com um mínimo de informação, verificada a distância
máxima das amostras.
A determinação da posição de um bloco em relação ao domínio do depósito é feita em
partes, como se segue:
A determinação da posição de um bloco em relação ao domínio do depósito é feita em
partes, como se segue:
• Verificar se o bloco pertence à fronteira dos furos de sonda.
• Se o bloco estiver na fronteira dos furos, verificar se ele está dentro dos limites
superior e inferior de mineralização.
Definição da vizinhança local para uso dos métodos computacionais:
Pode-se observar que a pesquisa dos
vizinhos próximos sem nenhuma restrição
quanto à localização destes, resulta no
agrupamento de pontos no quadrante
nordeste em detrimento dos demais,
enquanto o quadrante sudoeste nem
sequer foi amostrado.
Pode-se observar que a pesquisa dos
vizinhos próximos sem nenhuma restrição
quanto à localização destes, resulta no
agrupamento de pontos no quadrante
nordeste em detrimento dos demais,
enquanto o quadrante sudoeste nem
sequer foi amostrado.
Verifica-se que somente os pontos
situados ao longo de uma linha de
pesquisa serão amostrados se nenhuma
restrição for imposta, caracterizando
também um agrupamento de pontos.
Para evitar agrupamentos de pontos foram
estabelecidos critérios de seleção de
amostras por quadrantes ou octantes. Os
critérios de seleção de amostras por
quadrantes ou octantes dividem a região
do ponto a ser interpolado em quatro
(Figura ao lado) ou oito setores,
respectivamente,
e
selecionam
as
amostras mais próximas por setor até
completar um número desejado de
amostras para fins de interpolação.
Para o procedimento dos octantes (Figura
ao lado) foi escolhida uma amostra por
octante.
Para o procedimento dos quadrantes
(Figura ao lado) foi adotada a seleção de
duas amostras mais próximas por
quadrante.
Número de amostras de furos vizinhos:
Escolhido o critério para a seleção de amostras de furos vizinhos, deve-se
definir o número de amostras a serem utilizadas nos métodos de interpolação para
avaliação de recurso/reserva nos blocos de cubagem.
Para avaliação de depósitos minerais pode-se fixar oito amostras, que se
ajustam perfeitamente aos critérios de quadrante (duas amostras por quadrante) ou
octante (uma amostra por octante) no plano. Entretanto, nem sempre a condição inicial
de oito amostras de furos vizinhos será satisfeita, principalmente na borda do corpo de
minério. Nesses casos, deve-se relaxar a condição inicial para um mínimo de quatro
amostras.
Coloque V para verdadeiro e F para falso em relação à variável regionalizada:
( ) Possui valores dependentes de suas funções espaciais relativas dentro do campo
geométrico.
( ) A variação espacial de uma variável regionalizada é sempre pequena e existe uma
descontinuidade ponto a ponto.
( ) Os valores de uma variável regionalizada são independentes do tamanho da
amostra, sua forma e orientação.
( ) As variáveis regionalizadas podem ser representadas por uma função determinística
exatamente porque considera a dependência entre as funções espaciais dentro de um
depósito.
Coloque V para verdadeiro e F para falso em relação à variável regionalizada:
(V) Possui valores dependentes de suas funções espaciais relativas dentro do campo
geométrico.
(F) A variação espacial de uma variável regionalizada é sempre pequena e existe uma
descontinuidade ponto a ponto.
(F) Os valores de uma variável regionalizada são independentes do tamanho da
amostra, sua forma e orientação.
(F) As variáveis regionalizadas podem ser representadas por uma função determinística
exatamente porque considera a dependência entre as funções espaciais dentro de um
depósito.
Krigagem ordinária:
A krigagem é o procedimento que permite calcular os ponderadores para uma
dada configuração (blocos x disposição das amostras no espaço), com mínima
vairância de krigagem.
Os estudos geoestatísticos levam à definição de um modelo de variograma
que servirá para inferir os valores da função variograma ou covariograma que serão
utilizados pelos métodos geoestatísticos de interpolação.
Equações de krigagem:
A krigagem é um método que permite estimar o valor desconhecido Z*(x0)
associado a um ponto, área ou volume a partir de um conjunto de n dados {Z(xi), i = 1,n}
disponíveis.
O estimador Z*(x0) poderá ser obtido como uma combinação linear dos dados
disponíveis, conforme:
n
Z * ( x0 )   i  Z  xi 
i 1
 E2  Var Z  x0   Z *  x0  Expandindo a variância do erro, de acordo com Issaks &
Srivastava (1989) e desenvolvendo cada termo, tem-se:
 E2  C (0)  2 iC  x0 , xi    i  j C  xi , x j 
i
i
j
Exercício:
Considere a figura abaixo:
O teor no ponto 0 foi estimado através da seguinte fórmula:
Z 0*  0, 2  Z1  0,3  Z 2  0,5  Z 3
O teor verdadeiro no ponto 0 e os teores das amostras vizinhas Z1, Z2 e Z3 podem ser
consideradas como variáveis aleatórias contínuas. O ponto 0 tem coordenadas (0;0) e
os pontos 1, 2 e 3 tem coordenadas (em metros) (25;0), (-15;0) e (0;-10),
respectivamente. Portanto, o erro de estimação (teor verdadeiro – teor estimado) será
também uma variável aleatória, pois se trata de uma combinação linear de variáveis
aleatórias. Sabe-se que para este caso, a covariância entre 2 quaisquer variáveis
depende somente da distância que separa os pontos onde estas variáveis se
encontram. Esta covariância é dada pela seguinte fórmula:
 3  h  1  h 3 
C  h   40  1        se h  a
 2  a  2  a  
C  h   0 se h > a
Onde: a = 30 metros.
Pede-se calcular a variância da variável que representa o erro desta estimativa.
Resolução:
D13  102  252  26,93 m
D23  152  102  18, 05 m
Z 0*  0, 2  Z1  0,3  Z 2  0,5  Z 3
Temos então:
Erro = Teor verdadeiro – Teor estimado (Z(x0 ) = teor verdadeiro)
Erro  Z  x0   Z *  x0 
Erro  Z  x0    0, 2  Z * ( x1 )  0,3  Z *  x2   0,5  Z *  x3  
n
Erro   i Z i  Combinação linear de variáveis aleatórias
i 1
 E2  Var Z  x0   Z *  x0 
Não queremos o cálculo de variância de um ponto fixo e sim de dois pontos com i ǂ j.
 E2  C (0)  2 iC  x0 , xi    i  j C  xi , x j 
i
i
j
Erro  1 Z  x0   0, 2  Z * ( x1 )  0,3  Z *  x2   0,5  Z *  x3 
Distâncias (m) / h
Pontos
0
1
2
3
0
0
25
15
10
1
25
0
40
26,93
2
15
40
0
18,03
3
10
26,93
18,03
0
* Cálculo da covariância:
 3  h  1  h 3 
C  h   40  1        se h  a
 2  a  2  a  
C  h   0 se h > a
Modelo Esférico de variograma para o cálculo da covariância:
 3  h  1  h 3 
 (h)  C0  C        para h < a
 2  a  2  a  
 (h)  C0  C para h  a
Onde a = 30 metros.
C (0)  40  1  40;
 3  25  1  25 3 
C  25   40  1        =1,57;
 2  30  2  30  
 3  15  1  15 3 
C 15   40  1        =12,5;
 2  30  2  30  
 3  10  1  10 3 
C 10   40  1        =20,74;
 2  30  2  30  
C (40)  0;
 3  18, 03  1  18, 03 3 
C 18, 03  40  1  
 
  =8,28;
2
30
2
30



 

 3  26,93  1  26,93 3 
C  26,93  40  1  
 
  =0,61;
 2  30  2  30  
C( h)
Pontos
0
1
2
3
0
40
1,57
12,5
20,74
1
1,57
40
0
0,61
2
12,5
0
40
8,28
3
20,74
0,61
8,28
40
* Cálculo da variância da variável que representa o erro dessa estimativa:
 E2   i  j C  xi , x j 
i
j
i  1, j  1  12C  x1 , x1   12  40  40
i  1, j  2  12C  x1 , x2   1 0, 2 1,57  0,314
i  1, j  3  13C  x1 , x3   1 0,3 12,5  3,75
i  1, j  4  1 0,5  20, 74  10,37
i  2, j  1  0, 2 11,57  0,314
i  2, j  2  0, 2  0, 2  40  1, 6
i  2, j  3  0, 2  0,3  0  0
i  2, j  4  0, 2  0,5  0, 61  0, 061
i  3, j  1  0,3 112,5  3, 75
i  3, j  2  0,3  0, 2  0  0
i  3, j  3  0,3  0,3  40  3, 6
i  3, j  4  0,3  0,5  8, 28  1, 242
i  4, j  1  0,5 1 20, 74  10,37
i  4, j  2  0,5  0, 2  0, 61  0, 061
i  4, j  3  0,5  0,3  8, 28  1, 242
i  4, j  4  0,5  0,5  40  10
 n

  Var  i Zi    40  0, 314  3, 75  10, 37    0, 314  1, 6  0  0, 061 
 i 1

 3, 75  0  3, 6  1, 242   10, 37  0, 061 1, 242 10 
2
E
 n

  Var  i Zi    25, 566    1, 347    1, 092    0, 933  28, 938
 i 1

2
E
 n

  Var   i Zi   28, 938
 i 1

2
E
Krigagem Ordinária
As equações de krigagem permitem determinar o conjunto de ponderadores associados
ao conjunto de dados disponíveis, que, combinados, resulta na estimativa do valor
desconhecido Z*(X0):
Conforme o domínio que se estima, tem-se:
- Krigagem pontual;
- Krigagem de bloco.
Krigagem pontual.
- Conjunto de pontos de dados para um depósito hipotético:
Esse conjunto de pontos de dados representa um depósito hipotético do tipo
estratiforme, em que os teores estão compostos para a espessura mineralizada. Nesse
depósito, o minério apresenta uma densidade aparente igual a 3,20 t/m3.
- Análise Geoestatística dos Dados do Depósito Hipotético.
Para os dados do depósito hipotético, procedeu-se à análise da variabilidade dos dados
para ilustrar o procedimento de cálculo dos pontos do variograma experimental. Tendo
em vista que os pontos de dados não estão distribuídos sobre uma malha regular, há
há necessidade de estabelecer o passo e a tolerância do passo, os quais foram iguais a
50 e 25m, respectivamente. Assim, pode-se calcular a nuvem de variograma, bem
como os pontos médios, ou seja, os próprios pontos do variograma experimental. A
figura 4.13 apresenta a nuvem de variograma (Figura 4.13A) e os pontos do variograma
experimental (Figura 4.13B) para os dados de teor. A nuvem de variograma representa
todas as diferenças ao quadrado [Z(x) – Z(x + h)]2 que são lançadas contra as
respectivas distâncias (h). Sobre os pontos do variograma experimental foram
ajustados os modelos teóricos. Para a variável teor, o ajuste resultou num modelo de
variograma esférico e, para espessuras, num modelo gaussiano.
Para a variável teor, o ajuste resultou em um modelo de variograma esférico:
3
 h
h 
 (h)  40 1,5  0,5   
 a  
 a
, para h < 200 m
 (h)  40 , para h > 200 m
Para a variável espessura, o ajuste resultou em um modelo de variograma gaussiano:
h

 
 (h)  0,35 1  exp  a 

2



, para a = 100 m
Krigagem Pontual
Para o cálculo da função semivariograma, por exemplo, entre as amostras 1 e 2,
determina-se inicialmente a distância entre elas:
d (x1 , x 2 ) 
100 150  50 100
2
2
 70,71
A distância encontrada é convertida em função semivariograma, usando-se as
equações dos modelos da Figura 4.13B para teores e a Figura 4.14B para
espessuras:
3
  70, 71 
70,
71

 
 (x1 , x 2 )  40 1,5 
  0,5 
   20,33
 200  
  200 
Assim, o procedimento descrito é repetido para todos os pares de amostras, obtendose as matrizes dos valores da função semivariograma, conforme a matriz abaixo:
O vetor dos valores das funções semivariograma, entre a amostra e o ponto a ser
estimado, também é calculado da mesma forma:
d (x 0  x1 ) 
100 131, 25  50 118,75
2
2
 75,52
Da mesma forma, calculando-se os valores das funções semivariograma para todas
amostras, tem-se:
Assim, obtêm-se todos os elementos do sistema de equações, que, adicionada da
condição de restrição da krigagem ordinária, resultam nos sistemas de equações de
krigagem para estimativa do ponto de coordenadas (131,25; 118,75):
Resolvendo-se o sistema de equações, obtêm-se os ponderadores listados,
juntamente com os valores da variável de interesse:
Tc = (5*0,047+15*0,572+18*0,317+20*0,064)=15,801 g/t