Notas de aula #2 (18/03/17)

01
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I (MAF 2201)
Prof. EDSON VAZ
NOTA DE AULA II
FORÇA E MOVIMENTO
Força é uma grandeza vetorial que pode causar aceleração de um corpo, ou seja, forças
podem causar alteração na velocidade de um corpo.
A relação entre uma força e a aceleração que ela causa foi descrita por Isaac Newton
(1642 – 1727). O estudo desta relação, como apresentado por Newton, é chamado de
mecânica newtoniana.
A mecânica newtoniana não se aplica a todas as situações. Se as velocidades dos
corpos que interagem são muito grandes, devemos substituir a mecânica newtoniana pela
teoria da relatividade especial de Einstein, que vale em qualquer velocidade, inclusive aquelas
próximas à da luz. Se os corpos que interagem estiverem na escala da estrutura atômica,
devemos substituir a mecânica newtoniana pela mecânica quântica. A mecânica newtoniana
pode ser descrita como um caso especial destas duas teorias mais abrangentes.
PRIMEIRA LEI DE NEWTON – LEI DA INÉRCIA
Considere um corpo sobre o qual a força resultante é nula. Se o corpo estiver em
repouso, ele permanecerá em repouso. Se o corpo estiver em movimento, ele permanecerá em
movimento com velocidade constante (aceleração nula).
A força resultante sobre um corpo é a soma vetorial de todas as forças que agem nele.
A força resultante possui o mesmo efeito sobre o corpo que todas as forças individuais juntas.
Este fato é chamado de princípio da superposição de forças.
SISTEMAS DE REFERÊNCIA INERCIAIS
A primeira Lei de Newton não é válida em todos os sistemas de referência, mas
sempre podemos achar sistemas de referência nos quais ela (e o resta da mecânica
newtoniana) é verdadeira. Tais referenciais são chamadas de sistemas de referência inerciais
ou simplesmente referenciais inerciais, ou seja, referenciais inerciais são aqueles para os quais
as leis de Newton são válidas.
SEGUNDA LEI DE NEWTON
A força resultante sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela
aceleração do corpo. Em termo de equação temos
Fres  m.a
Que pode ser escrita em termos das componentes como
Fres , x  m.ax , Fres , y  m.a y , Fres , z  m.az
02
Observe que as equações são independentes para cada direção, portanto podemos operar
separadamente em cada direção. Lembrar que quando estamos trabalhando com as
componentes dos vetores numa determinada direção não temos necessidade do uso da notação
vetorial. Porém devemos ficar atentos a questão de que estamos trabalhando com operações
vetoriais, ou seja, as componentes vetoriais em determinada direção indica que os vetores têm
esta direção e o sinal indica o sentido de cada um dos vetores.
TERCEIRA LEI DE NEWTON – Lei de Ação e Reação
Sempre que um corpo exerce uma força sobre outro, o segundo também exercerá sobre
o primeiro uma força igual em intensidade, de sentido oposto e com a mesma linha de ação
(mesma direção).
Devemos observar que as duas forças que formam o par ação e reação sempre atuam
em corpos diferentes.
ALGUMAS FORÇAS ESPECIAIS
O PESO
O peso de um corpo está relacionado à força gravitacional exercida sobre o corpo. È
comum nos referirmos ao peso W de um corpo como o módulo da força gravitacional que age
sobre este corpo.
W  mg
O aluno não deve confundir o peso (módulo de uma força) com a massa do corpo.
Massa é uma grandeza escalar e é uma propriedade intrínseca do corpo.
FORÇA NORMAL
Quando um corpo comprime uma superfície, a superfície reage empurrando o corpo
com uma força normal – que é perpendicular á superfície de contato.
FORÇA DE ATRITO
A força de atrito é uma força que age sobre um corpo quando o corpo desliza ou tenta
deslizar sobre uma superfície. Esta força é sempre paralela à superfície e está no sentido
oposto ao movimento (ou tendência de movimento) do corpo.
FORÇA DE TRAÇÃO
Quando um fio é preso a um corpo e é bem esticado, o fio puxa o corpo com um força
T na direção do fio e no sentido que se afasta do corpo. Está força é freqüentemente chamada
de força de tração.
Para um fio inextensível e de massa desprezível, a tração tem o mesmo valor (módulo)
em qualquer ponto do fio.
03
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE (corpo isolado)
Para resolvermos problemas envolvendo a segunda Lei de Newton, freqüentemente
desenhamos um diagrama de corpo livre em que o único corpo apresentado é aquele para o
qual estamos somando forças. Somente as forças que atuam no corpo considerado devem ser
consideradas, ou seja, devemos representar apenas as forças que atuam naquele corpo.
Um sistema formado por um ou mais corpos pode ser tratado como um único corpo,
neste caso devemos ter o cuidado de representar apenas as forças exercidas por corpos fora do
sistema (forças externas) sobre o sistema considerado.
Exercícios:
1.
Duas forças F1  (3N )iˆ  (4 N ) ˆj e F2  (1N )iˆ  (2 N ) ˆj puxam um determinado corpo. (a)
Determine o vetor força resultante
o resultante
F1 + F2 ;
(b) Representa, em uma figura, os vetores
F1 , F2 e
F1 + F2 .
2. Se o corpo padrão de 1 kg possuir uma aceleração de 2,00 m/s2 inclinada de 20º em
relação ao sentido positivo do eixo x, então qual será (a) a componente x e (b) a
componente y da força resultante que age sobre ele, e (c) qual é a força resultante da
notação de vetor unitário?
3. Duas forças horizontais agem sobre um bloco de 2,0 kg que pode deslizar sobre um
balcão de cozinha sem atrito, que está posicionado em um plano xy. Uma força é
F1 = (3, 0N)iˆ + (4, 0N)jˆ . Ache a aceleração do bloco na notação de vetor unitário quando a
outra força for (a)
F2 = (-3, 0N)iˆ + (-4, 0N)jˆ ,
(b)
F2 = (-3, 0N)iˆ + (4, 0N)jˆ ,
(c)
F2 = (3, 0N)iˆ + (-4, 0N)jˆ .
4. Enquanto duas forças agem sobre ela, uma partícula tem que se mover com velocidade
constante v = (3m/s)iˆ - (4m/s)jˆ . Uma das forças é F1 = (2N)iˆ + (-6N)jˆ . Qual é a outra força?
5.
Três forças agem sobre uma partícula que se move com velocidade constante
Duas das forças são F1 = (2N)iˆ + (3N)jˆ + (-2N)kˆ e F2 = (-5N)iˆ + (8N)jˆ + (-2N)kˆ .
Qual é a terceira força?
V = (2m/s)iˆ - (7m/s)jˆ .
6. Três astronautas, impulsionados por backpacks a jato, empurram e guiam um asteróide de
120kg em direção a uma plataforma de processamento, exercendo as forças mostradas na
figura abaixo. Qual é a aceleração do asteróide (a) na notação de vetor unitário e como (b)
um módulo e (c) uma direção?
Y
32 N
55 N
30º
60º
41 N
X
04
7. Há duas forças atuando sobre a caixa de 2,0 kg vista de cima na figura abaixo, mas
apenas uma é mostrada. A figura mostra também a aceleração da caixa. Ache a Segunda
força (a) na notação de vetor unitário e como (b) um módulo e (c) uma direção.
Y
F1 = 20N
X
30º
a = 12 m/s2
8. (a) Um salame de 11,0 kg está pendurado por um fio que se estende até uma balança de
mola, que é apoiada por outro fio preso no teto (Fig.a). Qual é a leitura da balança, que
está marcada em unidades de peso? (b) Na Fig.b o salame está pendurado por um fio que
passa por uma roldana e uma balança. A extremidade oposta da balança é presa por um fio
a uma parede. Qual é a leitura na balança? (c) Na Fig.c a parede foi substituída por um
segundo salame de 11,0 kg do lado esquerdo; o conjunto está parado. Qual é a leitura na
balança agora?
9. Um bloco pesando 3,0N está em repouso sobre uma superfície horizontal. Uma força para
cima de 1,0N é aplicada ao bloco por meio de uma corda vertical presa a ele. Qual o
módulo, a direção e o sentido da força que o bloco exerce sobre a superfície horizontal?
10. Uma partícula possui um peso de 22N em um ponto onde g = 9,8 m/s2. Quais são (a) o
seu peso e (b) a sua massa em um ponto onde g = 4,9 m/s2? Quais são (c) o seu peso e (d)
a sua massa se ela for movimentada para um ponto no espaço onde g = 0?
05
11. Calcule o peso de um patrulheiro espacial de 75kg (a) na Terra, (b) em Marte, onde g =
3,8 m/s2, e (c) no espaço interplanetário, onde g = 0. (d) Qual é a massa do patrulheiro em
cada um destes locais?
12. Uma criança de 29,0 kg, com uma mochila de 4,50 kg nas costas, inicialmente em pé em
uma calçada, dá um pulo para cima. Ache o módulo, a direção e o sentido da força que a
criança exerce sobre a calçada quando a criança estiver (a) parada em pé e (b) no ar.
Depois ache o módulo, a direção e o sentido da força resultante sobre a terra devido à
criança quando ela estiver (c) parada em pé e (d) no ar.
13. Na figura abaixo, considere que a massa do bloco é de 8,5 kg e que o ângulo  é de 30º.
Ache (a) a tração no fio (b) a força normal que age sobre o bloco. (c) se o fio for cortado,
determine o módulo da aceleração do bloco.
Sem atrito

14. A tração na qual uma linha de pesca se rompe é comumente chamada de “resistência” da
linha. Qual é a resistência mínima necessária para uma linha que deve parar um salmão
que pesa 85N em 11 cm se o peixe estiver inicialmente se deslocando a 2,8 m/s?
Considere uma desaceleração constante.
15. Uma garota de 40 kg e um trenó de 8,4 kg estão em repouso sobre o gelo sem atrito de
um lago congelado. Inicialmente eles estão a uma distância de 15 m um do outro e unidos
por uma corda de massa desprezível. A garota exerce uma força horizontal de 5,2 N sobre
a corda. (a) Qual é a aceleração do trenó? (b) Qual é a aceleração da garota? (c) A que
distância da posição inicial da garota eles se encontram?
16. Um bombeiro pesando 712 N desce uma coluna escorregando com uma aceleração para
baixo de 3,00 m/s2. Quais são os módulos, direções e sentidos das forças verticais (a) que
a coluna exerce sobre o bombeiro e (b) que o bombeiro exerce sobre a coluna?
17. Uma esfera de massa 3,0 x 10-4 kg está suspensa por um fio. Uma brisa sopra
ininterruptamente na direção horizontal empurrando a esfera de tal forma que o fio faz um
ângulo constante de 37º com a vertical. Ache (a) o módulo daquele empurrão e (b) a
tração no fio.
06
18. Dois blocos estão em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma força horizontal é aplicada
ao bloco maior, como mostrado na figura abaixo. (a) Se m1 = 2,3 kg, m2 = 1,2 kg e F =
3,2N, ache o módulo da força entre os dois blocos, (b) Mostre que se uma força de mesmo
módulo F for aplicada ao bloco menor mas no sentido contrário, o módulo da força entre
os blocos será 2,1 N, que não é o mesmo valor calculado em (a). (c) Explique a diferença.
m1
F
m2
19. Um elevador e sua carga possuem uma massa combinada de 1600 kg. Acha a tração no
cabo de sustentação quando o elevador, que originalmente estava descendo a 12 m/s, é
elevado ao repouso com aceleração constante em uma distância de 42 m.
20. A figura abaixo mostra quatro pingüins que estão se divertindo ao serem puxados em uma
camada de gelo bastante escorregadia (sem atrito) por um tratador. As massas dos três
pingüins e a tração em dois dos fios são dadas. Ache a massa do pingüim que não foi
dado.
21. Na figura abaixo, três blocos estão ligados e são puxados para a direita sobre uma mesa
horizontal sem atrito por uma força com um módulo de T3 = 65,0N. Se m1 = 12,0 kg, m2 =
24,0 kg e m3 = 31,0 kg, calcule (a) a aceleração do sistema e as trações (b) T1 e (c) T2 nos
fios de ligação entre os blocos.
T1
m1
T2
M2
T3
M3
07
22. Um trabalhador arrasta um caixote pelo piso de uma fábrica puxando uma corda presa ao
caixote, como está representado na figura abaixo (Fig.14). O trabalhador exerce uma força
de 450N sobre a corda, que está inclinada de 38º em relação à horizontal, e o piso exerce
uma força horizontal de 125N que se opõe ao movimento. Calcule o módulo da aceleração
do caixote se (a) a sua massa for de 310 kg e (b) o seu peso for de 310N.
23. Na figura abaixo, uma corrente composta de cinco elos, cada um de massa igual a 0,100
kg é suspensa verticalmente com uma aceleração constante de 2,50 m/s2. Ache os módulos
(a) da força que o elo 2 exerce sobre o elo 1, (b) da força que o elo 3 exerce sobre o elo 2,
(c) da força que o elo 4 exerce sobre o elo 3 e (d) da força que o elo 5 exerce sobre o elo 4.
Depois ache os módulos (e) da Força F que a pessoa levantando a corrente exerce sobre o
elo mais elevado e (f) a força resultante que acelera cada elo.
24. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg sobre um plano inclinado de 30,0º está ligado por um
fio que passa por uma roldana sem massa e sem atrito a um segundo bloco de massa m2 =
2,30 kg suspenso verticalmente, como está representado na figura abaixo. Quais são (a) o
módulo da aceleração de cada bloco e (b) a direção e sentido da aceleração do bloco
suspenso? (c) Qual é a tração no fio?
m1
30º
m2
08
25. Um macaco de 10 kg sobe em uma corda sem massa pendurada em um galho de árvore
que está presa do outro lado em um caixote de 15 kg no chão, como está representado na
figura abaixo. (a) Qual o módulo da menor aceleração que o macaco deve ter para que ele
consiga levantar o caixote do chão? Se, depois de o caixote Ter sido levantado, o macaco
parar de subir e ficar agarrado na corda, quais serão (b) o módulo, (c) a direção e o sentido
da aceleração do macaco, e (d) qual será a tração na corda?
26. Um elevador pesando27, 8 kN recebe uma aceleração para cima de 1,22 m/s2 por meio de
um cabo. (a) Calcule a tração no cabo. (b) Qual será a tração quando o elevador estiver
desacelerando a uma taxa de 1,22 m/s2 mas ainda estiver se movendo para cima?
27. Uma lâmpada está suspensa na vertical por um fio em um elevador que está descendo e
que desacelera a 2,4 m/s2. (a) Se a tração no fio é 89N, qual é a massa da lâmpada? (b)
qual será a tração do fio quando o elevador estiver subindo com uma aceleração para cima
de 2,4m/s2?
FORÇA DE ATRITO
Quando uma força F é aplicada a um corpo, tendendo a fazer com que ele deslize
sobre uma superfície, a superfície exerce uma força de atrito sobre o corpo. A força de atrito é
paralela à superfície e está orientada de modo a se opor ao deslizamento. Se o corpo não
deslizar, a força de atrito é uma força de atrito estático f s . Se houver deslizamento, a força de
atrito será uma força de atrito cinético f k .
TRÊS PROPRIEDADES DO ATRITO
1. Se o corpo não se move, então a força de atrito estático f s e a componente de F que é
paralela à superfície se equilibram (elas possuem mesmo módulo, mesma direção e
sentidos opostos). Se essa componente de F aumenta, a intensidade de f S também
aumenta, mantendo o equilíbrio.
2. O módulo de f s possui um valor máximo igual ao produto do coeficiente de atrito
estático (µs) pelo módulo da força normal (N) exercida pela superfície sobre o corpo
 f s ,max   s .N  . Se o módulo da componente de F que é paralela à superfície exceder
f s ,max , o corpo começa a deslizar ao longo da superfície. A força de atrito estático
pode ter qualquer valor entre zero e o seu valor máximo. Assim
f s   s .N
09
Observe que o sinal de igualdade vale apenas quando o componente de F paralela a
superfície, está a ponto de fazer o corpo se movimentar, ou seja, o corpo está na iminência de
movimento.
3. Se o corpo começar a deslizar ao longo da superfície, o módulo da força de atrito
cinético f K é dado por
f K   K .N
Onde,  K é o coeficiente de atrito cinético.
FORÇA DE ARRASTO E VELOCIDADE TERMINAL
Quando ocorre movimento relativo entre o ar (ou algum outro fluído) e um corpo, o
corpo sofre a ação de uma força de resistência, a qual é denominada força de arrasto D . A
força de arrasto se opõe ao movimento relativo e é paralela à direção em que o fluído escoa
em relação ao corpo. Para determinados casos, a intensidade de D é dada por
1
D  C  Av 2
2
onde:
C – é o coeficiente de arrasto
 - é a densidade do ar
A - é a área de seção transversal efetiva do corpo (área de uma seção
transversal perpendicular à velocidade relativa v).
v - é a velocidade relativa entre o corpo e o ar.
Quando um objeto rombudo, imerso no ar, tiver caído por um tempo suficiente, os módulos
da força de arrasto D e da força gravitacional Fg que agem sobre o corpo se igualam. O
corpo então passa a cair com uma velocidade constante, chamada de velocidade terminal vt ,
dada por
vt 
2 Fg
C A
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Quando um corpo se move em um círculo (ou arco de círculo) com velocidade de
módulo constante v, diz-se que ele está em movimento circular uniforme. A velocidade é um
vetor e não um escalar. Assim, mesmo que a velocidade mude apenas de direção, ainda há
uma aceleração. No movimento circular e uniforme esta aceleração está sempre na direção
radial voltada para o centro do círculo e é chamada de aceleração centrípeta, sendo o seu
módulo dado por
a
v2
R
010
Onde R é o raio da trajetória e v é o módulo da velocidade do corpo.
Esta aceleração se deve a uma força centrípeta resultante, dirigida para o centro de
curvatura da trajetória da partícula, cuja intensidade é dada por
v2
F m
R
Onde, m é a massa da partícula.
Observe que a força centrípeta não é um novo tipo de força. O nome apenas está
relacionado à orientação da força. A força centrípeta pode ter origem numa força de atrito, na
força gravitacional, na força de tração ou qualquer outro tipo de força.
Exercícios:
28. Na figura abaixo (Fig.a) uma garrafa térmica é empurrada e desliza para a esquerda
sobre uma bandeja plástica. Quais são as direções das forças de atrito cinético (a) que
a bandeja exerce sobre a garrafa térmica e (b) que a garrafa térmica exerce sobre a
bandeja? (c) a bandeja aumenta ou reduz a velocidade da garrafa térmica em relação
ao piso? Na Fig.b, a bandeja agora é empurrada e desliza para a esquerda, por baixo da
garrafa térmica. Quais são agora os sentidos das forças de atrito cinético que (d) a
bandeja exerce sobre a garrafa térmica e (e) que a garrafa térmica exerce sobre a
bandeja? (f) a bandeja aumenta ou reduz a velocidade da garrafa térmica em relação
ao piso? (g) forças de atrito cinético sempre reduzem a velocidade dos objetos?
V
V
(a)
(b)
29. Na figura abaixo, uma força horizontal F1 com intensidade de 10N é aplicada a uma
caixa que se encontra no chão, sem que a caixa deslize. Então, conforme a intensidade
da força vertical F2 vai sendo aumentada a partir de zero, as grandezas a seguir terão o
seu valor aumentado, reduzido ou permanecerão constantes: (a) a intensidade da força
de atrito estático fS sobre a caixa; (b) a intensidade da força N que o piso exerce sobre
a caixa; (c) o valor máximo da força de atrito estático
a possibilidade de a caixa acabar deslizando?
F1
F2
fS.MAX
sobre a caixa? (d) existe
011
30. Se você pressionar horizontalmente um engradado de maçãs contra uma parede
vertical, de uma maneira tão firme que o engradado não possa escorregar parede
abaixo, qual a direção e o sentido (a) da força de atrito estático fS que a parede exerce
sobre o engradado e (b) da força normal N que a parede exerce sobre o engradado? Se
você aumentar a força com que você empurra o engradado contra a parede, o que
acontece com (c) fS , (d) N e (e) fS.MAX ?
31. Na figura abaixo, se a caixa estiver em repouso e o ângulo  da força F for
aumentado, as seguintes grandezas aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas:
(a) Fx; (b) fS ; (c) N; (d) fS.MAX ? (e) Se, ao contrário, a caixa estiver deslizando e o
ângulo  for aumentado, a intensidade da força de atrito sobre a caixa aumenta,
diminui ou permanece a mesma?
32. Responda as perguntas do exercício 31 para o caso da força
em vez de para baixo, como desenhada.
33.
F
estar orientada para cima
Na figura abaixo está representado um bloco de massa m sobre uma placa espessa de
massa M, e uma força horizontal F aplicada sobre o bloco, fazendo com que este se
mova em relação à placa. Há atrito entre o bloco e a placa (mas não entre a placa e o
piso). (a) Qual massa determina a intensidade da força de atrito entre o bloco e a placa?
(b) Na interface bloco-placa, a intensidade da força de atrito que atua sobre o bloco é
maior, menor ou igual àquela da força de atrito que atua sobre a placa? (c) Quais são os
sentidos destas duas forças de atrito? (d) Se escrevêssemos a Segunda lei de Newton para
a placa, qual a massa deveria ser multiplicada pela aceleração da placa?
Sem atrito
F
Bloco, m
Placa espessa, M
34.
O coeficiente de atrito estático entre o Teflon e os ovos mexidos é de aproximadamente
0,04. Qual o menor ângulo, medido em relação à horizontal, que fará com que os ovos
deslizem no fundo de uma frigideira revestida com Teflon?
35.
Uma pessoa empurra na horizontal um engradado de 55kg com uma força horizontal de
220N para movê-lo sobre um piso horizontal. O coeficiente de atrito cinético é de 0,35.
(a) Qual é a intensidade da força de atrito? (b) Qual é a intensidade da aceleração do
engradado?
012
36.
Um disco de hóquei, de 110g, posto para deslizar sobre o gelo, numa pista horizontal,
pára após percorrer 15m devido à força de atrito exercida pele gelo sobre ele. (a) Se a sua
velocidade inicial for de 6,0m/s, qual será a intensidade da força de atrito? (b) Qual será
o coeficiente de atrito entre o disco e o gelo?
37.
Uma força horizontal F de 12N empurra um bloco que pesa 5,0N contra uma parede
vertical, como está representado na figura abaixo. O coeficiente de atrito estático entre a
parede e o bloco é de 0,60, e o coeficiente cinético é de 0,40. Suponha que o bloco não
esteja se movendo inicialmente. (a) o bloco irá se mover? (b) qual é a força da parede
sobre o bloco, na notação de vetor unitário?
y
F
38.
x
Um trabalhador deseja amontoar um cone de areia em cima de uma área circular de seu
pátio. O raio do círculo é R e não deve haver areia espalhada além da área limitada, como
está representado na figura abaixo . Se S for o coeficiente de atrito estático entre cada
camada de areia ao longo do talude e a areia abaixo (ao longo da qual ela poderia
deslizar), mostre que o maior volume de areia que pode ser estocada desta maneira é
3
π μs R /3 . (O volume de um cone é Ah/3, onde A é a área da base e h é a altura do cone.)
h
R
39.
Um trabalhador empurra na horizontal um engradado de 35kg, inicialmente em repouso,
com uma força de 110N. O coeficiente de atrito estático entre o engradado e o piso é de
0,37. (a) Qual é a força de atrito que o piso exerce sobre o engradado? (b) Qual é a
intensidade máxima da força de atrito estático fS.MAX nestas circunstâncias? (c) O
engradado se move? (d) Suponha, em seguida que um segundo trabalhador puxe o
engradado bem na vertical, para ajudá-lo. Qual o valor mínimo da força de tração na
vertical que permitiria que o empurrão de 110N do primeiro trabalhador movesse o
engradado? (e) Se, em vez disso, o segundo trabalhador ajudasse puxando
horizontalmente o engradado, qual seria a força mínima de tração que colocaria o
engradado em movimento?
40.
Um engradado de 68kg é arrastado sobre um piso horizontal, puxado por uma corda
presa ao engradado e inclinada de 15º acima da horizontal. (a) se o coeficiente de atrito
estático for de 0,50, qual será a intensidade da força mínima necessária para que o
engradado comece a se mover? (b) se K = 0,35, qual será a intensidade da aceleração
inicial do engradado?
013
41.
Os blocos A e B da figura abaixo pesam 44N e 22N, respectivamente. (a) determine o
peso mínimo do bloco C para impedir que o bloco A deslize se S entre o bloco A e a
mesa for de 0,20. (b) o bloco C é removido subitamente de cima do bloco A. Qual será a
aceleração do bloco A se K entre A e a mesa for de 0,15?
Roldana sem atrito
e sem massa
C
A
B
42.
Um bloco de 3,5 kg é empurrado sobre uma superfície horizontal por uma força F de
intensidade igual a 15N que faz um ângulo de  = 40º com a horizontal, como está
representado na figura abaixo. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso é de
0,25. Calcule a intensidade (a) da força de atrito que o piso exerce sobre o bloco e (b) a
aceleração do bloco.

F
43. Um bloco, pesando 80N está em repouso sobre um plano inclinado de 20º em relação à
horizontal, como está representado na figura abaixo. Entre o bloco e o plano inclinado, o
coeficiente de atrito estático é de 0,25, e o coeficiente de atrito cinético é de 0,15. (a) qual
a intensidade mínima da força F , paralela ao plano, que poderá evitar que o bloco deslize
para baixo do plano? (b) qual a intensidade mínima de
bloco para cima do plano? (c) qual o valor de
do plano, com velocidade constante?
F
20º
F
F
para iniciar o movimento do
necessário para mover o bloco para cima
014
44. O bloco B da figura abaixo pesa 711N. O coeficiente de atrito estático entre o bloco B e a
mesa é de 0,25; suponha que o cabo entre B e o nó seja horizontal. Encontre o peso
máximo do bloco A, para o qual o sistema ficará em repouso.
30º
B
A
45. O Corpo A da figura abaixo pesa 102N e o corpo B, 32N. Os coeficientes de atrito entre o
bloco A e a rampa são S = 0,56 e k = 0,25. O ângulo  é igual a 40º. Encontre a
aceleração de A (a) se A estiver inicialmente em repouso, (b) se A estiver inicialmente se
movendo para cima da rampa e (c) se A estiver inicialmente se movendo para baixo da
rampa.
Polia sem atrito e
sem massa
A
B

46. Na figura abaixo, dois blocos estão ligados por um fio que passa por uma polia. A massa
do bloco A é igual a 10kg e o coeficiente de atrito cinético entre A e a rampa é de 0,20. O
ângulo  de inclinação da rampa é igual a 30º. O bloco A desliza para baixo da rampa com
velocidade constante. Qual é a massa do bloco B?
Polia sem atrito e
sem massa
A
B

47. Na figura abaixo, um caixote desliza para baixo de um calha inclinada, que possui lados
ortogonais. O coeficiente de atrito cinético entre o caixote e a calha é k. Qual é a
aceleração do caixote, em termos de k,  e g?
015
48. Calcule a força de arrasto sobre um míssil de 53 cm de diâmetro se deslocando a uma
velocidade de 250 m/s a baixa altitude, onde a massa específica do ar é de 1,2 Kg/m 3.
Suponha que C = 0,75.
49. A velocidade terminal de um saltador de pára-quedas (antes do pára-quedas abrir) é de
160 km/h na posição de águia de asas abertas e 310 km/h na posição de mergulho de
cabeça. Suponho que o coeficiente de arrasto C do esportista não se modifique de uma
posição para a outra, encontre a relação entre a área da seção transversal efetiva A na
posição de menor velocidade em relação à posição mais rápida.
50. A figura abaixo mostra a trajetória de um trenzinho que se move com velocidade de
módulo constante percorrendo cinco arcos de círculo de raios R0, 2R0 e 3R0. Ordene em
ordem decrescente os arcos, de acordo com a intensidade da força centrípeta que age sobre
um passageiro do trenzinho.
51. Suponha que o coeficiente de atrito estático entre o pavimento e os pneus de um carro de
corrida de Fórmula 1 seja de 0,6 durante um Grande Prêmio de automobilismo. Qual
velocidade deixará o carro na iminência de derrapar ao fazer uma curva horizontal de 30,5
m de raio?
52. Um carro de montanha-russa tem uma massa de 1200 kg quando completamente lotado
de passageiros. Ao passar pelo ponto mais alto de um morro circular de raio igual a 18m.
(a) Quais são o módulo, a direção e o sentido da força que a pista exerce sobre o carro ao
passar pelo topo do morro, se a velocidade escalar do carro for de 11 m/s? ; (b) Qual é o
maior valor da velocidade do carro no ponto mais alto, sem que ele saia do trilho?
53. Qual é o menor raio de uma pista sem superelevação (plana) em torno da qual um ciclista
pode se deslocar a uma velocidade de 29 km/h e onde o coeficiente de atrito estático entre
os pneus e a pista é de 0,32?
54. Um brinquedo do parque de diversões é formado por um carro que se move em um
círculo vertical na extremidade de uma haste rígida de massa desprezível. O peso
combinado do carro com os passageiros é de 5,0 kN e o raio do círculo é de 10 m. Quais
são o módulo, a direção e o sentido da força que a haste exerce sobre o carro no ponto
mais alto do círculo se a velocidade escalar do carro neste ponto for de (a) 5,0 m/s e (b) 12
m/s?
016
55. Um disco de hóquei de massa m desliza sobre uma mesa sem atrito, enquanto permanece
ligado a um cilindro em repouso de massa M, pendurado por um fio que passa por um
buraco feito na mesa, como representado na figura. Que velocidade do disco mantém o
cilindro em repouso?
56. Como mostrado na figura abaixo, uma bola de 1,34 kg está ligada, por dois fios de massa
desprezível, a uma haste vertical que está girando. Os fios estão ligados à haste e estão
esticados. A tração no fio de cima é de 35 N. (a) Desenhe o diagrama de corpo livre para a
bola. (b) Qual é a tração no fio de baixo? (c) Qual é a força resultante sobre a bola e (d)
qual a velocidade da bola?
Comprimento do
fio = 1,70 m cada
Fig. 18
RESPOSTAS - LISTA 02
1.
(2N)iˆ - (6N)jˆ
2.
ˆ
a) 1,88 N; b) 0,68 N; c) (1, 88iˆ + 0, 68j)N
3.
a) 0; b) (4m/s2) ĵ ; c) (3 m/s2) î
4.
(- 2N) i + (6N) j
5.
ˆ
(3iˆ - 11jˆ + 4k)N
6.
2
a) (0, 86i - 0,162j) m/s ; b) 0,87 m/s2; c) – 10, 67º com +x
7.
a) (-32i - 20, 78j)N ; b) 38,15 N; 213º com +x
8.
a) 107,8 N; b) 107,8 N; c) 107,8 N
9.
2N, na direção vertical e sentido para baixo
10. 11N; b) 2,24 kg; c) 0 ; d) 2,24 kg
11. a) 735 N; b) 285 N; c) 0 ; d) 75 kg
017
12. 328,3 N para baixo; b) 0; c) e d) 328,3N para cima
13. a) 41,65 N; b) 72,14N; c) 4,9 m/s2
14. 309N
15. a) 0,65 m/s2; b) 0,13 m/s2; c) 2,5 m
16. 494 N, para cima; b) 494, para baixo
17. a) 2,21 . 10-3 N; b) 3,68 . 10-3 N
18. a) 1,1 N
19. 18416 N
20. 23 kg
21. a) 0,97 m/s2 ; b) 11,64; c) 34,92
22. a) 0,74 m/s2 ; b) 7,26 m/s2
23. a) 1,23 N ; b) 2,46 N; c) 3,69N ; d) 4,92 N; e) 6,15 N; f) 0,25 N
24. a) 0,735 m/s2 ; b) verticalmente para baixo; c) 20,85 N
25. a) 4,9 m/s2; b) 1,96 m/s2; c) verticalmente para cima; d) 117,6 N
26. a) 3,06 . 105 N; b) 2,38 . 105 N
27. a) 7,29 kg; b) 89 N
28. a) direita; b) esquerda; c) reduz; d) esquerda; e) direita; f) aumenta; g) não
29. a) permanecerá a mesma; b) aumentará; c) aumentará; d) não
30. a) vertical para cima; b) horizontalmente em sentido contrário à sua força; c) permanecerá a mesma; d)
aumentará; e) aumentará
31. a) diminuirá; b) diminuirá; c) aumentará; d) aumentará; e) aumentará
32. a) diminuirá ; b) diminuirá; c) diminuirá; d) diminuirá; e) diminuirá
33. a) do bloco m; b) igual; c) para a direita, no bloco e para esquerda na placa; d) da placa M
34. 2,3º
35. a) 188,65 N; b) 0,57 m/s2
36. a) 0,132 M; b) 0,122
ˆ
37. a) não; b) (-12iˆ + 5j)N
38.
39. a) 110 N; b) 126,91 N; c) não; d) 45,7 N ; e) 16,91 N
40. a) 304,2 N; b) 1,3 m/s2
41. a) 66 N; b) 2,29 m/s2
42. a) 10,98 N; b) 0,14 m/s2
43. a) 8,57 N; b) 46,15 N; c) 38,64 N
44. a) 102,62 N
45. a) 0; b) 3,88 m/s2, para baixo; c) 1 m/s2, para baixo
46. 3,27 Kg
47. g(senθ - 2
μK cosθ)
48. 6200 N
49. A = 3,75 A’
50. 4,3 , depois 1,2 e 5 empatados
51. 48 km/h
52. a) 3693N, verticalmente para cima; b) 13,28 m/s
53. 21 m
54. a) 3724, vertical para cima; b) 2347, vertical para baixo
1/2
 Mgr 

 m 
55. 
56. b) 8,74 N; c) 37,9 N, na direção radial para dentro; d) 6,45 m/s
018
Antes de iniciarmos o estudo do nosso próximo assunto, iremos introduzir a operação
de multiplicação de vetores.
Há duas formas de se multiplicar um vetor por outro vetor: uma delas produz um
escalar (chamado de produto escalar) e a outra produz um novo vetor (chamado de produto
vetorial)
PRODUTO ESCALAR
O produto escalar entre dois vetores a e b , escrito como a . b , é definido como
a . b = a b cos
Onde a e b são respectivamente os módulos dos vetores a e b , sendo  o ângulo entre
as direções de a e b , como está representado na figura abaixo
a

b
Partido desta definição, é claro que se os dois vetores forem perpendiculares ( = 90o)
, teremos a . b = 0 , se  = 0o  a . b = a . b e se  = 180o  a . b = - a . b
O produto escalar entre dois vetores a e b pode ser escrito como
a . b = ax bx + ay by + az bz
A propriedade comutativa se aplica ao produto escalar entre dois vetores, ou seja,
no produto escalar não importa a ordem dos vetores. Portanto podemos escrever
a .b= b. a
PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial de dois vetores a e b , representados por a x b , é um vetor c cujo
módulo c é dado pela expressão c  ab sen ,
Onde  é o menor dos ângulos entre as direções de a e b . A direção de c é perpendicular
ao plano formado por a e b e o sentido ao longo desta direção pode ser dado pela regra da
mão direita (temos outras regras).
Quando a e b forem paralelos ou antiparalelos (  0 ou   180º ) , a  b  0 . Se os
vetores a e b forem perpendiculares ( = 90o) o modulo do produto vetorial é dado por c =
ab.
O produto vetorial entre dois vetores a e b pode ser escrito como
a x b  (a ybz  by az )iˆ  (azbx  bz ax ) ˆj  (axby  bx a y )kˆ
019
Esta não é uma expressão fácil de memorizar, portanto é comum o uso da regra de
determinante para calcular o produto vetorial entre dois vetores.
A propriedade comutativa não se aplica ao produto vetorial, ou seja, no produto
vetorial a ordem dos vetores é importante. Pela regra da mão direita podemos perceber que
quando trocamos a ordem dos vetores estamos trocando também o sentido do produto vetorial
entre os dois vetores. Portanto, podemos escrever
a × b = - (b × a)
Torque de uma força (  )
Torque de uma força é uma grandeza vetorial relacionado à rotação (ou tendência de
rotação) causada pela força. A tendência de uma força a causar rotação depende da linha ao
longo da qual ela atua, e também de sua intensidade. Para abrir uma porta, a força será mais
eficiente quando aplicada mais longe da dobradiça.
Na figura temos a representação de uma seção reta de um corpo que pode girar em
 
torno de um eixo que passa pelo ponto O (o eixo é perpendicular à seção reta). O torque 
em relação ao eixo fixo que passa pelo ponto O, causado pela força F que atua na posição 𝑟⃗
em relação ao ponto O, é definido por:
  r  F    F.r.sen
F 
r
o
d
Linha de ação da força
O módulo do torque de uma força em relação a um eixo que passa pelo ponto O, pode
ser calculado por
  F.d
onde: d (distância perpendicular de O até a linha de ação da força) é o braço de alavanca da
força F .
Observação:
O torque de uma força em relação a um eixo que passa por um determinado ponto é uma
grandeza vetorial. A direção e sentido do torque podem ser determinados pelas regras do
produto vetorial entre dois vetores, Mas quando utilizarmos somente forças coplanares, a
direção será a mesma para todos os torques causados por cada uma das forças e neste caso não
temos necessidade de usar a notação vetorial, pois estaremos lidando com vetores de mesma
direção. Portanto, como a direção já fica definida, basta o uso de sinais para indicar os
sentidos. Neste caso o torque resultante de um sistema de forças coplanares, em relação a um
eixo fixo, pode ser obtido pela soma algébrica dos torques de cada uma das forças, em relação
ao eixo. O sinal desta soma indicará o sentido do torque resultante.
Na prática é comum visualizarmos o efeito de rotação que cada uma das forças em
separado tende a exercer sobre o corpo e adotarmos uma convenção de sinais para os sentidos
dos torques.
020
 Quando a força F tende a girar o corpo no sentido anti-horário o torque é considerado
positivo.
 Quando a força F tende a girar o corpo no sentido horário, o torque é considerado
negativo.
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Centro de massa
Centro de massa de um corpo é o ponto geométrico no qual se pode considerar
concentrada toda a massa do corpo (ou sistema) em estudo.
Centro de gravidade
Centro de gravidade de um corpo é o ponto onde podemos considerar aplicado o seu
peso.
Observação:
Quando a aceleração da gravidade é constante em todos os pontos de um sistema, o
seu centro de gravidade coincide com o centro de massa.
Primeira condição de equilíbrio
Quando um corpo está em equilíbrio a soma vetorial, ou resultante, de todas as forças
que atuam sobre ele tem de ser zero. Assim, para um corpo em equilíbrio, temos que:

F  0   Fx  0,  Fy  0 e

Fz  0
Segunda condição de equilíbrio
A Segunda condição de equilíbrio de um corpo rígido corresponde à ausência de
qualquer tendência à rotação: A soma dos torques de todas as forças que atuam sobre um
corpo, calculadas em relação a um eixo fixo, tem que ser zero.
Exercícios complementares:
57.
Determine o momento resultante das forças coplanares, dadas na abaixo, em relação ao
ponto A. Dados: F1 = 30N; F2=15N, F3=20N
2m
2m
3m
A
F3
F1
60º
F2
RESPOSTA: –121,25 N.m
58.
Uma barra homogênea de 100N de peso é colocada sobre os apoios A e B, conforme
mostra a figura abaixo. Sendo de 200N o peso do corpo C, determine as intensidade das
reações dos apoios A e B contra a barra em equilíbrio.
C
A
20 cm
B
50 cm
20 cm
10 cm
021
RESPOSTA: NA = 114,28 N
NB = 185,71 N
59.
Sendo r = xi + yj + zk e F = Fxi + FyJ + FzK, mostre que o torque  = r x F é dado por
 = (yFz – zFy)i + (zFx – xFz)j + (xFy – yFx)k
60.
Qual é torque em torno da origem exercido sobre um grão de areia situado nas
coordenadas (3,0 m; - 2,0m; 4,0m) devido (a) á força F1 = (3,0 N)i – (4,0 N)j + (5,0 N)k,
(b) á força F2 = (-3,0 N)i – (4,0 N)j – (5,0N)k e (c) à resultante de F1 e F2?
RESPOSTA: (a) (6,0 N . m)i - (3,0 N. m)j – (6,0 N. m)k (b) (26 N . m)i + (3,0 N. m)j –
(18 N. m)k (c) (32 N . m)i - (24 N. m)k
61.
Uma placa quadrada uniforme, de 50,0 kg e tendo 2,00 m de lado, está pedurada em uma
haste de 3,00 m de comprimento e massa desprezível. Um cabo está preso à extremidade
da haste e a um ponto na parede situado 4,00 m acima do ponto onde a haste é fixada à
parede, conforme mostra a figura. (a) qual é a tensão no cabo? Quais são (b) a
componente horizontal e (c) a componente vertical da força exercida pela parede sobre a
haste?
RESPOSTA: a) 408N; Fh = 245N (direita) c) Fv = 163 N (para cima)
022
62.
As forças F1, F2, e F3 atuam sobre a estrutura da figura abaixo, a qual mostra um vista
superior. Deseja-se colocar a estrutura em equilíbrio, aplicando uma força, num ponto P,
cujas componentes vetoriais são Fh e Fv. É dado que a=2,0m, b = 3,0m, c=1,0m, F1 = 20N,
F2 = 10N e F3 = 5,0N. Encontre (a) Fh, (b) Fv e (c) d.
RESPOSTA: a) 5N; b)30N; c)1,33m
63.
Uma extremidade de uma viga uniforme pesando 222,4 N e tendo 0,914 m de
comprimento è presa parede por meio de uma dobradiça. A outra extremidade é
sustentada por um fio conforme representado na figura. (a) encontre a tensão no fio. Quais
são as componentes (b) horizontal e (c) vertical da força exercida pela dobradiça?
RESPOSTA: a) 192,6N b) 96,5 N c) 55,6 N
64.
Sistema da figura abaixo está em equilíbrio. 225 kg de massa pendem da extremidade de
um suporte que, por sua vez, tem massa de 45,0 kg. Encontre (a) tensão T no cabo e as
componentes (b) horizontal e (c) vertical da força exercida sobre o suporte pela dobradiça.
RESPOSTA: a) 6630N b) Fh=5740 N c) Fv=5960 N
023
65.
Na figura abaixo, uma barra horizontal fina AB, de massa desprezível e comprimento L, é
presa a uma dobradiça em um parede vertical no ponto A e é sustentada, em B, por um fio
BC, fino que faz um ângulo  com a horizontal. Um peso P pode ser movido para
qualquer posição ao longo da barra, sendo sua posição definida pela distância x desde a
parede até o seu centro de massa. Encontre (a) tensão no fio e as componentes (b)
horizontal e (c) vertical da força exercida sobre a barra pelo pino em A, como função da
distância x.
RESPOSTA: a)
Px
b)
Lsenθ
Px
Ltgθ
c) P(1 -
x
L
)
RESOLUÇÃO DA LISTA II
1.
a)
F1  F2  (3  1)iˆ  (4  2) ˆj  (2 N )iˆ  (6N ) ˆj
b)
1
3
F2
F1
4
6
FR
2
a) m = 1 kg
Rx  m.a x  m.a cos 20º  1.2.cos 20º
Rx  1,88 N
b)
Ry  ma y  m.a sen20º  1.2.sen20º  Ry  0,68 N
c)
R  (1,88 N )iˆ  (0,68 N ) ˆj
024
3.
m  2kg , F1  (3iˆ  4 ˆj ) N
a)
F2  (3iˆ  4 ˆj ) N
 F  m.a  (3  3)iˆ  (4  4) ˆj  m.a  a  0
b)
F2  (3iˆ  4 ˆj )  (3  3)iˆ  (4  4) ˆj  2.a  a  (4 ˆj )m / s 2
c)
F2  (3iˆ  4 ˆj )  (3  3)iˆ  (4  4) ˆj  2.a  a  (3iˆ)m / s 2
4.
v
constante 
a  0   F  0 , F1  (2N )iˆ  (6 N ) ˆj  F2  (2N )iˆ  (6 N ) ˆj
5.
v  constante  a  0   F  0 , F1  (2iˆ  3 ˆj  2kˆ) N ,
F2  (5iˆ  8 ˆj  2kˆ) N  F3  (3iˆ  11 ˆj  4k ) N
6.
F
x
a)
 max

32 cos30º 55  41cos 60º  120.ax
ax  0,86 m / s
F
y
y
2
 may  32 sen 30º 41 sen 60º  120.ay
x

ay  0,162 m / s 2
a
a  (0,86iˆ  0,162 ˆj )m / s 2
b)
a  ax2  a y2  (0,86)2  (0,162)2  0,87 m / s 2
c)
tg 
0,162
   10,67º
0,86
7.
m  2kg , F1  (20 N )iˆ ,
a)
a  a sen 30iˆ  a cos30º ˆj  a  (6iˆ  10,39 ˆj )m / s 2
 F  m.a  F  F
1
2
 m.a  20iˆ  F2  2(6iˆ  10,39 ˆj )  F2  (32iˆ  20,78 ˆj ) N
b)
y

F2
x
025
F2  322  (20,78) 2  F2  38,15 N
c)
tg 
20,78
   33º
32
Leitura da
Balança
8.
Em todos os casos o salame está em repouso
  F  0  T  mg  11.98  T  107,8N
9.
Pb  3N ,
F
y
T  1N
n
T T
 0  T  N  Pb  0  n  3  1  2 N  para cima
Pb
n  2N , na direção vertical e sentido para baixo.
10.
P1  22 N , g1  9,8 m / s 2  m 
a)
P2  mg2  2,24.4,9  P2  11N
b) A massa permanece sempre a mesma
c)
d)
P1 22

 2, 24 kg
g1 9,8
 m  2,24 kg
P3  mg3  2,24.0  P3  0
m  2,24 kg
11.
m  75 kg
a)
PT  m.gT  75.9,8  PT  735N
b)
PM  m.g M  75.3,8  PM  285N
c)
P  mg  75.0  P  0
d) a massa permanecerá a mesma em todos os locais
 m  75kg .
12.
mc  29 kg , mm  4,5 kg  m  29  4,5  33,5 kg  P  mg  33,5 . 9,8  328,3N
a)
328,3 N , na direção vertical e sentido para baixo
b) zero, não há contato
c) a força gravitacional é uma força de campo

328,3, na direção vertical para cima.
026
d) 328,3 N, na direção vertical para cima.
13.
x
y
n
m  8,5 kg
a)
F
T
 0  T  mg sen 30º  0
x
mg
 T  8,50 . 9,8. sen30º  T  41,65 N
30º
30º
b)
F
y
 0  n  mg cos30º  0  n  8,5 . 9,8 . cos30º  n  72,14 N
c)
F
x
 m.ax  mg sen30º  m.a  a  9,8 . sen30º  a  4,9m / s 2
14.
P  85 N  m 
V0  2,8 m / s, V  0
85
 8,67 kg ,
x  11cm  0,11m
9,8
Cálculo da Aceleração
V 2  V02  2a X  0  (2,8) 2  2.a 0,11  a  35,64m / s 2
FR  m.a  Tmin  m.a  8,67.35,64  Tmin  309 N
15.
O valor da força resultante na garota e no tremo é a mesma
a)
at 
FR 5, 2

 at  0,65 m / s 2
mt 8, 4
b)
ag 
FR 5,2

 ag  0,13 m / s 2
mg 40
para a garota temos que:
x0  0, v0 g  0
1
0,13 2
xg  x0 g  V0 g t  ag t 2  xg 
t
2
2
para o trenó temos que:
V0t  0, x0t  15m
1
0,65 2
xt  x0t  V0t t  at t 2  xt  15 
t
2
2
na posição de encontro, temos que:
F  T  5, 2 N
027
xg  xt 
 xg 
0,13 2
0,65 2
t  15 
t  t  6, 2s
2
2
0,13
.(6, 2) 2  xg  2,5m
2
16.
P  712N
a)
P  F  m.a  F  P  ma  712 
F  494 N
b)
a  3m / s 2
712
.3  494 N
9,8
para cima
F  494 N
para baixo
lei da ação e reação.
17.
m = 3 . 10-4 kg
a)
F
F
x
y
 0  T sen 37º  F 
F

  tg 37º 
mg
 0  T cos37º  mg 

37º
T37º
 F  tg 37º.mg  tg 37º. 3.104.9,8  2,21.103 N
b)
F
mg
F
2,21.103
T

 3,68.103 N
sen 37º
sen 37º
18.
considerando os dois blocos, temos que:
F
 F  m.a  F  (m  m ).a  a  m  m
1
2
1
2

3,2
 0,91m / s 2
2,3  1,2
a) isolando o bloco m2, temos que:
F
x
 m.ax  F12  m2 .a  1,2.0,91  1,1N
b) com a força atuando em m2, a aceleração terá o mesmo valor
isolando o bloco m1, temos que:
F
x
 m.ax  F21  m1.a  2,3.0,91  2,1N
19.
m  1600kg , v0  12m / s, v  0, y0  42m, y  0
cálculo da aceleração
v 2  v02  2ay  0  122  2a(0  42)  a  1,71m / s 2
T
a
mg
028
 Fy  m.a
 T  mg  ma  T  m( g  a )
 T  1600(9,8  1,71)  T  18416 N
20.
m1  20kg , m2  15kg , m3  ?, m4  12kg
isolando os 2 primeiros pingüins, temos que:
F
x
 m.ax  222  111  (20  15).a  a  3,17m / s 2
isolando os dois últimos pingüins, temos que:
F
x
 m.ax  111  (m3  12).3,17  m3  23kg
21.
considerando os 3 blocos, temos que:
a)
F
x
 m.ax  T3  (m1  m2  m3 ).a
 65  (12  24  31).a  a  0,97m / s 2
b) isolando m1, temos que:
F
x
 max  T1  m1.a  12.0,97  T1  11,64N
c) isolando m2, temos que:
F
x
 m.ax  T2  T1  m2 .a  T2  T1  m2 .a
 T2  11,64  24.0,97  34,92 N
22.
a)
F
x
 m.ax  T cos38º  Fat  m.a
 450 cos38º 125  310.a  a  0,74m / s 2
b)
P  310 N  m  31,63kg
 450 cos38º 125  31,63.a '  a '  7,26m / s 2
23.
m  0,1kg , a  2,5m / s 2
a) isolando o elo 1, temos que:
F
y
 m.a  F21  m1g  m1a  F21  m1 ( g  a)  0,1(9,8  2,5)  1,23N
029
b) isolando os elos 1 e 2, temos que:
F
y
 m.a  F32  (m1  m2 ) g  (m1  m2 )a  F32  (m1  m2 )(a  g )
F32  (0,1  0,1).(2,5  9,8)  2,46 N
c) isolando os elos 1, 2 e 3, temos que:
F
y
 m.a  F43  (m1  m2  m3 ) g  (m1  m2  m3 )a
 F43  (0,1  0,1  0,1).(0,98  2,5)  F43  3,69 N
d) isolando os elos 1,2, 3 e 4, temos que:
F53  (m1  m2  m3  m4 )(a  g )  0,4.(9,8  2,5)  F53  4,92 N
e) considerando os cinco elos temos que:
F  (m1  m2  m3  m4  m5 )(a  g )  0,5(9,8  2,5)  F  6,15 N
f) para cada elo, temos que:
FR  m.a  0,1.2,5  FR  0,25N
24.
y
m1 g sen 30º  3,7.9,8. sen 30º  18,13N
T
T
m2 g  2,3.9,8  22,54 N
30º
a) considerando os dois blocos, temos que: m2 g
30º
m g
1
 m1g sen30º  (m1  m2 ).a
 22,54  18,13  (3,7  2,3).a  a  0,735 m / s 2
b)
m2 g  m1g sen 30º 
a2 é para baixo
c) isolando m2, temos que:
F
y
 m.a  m2 g  T  m2 .a  T  m2 ( g  a)  2,3(9,8  0,735)  T  20,85N
25.
mm  10kg , mc  15kg
a)
amin  o caixote deve estar subindo com velocidade constante  Tmin  mc g
isolando o macaco, temos que:
F
y
 m.a  Tmin  mm .g  mm .a 
mc g  mm g  mm a  a 
g (mc  mm ) 9,8(15  10)

 amin  4,9 m / s 2
mm
10
b) considerando o macaco e o caixote, temos que:
mc g  mm g  (mc  mm ).a  a 
9,8(15  10)
 1,96 m / s 2
15  10
m g
2
030
c) na direção vertical para cima.
d) isolando o macaco, temos que:
T  mm g  mm .a  T  mm ( g  a)  10(9,8  1,96)  T  117,6 N
26.
m  27,8 kN  27,8.103 N ,
a  1, 22 m / s 2
T
a)
F
y
 ma  T  mg  ma  T  m( g  a )
mg
 T  27,8.103 (9,8  1, 22)  T  3, 06.105 N
b) aceleração para baixo
 mg  T '  m.a
T '  m( g  a)  27,8.103 (9,8  1,22)  T '  2,38.105 N
27.
a)
T
a  2, 4 m / s 2
para cima,
T  89N
mg
T
89
 Fy  m.a  T  mg  ma  m  g  a  9,8  2, 4  m  7, 29 kg
b) como a aceleração é para cima a tração é a mesma do item (a)
com o bloco em repouso, temos que:
 T '  T  89 N
F  Fs
a)
Fs1  F1 , Fs 2  F2 e Fs 3  F3  Fs1  Fs 2  Fs 3
b)
Fs max  s .n 
são todos iguais.
28
a)
para a direita ; b) para a esquerda; c) reduz d) para a esquerda; e) para a direita;
f) aumenta ; g) não
29.
a)
Fs  F1  Fs 
b)
n  F2  mg  n 
c)
Fs max  e .n  Fs max 
d)
F1  Fs max 
não
permanece constante
aumenta
aumenta
031
30.
a)
vertical para cima.
b)
horizontal em sentido contrário à sua força.
c)
Fs  mg  permanecerá a mesma
d)
n F n
e)
F
n
F
s
aumentará
mg
Fs max  e .n  Fs max  aumentará
31.

aumenta
a)
Fx  F cos  Fx  diminuirá
b)
Fs  Fx  Fs 
c)
n  F sen  mg  n 
d)
Fs max   s n  Fs max 
e)
Fk  k .n  Fk 
a)
Fx  F cos  Fx  diminuirá
b)
Fs  Fx  Fs 
c)
n  mg  F se n  n  diminuirá
d)
Fs max   s .n  Fs max 
e)
Fk  k .n  Fk 
a)
Fk  uk .n  n .mg  m
diminuirá
aumentará
aumentará
aumentará
32.
F
diminuirá

diminuirá
diminuirá
33.
b) igual (3º Lei de Newton)
c) sobre o bloco
 para a direita e sobre a placa para a esquerda.
d) M.
34.
x
 s  0,04
F
F
y
x
n
y
 0  n  mg cos  n  mg cos
 0  mg se n  Fs max  0  mg sen   s .n
Fs

mg

032
 mg sen   s .mg cos   s 
sen
  s  tg
cos
tg  0,04   mim  2,3º
35.
m  55kg , F  220 N , k  0,35
n
a)
F
Fk  k .n  k .mg  0,35.55.9,8  188,65 N
F
k
b)
F
x
mg
 m.a  F  Fk  m.a
 220  188,65  55.a  a  0,57 m / s 2
36.
m  110 g  0,11kg , x  15m, v0  6 m / s
a)
v  0, v 2  v02  2x  0  62  2.a.15  a  1, 2 m / s 2
F
x
 m.ax  Fk  m.ax  0,11.1, 2  Fk  0,132 N
b)
Fk  k .n  Fk  k .mg  0,132  k .0,11.9,8
 k  0,122
37.
F  12 N , P  5N , s  0,6, k  0,40
a)
Fs max   s .n   s .n   s .F  0,6.12  7, 2 N  P 
b)
F  niˆ  Ps ˆj  F  (12iˆ  5 ˆj ) N
o bloco não se move.
38.
no limite de
 , temos que:  s  tg 
 h  R.s
(ver exercício 42)
Ah  R 2 .R s
V

3
3
 . s .R3
 vmax 
3
h
R

R
h
033
39.
m  35kg , F  110 N , s  0,37
a)
Fs max   s .n   s .mg  0,37.35.9,8
 Fs max  126,91N  F 
o bloco não se move
 Fs  F  Fs  110 N
b)
Fs max  126,91 N
c) não.
d)
'
Fmax
 110 N
Fs' max   s .n  Fs' max   s .(mg  F ' )
 F  mg 
'
e)
Fs' max
s
 35.9,8 
110
 F '  45,7 N
0,37
F  F '  Fs max  0  F '  Fs max  F  126,91  110  16,91N
40.
m  68kg , s  0,5, k  0,35
a)
F cos15º  Fs max   s .n
F
 0  n  F sen15º mg  0  n  mg  F sen15º
y
F cos15º   s .(mg  F sen15º )  F 
F
 s mg

cos15º   s sen15º
0,5.68,98
 304, 2 N
cos15º 0,5 sen15º
b)
F
x
 m.a  F cos15º  Fk  m.a
 F cos15º  k .n  m.a  F cos15º  k .(mg  F sen15º )  m.a
a
304.cos15º 0,35(68.9,8  304 sen15)
 1,3 m / s 2
68
41.
PA  44 N , PB  22 N , s  0,20, k  0,15
a)
034
PB  Fs max  0  PB  s .n  s ( PA  PC )
 22  0,2(44  PC )  PC  66 N
b)
PB  Fk  (mA  mB )a  PB  k n  (mA  mB )a
 22  44 
 PB   k .PA  (mA  mB ).a  22  0,15.44  
a
 9,8 
 a  2, 29 m / s 2
42.
m  3,5kg , F  15N , k  0,25
a)
F
y
 0  n  mg  F sen40º  0  n  mg  F sen40º
Fk  k .n  k .(mg  F sen40º )  0, 25(3,5.9,8  15.sen 40º )
 Fk  10,98 N
b)
F
x
 m.a  F cos40º Fk  m.a  15.cos40º 10,98  3,5.a  a  0,14 m / s 2
43.
P  80 N , s  0,25, k  0,15
a)
F  Fs max  para cima   mg sen20º  0  F  mg sen20º   s .n
n  mg cos 20º  F  mg sen20º   s .mg cos 20º
 F  80(sen20º 0, 25cos 20º )  F  8,57 N
b)
F '  Fs max  para baixo   mg sen20º  0  F '  mg (sen20º   s cos 20º )
 F '  80(sen20º 0, 25 cos 20º )  F '  46,15 N
c)
V  constante  = a  0
F ''  Fk  mg sen20º  0  F ''  k n  mg sen20º
 F ''  mg (sen20º  k cos 20º )  80(sen20º 0,15cos 20º )
F ''  38, 64 N
035
44.
y
F
F

PA
  tg 30º 
Fs max
x  0  T cos30º  Fs max 

 PA  tg 30º Fs max  tg 30º  s .PB  tg 30º.0,25.7,11
y
 0  T sen30º  PA
T
Fs max
30º
x
 PA mim  102,62 N
PA
45.
PA  102 N  mA  10,41kg , PB  32 N  mB  3,26kg , s  0,56, k  0,25,   40º
a)


Fs max   s .PA cos 40º  0,56.102.cos 40º  43,76 N 

a0

PA sen40º  PB  102, sen40º 32  33,56 N
o bloco A permanece em repouso
b)
PB  PA sen40º  Fk  (mA  mB ).a
 PB  PA sen40º  k .PA cos 40º  ( mA  mB ).a
 32  102(sen40º 0,25cos 40º )  (10,41  3,26).a  a  3,88 m / s 2
 a  3,88 m / s 2 para baixo
c)
PA sen40º  Fk  PB  (mA  mB ).a
 PA sen40º  k .PA cos 40º  PB  ( mA  mB ).a
 102(sen40º 0,25cos 40º )  32  (10,41  3,26).a  a  1,03 m / s 2
 a  1,03 m / s 2 para baixo
46.
M A  10kg ,  k  0,2   30º , v  constante  a=0
PA sen30º  Fk  PB  0  PA sen30º  k .PA cos30º  PB  0
 10,98(sen30º 0,2cos30º )  PB  0  PB  32 N
47.
n
n


mg
mg cos
2 n cos 45º  m.g cos
m.g cos
n
2cos 45º
036
mg sen  2 fat  m.a
mg sen  2  k n  m.a
mg cos
 m.a
2cos 45º
cos
 g sen   k
2
2
2
2
 g (sen   k
cos )  a
2
mg sen  2  k
 a  g (sen   k 2 cos )
48.
d  53cm  R  26,5cm  0, 265m
v  250m / s, c  0,75
  1, 2kg / m3
1
1
D  c  Av 2  c  R 2v 2
2
2
1
 D  .0,75.1, 2 .(0, 265) 2 .2502  6, 2.103 N
2
49.
2 Fg 

c  A1
c 
2
2
2
2
2
  v1 . A1  v2 . A  160 . A1  310 . A2  A1  3,75 A2
2 Fg
2F 
v2 
 v2 2 . A2  g 
c  A2
c 
v1 
2 Fg
 v12 . A1 
50.
R1  3R0 , R2  3R0 , R3  2 R0 , R4  R0
R5  3R0
v2
Fc  m.ac  m
R
 F4  F3  F2  F1  F5
51.
e  0,6, R  30,5m
v2
v2
Fe max  m.ac  e .n  m.  e .mg  mg.
R
R
 v  e .g.R  0,6.9,8.30,5  v  13,39 m / s
 v  48,21km / h
037
52.
a)
m  1200 kg
R  18 m
v  11m / s
 F  m.ac  mg  n  m
v2
R
v2
112
 1200(9,8 
)  n  3693N
R
18
 n  3693N  verticalmente para cima
 n  mg  m
b)
Vmax  n  0
 mg  m
v2
 v  Rg  18.9,8  Vmax  13, 28 m / s
R
53.
v  29 km / h  8,05 m / s
e  0,32
v2
v2
v2
 Fe max  m  e .n  m
R
R
R
2
2
v
v
 e .mg  m  R 
 20,69m
R
e g
F  m
54.
P  5 kn  m  510, kg
R  10m
a)
510, 2.52
v  5 m / s  Fc 
 1275,5 N  P  n para cima
10
v2
v2
F

m
.
a

mg

n

m

n

mg

m
y
c
R
R
 n  5000  1275,5  n  3724,5 N  vertical para cima
b)
510, 2.122
 7346,88  P  T para baixo
10
v2
mv 2
 Fy  m.ac  mg  T  m R  T  R  mg
 T  7346,88  5000  T  2346,88 N  vertical para baixo
v  12m / s  Fc 
038
55.
isolando o bloco m, temos que:
T m
v2
,
r
 Mg 
onde
T  Mg
mv 2
rMg
v
r
m
56.
a)
T1  35N , m  1,34 kg
T1
b)
F
y
T2
 0  T1 sen30º T2 sen30º mg  0
mg
T1sen30º mg 35.sen30º 1,34.9,8

sen30º
sen30º
 T2  8,74 N
 T2 
y
c)
FR   Fx  T1 cos30º T2 cos30º  (35  8,74).cos30º
60º
 FR  37,88N
T1
30º
60º
30º
x
T2
d)
FR  m
v2
R
, cos30º 
 R  1, 47 m
R
1,7
 37,88  1,34.
v2
 v  6, 45 m / s
1, 47
   2.F  4.F  7 F sen60º 0.F cos 60º
    2.30  4.15  7.20.sen60º  121, 25 N .m
A
1
2
3
3
A
57.
   2.F  4.F  7 F sen60º 0.F cos 60º
    2.30  4.15  7.20.sen60º  121, 25 N .m
A
1
2
3
3
A
58.
Pc  200 N
nA
Pb  100 N
nA  ?, nB  ?

A
0
PB
A
C
nB
PC
B
30 cm
20 cm
50 cm
20 cm 10 cm
mg
039
 30 Pb  50.Pc  70.nB  0
 30.100  50.200  70.nB  0  nB  185,71N
F
0
y
 nA  PB  Pc  nB  0  nA  100  200  185,71  0
 nA  114, 29 N
59.
Usando o cálculo de um determinante
iˆ
ˆj
kˆ
iˆ
ˆj
x
y
z
x
y
Fx
Fy
Fz
Fx
Fy
  r  F  yFziˆ  zFx ˆj  xFy kˆ  yFx kˆ  zFyiˆ  xFz ˆj
   ( yFz  zFy )iˆ  ( zFx  xFz ) ˆj  ( xFy  yFx )kˆ
60.
r  (3iˆ  2 ˆj  4kˆ)m, F  (3iˆ  4 ˆj  5kˆ) N
a)
iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj
3 2 4 3 2  10iˆ  12 ˆj  12kˆ  15 ˆj  16iˆ  6kˆ
3 4 5 3 4
  (6iˆ  3 ˆj  6kˆ) N .m
b) e c)
 semelhantes ao item a.
61.
m p  50kg
tg 
4
   53º
3

T
Fv
a)
A
0
 2.m p .g  3.T sen53º 0.T cos53º  0
 2.50.9,8  3.T sen53º  0
 T  409 N
53º
A
Fh
2m
1m
m p. g
040
b)
F
0
x
 Fh  T cos53º  0  Fh  409.cos53º  0  Fh  246,14
c)
F
y
0
 Fv  m p g  T sen53º  0  Fv  50.9,8  409. sen53º  Fv  163,36
62.
F1  20 N , F2  10 N , F3  5N
y
1m F1
a)
F
x
0
3m
x
P
 Fh  F3  0  Fh  5 N
0
d
Fv
Fh
2m
F3
b)
F
y
0
 Fv  F1  F2  0  Fv  20  10  Fv  30 N
c)

0
0
 0.F1  d .Fv  0.Fh  3F2  2.F3  0
 d .30  3.10  2.5  0  d  1,33m
63.
Pv  222, 4 N
a)
F2 2m
L  0,914m
041

A
0
 0.Fv  0.Fn 
L
sen60º.Pv  L sen60º.Ty  L cos 60º.Tx  0
2
sen 60º
.Pv  sen 60º.T cos 30º  cos 60º.T cos 60º  0
2
sen 60º

.222, 4  T ( sen 2 60º  cos 2 60º )  0
2
T  192, 6 N

30º
A Fv Fh
T
30º
30º
60º
b)
F
x
0
2
sen60º
L
 Fh  T sen30º  0  Fh  192,6.sen30º  Fh  96,3N
Pv
c)
F
y
0
 Fv  Pv  T cos30º  0  Fv  222,4  192,6.cos30º  Fv  55,6 N
64.
m  225kg
mv  45kg
30º
T
30º
mg
Fv
mv g
45º Fh
L sen45º
L cos 45º
a)

A
0
 0.Fv  0 Fh 
L
cos 45º.mv g  L cos 45º.mg  L cos 45º.Ty  L sen45º.Tx  0
2
cos 45º
mv g  cos 45º mg  cos 45º.Tsen30º  sen45º.T cos30º  0
2
45
  .9,8  225.9,8  T ( sen30º  cos30º )  0  T  6626,59 N
2

b)
042
F
x
 0  Fh  T cos30º  0  Fh  6626,59.cos30º
 Fh  5738,79 N
c)
F
y
 0  Fv  mv g  mg  Tsen30º  0
 Fv  45.9,8  225.9,8  6626,59.sen30º
 Fv  5959, 29 N
65.
a)

A
0
 0.Fv  0.Fn  xP  0.T cos  L.Tsen  0
T 
x.P
L sen
x
A

Fv
Fh
b)
L
P
F
x
0
 Fh  T cos  Fh  T cos 
x.P
x.P
.cos 
L.sen
L.tg
c)
F
y
0
 Fv  P  T sen   0
 Fv  P  T sen   P 
x.P
 x
.sen   Fv  P 1  
L.sen 
 L
T