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Movimento 1D e
Aceleração Constante
Objetivos:
●
●
Desenvolver um exemplo mais completo
com equação do movimento;
Demonstrar que num movimento a
aceleração constante a sua posição é
representada por uma equação de 2o grau
em t;
Movimento 1D e
Aceleração Constante
●
Antes de abordar o movimento a aceleração
constante, considere os problemas a
aceleração variável apresentados a seguir.
Exemplo 1
Um corpo se move ao longo da horizontal com a posição
dada pela equação:
x (t )=2 t 4 −12 t 3 + 10 t 2+ 24 t
onde a sua posição é dada em centímetros, o tempo em
segundos e t > 0:
(a) faça o gráfico para este movimento nos primeiros 5
segundos;
(b) Calcule e represente no gráfico espaço x tempo a
sua velocidade média nos intervalos: (i) 0 a 2s; (ii) 3s
a 5s;
(c) Calcule a sua aceleração média no intervalo de 1s a
3s e represente-a no gráfico v x t.
Exemplo 1
(d) Faça o gráfico a x t para os primeiros 3,5s deste
movimento;
(e) Encontre a posição e velocidade no(s)
momento(s) em que a aceleração deste corpo
cessa momentaneamente.
Exemplo 1
(a) gráfico espaço x tempo:
4
3
2
x (t)=2 t −12t + 10 t + 24 t
t (s)
x (cm)
0,0
0,0
0,5
13,1
1,0
24,0
1,5
28,1
2,0
24,0
2,5
13,1
3,0
0,0
3,5
-7,9
4,0
0,0
4,5
37,1
5,0
120,0
Exemplo 1
(b) Velocidade média nos intervalos: (i) 0 a 2s; (ii) 3s
a 5s.
Δ x x f −x i
=
⇒
̄v =
Δ t t f −t i
{
t 0=0 ⇒ x 0 =x (t 0 )=0
t 2=2s ⇒ x 2=x(t 2 )=24 cm
24−0
=12,0 cm/ s
̄v 02=
2−0
t 3=3s ⇒ x 3 =x (t 3 )=0
t 5 =5s ⇒ x 5=x(t 5 )=120 cm
120−0
=60cm / s
̄v 53 =
5−3
}
Exemplo 1
Adicionando as velocidades ao gráfico:
̄v 35=60 cm/s
̄v 02=12,0 cm/ s
Exemplo 1
(c) aceleração média no intervalo de 1s a 3s e
representação no gráfico v x t.
d
d
4
3
2
v (t )= x (t)= (2t −12t + 10 t + 24 t)
dt
dt
4−1
3−1
2−1
1−1
v (t )=2⋅4 t −12⋅3 t + 10⋅2 t + 24⋅1t
3
2
v (t )=8 t −36 t + 20t+ 24
Δ v v f −v i
=
⇒
̄a =
Δ t t f −t i
{
t 1=1s ⇒ v 1=v (t 1 )=16 cm/ s
t 3 =3s ⇒ v 3=v (t 3 )=−24 cm/ s
−24−16
2
=−20,0 cm/ s
̄a 13=
3−1
}
Exemplo 1
Gráfico velocidade x tempo:
3
2
v (t )=8 t −36 t + 20t+ 24
t (s)
v (cm/s)
0,0
24,0
0,5
26,0
1,0
16,0
1,5
0,0
2,0
-16,0
2,5
-26,0
3,0
-24,0
3,5
-4,0
4,0
40,0
4,5
114,0
5,0
224,0
ā 13=−20,0 cm/ s
2
Exemplo 1
(d) gráfico a x t.
d
d
3
2
a(t )= v (t )= (8 t −36 t + 20 t+ 24 )
dt
dt
a(t )=8⋅3 t
3−1
2
−36⋅2t
a(t )=24 t −72 t +20
2−1
+ 20⋅1 t
1−1
+0
Exemplo 1
Gráfico aceleração x tempo:
2
a(t )=24 t −72t+ 20
t (s)
a (cm/s²)
0,0
20,0
0,5
-10,0
1,0
-28,0
1,5
-34,0
2,0
-28,0
2,5
-10,0
3,0
20,0
3,5
62,0
Exemplo 1
(e) Posição e velocidade quando a = 0?
2
a(t )=24 t −72 t +20
Como apresentado anteriormente, as raízes de a = 0
são:
2
a(t )=24 t −72t +20=0 ⇒ t ii =0,31 s e t i =2,69 s
t i=0,31 s ⇒
t ii =2,68 s ⇒
{
{
x (t i )=8,06 cm
v (t i )=27,0 cm/ s
x(t ii )=8,06 cm
v(t ii )=−27,0 cm/ s
Exemplo 2
Para um corpo cuja a equação do movimento é dada
por um polinômio de 2ª ordem:
2
x (t)=α t + βt+ γ
onde α, β e γ são constantes reais, com α ≠ 0,
mostre que:
(a) Seu movimento é a aceleração constante;
(b) A aceleração média deste corpo em um intervalo
qualquer, é igual a sua aceleração;
(c) A velocidade média deste corpo, em um intervalo
qualquer, é igual média aritmética das velocidades
no mesmo intervalo.
Exemplo 2
(a) movimento a aceleração constante;
Sendo α, β e γ são constantes, suas derivadas são
todas nulas.
2
d (t )
d
d
dt
2
v (t )= x (t)= (α t + βt+ γ)=α
+β +0
dt
dt
dt
dt
v (t )=2 α t+ β
d
d
dt
a(t )= v (t )= (2 α t+ β)=2 α + 0
dt
dt
dt
a(t )=2α=a=const.
visto que α é uma constantes.
Exemplo 2
(b) aceleração média é igual a aceleração:
Calculando a aceleração média no intervalo t1 e t2,
com t1 < t2:
Δ v v f −v i
onde v é dado por v (t )=2 α t+ β
a=
=
̄
Δ t t f −t i
t i=t 1 ⇒ v i =2α t 1+ β
e
t f =t 2 ⇒ v f =2α t 2+ β
(2 α t 2+ β)−(2 α t 1+ β) 2 α t 2−2 α t 1 2 α(t 2−t 1 )
⇒ ̄a =
=
=
=2 α
t 2−t 1
t 2−t 1
t 2−t 1
a
̄ =a=2 α=const.
Exemplo 2
(c) velocidade média igual a média de velocidades:
calculando a média aritmética das velocidades no
intervalo t1 e t2:
v f + vi
onde v é dado por
Mv=
v (t )=2 α t+ β
2
t i=t 1 ⇒ v i =2 α t 1+ β
t f =t 2 ⇒ v f =2 α t 2+ β
e
(2 α t 2+ β)+ (2α t 1+ β) 2 α t 2+ 2 α t 1+ 2β
⇒ Mv=
=
2
2
2 α(t 2+ t 1 )+ 2β
⇒ Mv=
2
Mv=α(t 2+ t 1 )+ β
Exemplo 2
calculando a velocidade média no mesmo intervalo,
t 1 e t 2:
x f −x i
̄v =
t f −t i
com
2
t i=t 1 ⇒ x i=α t 1 + βt 1+ γ
2
2
x (t)=α t + βt+ γ
e
2
2
t f =t 2 ⇒ x f =α t + βt 2+ γ
2
2
2
(α t 2 + β t 2+ γ)−(α t 1 + βt 1+ γ) α(t 2 −t 1 )+ β(t 2−t 1)
⇒ ̄v =
=
t 2−t 1
t 2−t 1
α(t 2+ t 1 )⋅(t 2−t 1)+ β(t 2−t 1 )
⇒ ̄v =
t 2−t 1
⇒ ̄v =α(t 2+ t 1 )+ β=Mv