q 1 p 1 2 5x 0 2 5x 2

RESOLUÇÃO DO SIMULADO DE
MATEMÁTICA _2007 _ APLICADO NO COLÉGIO
ANCHIETA – BA, NAS TURMAS DA 3A SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES.
RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.
01. Sobre números reais é verdade que:
1
1
(01)
Se p e q são números irracionais, então p + q é um número irracional.
(02)
Se 1,4333... é igual a fração irredutível n ; m, n ∈ Z, então m + n = 73.
(04)
A equação +2−1xpossui mais de uma solução real.
(08)
A soma dos elementos do conjunto-solução da equação x2−5()é igual a 7.
(16)
−
<
⇔
1
.x
m
1
RESOLUÇÃO:
01) FALSO.
1
1
Consideremos os números irracionais p e q, tais que p = – q . Fazendo em p + q a devida
1 1
substituição, temos: p + q = ( conjunto dos números racionais).
02) VERDADEIRO.
90x = 129
100x = 143,333... 
⇒
43 m ⇒ m + n = 73
Façamos x = 1,4333... ⇒ 
x
=
=
 10x = 14,333..

30 n
04) FALSO.
1
1
1
1
+
= x 2 −1 ⇒ 2
− 2
= x 2 − 1 ⇒ x 2 − 1 = 0 ⇒ x 2 = 1 . O que é impossível,
2
2
x −1 1− x
x −1 x −1
pois esse valor anula os denominadores das frações, assim a equação é impossível.
08) FALSO.
(x − 5 )2
+2=0⇒
(x − 5 )2
= −2 que é uma proposição falsa no conjunto dos números reais.
16) VERDADEIRO.
1
1

1

Se x − 1 < x ⇔ x ∈  ,+∞  ⇒ − x < x − 1 < x ⇒ x < ⇒ x ∈  ,+∞ 
2
2

2

resolução do simuladoMatemática2007.doc_18/07/07_ado
2
02. Considere o quadrado ABCD tal que A = (1, 0) e B = (3, 0) com os vértices C e D no primeiro
quadrante.
Pode-se afirmar que:
(01)
C = (3, 2).
(02)
O simétrico do ponto D em relação ao eixo dos y é o ponto D1 = (– 1, 2).
(04)
O segmento A 1C1 , simétrico do segmento AC em relação à primeira bissetriz, possui o
ponto (0,2).
(08)
O gráfico da equação (x – 3)(y – 2) = 0 contém os lados BC e CD do quadrado ABCD.
(16)
O simétrico do gráfico da equação xy + 2x = 0 em relação à origem é o gráfico da equação
xy – 2y =0.
(32)
Se os pontos (a + 2, b – a) e (b + 1, –a) são simétricos em relação ao eixo dos x, então
a ∈ {–2, 0, 2, 4, 6}.
RESOLUÇÃO:
(01)
VERDADEIRO.
Como os pontos A = (1, 0) e B = (3, 0) estão sobre o eixo dos x, o lado AB do quadrado
mede 2u.c. O lado BC é perpendicular ao eixo Ox. Logo os pontos C = (3,2) e D = (1,2).
(02)
VERDADEIRO.
Os pontos D e D1 são eqüidistantes do eixo Oy e pertencem à reta y = 2 que é
perpendicular ao eixo Oy.
FALSO.
(04)
(08)
VERDADEIRO.
A equação (x – 3)(y – 2) = 0 é verdadeira para x = 3 ou y = 2, ou seja para todo par
ordenado no qual x = 3 ou y = 2.
(16)
FALSO.
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3
Analisando o gráfico acima onde estão representadas as retas xy + 2x = 0 e xy – 2x = 0, vemos que o
ponto B = (3,– 2) pertence à reta xy+2x=0, mas o seu simétrico A = (– 3, 2), em relação à origem, não
pertence à reta xy – 2y = 0, logo as retas não são simétricas em relação à origem.
Podemos também chegar à mesma conclusão da seguinte forma:
Se o ponto (x,y) pertence ao gráfico da equação xy+2x = 0, então o ponto (–x, –y) pertence ao gráfico de
sua simétrica em relação à origem. Na equação xy+2x = 0, substituindo x e y, respectivamente por –x e –
y, temos: (–x) (–y) +2(–x) = 0 ⇒ xy –2x = 0, cujo gráfico é simétrico ao da equação xy+2x=0.
(32)
FALSO.
Se os pontos (a + 2, b – a) e (b + 1, –a) são simétricos em relação ao eixo dos x, então
a − 2a = −1
a + 2 = b + 1
a − b = −1 
⇒
⇒ a = 1
⇒ a ∉{−2,0,2,4,6}

b − a = −(−a) b = 2a
b = 2

03. Sobre polinômios pode-se afirmar que:
(01)
O polinômio p(x) = x2n + 3 + x2n + 1 + 2, n ∈ N, é divisível por x + 1.
(02)
O resto da divisão de x4 + x por x2 + 1 é o polinômio x + 1.
(04)
Se 2 + i é raiz do polinômio 2x3 – 6x2 + ax + b; a, b ∈ R, então –7 é, também, raiz.
(08)
Se 1 + i é raiz da equação x3 – 4x2 + 6x + p = 0, então p = 4.
(16)
Se os polinômios (x + p)2 e x2 + qx + r são idênticos, então q2 = 4r.
RESOLUÇÃO:
(01)
VERDADEIRO.
Se um polinômio p(x) é divisível por x + 1, então p(–1) = 0. Substituindo em
p(x) = x2n + 3 + x2n + 1 + 2, x por –1, temos (–1) 2n + 3 + (–1) 2n + 1 + 2 = (–1) + (–1) + 2 =0
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4
(02) VERDADEIRO.
Efetuemos a divisão de x4 + x por x2 + 1:
x4 + 0x2 + x
– x4 – x 2
x2 + 1
x2 – 1
–x2 + x
x2
+1
x +1
(04)
FALSO.
Se 2 + i é raiz do polinômio 2x3 – 6x2 + ax + b, então 2 – i também o é.
Considerando x’ a terceira raiz do polinômio e aplicando as Leis de Girard
2 + i + 2 – i + x’ =
(08)
6
⇒ x’= – 1
2
FALSO.
Sendo 1 + i é raiz da equação x3 – 4x2 + 6x + p = 0, então 1 – i também o é. Considerando
x’ a terceira raiz do polinômio e aplicando as Leis de Girard 1 + i + 1 – i + x’ = 4 ⇒ x’ = 4.
Pela aplicação das mesmas Leis: (1 + i)(1 – i).4 = –p ⇒ –p = 8 ⇒ p = –8.
(16)
VERDADEIRO.
Da afirmação de que os polinômios (x + p)2 e x2 + qx + r são idênticos, então,
4p 2 = q 2
q2
2p = q 
 =r
⇒  2 q2 ⇒  4
 2
2
2
2
x + 2px + p = x + qx + r ⇒ p = r
p =
q 2 = 4r .
4


04. Uma mistura de álcool e gasolina está contida num reservatório cilíndrico de 30cm de raio e 80cm de
altura. O nível dessa mistura está a 60cm do fundo do reservatório.
Considerando π = 3, é verdade que:
(01)
A mistura tem volume igual a 162 litros.
(02)
Se a mistura contém 20% de álcool, então o percentual do volume de álcool em relação ao
de gasolina é de 30%.
(04)
Se a quantidade de gasolina é o dobro da de álcool e se, nesse reservatório for colocado
álcool até ele ficar completamente cheio, então o percentual de álcool na nova mistura será
de 50%.
(08)
A mistura inicial será totalmente retirada do reservatório em menos de um minuto se for
utilizada uma bomba com vazão de 2 litros por segundo.
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5
(16)
1
Se 6 da mistura inicial for transportado para um reservatório cônico (vértice para baixo) de
60cm de raio e 60cm de altura, o nível da mistura transportada ficará a 30cm do vértice
desse reservatório.
RESOLUÇÃO:
(01)
VERDADEIRO.
O volume da mistura coincide com o volume de um cilindro de 30cm de raio e 60cm de
altura. Logo V = πR2h = 3.302.60 = 162000cm3 = 162 litros.
(02)
FALSO.
Se a mistura contém 20% de álcool, então o percentual do volume de álcool em relação ao
20
%
de gasolina é de =
.
80
%
(04)
VERDADEIRO.
No reservatório existem 162 litros de mistura na qual a quantidade de gasolina é o dobro da
de álcool, logo, considerando como A a quantidade de álcool contida nessa mistura:
2A+A = 162 ⇒ A = 54.
O volume total do reservatório é: V = πR2h = 3.302.80 = 216000cm3 = 216 litros.
Como o reservatório contém 162 litros de mistura, para ficar completamente cheio serão
necessários (216 – 162) = 54 litros de álcool. A nova mistura conterá então (54+54) = 108
litros de álcool.
108 1
= =50%.
O percentual de álcool na nova mistura será de
216 2
(08)
FALSO.
Se a bomba a ser utilizada para a vazão total da mistura inicial, e se a bomba tem vazão de
2 litros por segundo, os 162 litros da mistura serão totalmente retirados do reservatório em
162:2 = 81 segundos = 1min 21seg, logo em mais de um minuto.
(16)
VERDADEIRO.
162
1
= 27 litros.
da
mistura
inicial
equivale
a
6
6
O volume do cone que irá receber os 27 litros da mistura é:
1
3216 litros.
=
×
V
3
Podemos escrever a seguinte relação (considerando como h a altura atingida pelo líquido):
3
27 1  h 
h 1
= =  ⇒
= ⇒ h = 30cm.
216 8  60 
60 2
resolução do simuladoMatemática2007.doc_18/07/07_ado
6
05. A proposição “x ∈ A ∩ B implica x ∈ A ou x ∈ B” equivale a:
(01)
Se x ∉ A ∩ B, então x ∉ A e x ∉ B.
(02)
x ∈ A ∩ B, somente se x ∈ A ou x ∈ B.
(04)
x ∉ A e x ∉ B é condição suficiente para x ∉ A ∩ B.
(08)
x ∉ A ∩ B ou x ∈ A ∪ B.
(16)
Não é verdade que x ∈ A ∩ B, x ∉ A e x ∉ B.
RESOLUÇÃO:
A proposição dada equivale a: “Se x ∈ A ∩ B então x ∈ A ou x ∈ B”.
Esta implicação que indicaremos por r tem para antecedente p a sentença x ∈ A ∩ B e para
conseqüente q, a sentença x ∉ A e x ∉ B. Logo r: p ⇒ q.
Deste modo podemos escrever a equivalência :
“Se x ∈ A ∩ B então x ∈ A ou x ∈ B” ⇔ (p ⇒ q)
Na análise que faremos não interessa então se r ⇔ (p ⇔ q) é verdadeira ou falsa.
(01)
FALSO.
A proposição: “Se x ∉ A ∩ B, então x ∉ A e x ∉ B” equivale à implicação (~p ⇒ ~q) e
não a (p ⇒ q) .
(02)
VERDADEIRO.
É só notar que “p ⇒ q” equivale a “p somente se q”.
(04)
VERDADEIRO.
(~q ⇒ ~p) é a implicação x ∉ A e x ∉ B ⇒ x ∉ A ∩ B que equivale à proposição dada
(p ⇒ q) e pode ser lida assim: x ∉ A e x ∉ B é condição suficiente para x ∉ A ∩ B.x ∉ A
(8)
VERDADEIRO.
Temos que: ~(p ⇒ q) ⇔ p ∧~q.
Negando p ∧~q temos : ~( p ∧~q) ⇔ ~p ∨ q ⇔ ~(~(p ⇒ q)) ⇔ p ⇒ q.
Então “x ∉ A ∩ B ou x ∈ A ∪ B” ⇔ “Se x ∈ A ∩ B então x ∈ A ou x ∈ B”
(16)
VERDADEIRO.
Sendo p ∧~q ⇔ ~(p ⇒ q), então ~( p ∧~q) ⇔ ~(~(p ⇒ q)) ⇔ p ⇒ q.
Assim concluímos que a negação: ~( x ∈ A ∩ B e x ∉ A e x ∉ B) equivale a
“Se x ∈ A ∩ B então x ∈ A ou x ∈ B”.
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7
06. A respeito de Matemática Financeira é verdade que:
(01) Se o preço de certo objeto aumentou 8% e, em seguida, sofreu uma redução de 5%, então houve
um aumento de 2,6% em relação ao preço inicial.
(02) Se após 2 meses a valorização de uma ação foi de 38%, sendo de 15% a valorização no primeiro
mês, então a valorização dessa ação no segundo mês foi superior a 21%.
(04) O montante obtido com a aplicação de certo capital, em três meses, a juros simples de 11% ao
mês é superior ao que seria obtido se esse capital, no mesmo prazo, fosse aplicado a juros
compostos de 10% ao mês.
(08) Uma mercadoria foi vendida por R$ 55,00 com lucro de 10% sobre o preço de custo. Se esse
custo sofresse um aumento de 5%, então o lucro seria de R$ 2,50.
(16) Se uma promissória no valor de R$ 9.000.00 deve ser paga em certo mês, o desconto racional
simples que se obtém antecipando esse pagamento em 5 meses, com taxa de 10% ao mês, é igual
a R$ 3.000,00.
RESOLUÇÃO:
(01)
VERDADEIRO.
Consideremos que o preço de certo objeto era C. Se este valor sofreu um aumento de 8% e,
em seguida, sofreu uma redução de 5%, então seu valor final é:
C×1,08×0,95 = 1,026C = C+C×2,6%.
(02)
FALSO.
Se após 2 meses a valorização de uma ação foi de 38%, sendo de 15% a valorização no
primeiro
mês, considerando C como valor inicial das ações, podemos escrever a
equação:
1,38
1,15C×i = 1,38C ⇒ i = 1,15 = 1,20 .
(04) FALSO.
O montante resultante da aplicação de certo capital, sob o regime de juros simples, em três
meses, a juros simples de 11% é: M = C + Cit ⇒ C(1+it) = C(1+3×0,11) = 1,33C.
O montante resultante da aplicação do mesmo capital, sob o regime de juros compostos,
no mesmo prazo, a uma taxa de 10% ao mês é: M = 1,13 × C = 1,331C.
Logo o primeiro montante é inferior ao segundo.
(08) VERDADEIRO.
Se uma mercadoria foi vendida por R$ 55,00 com lucro de 10% sobre custo C, então
1,10C = 55 ⇒ C = R$ 50,00.
Se esse custo sofresse um aumento de 5%, o valor de custo do objeto seria
1,05C= 1,05×50 = R$ 52,50.
Como o objeto foi vendido por R$ 55,00,então o lucro seria de R$ 2,50.
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8
(16) VERDADEIRO.
Sendo M o valor a ser pago no final do período ( cinco meses), C é o valor a ser pago
antecipando o pagamento em cinco meses.
9000
M
=
M = C + Cit ⇒ C(1+it) ⇒ C =
⇒C=5
.
1+
0,1
×
1 + it
Com antecipação de cinco meses no pagamento a promissória será quitada por
R$ 6.000,00.Logo o desconto racional simples que se obtém é igual a R$ 3.000,00.
1 1 0 


07. Considere a matriz A = 1 2 1  .
1 0 2 


É verdade que:
(01)
A + At é uma matriz simétrica.
(02)
A é inversível.
(04)
10
.
3
Se B = A2, então b 31 = 9 .
detA t + detA −1 =
(08)
(16)
(− 1, 1, 0) é solução
(32)
Os sistemas 1 2
1 1

1 0

1
1


do sistema homogêneo 1 2


0
1
0  x   1   1 1 0  x   1 
    
   
1  y  =  2  e  0 1 1  y  =  1 
2  z   − 1  0 0 3  z   − 1
0  x   0 
   
   
1  y  =  0  .
   
   
   
2  z   0 
são equivalentes.
RESPOSTA:
(01)
VERDADEIRO.
1 1 0 


A + At = 1 2 1  +
1 0 2 


1 1 1


1 2 0 =
 0 1 2


2 2 1


 2 4 1  onde a12 = a21, a13 = a31 e a23 =a32. Então
1 1 4


A + At é uma matriz simétrica.
(02) VERDADEIRO.
detA = 4 + 1 – 2 = 3 ⇒ detA ≠ 0 ⇒ A é inversível.
(04) VERDADEIRO.
detA t + detA −1 = 3 +
1 10
=
3 3
(08) FALSO.
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9
1 1 0  1 1 0 

 

Se B = A2 = 1 2 1  × 1 2 1  =
1 0 2  1 0 2 

 

 2 3 1


 4 5 4  , então b 31 = 3 .
3 1 4


(16) FALSO.
1 1 0  x   0 

   
No primeiro membro do sistema homogêneo 1 2 1  y  =  0  substituindo x, y e z por seus
1 0 2  z   0 

   
1 1 0  − 1  − 1 + 1   0   0 

  
    
valores na terna (− 1, 1, 0 ) e efetuando o produto, 1 2 1  1  =  − 1 + 2  =  1  ≠  0 
1 0 2  0   − 1   − 1  0 

  
    
(32) VERDADEIRO.
No primeiro sistema fazendo L2 – L1 e L1 – L3, temos :
1 1 0  x   1 
 1 1 0  x   1 

   

   
1 2 1  y  =  2  ⇒  0 1 1  y  =  1  . No sistema resultante fazendo: L2 – L3
1 0 2  z   − 1
 0 1 − 2  z   2 

   

   
 1 1 0  x   1 

   
⇒  0 1 1  y  =  1  o que nos leva a concluir que os sistemas são equivalentes.
 0 0 3  z   − 1

   
08.
AB // HG
A figura representa a planta de uma praça formada pelo retângulo ABCD, um paralelogramo EFGH e
regiões semicirculares.
Os lados do retângulo são tangentes às regiões semicirculares que são gramadas.
As demais regiões são pavimentadas.
Considerando π = 3 e sabendo que EF = 8m e EH = 6m, é verdade que:
(01)
A área gramada é igual a 75m2.
resolução do simuladoMatemática2007.doc_18/07/07_ado
1
(02)
A área pavimentada correspondente ao paralelogramo é inferior a 40m2.
(04)
A diagonal FH tem medida superior a 7m.
(08)
A medida de BC é superior a 12m.
(16)
A área total da pavimentação (área não gramada) é superior a 100m2.
RESOLUÇÃO:
(1) VERDADEIRO.
A área gramada corresponde à dos círculos de raios medindo, respectivamente, 3m e 4m,
logo ela é igual a π(32 +42) = 3×25 = 75m2.
(2) FALSO.
A área pavimentada correspondente ao paralelogramo é equivalente ao dobro da área do
1
3
o
= 24 × 1,7 = 40,8 m2 .
triângulo EHF, ou seja 2/ × × EH × EF × sen60 = 6 × 8 ×
2/
2
(04) VERDADEIRO.
2
2
2
FH é a hipotenusa do triângulo retângulo FHI, logo FH = HI + FI .
HI = EH×sen60o = 6×
3
=3 3 ⇒ FH2 = 27 + 25 = 52
2
⇒ FH =
52 m > 7m.
(08) VERDADEIRO.
BC = 4 + HI + 4 = 8 + 5,1 = 13,1m > 12m.
(16) VERDADEIRO.
As dimensões do retângulo ABCD são 14m e 13,1m (aproximadamente), logo sua área é
183,4m2. Logo a área total da pavimentação (área não gramada) é:
183,4m2 – 75m2 = 108,4m2 > 100m2.
resolução do simuladoMatemática2007.doc_18/07/07_ado
1
QUESTÕES 09 e 10.
Efetue os cálculos necessários e marque a resposta na Folha de Respostas.
09. ABCD é um quadrado de lado 6cm. As medidas dos
segmentos AE e FC são, respectivamente, 3cm e 2cm.
Sendo P um ponto de uma das diagonais do quadrado
determine a distância, em centímetros de P ao lado AB
sabendo que a área do triângulo PFE é igual a 5cm2.
RESOLUÇÃO:
Considerando o ponto A como origem dos eixos cartesianos temos que os vértices do triângulo PEF, são
os pontos P(x,x), E(0,3) e F(4,6). Como a sua área mede 5cm2, temos
x x 1
x − 12 = 10
x = 22 > 6(impossível)
1


0 3 1 = 5 ⇒ 3x + 4x - 12 − 6x = 10 ⇒ x − 12 = 10 ⇒ ou
⇒ ou
2
x − 12 = −10 x = 2
4 6 1


RESPOSTA: A distância do ponto P ao lado AB é 2cm.
resolução do simuladoMatemática2007.doc_18/07/07_ado
1
10. A figura mostra a seção transversal de um túnel onde ECD é
um
semicírculo de raio x metros.
Na escavação desse túnel, para cada 6m de seu comprimento
foram retirados 160m3 de pedra. Calcule o valor da expressão
3x, considerando π = 3.
RESOLUÇÃO:
A figura mostra a seção transversal de um túnel onde ECD é um
semicírculo de raio x metros.
Na escavação desse túnel, para cada 6m de seu
comprimento foram retirados 160m3 de pedra. Calcule o
valor da expressão 3x, considerando π = 3.
A figura espacial representativa do túnel é composta de um prisma retangular e de um semicilindro, então
1
2x × 3 × 6 + × π × x 2 × 6 = 160 ⇒ 36x + 9x 2 = 160 ⇒ 9x 2 + 36x − 160 = 0 ⇒
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seu volume é:
− 36 ± 1296 + 5760 − 36 ± 7056 − 36 ± 84
48 8
x=
=
=
⇒x=
=
18
18
18
18 3
RESPOSTA: O valor de 3x é 8.
resolução do simuladoMatemática2007.doc_18/07/07_ado
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