Gráfico Circular - Professor Joaquim

rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Estatística
Conjunto de métodos e processos quantitativos que servem para
estudar e medir os fenômenos coletivos.
Dessa forma, podemos dizer que a ESTATÍSTICA é uma parte da
Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, a
organização, a descrição, a análise e a interpretação de dados
quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões.
rofessor
Email: [email protected]
Aplicando a Estatística
. As indústrias costumam
realizar pesquisas entre os
consumidores antes do
lançamento de um novo produto
no mercado.
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
. As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos
direcionem a campanha.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
. A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou
em um campeonato interfere no planejamento dos treinamentos.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
. Emissoras de TV utilizam pesquisas que mostram a preferência dos
expectadores para organizar sua programação.
rofessor
Email: [email protected]
ESTATÍSTICA DESCRITIVA: baseiase essencialmente na coleta,
organização, apresentação e
interpretação de dados.
ESTATÍSTICA INDUTIVA: tem como
objetivo a inferência de conclusões
para toda a população a partir do
estudo da amostra.
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
CONCEITOS IMPORTANTES
População: conjunto dos elementos
que se pretende estudar.
Amostra: subconjunto da população.
Unidade estatística: designação dada
a cada elemento que constitui a
população.
Censo: quando a amostra é composta
por toda a população.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Variáveis estatísticas
Na figura ao lado observamos
um conjunto de pessoas.
Cada pessoa tem muitas
características ou variáveis:
 a cor do cabelo;
 a altura;
 o sexo;
 o peso;
 ...
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Num estudo estatístico parte-se de um conjunto. Cada elemento
desse conjunto (a unidade estatística) tem, provavelmente,
muitos caracteres, características ou atributos que chamamos
variáveis. Por exemplo:
Variáveis
Peso de uma pessoa
Marca de um automóvel
Velocidade do carro
Cor dos olhos
Valor observado
75 kg
Fiesta
80 km/h
Verdes
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Tipos de dados
Ao resultado de uma observação da variável
chamamos dado estatístico ou simplesmente
dado.
As variáveis classificam-se em qualitativas ou
quantitativas.
Os dados qualitativos representam
a informação que indica alguma
qualidade, categoria ou
característica não susceptíveis de
medida, mas de classificação.
Os dados quantitativos representam a
informação resultante de
características susceptíveis de serem
medidas. São dados numéricos e
podem ser de natureza:
discreta – dados discretos – ou
contínua – dados contínuos.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
As variáveis quantitativas
podem ser discretas ou
contínuas. Vejamos:
No conjunto dos alunos de uma turma consideram-se
as seguintes variáveis quantitativas:
• o número de irmãos;
• a altura.
A variável “número de irmãos” é uma variável estatística discreta.
O que caracteriza este tipo de variáveis é que, mesmo antes de se fazer a
observação, sabemos que devemos encontrar dados estatísticos que, em
termos geométricos, seriam representados na reta real por pontos isolados
em número finito ou infinito.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
A altura dos alunos de uma turma é um exemplo de uma variável
estatística contínua.
O que caracteriza este tipo de variáveis é que, mesmo antes de se
fazer uma observação, sabemos que, teoricamente, se podem
encontrar dados estatísticos que, em termos geométricos, seriam
representados na reta real por qualquer ponto de um intervalo.
Uma variável é contínua quando pode tomar todos os valores numéricos
compreendidos no seu intervalo de variação.
rofessor
Email: [email protected]
Resumindo
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
SÉRIES ESTATÍSTICAS
As tabelas servem para apresentar séries estatísticas.
TABELA: É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos
segundo linhas e colunas de maneira sistemática.
Número de funcionários da Companhia X, por sexo, 2005-10
Funcionários
Sexo
Ano
Total
Feminino
Masculino
2005
17
...
17
2006
21
3
18
2007
25
8
17
2008
34
12
22
2009
44
15
29
2010
52
17
35
Fonte: Relatório da companhia
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Distribuição de frequência
É uma série estatística em que os dados são agrupados com suas
respectivas frequências absolutas.
Sem intervalo de classe
Tabela 01 - Número de acidentes por dia na rodovia X em Janeiro de 2009
N de acidentes por dia
N de dias
0
10
1
7
2
4
3
5
4
3
5
2
Fonte: DNER
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Com intervalo de classe
Tabela 02 - Retiradas diárias no Banco do Brasil na cidade X em Janeiro de 2010.
Retirada
Frequência
500
600
12
600
700
36
700
800
63
800
900
81
900
1.000
77
1.000
1.100
42
1.100
1.200
24
Fonte: Arquivos do BB
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Dados brutos (Tabela primitiva): após ter sido feita a coleta de dados,
os dados originais ainda não se encontram prontos para análise, por
não estarem numericamente organizados. Assim, são chamados de
dados brutos.
Rol: o rol é uma lista em que os valores estão dispostos em uma
determinada ordem (crescente ou decrescente).
Exemplos:
2, 7, 0, 1, 3, 9, 8 – Dados brutos
0, 1, 2, 3, 7, 8, 9 – Rol
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
EXEMPLO 1
Após corrigir o teste de vestibular de Matemática,
que valia 5 pontos, de uma turma de 40 alunos, o
professor observou que as notas que eles
obtiveram eram as seguintes:
4, 4, 1, 3, 3, 4, 1, 5, 3, 1, 4, 3, 2, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 4,
2, 4, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 4, 1, 5, 3, 4, 5, 2, 5, 3, 5, 2, 3
O conjunto das notas obtidas na prova de
Matemática é o que chamamos de dados
estatísticos numéricos
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Notas
4, 4, 1, 3, 3, 4, 1, 5, 3, 1, 4, 3, 2, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 4,
2, 4, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 4, 1, 5, 3, 4, 5, 2, 5, 3, 5, 2, 3
Vamos montar a distribuição de freqüências
Para obter uma informação clara e precisa de uma série de dados estatísticos
numéricos, devemos primeiro ordená-los. A essa ordenação chamamos de
rol.
Rol
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5
rofessor
Email: [email protected]
Rol
1, 1, 1, 1,
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,
3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,
5, 5, 5, 5, 5, 5
Temos a seguinte distribuição,
onde a frequência simples de um
valor da variável é o número de
vezes que esse valor foi observado
e que vamos simbolizar por fi:
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Nota
fi
1
4
2
7
3
13
4
10
5
6
40
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Podemos ampliar um pouco mais a tabela, acrescentando mais uma
coluna (a coluna da frequência simples acumulada – Fi)
fi
Fi
1
4
4
2
7
11
3
13
24
4
10
34
5
6
40
Nota
40
1) Quantos alunos obtiveram nota
abaixo de 3?
2) Quantos alunos obtiveram uma
nota menor ou igual a 4.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Agora, vamos acrescentar outra coluna (a coluna da frequência relativa
simples – fri)
fi
Fi
fri
1
4
4
0,100
2
7
11
0,175
3
13
24
0,325
4
10
34
0,250
5
6
40
0,150
Nota
40
1,000
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Agora, vamos acrescentar outra coluna (a coluna da frequência relativa
simples percentual – fri (%))
fi
Fi
fri
1
4
4
0,100
10%
2
7
11
0,175
17,5%
3
13
24
0,325
32,5%
4
10
34
0,250
25%
5
6
40
0,150
15%
1,000
100%
Nota
40
fri (%)
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Note que podemos aumentar ou diminuir uma tabela, da forma que
quisermos, por exemplo, podemos calcular as frequências acumuladas
relativas e frequências acumuladas relativas percentuais.
fi
Fi
fri
1
4
4
0,100
10%
0,100
10%
2
7
11
0,175
17,5%
0,275
27,5%
3
13
24
0,325
32,5%
0,600
60%
4
10
34
0,250
25%
0,850
85%
5
6
40
0,150
15%
1,000
100%
1,000
100%
Nota
40
fri (%)
Fri
Fri (%)
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
EXEMPLO 2
Medimos a altura dos 40 alunos da classe do exemplo anterior.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A
166, 161, 162, 165, 164, 162, 168, 156, 160, 164,
155, 163, 155, 169, 170, 154, 156, 153, 156, 158,
160, 150, 160, 167, 160, 161, 163, 173, 155, 168,
152, 160, 155, 151, 164, 161, 172, 157, 158, 161
Montar a distribuição de freqüências.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Dados brutos
166, 161, 162, 165, 164, 162, 168, 156, 160, 164,
155, 163, 155, 169, 170, 154, 156, 153, 156, 158,
160, 150, 160, 167, 160, 161, 163, 173, 155, 168,
152, 160, 155, 151, 164, 161, 172, 157, 158, 161
1) vamos montar o rol
150, 151, 152, 153, 154, 155, 155, 155, 155, 156,
156, 156, 157, 158, 158, 160, 160, 160, 160, 160,
161, 161, 161, 161, 162, 162, 163, 163, 164, 164,
164, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 172, 173
2) Agora, vamos determinar o intervalo dos dados
O maior valor é 173 e o menor é 150
portanto, a amplitude total da distribuição (AT) é 173
150 = 23
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
No caso dos dados serem de natureza contínua, a construção da tabela de
frequências não é tão simples como no caso dos dados discretos, pois é
necessário definir previamente o número de classes.
Quantas classes devemos considerar para um conjunto de n dados?
É aconselhável tomar entre 5 e 15 classes.
Menos de 5 perde-se muita informação, mais de 15, têm-se detalhes
desnecessários.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Uma regra prática consiste em tomar a raiz quadrada de n e ajustá-la (se
necessário) aos limites de 5 a 15.
Podemos ainda usar uma fórmula chamada, Regra de Sturges, onde:
k = 1 +3,3 log n
Como no nosso caso o número de observações foi 40, temos n = 40.
Assim:
40
= 6,32 ou k = 1 +3,3 log 40 = 6,28
Em ambos os casos, temos i = 6
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Determinar a amplitude do intervalo de classe
o que podemos conseguir, dividindo a amplitude total pelo número de
classes.
h=
173 – 150
6
=
23
6
= 3,83
h=4
É importante saber que o resultado obtido por estas fórmulas pode
ser usado como referência, mas cabe ao pesquisador determinar o
número de classes que pretende organizar. Finalmente, quando se
constrói uma tabela de distribuição de freqüências, é melhor usar,
como extremos de classes, números fáceis de se trabalhar.
rofessor
Email: [email protected]
Temos a seguinte distribuição:
Estaturas
(cm)
Frequência
fi
150
154
4
154
158
9
158
162
11
162
166
8
166
170
5
170
174
3
40
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
rofessor
Email: [email protected]
Estaturas
(cm)
fi
Fi
150
154
4
4
154
158
9
13
158
162
11
24
162
166
8
32
166
170
5
37
170
174
3
40
40
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
Estaturas
(cm)
fi
Fi
fri
150
154
4
4
0,100
154
158
9
13
0,225
158
162
11
24
0,275
162
166
8
32
0,200
166
170
5
37
0,125
170
174
3
40
0,075
40
1,000
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
Estaturas
(cm)
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
fi
Fi
fri
fri (%)
150
154
4
4
0,100
10,00%
154
158
9
13
0,225
22,50%
158
162
11
24
0,275
27,50%
162
166
8
32
0,200
20,00%
166
170
5
37
0,125
12,50%
170
174
3
40
0,075
07,50%
1,000
100,00%
40
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Agora, vamos acrescentar outra coluna (a coluna do ponto médio da
classe - xi)
Estaturas
(cm)
fi
Fi
fri
fri (%)
xi
150
154
4
4
0,100
10,00%
152
154
158
9
13
0,225
22,50%
156
158
162
11
24
0,275
27,50%
160
162
166
8
32
0,200
20,00%
164
166
170
5
37
0,125
12,50%
168
170
174
3
40
0,075
07,50%
172
1,000
100,00%
40
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Note que, toda tabela deve ser delimitada por traços horizontais. Podem ser feitos traços
verticais para separar as colunas, mas não devem ser feitos traços verticais para delimitar
a tabela.
Estaturas
(cm)
fi
Fi
Fri
Fri (%)
150
154
4
4
0,100
10,00%
154
158
9
13
0,325
32,50%
158
162
11
24
0,600
60,00%
162
166
8
32
0,800
80,00%
166
170
5
37
0,925
92,50%
170
174
3
40
1,000
100,00%
40
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
Já sabemos que as tabelas de frequências dos
dados estatísticos nos dão uma informação boa e
ordenada nos exemplos que estudamos.
Muitas vezes, no entanto, queremos ter uma visão
generalizada e rápida. Por isso, os gráficos
estatísticos são muito úteis para entender e
comparar várias tabelas de frequências.
Podemos fazê-lo de várias formas. As mais comuns são: o diagrama de
barras, o histograma, o pictograma e o gráfico de setores.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
Gráficos em colunas
POPULAÇÃO BRASILEIRA
180
170
160
150,4
140
População em milhões
É representado por
retângulos dispostos
verticalmente.
Os retângulos têm a
mesma base e as
alturas são
proporcionais aos
respectivos dados.
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
119,7
120
93,1
100
80
70,1
60
51,9
41,2
40
20
0
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
Anos
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
Obs: Também podemos fazer o gráfico em colunas em 3 dimensões.
População Brasileira
180
160
população (milhões)
•
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
140
120
100
80
60
40
20
0
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000 anos
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Gráficos em barras
É semelhante ao gráfico em colunas, porém os retângulos são dispostos
horizontalmente.
População Brasileira
2000
a
n
o
s
1990
1980
1970
1960
1950
1940
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
população ( milhoes)
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
•
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Obs: Podemos também fazer o gráfico em barras em 3 dimensões.
População do Brasil
2000
1990
1980
a
n
1970
o
s
1960
1950
1940
0
20
40
60
80
100
120
140
160
população (milhões)
180
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Gráficos em linhas ou em curva
São frequentemente usados para
representação de séries cronológicas
com um grande número de períodos
de tempo.
Vendas da Companhia Delta 1995 a 2001
450
400
350
Objetivo: Mostrar a tendência do
fenômeno ao longo do tempo
As linhas são mais eficientes do que
as colunas, quando existem intensas
flutuações nas séries ou quando há
necessidade de se representarem
várias séries em um mesmo gráfico.
V
e
n
d
a
s
300
250
200
150
100
50
0
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
Anos
Para construí-lo, basta marcar os pontos e uni-los por meio de segmentos de reta.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Gráficos em setores.
É a representação gráfica de uma série estatística, construído com base em um
círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado
no total.
O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas
são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente
proporcionais aos dados da série.
É também chamado de gráfico de pizza.
Total __________360º
Parte___________ xº
Para representar os dados em um gráfico de setores é preciso que os valores
estejam em porcentagem, para isso devemos definir a frequência relativa dos
dados observados.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
EXEMPLO 1
Uma escola realizou uma pesquisa com seus 400 alunos do Ensino Médio
sobre a preferência por modalidades esportivas. Os dados foram distribuídos
conforme a tabela abaixo:
Modalidade
Futebol
Vôlei
Basquete
Natação
Outros
Total
fi
160
120
60
40
20
400
fri(%)
40%
30%
15%
10%
5%
100%
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos
levando-se em conta a proporção da área a ser representada relacionada
aos valores das porcentagens.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
A área representativa no gráfico será demarcada da seguinte maneira:
100% = 360
50% = 180
25% = 90
1% = 3,6
Concluímos que 1% corresponde a 3,6º, dessa forma podemos calcular os
ângulos dos dados percentuais da seguinte maneira:
Modalidade
fi
fri(%)
Ângulo
Futebol
160
40%
40 x 3,6o = 144o
Vôlei
120
30%
30 x 3,6o = 108o
Basquete
60
15%
15 x 3,6o = 54o
Natação
40
10%
10 x 3,6o = 36o
Outros
20
5%
5 x 3,6o = 18o
Total
400
100%
100 x 3,6o = 360o
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
EXEMPLO 2:
Entrevistaram-se 120 pessoas na saída de um cinema e perguntou-se a cada uma
delas qual a opinião acerca do filme.
Os dados foram registados, como se mostra na tabela abaixo.
Com os dados da tabela, construa um gráfico circular.
Modalidades
Muito bom
Bom
Razoável
Ruim
Total
fi
50
30
30
10
120
fri (%)
42%
25%
25%
8%
100%
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Para encontrar a amplitude do ângulo de cada setor, basta fazer a correspondência:
360º ---- n (total de elementos da amostra)
Em seguida, usa-se uma regra de três simples:
Modalidades
Muito bom
Bom
Razoável
Ruim
Total
fi
50
30
30
10
120
fri (%)
42%
25%
25%
8%
100%
360º ----- 120 pessoas
x ----- 50 pessoas
x = 150º
360º ----- 120 pessoas
x ----- 30 pessoas
x = 90º
360º ----- 120 pessoas
x ----- 10 pessoas
x = 30º
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Opinião das 120 pessoas acerca do filme
que acabaram de assistir
Modalidades
fi
fri (%)
Muito bom
50
42%
Bom
30
25%
Muito bom
Razoável
30
25%
Bom
Ruim
10
8%
Razoável
Total
120
100%
Ruim
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Pictogramas:
É a apresentação de uma série estatística por meio de símbolos representativos do
fenômeno.
O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela
sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva.
A representação gráfica consta de figuras.
Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois
sua forma é atraente e sugestiva.
Os símbolos devem ser auto-explicativos.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Opinião acerca do ator principal do filme
Muito bom
Bom
Razoável
Ruim
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Histograma
Uma distribuição de frequência representada por um gráfico de barras é
denominada histograma.
No eixo x vão as classes de freqüência “xi” e no eixo y a freqüência “fi”.
Estaturas de 40 alunos da escola A
fi
15
10
5
150
154
158
162
166
170
174
Estaturas
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Polígono de freqüência
O polígono de frequência é
obtido unindo-se os pontos
médios da parte superior de
cada retângulo do histograma
com segmentos de retas.
É importante notar que tanto o
histograma quanto o polígono
de frequência indicam a
frequência absoluta de cada
classe.
fi
15
10
5
150 154
158
162
166
170
174 Estaturas
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Estatísticas ajustadas e confiáveis
Muita gente se pergunta se é possível que as estatísticas, mesmo ajustadas e
apresentadas de acordo com um determinado interesse particular, continuam
sendo confiáveis.
A resposta para essa questão é positiva: as estatísticas podem continuar
confiáveis.
Vamos comprová-la com o seguinte caso:
Um gerente de vendas de uma editora resolve impressionar seu chefe para
obter um aumento de salário. Para tanto, elabora um gráfico estatístico das
vendas realizadas no ano anterior, como mostra a tabela a seguir.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Vendas de livros didáticos no ano
Meses do ano
Volumes vendidos
Janeiro
704 363
Fevereiro
707 450
Março
710 300
Abril
714 250
Maio
722 600
Junho
725 230
Julho
730 750
Agosto
736 125
Setembro
740 875
Outubro
743 500
Novembro
747 248
Dezembro
749 100
O efeito visual desse gráfico, com certeza, não tem muito impacto. Ele indica, ao
contrário do desejado, que as vendas permaneceram praticamente estáveis durante
todo o ano. Com ele, qualquer pretensão de aumento salarial não se justificaria.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Mas o gerente de vendas não se dá por vencido. Ele faz um segundo gráfico,
usando os mesmos dados, que mostra uma imagem completamente diferente.
Esse gráfico, sem dúvida, é muito mais favorável aos seus interesses do que o
anterior.
Embora ele apresente os dados
de outra maneira (ampliando e
focalizando apenas o espaço
de vendas entre 700 mil e 750
mil exemplares), não é menos
fiel à realidade do que o gráfico
anterior.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MÉDIA ARITMÉTICA: é o quociente da divisão da soma dos valores
da variável pelo número deles.
Questão 01
Determine a média dos valores:
10, 14, 13, 15, 16, 18, 12
Questão 02
Determine a média dos valores:
2, 4, 6, 8
Questão 03
Determine a média aritmética do seguinte conjunto de números:
7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, 11.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Questão 04
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para
variável o número de filhos do sexo masculino.
Determine a média aritmética desse conjunto.
No de meninos
0
1
2
3
4
fi
2
6
10
12
4
= 34
rofessor
Email: [email protected]
Questão 05
Determine a média da tabela:
Estaturas
(cm)
150
154
158
162
166
170
154
158
162
166
170
174
Total
fi
4
9
11
8
5
3
40
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
MODA: é o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de
valores.
Questão 01
Determine a moda dos dados:
7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 15
Questão 04
Determine a moda dos valores:
10, 14, 13, 15, 16, 18, 12
Questão 02
Determine a moda dos dados:
3, 5, 8, 10, 12, 13
Questão 05
Determine a moda do seguinte
conjunto de números:
7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, 11.
Questão 03
2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Questão 06
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para
variável o número de filhos do sexo masculino.
Determine a moda desse conjunto.
No de meninos
0
1
2
3
4
fi
2
6
10
12
4
= 34
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Questão 07
Considere uma pesquisa sobre o número de irmãos de cada aluno de
uma classe. Determine a moda desse conjunto.
No de irmãos
fi
0
1
2
3
8
15
12
5
= 40
Questão 08
Calcule a moda da distribuição:
xi
fi
1
2
2
4
3
6
4
8
5
3
6
1
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Questão 09
Determine a moda da tabela:
FÓRMULA:
Estaturas
(cm)
150
154
154
158
158
162
162
166
166
170
170
174
total
fi
Mo = l * +
4
9
11
8
5
3
40
D1
D1 + D2
x h*
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
MEDIANA: é uma medida de posição definida como sendo o número
que se encontra no centro de uma série de números, estando estes
dispostos, segundo uma ordem, crescente ou decrescente.
Questão 01
Determine a mediana dos dados:
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9
Questão 03
Determine a mediana da distribuição:
Diária
(R$)
200, 00
250, 00
300, 00
350, 00
Número de
operários
5
8
4
1
Questão 02
Determine a mediana dos dados:
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Questão 04
Determine a mediana da tabela:
FÓRMULA:
Estaturas
(cm)
150
154
158
162
166
170
154
158
162
166
170
174
Total
fi
∑ fi
4
9
11
8
5
3
40
Md = l * +
F (ant)
2
• h*
f*
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Vamos considerar a seguinte situação:
Exemplo 1
Uma pessoa é encarregada de organizar atividades de lazer para um
grupo de 6 pessoas e recebe a informação de que a média de idade do
grupo é de 20 anos.
Note que nesse caso, apenas a informação da média não é suficiente para
planejar as atividades, pois podemos ter grupos com média de idade de 20
anos e características totalmente diferentes,conforme podemos ver a
seguir.
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Grupo A:
20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos
xA
=
20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20
=
6
120
6
= 20 anos
Grupo B:
22 anos, 23 anos, 18 anos, 19 anos, 20 anos, 18 anos
xB
=
22 + 23 + 18 + 19 + 20 + 18
6
=
120
6
= 20 anos
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Grupo C:
6 anos, 62 anos, 39 anos, 4 anos, 8 anos, 1 ano
xC
=
6 + 62 + 39 + 4 + 8 + 1
6
=
120
6
= 20 anos
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Observe que no grupo A, não houve dispersão.
A dispersão no grupo B é menor que no grupo C.
Dizemos que o grupo B é mais homogêneo que o grupo C.
Dessa forma, vamos usar uma medida denominada VARIÂNCIA
Vamos descobrir a variância nos grupos A, B e C
Grupo A: (20, 20, 20, 20, 20, 20)
x = 20
Desvios: 20
20 = 0 (todos são iguais a 0)
V=0
Quando todos os valores são iguais, dizemos que não houve dispersão
e, por isso, a variância é nula.
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Grupo B: (22, 23, 18, 19, 20, 18)
x = 20
Desvios:
22 20 = 2; 23
2
2
20 = 3; 18
2
2
2
20 = 1; 20
2
2 + 3 + ( 2) + ( 1) + 0 + ( 2)
V=
6
V=
20 = 2; 19
22
6
= 3, 6
=
20 = 0; 18
4+9+4+1+0+4
6
20 = 2
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Grupo C: (6, 62, 39, 4, 8, 1)
x = 20
Desvios:
6 20 = 14; 62
2
V=
20 = 42; 39
2
2
20 = 19; 4
2
196 + 1764 + 361 + 256 + 144 + 361
6
V=
2
( 14) + 42 + 19 + ( 16) + ( 12) + ( 19)
6
V=
20 = 16; 8
3082
6
= 513, 6
2
20 = 12; 1
20 = 19
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
DESVIO PADRÃO
O desvio padrão (s) é a raiz quadrada da variância.
No exemplo dado, temos:
Grupo A: s =
0
= 0 anos
Grupo B: s =
3,6
Grupo C: s =
513,6
= 1,9 anos
= 22,6 anos
Observe que:
1) Quando todos os valores da variável são iguais, o desvio padrão é 0;
2) Quanto mais próximo de 0 é o desvio padrão, mais homogênea é a
distribuição dos valores da variável;
3) O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Exemplo 2
Em um treinamento de salto em altura, os atletas realizaram 4 saltos cada
um, sendo as marcas de três atletas registradas abaixo.
Atleta A: 148 cm, 170 cm, 155 cm e 131 cm
Atleta B: 145 cm, 151 cm, 150 cm e 152 cm
Atleta C: 146 cm, 151 cm, 143 cm e 160 cm
a) Qual deles obteve a melhor média?
b) Qual deles foi o mais regular?
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
a) Vamos calcular a média de cada atleta.
Atleta A (148, 170, 155,131)
xA =
148 + 170 + 155 + 131
4
=
604
4
= 151 cm
Atleta B (145, 151, 150, 152)
xB =
145 + 151 + 150 + 152
4
=
598
4
= 149,5 cm
Atleta C (146, 151, 143, 160)
xC =
146 + 151 + 143 + 160
4
=
600
4
= 150 cm
Logo, o atleta A obteve
a maior média, 151 cm
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
b) A maior regularidade será verificada a partir do desvio padrão.
x = 151
Atleta A (148, 170, 155, 131)
(148
2
151) + (170
2
151) + (155
2
151) + (131
V=
4
2
2
2
( 3) + (19) + (4) + (20)
2
V=
4
9 + 361 + 16 + 400
V=
4
s=
196,5
=
786
4
= 14 cm
V = 196,5
151)
2
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
Atleta B (145, 151, 150, 152)
x = 149,5
2
2
(145
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
149,5) + (151
149,5) + (150
2
149,5) + (152
V=
4
2
2
2
( 4,5) + (1,5) + (0,5) + (2,5)
2
V=
4
20,25 + 2,25 + 0,25 + 6,25
V=
4
s=
7,25
= 2,7 cm
=
29
4
V = 7,25
149,5)
2
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
x = 150
Atleta C (146, 151, 143, 160)
(146
2
150) + (151
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
2
150) + (143
2
150) + (160
V=
4
2
2
2
( 4) + (1) + ( 7) + (10)
2
V=
4
16 + 1 + 49 + 100
V=
4
s=
41,5
= 6,4 cm
=
166
4
V = 41,5
150)
2
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Observando o desempenho de cada atleta, temos:
Atleta A
s = 14 cm
Atleta B
s = 2,7 cm
Atleta C
s = 6,4 cm
Logo, o atleta B foi o mais regular, pois o seu desvio padrão é o menor,
aproximadamente 2,7 cm.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
MODELO DE PESQUISA
Se for criada uma lei antifumo, você concordaria?
• Foram consultadas 62 pessoas:
•
- 43 pessoas concordam
•
- 19 pessoas não concordam
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Tabela de frequências
Concorda com a lei
anti-fumo?
fi
fri (%)
Sim
43
69%
Não
19
31%
Total
62
100%
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Gráfico circular
Concorda com a lei anti-fumo?
31%
Sim
Não
69%
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Você fuma – sim ou não?
• Foram consultadas 62 pessoas:
•
- 41 pessoas responderam que sim
•
- 21 pessoas responderam que não
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Gráfico circular
Fuma - sim ou não?
34%
Sim
Não
66%
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Se fuma, desde que idade
o faz?
• Das 41 pessoas que disseram que fumavam:
•
- 3 começaram a fumar aos 14 anos
•
- 2 começaram aos 15 anos
•
- 10 começaram aos 16 anos
•
- 8 começaram aos 17 anos
•
- 15 começaram aos 18
•
- 2 começaram aos 19
•
- 1 começou aos 20
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Tabela de frequências
Idade em que
começou a
fumar
Frequência
Absoluta
Frequência
Absoluta
Acumulada
Frequência
Relativa
%
Frequência
Relativa
Acumulada
14
3
3
7,3
7,3
15
2
5
4,9
12,2
16
10
15
24,4
36,6
17
8
23
19,5
56,1
18
15
38
36,6
92,7
19
2
40
4,9
97,6
20
1
41
2,4
100
Totais:
41
100
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Gráfico de Barras
40,00%
35,00%
30,00%
14 anos
15 anos
25,00%
16 anos
20,00%
17 anos
15,00%
18 anos
10,00%
5,00%
0,00%
19 anos
20 anos
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Gráfico Circular
Gráfico circular - Fuma desde que idade?
19 anos;
4,9 %
20 anos;
2,4%
14 anos;
7,3%
15 anos;
4,9%
16 anos;
24,4%
18 anos;
36,6%
17 anos;
19,5%
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Pictograma
14
15
16
17
18
19
20
= 2 pessoas
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Histograma
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Polígono de Frequências
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Polígono de frequências
acumuladas
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Média
Para se fazer a média, somam-se todos os valores dados, e depois
divide-se esse resultado pelo número de elementos da amostra.
14 x 3 + 15 x 2 + 16 x 10 + 17 x 8 + 18 x 15 + 19 x 2 + 20 = 17
41
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Mediana
A mediana é o valor central dos dados.
14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 20
17
A mediana dos dados é 17.
rofessor
oaquim
Email: [email protected]
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Moda
A moda é o valor que se repete com mais frequência. É o dado estatístico
que ocorre mais vezes numa distribuição.
Se um conjunto de dados não tiver moda ou tiver mais que uma moda,
diz-se amodal.
Fuma desde que idade?
Idade
20
1
2
18
A moda é 18, porque é o que
tem mais frequência.
15
8
16
10
2
14
3
0
5
10
Nº de pessoas
15
20
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Conclusão
Através dos resultados obtidos nos questionários
realizados, conclui-se que:
- a maioria das pessoas (69%) concorda com a lei
anti-fumo, apesar de grande parte (66%) dos
entrevistados ser fumante.
- e que a idade em que as pessoas entrevistadas
começaram a fumar é, em média, 17 anos, mas que
a resposta mais frequente é 18 anos.
rofessor
Email: [email protected]
oaquim
cel.: 9961-9349 ou 9152-5685