Aula Avançada - O Campo Magnético - 02

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O CAMPO MAGNÉTICO
A FORÇA DE LORENTZ
Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), físico holandês, teve participação importante no
desenvolvimento da teoria da relatividade. Ganhou o Prêmio Nobel de física de 1902.
Geralmente os textos introdutórios sobre magnetismo iniciam com um histórico da descoberta
do fenômeno, ocorrida na cidade de Magnésia, por volta do ano 121 DC. Tanto o Halliday-Resnick
quanto
o
Sears-Zemanski
fazem
esse
tipo
de
abordagem.
Do ponto de vista formal, devemos ter em mente que é impossível tratar cargas elétricas em
movimento sem levar em consideração a existência do campo magnético. Veremos logo adiante
que cargas em movimento criam um campo magnético. Por outro lado, havendo um campo
magnético em determinada região do espaço, este exercerá uma força sobre uma carga em
movimento.
Existem duas formas básicas de criação de um campo magnético. A primeira tem a ver com a
descoberta do fenômeno; trata-se do campo de um ímã permanente. A segunda forma tem a ver
com o campo criado por uma carga em movimento; trata-se do campo criado por uma corrente
elétrica.
Não importa, para o momento, qual a fonte de criação, o que importa é que dado um campo
magnético, B, este exerce uma força sobre uma carga, q, em movimento, dada por onde v é a
velocidade da carga. A força magnética é nula em duas circunstâncias:
Carga estacionária (v=0);
F = qvxB
Velocidade paralela ao vetor campo magnético.
No caso geral, em que temos um campo elétrico, E, e um campo magnético, a força sobre uma
carga em movimento é dada por
A força expressa em é conhecida como força de Lorentz.
A DESCOBERTA DO ELÉTRON
Joseph John Thomson (1856-1940), descobriu o elétron em 1897. Ganhou o Prêmio Nobel de
física de 1906.
O EFEITO HALL
A expressão (8.2) também permitiu a descoberta do efeito Hall que, como veremos, é
extremamente útil na indústria microeletrônica.
A figura 8.2 esquematiza o arranjo experimental para o estudo do efeito Hall. Tem-se uma fita
condutora com seção reta A (=Ld) através da qual circula um feixe de elétrons com velocidade v.
Figura 8.2
Aplicando-se um campo magnético na direção
horizontal, conforme indicado na figura 8.2, resulta
numa força magnética na direção perpendicular ao
movimento eletrônico, no sentido de cima para baixo.
Esta força fará com que o movimento dos elétrons seja desviado para baixo. Com o tempo, cargas
negativas acumulam-se na face inferior, e cargas positivas na face superior.
O excesso de cargas positivas e negativas, funciona como um capacitor de placas paralelas, com
um campo elétrico conhecido como campo Hall. Chegará um momento em que a força Hall
equilibra a força magnética,
qEH = qvB
Usando a eq. (6.3), J=nqv, e a definição da densidade de corrente, J=i/A, obtém-se
Por outro lado, EH = VH/d. Resulta daí que
Tendo em conta que a seção reta é dada por A=Ld, obtém-se
(8.4)
O efeito Hall permite a obtenção de dois resultados importantes. Em primeiro lugar, é possível
determinar o sinal da carga dos portadores, bastando medir a diferença de potencial entre as
superfícies superior e inferior. Em segundo lugar, a eq. (8.4) fornece o valor da densidade de
portadores.
Esses dois resultados são de extrema importância na indústria eletrônica, pois permite a
fabricação de dispositivos que dependem do tipo (elétrons ou lacunas) e da quantidade de
portadores.
MOVIMENTO DE UMA CARGA NUM CAMPO MAGNÉTICO
Figura 8.3
A eq. (8.1) mostra que se a velocidade da partícula tiver a mesma
direção do campo magnético, a força será nula, resultando num
movimento retilíneo uniforme. Por outro
lado, se o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor campo magnético for diferente de zero,
podemos decompor o vetor velocidade em duas direções: uma na direção de B, e outra
perpendicular. Isto é,
Portanto, o movimento de uma partícula, de massa m e carga q, numa região do espaço onde
existe um campo magnético, é sempre composto de um movimento retilíneo uniforme e de um
movimento circular. Este tipo de movimento é esquematizado na figura 8.3. Como se vê a força
centrípeta, que proporciona o movimento circular, é igual à força magnética.
qvB=mv2/r
Assim, a partícula movimenta-se num círculo com raio
r = mv/qB
(8.5a)
Da relação v=wr, obtém-se a velocidade angular
w = qB/m
(8.5b)
Da relação w=2pf, obtém-se a freqüência
F = qB/2pm
(8.5c)
e o período
T = 1/f = 2pm/qB
(8.5d)
FORÇA SOBRE UMA CORRENTE
Figura 8.4
Se um campo magnético exerce uma força sobre uma carga em
movimento, é óbvio que ele exercerá uma força sobre uma corrente
elétrica.
Vejamos
como
calcular
esta
força.
A força sobre um elétron é dada por
F=evB
Supondo que existam N elétrons no segmento L do fio (seção reta A), tem-se que a densidade
eletrônica será
n=N/LA
Sabemos que J=nev, logo,
A partir desses resultados, temos que a força sobre um elétron será
Portanto, a força sobre o segmento de fio será
A expressão geral é dada por
(8.6)
O sentido da força é obtido pela regra da mão direita para o produto vetorial. No caso da Figura
8.4, a força aponta para baixo.
FORÇA SOBRE UMA ESPIRA DE CORRENTE
Figura 8.6
Na figura 8.5 mostra-se uma espira retangular, de lados a e b,
percorrida por uma corrente i, na direção indicada. De acordo
com a eq. (8.6), as forças sobre os lados a e b são dadas por
F1=iaB
F2=ibB
Forças F1 (F2) atuam em lados opostos a (b). Vê-se facilmente
que as forças F2 equilibram-se, enquanto as forças F1
produzirão um torque na espira. Para melhor analisar esse
torque, vejamos a figura 8.5 sob outra perspectiva, conforme
ilustra a figura 8.6.
Figura 8.5
O torque será
Substituindo F1=iaB, A=ab e cosq=senq,
obtém-se
t=iABsenq
Para o caso de uma bobina com N espiras,
t=NiABsenq
Para uma espira, define-se seu momento de
dipolo magnético m=iA. Da mesma forma,
para uma bobina, com N espiras, define-se
m=NiA. Portanto, o torque sobre uma espira
ou sobre uma bobina, será
(8.7)
UNIDADES
Para materiais paramagnéticos e diamagnéticos:
B=mH
m = permeabilidade magnética
Para materiais ferromagnéticos:
B=f(H)
depende do material e do processo de magnetização.
H está relacionado com a corrente que o produz.
B depende tanto da corrente quanto da magnetização do meio.
Até aqui utilizamos o conceito genérico de campo magnético, ao qual associamos o símbolo B.
Esse tratamento torna-se mais complicado quando temos de abordar uma situação prática, para a
qual torna-se indispensável o uso de um sistema de unidade. Essa é uma questão bastante
complicada no caso do eletromagnetismo em geral, e mais ainda no caso especial do magnetismo.
Para avaliarmos esse nível de complexidade, vejamos o que está escrito em Sears & Zemanski
(Vol. 3, 1a edição, p. 534):
O campo magnético, tal como o campo elétrico, é um campo vetorial e seu valor e orientação
em qualquer ponto são especificados por um vetor B chamado indução magnética.
O campo magnético é chamado de indução magnética? A confusão vem do fato que, na prática,
“campo magnético” não é a mesma coisa que “indução magnética”! Esta equivalência é geralmente
usada para simplificar, mas causa o mistério colocado na definição acima. No capítulo 41, ao
discutir as propriedades magnéticas da matéria, Sears & Zemanski coloca a questão no contexto
correto. Portanto, mantém o leitor confuso ao longo de 4 capítulos.
No sistema SI, a unidade de B é o Tesla (T), enquanto no sistema CGS, sua unidade é o Gauss (G),
onde 1 T = 104 G = 1 Weber/m2. Por outro lado, a unidade de H é A/m no sistema SI e Oersted
(Oe) no sistema CGS (1 A/m = 4px10-3 Oe).
EXEMPLO 8.1
Figura 8.7
Um exemplo clássico de força magnética sobre uma partícula em
movimento é o espectrômetro de massa. Como esquematizado na
Figura 8.7, uma partícula de massa m e carga +q, é acelerada através
de um potencial V antes de penetrar numa região onde existe um
campo magnético B, perpendicularmente dirigido para fora do papel.
Sob a ação da força magnética a partícula percorrerá o semi-círculo
indicado na figura, até tocar no anteparo, a uma distância x do ponto
de
entrada.
Antes de penetrar na região do campo magnético, a partícula terá
adquirido energia pela aceleração através do potencial V. Dito de
outra forma, a partícula terá adquirido velocidade v, satisfazendo as
seguintes relações:
E=qV=½mv2
Ao penetrar na região do campo magnético, a partícula estará sujeita à força magnética, conforme
a eq. (8.1). Esta força será igualada à força centrípeta, de modo que facilmente obtém-se
Portanto, medindo-se a distância do impacto, x, pode-se calcular a massa da partícula, a partir
da sua carga e de parâmetros experimentais controláveis, B e V. Este é o princípio de
funcionamento do espectrômetro de massa.
EXEMPLO 8.2
Figura 8.8
A espira retangular da Figura 8.8 é “pivotada” no eixo y e conduz uma corrente de 10 A no
sentido indicado. Supondo que exista um campo magnético uniforme de 0,2 T paralelo ao eixo x,
calcule as forças e o torque sobre a espira, de modo que ela seja mantida na posição indicada.
Sobre os lados de 6 cm, atuam forças iguais 0,12 N, sendo a superior orientada na direção x, e a
inferior orientada na direção –x. Elas anulam-se e não exercem qualquer torque sobre a espira.
Sobre os lados de 8 cm, atuam forças F=0,16 N, orientadas de acordo com a Figura 8.9. Portanto,
a espira permanecerá na posição indicada, se uma força igual a 0,16cos(30), com torque antihorário, for aplicada no lado de 8 cm não-pivotado.
EXERCÍCIOS
Figura
8.10
Figura
8.11
8.1 Um elétron no ponto A da figura 8.10 tem uma velocidade v0=107 m/s. Determine: (a) o módulo
e a orientação da indução magnética que fará o elétron seguir a trajetória semicircular de A a B;
(b) o tempo necessário
para o elétron se mover
de A para
B.
-3
R:(a) 1,14x10 T, perpendicular e entrando no plano da folha; (b)15,68 ns.
8.2 Um elétron e uma partícula a (átomo de hélio duplamente ionizado) movem-se ambos em
trajetórias circulares em um campo magnético, com a mesma velocidade tangencial. Compare o
número de revoluções que eles fazem por segundo. A massa da partícula a é 6,68 x 10-27 kg.
R:fe/fa=3,7x103.
8.3 (a) Qual é a velocidade de um feixe de elétrons, quando a influência simultânea de um campo
elétrico de intensidade 34 x 104 V/m e de um campo magnético de intensidade 2 x 10-3 T, ambos
normais entre si e ao feixe, não produz deflexão alguma nos elétrons? (b) Mostre em um diagrama
as orientações relativas dos vetores V, E e B. (c) Qual é o raio da órbita eletrônica, quando o campo
elétrico
for
removido?
R:(a) 1,7x108 m/s; (c)0,484 m.
8.4 Um íon de Li7 com uma carga elementar tem uma massa de 1,16 x 10-23 g. Ele é acelerado
através de uma ddp de 500 V e depois penetra perpendicularmente em um campo magnético B=0,4
T.
Qual
é
o
raio
de
sua
trajetória
no
campo
magnético.
R:21,29x10-3 m.
8.5 O campo elétrico entre as placas do seletor de velocidades em um espectrômetro de massa de
Baimbridge é de 1200 V/cm, sendo 0,6 T a intensidade do campo magnético. Um feixe de íons de
neônio, tendo uma carga elementar, move-se em uma trajetória circular de ...
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