Parte I

Parte I
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Leitura Fundamental
Oficina
Física
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AULA 1- CONCEITOS BÁSICOS DE CINEMÁTICA
Leitura Obrigatória
INTRODUÇÃO
Pode-se pensar na ciência como sendo o processo pelo qual o homem procura compreender o universo.
A origem exata de onde essa aventura começou perde-se no tempo. Apesar disso, sabe-se que todo o
conhecimento científico que temos hoje resulta de um esforço coletivo envolvendo milhares de cientistas
ao longo de séculos de pesquisa exaustiva. Os primeiros avanços significativos em nossa compreensão
do mundo ocorreram, por exemplo, na Antiga Grécia, com os filósofos Thales, Platão, Aristóteles,
Arquimedes, entre outros. Já a partir do século XVI e XVII a ciência sofre grandes avanços nas mãos de
cientistas como Galileu, Newton, Kepler e nos séculos XIX e XX a ela sofre um desenvolvimento intenso
com o surgimento do eletromagnetismo, da física quântica e da teoria da relatividade. Atualmente a
ciência pode ser dividida em diversas áreas tais como física, química, biologia, medicina, etc. A física,
particularmente, preocupa-se em entender os fenômenos da natureza que normalmente não envolvem
seres vivos (biologia) nem mudanças nas propriedades químicas da matéria (química). A física, por sua
vez, é dividida em diversas áreas, tais como mecânica, eletricidade, óptica, termofísica, etc. Iniciaremos
nossos estudos com a mecânica, que é parte da física que estuda o movimento dos objetos.
GRANDEZA FÍSICA E SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Quando se estuda fenômenos físicos, é necessário fazer medidas das “coisas” relacionadas ao
fenômeno. Por exemplo:
a) quando dizemos que uma pedra demora 2 segundos para cair de uma altura de 20 metros estamos
medindo duas “coisas”, a altura de queda e o tempo de queda.
b) 2 litros de água sofre um aquecimento de 5oC em sua temperatura quando recebe 10.000 calorias de
energia. Neste caso, estamos medindo três “coisas”: o volume de água, seu aumento de temperatura e
a quantidade de calor recebida por ela.
c) uma lâmpada de 60 watts é percorrida por uma corrente elétrica de 0,5 ampére quando é ligada em
uma tomada de 120 volts. Neste exemplo também temos três “coisas” medidas: a potência da lâmpada,
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a corrente elétrica e a tensão elétrica da tomada.
Todas as “coisas” medidas nos exemplos acima são chamadas de grandezas físicas. Portanto
podemos dizer que grandeza física é tudo aquilo que pode ser medido, como o comprimento, tempo,
temperatura, volume, massa, peso, força, energia, etc. Por sua vez, medir uma grandeza física
significa compará-la com uma unidade padrão. Se, por exemplo, medirmos um campo de futebol e
chegarmos a 90 metros de comprimento, significa que estamos comparando o comprimento do campo
com uma unidade padrão de medida: o metro. Sendo assim, neste caso teremos que a unidade
padrão, o metro, “cabe” 90 vezes no tamanho do campo. Da mesma forma, se medirmos a massa
de uma pessoa e obtermos 65 quilogramas, significa que esta pessoa tem uma massa 65 vezes
maior do que a unidade padrão: o quilograma. Portanto, todas as grandezas físicas possuem suas
correspondentes unidades de medidas e, devido a diferenças regionais e/ou culturais, podemos ter
mais de uma unidade para uma mesma grandeza, como mostra a tabela abaixo.
GRANDEZA FÍSICA
comprimento
massa
tempo
força
UNIDADES DE MEDIDA
km, metro, centímetro, polegada, pé
tonelada, quilograma, grama, libra
dia, hora, minuto, segundo
newton, dina, quilograma-força
Com o intuito de padronizar o uso das unidades, em 1960, a 11a Conferência Geral de Pesos
e Medidas deu uma nova roupagem para o antigo Sistema Métrico Decimal. O novo Sistema
Internacional de Unidades (S.I.) propôs novas definições muito mais precisas e rigorosas para
as unidades das principais grandezas físicas, além de estabelecer uma única unidade para cada
grandeza. Após sofrer sucessivas atualizações em conferências mais recentes, hoje, o Sistema
Internacional baseia-se principalmente em sete unidades fundamentais.
Grandeza Física
Comprimento
Massa
Tempo
Temperatura
Corrente Elétrica
Quantidade de Matéria
Intensidade Luminosa
Unidade no S.I.
metro
quilograma
segundo
kelvin
ampère
mol
candela
Símbolo
m
kg
s
K
A
Mol
cd
No curso de mecânica, as três principais grandezas físicas são comprimento, massa e tempo, cujas
unidades no S.I. são, respectivamente, metro (m) , quilograma (kg) e segundo (s). Sendo assim,
é interessante destacar as relações entre essas três unidades com outras que são comuns no nosso
cotidiano.
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1 km (quilômetro) = 1.000 m
1 h (hora) = 60 min (minuto)
1t (tonelada) = 1.000 kg
1 m = 10 dm (decímetro)
1 min = 60 s (segundo)
1 kg = 1.000 g (grama)
1 m = 100 cm (centímetro)
1h = 3.600s
1 g = 1.000 mg (miligrama)
1 m = 1.000 mm (milímetro)
1 dia = 86.400s
1 libra = 0,45 kg
1 polegada = 2,54 cm
1 ano = 3,15.107s
1 pé = 12 polegadas
CONCEITOS BÁSICOS DA CINEMÁTICA
A Mecânica é o ramo da física que estuda o movimento dos objetos, ou seja, procura descrever
os movimentos matematicamente e compreender as causas e conseqüências dos movimentos.
Didaticamente, divide-se a Mecânica em duas partes: i) cinemática e ii) dinâmica. A cinemática procura
descrever como um objeto se move sem se preocupar com as causas do movimento. Já a dinâmica
preocupa-se principalmente em compreender as causas dos movimentos. Naturalmente que essa divisão
é puramente didática sendo que o aluno deve estar consciente de que os conceitos desenvolvidos em
cada uma dessas partes devem ser integrados de forma a serem trabalhados juntos no estudo dos
movimentos. Iniciaremos o estudo da Mecânica apresentando os conceitos básicos da cinemática.
• Ponto material e corpo extenso
Quando se estuda o movimento de um objeto, muitas vezes o tamanho deste objeto não é relevante
para o estudo em questão. Neste caso, a fim de simplificar a analise pode-se desprezar o tamanho do
objeto e considerá-lo como se ele fosse um ponto, apenas para dar uma idéia de localização. Neste caso
o objeto é considerado um ponto material. Por outro lado, quando o tamanho e a forma do objeto em
questão forem relevantes para o estudo do movimento, ele deve ser considerado um corpo extenso.
• Repouso e movimento
Definir repouso e movimento é uma questão antiga que gerou muita controversa ao longo da história.
Isso porque o conceito de repouso e movimento são conceitos relativos, ou seja, não se pode dizer que
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um objeto está em repouso ou em movimento sem que se especifique um referencial em relação ao qual
ele está em repouso ou em movimento. Por exemplo, uma pessoa sentada no banco de um ônibus que
faz uma viagem entre duas cidades está em repouso em relação ao ônibus, mas está em movimento
em relação á estrada. Sendo assim, a definição de repouso e movimento deve ser feita de uma forma
mais rigorosa, especificando-se o referencial. Para isso, deve-se definir um sistema de coordenadas
que permita definir a posição de um objeto a partir de informações matemáticas bem definidas. Por
exemplo, a localização de um carro numa estrada é dada pelo km em que ele se encontra. A localização
de um navio em alto mar é dada pela latitude e pela longitude. Desta forma pode-se definir repouso
e movimento da seguinte forma:
- repouso: um objeto está em repouso em relação a um dado referencial quando sua posição
(coordenadas) em relação a este referencial não varia no decorrer do tempo.
- movimento: um objeto está em movimento em relação a um dado referencial quando sua posição
(coordenadas) em relação a este referencial variam no decorrer do tempo.
•Trajetória
Quando um objeto está em movimento em relação a um dado referencial, sua posição varia no decorrer
do tempo, ou seja, a cada instante de tempo ele se encontra em uma posição diferente do espaço.
A trajetória do objeto corresponde a todos os pontos do espaço que este móvel ocupou durante seu
movimento. Deve-se destacar que a trajetória depende do referencial, ou seja, ela pode ter formas
diferentes para referenciais diferentes.
Como exemplo, considere um avião que se desloca em linha reta com velocidade constante e que
abandona uma bomba, como mostra a figura abaixo. Desprezando-se a resistência do ar, a bomba
descreverá uma trajetória reta vertical para quem está no avião e um arco de parábola para quem está
fixo no solo.
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VELOCIDADE MÉDIA
Considerando a definição de movimento vista anteriormente, veremos agora como é possível medir a
rapidez com que a posição de um objeto varia no decorrer do tempo. Para isso, define-se o conceito de
velocidade média. Sabemos que o conceito de velocidade é extremamente comum no nosso cotidiano
e, portanto, temos uma boa idéia do que velocidade significa. No entanto, precisamos dar um caráter
mais matemático para este conceito.
Considere uma partícula que se move sobre uma trajetória e que sua posição é dada pela distância
que ela se encontra de um ponto de referencia sobre a trajetória que chamaremos de origem dos
espaços. Através de um relógio, verifica-se que num dado instante de tempo ti (tempo inicial) a
partícula encontra-se numa posição que dista si (espaço inicial) da origem e em seguida no instante
de tempo tf (tempo final), ela encontra-se numa outra posição que dista sf (espaço final) da origem,
como mostra a figura abaixo.
Desta forma, a partícula sofre um deslocamento ∆s = sf – si num intervalo de tempo ∆t = tt – ti. A
velocidade média da partícula durante este intervalo de tempo é definida como
vm =
!s
!t
no S.I. é m .No entanto, como sabemos, é comum
Pela definição, a unidade de velocidade média,
s
medirmos velocidade no cotidiano em km .Sendo
assim, é importante sabermos fazer a conversão entre
essas duas unidades:
h
1
1km 1000m
=
=
m/s
3600s 3, 6
h
Portanto, para converter uma velocidade em km/h para m/s, deve-se dividir o valor da velocidade
por 3,6 enquanto que para converter de m/s para km/h deve-se multiplicar o valor da velocidade por 3,6,
como mostra o esquema.
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Exemplos:
36 km/h = 10 m/s
54 km/h = 15 m/s
72 km/h = 20 m/s
90 km/h = 25 m/s
108 km/h = 30 m/s
ACELERAÇÃO MÉDIA
Os movimentos são classificados em dois tipos básicos: movimento uniforme e movimento
variado. No movimento uniforme o objeto desloca-se com velocidade constante, ou seja, sua velocidade
não varia no decorrer no tempo. Já no movimento variado, a velocidade do objeto não é constante, ou
seja, ela varia no decorrer do tempo. Neste caso, uma medida importante refere-se à rapidez com que
a velocidade do objeto varia no tempo. A grandeza que mede a rapidez média com que a velocidade de
um objeto varia com o tempo é chamada de aceleração média.
Considere um objeto que num dado instante inicial ti desloca-se com uma velocidade inicial vi
e que, em seguida, num outro instante final tf, desloca-se com uma velocidade final vf, como mostra a
figura abaixo.
A aceleração média do objeto no intervalo de tempo considerando é definida como
am =
!v
!t
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Pela definição, pode-se verificar que a unidade de aceleração, no S.I., é o
m
.
s2
Atividades
01. Uma polegada é uma unidade de comprimento muito utilizada na Inglaterra e equivale a
aproximadamente 2,5cm. Um pé, outra unidade de comprimento, equivale a doze polegadas.
a) A quantos metros corresponde um barco de 20 pés de comprimento?
b) Se um avião estiver voando a uma altura de 9 km em relação ao solo e o piloto for informar aos
passageiros a altitude do vôo, em pés, qual deverá ser o valor informado?
02. Um motorista viajando ao longo de uma determinada rodovia nota que às 11:00h passa pelo km
120 e que às 13:00h passa pelo km 300 da mesma rodovia. Determine a velocidade média do veículo
neste trecho.
03. Um motorista pilotando um carro com uma velocidade de 10m/s pisa no acelerador aumentando a
velocidade do veículo para 30 m/s. Sabendo-se que esse aumento de velocidade demorou 5 segundos,
determine a aceleração média do veículo durante o referido intervalo de tempo.
04. Nos EUA, é comum medir-se a distância entre cidades em milhas. Sabe-se que uma milha equivale
a aproximadamente 1,6 km e que a distância entre Ribeirão Preto e São Paulo é de 320 km. Considere
que o motorista de um ônibus importado faça um viagem de Ribeirão Preto até a capital paulista e que,
em média, o velocímetro tenha indicado uma velocidade de 50 milhas por hora.
a) Determine a distância percorrida pelo ônibus, em milhas.
b) Determine quanto tempo o ônibus levou para realizar a viagem
Links Interessantes
Acesse o site Wikipédia e leia o artigo sobre Física. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/
F%C3%ADsica>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site Física Interativa e
assista a aulas de física online. Disponível em: <http://www.
fisicainterativa.com/>. Acesso em 13 fev. 2012.
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Acesse o portal Só Física e aprofunde seus conhecimentos, por meio de jogos online, exercícios e
curiosidades. Disponível em: <http://www.sofisica.com.br/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o portal e-física para saber mais sobre Cinemática. Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/>.
Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site Prisma e encontre respostas para diversos fenômenos do Universo, à luz da física.
Disponível em: <http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Vídeos Interessantes
Assista ao vídeo Cinemática. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=QxpjmwEmRaI>.
Acesso em 13 fev. 2012. Aula com animação que explica os conceitos da Cinemática.
Curiosidades
1 - São mais de 220 bilhões de células no organismo humano. Algumas vivem 1,5 dias, apenas. Mas,
no fígado, elas resistem até 5 meses. No sangue, os glóbulos brancos duram 15 dias e os vermelhos,
120. Os macrófagos, grandes células sangüíneas, digerem uma bactéria em apenas um centésimo de
segundo.
2 - Estudos revelam que células de organismos multicelulares carregam instruções para autodestruir-se
no momento em que passam a não ser úteis ao organismo. Assim, como é preciso gerar células para
manter os processos vitais, é imprescindível eliminar as defeituosas e as doentes. O processo no qual
a célula promove sua autodestruição de modo programado é chamado apoptose. Esse fenômeno é
importante na embriogênese, no desenvolvimento do sistema imunológico e na diferenciação celular,
entre outros.
3 – Células tronco são as células com capacidade de auto-replicação, isto é, com capacidade de gerar
uma cópia idêntica a si mesma e com potencial de diferenciar-se em vários tecidos.
Referências Bibliográficas
EINSTEIN, A.; INFELD, L. A evolução da física. Rio de Janeiro, Jorge Zahar Ed., 2008.
FERRARO, NICOLAU GILBERTO; SOARES, PAULO ANTONIO DE TOLEDO. Física Básica. vol.
único. São Paulo: Atual, 2004.
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GUIMARÃES, OSVALDO; CARRON, WILSON. Faces da Física. vol. único. São Paulo: Moderna,
2002.
RAMALHO JR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. Fundamentos da física, vol 1. 9.ed. São Paulo,
Moderna, 2007.]
Respostas das Atividades
01. a) 6m
b) 30.000 pés
02. 90 km/h
03. 4 m/s2
04. a) 200 milhas b) 4h
AULA 2 - MOVIMENTO UNIFORME E MOVIMENTO
Leitura Obrigatória
INTRODUÇÃO
O estudo do movimento dos objetos consiste, em geral, em conseguir descrever sua trajetória e determinar
como variam sua posição, velocidade e aceleração no decorrer do tempo. Em nosso cotidiano, estamos
acostumados a ver objetos se movimentando, tais como carros, pessoas, animais, máquinas, etc.
Muitas vezes esses movimentos podem ser demasiadamente complexos e, portanto, difíceis de serem
descritos matematicamente. Nestes casos, se faz necessário o uso de ferramentas matemáticas mais
sofisticadas que não serão consideradas neste curso. No entanto, muitos movimentos que presenciamos
no nosso cotidiano são relativamente simples e podem ser descritos sem a necessidade de ferramentas
matemáticas sofisticadas. Nesta aula estudaremos dois destes movimentos, o movimento uniforme
(MU) e o movimento uniformemente variado (MUV).
• Função horária do espaço
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Quando um objeto se move, sua posição varia no decorrer do tempo. Por exemplo, quando um carro faz
uma viagem ao longo de uma rodovia, a cada instante de tempo ele passa por um marco quilométrico
diferente da rodovia. Um dos principais objetivos da cinemática é conseguir descrever o movimento de
forma que seja possível determinar a posição de um objeto num dado instante de tempo qualquer. Para
isso, utiliza-se o conceito de função horária do espaço, que é uma função matemática que relaciona
a posição de um dado objeto com o tempo. Por exemplo, considere que um objeto se move de acordo
com a seguinte função horária do espaço:
S = 10 + 4t + 2t2
onde S é sua posição em relação à origem da trajetória, medida em metros, e t o tempo, medido em
segundos. Com essa função, podemos determinar a posição do objeto em qualquer instante de tempo.
Por exemplo, pode-se afirmar que no instante t = 5s o objeto estará na posição S = 80m. Para verificar,
basta substituir t = 5s na função horária do espaço:
S = 10 + 4.5 + 2.52 = 10 + 20 + 50
S = 80m
Deve ficar claro que cada movimento será caracterizado por uma função horária do espaço específica,
cuja forma e complexidade dependerão das características próprias do movimento. Se um objeto
executa um movimento demasiadamente complexo, a função horária do espaço que descreve seu
movimento será, conseqüentemente, bastante complexa. No entanto, quando o objeto se move de
forma relativamente simples, executando um movimento uniforme ou um movimento uniformemente
variado, a função horária do espaço também será relativamente simples. Particularmente nestes dois
tipos de movimentos veremos que no caso do movimento uniforme a função horária do espaço é uma
função do 1o grau enquanto que no movimento uniformemente variado ela será uma função do 2o grau.
MOVIMENTO UNIFORME (MU)
Quando um objeto se move e sua velocidade não varia no decorre do tempo, esse objeto executa um
Movimento Uniforme. Por exemplo, um carro numa estrada que num certo trecho mantém velocidade
constante de 100km/h executa, neste trecho, um movimento uniforme.
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Neste caso é possível descrever o movimento matematicamente de forma bastante simples, visto que a
função horária do espaço, que é a função que relaciona a posição do objeto com o tempo, é uma função
do 1o grau.
• Função horária do espaço do Movimento Uniforme
Considere um objeto que se move com velocidade v constante sobre uma trajetória, como mostra
a figura. Através de um cronômetro, inicialmente “zerado”, verificamos que no instante em que ele
é disparado (to = 0) o objeto se encontra na posição so da trajetória. Essa posição será chamada de
espaço inicial.
A função horária do espaço que fornece a posição s do objeto num instante de tempo t qualquer é dada
por
Sendo uma função do 1o grau, o gráfico do espaço s em função do tempo t será uma reta como mostra a
figura abaixo. Devem-se notar algumas propriedades destes gráficos. Primeiramente, a reta é crescente
quando v > 0 e descendente quando v < 0. Segundo, é que o ponto no qual o gráfico intercepta o eixo
dos espaços corresponde ao espaço inicial s0. Finalmente, a inclinação do gráfico, dada pela tangente
do ângulo que ele forma com a direção horizontal, corresponde à velocidade.
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MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MUV)
Quando um movimento não é uniforme, ou seja, quando a velocidade de um objeto não é constante,
o movimento é chamado de movimento variado. Existem inúmeros tipos de movimentos variados que
dependem de como a velocidade varia no decorrer do tempo. O mais simples dos movimentos variados
é o chamado Movimento Uniformemente Variado, que é aquele em que a velocidade varia linearmente
com o tempo, ou seja, a velocidade varia sempre no mesmo ritmo. Lembrando que a rapidez com que a
velocidade varia corresponde à aceleração, o MUV pode então ser definido como todo movimento cuja
aceleração é constante (e diferente de zero, pois caso contrário tem-se um movimento uniforme).
Para este tipo de movimento a descrição matemática não é tão simples como no movimento uniforme,
mas ainda é consideravelmente mais simples do que para movimentos variados mais complexos. Para
o MUV, a função horária do espaço é uma função do 2o grau e ainda é necessário definir uma função
horária da velocidade, visto que a velocidade também varia com o tempo, que será uma função do 1o
grau.
• Funções horárias do espaço e da velocidade do Movimento Uniformemente Variado
Considere um objeto que se move com aceleração a constante sobre uma trajetória, como mostra
a figura. Através de um cronômetro, inicialmente “zerado”, verificamos que no instante em que ele é
disparado (to = 0) o objeto se encontra na posição s0 (espaço inicial) da trajetória e se desloca com
velocidade v0 (velocidade inicial).
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As funções horárias do espaço e da velocidade que fornecem o espaço s e a velocidade v em função
do tempo t, respectivamente, são dadas por
Também é possível combinar essa duas funções, isolando o tempo t na função da velocidade e
substituindo na função do espaço para determinar uma terceira equação, chamada de Equação de
Torricelli, dada por
Os gráficos do espaço s e da velocidade v em função do tempo t para o MUV estão mostrados abaixo.
Note que o gráfico do espaço é uma parábola, visto que a função horária do espaço é do 2o grau
enquanto que o gráfico da velocidade é uma reta, pois a função horária da velocidade é do 1o grau.
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Atividades
01. Um objeto executa um movimento uniforme ao longo de uma trajetória retilínea e sua posição s varia
em função do tempo t de acordo com a tabela abaixo.
s (m)
t (s)
9
0
13
1
17
2
21
3
25
4
Escreva a função horária do espaço para este móvel
02. Dois automóveis A e B partem de duas cidades P e Q que distam 300 km. O móvel A parte da cidade
P indo em direção a cidade Q com velocidade constante de 80 km/h no mesmo instante que o móvel B
parte da cidade Q indo em direção a cidade P com velocidade constante de 70 km/h. Determine quanto
tempo após a partida os móveis A e B irão se encontrar:
03. Uma partícula executa um movimento numa trajetória retilínea e seu espaço s (em metros) é dado
em função do tempo t (em segundos) pela função:
S = 50 + 30t - 3t2
a) Determine a função horária da velocidade
b) Determine o instante em que ela inverte o sentido do movimento
04. Um carro tem velocidade de 20m/s quando, a 30m de distância, um sinal vermelho é observado.
Qual deve ser o valor da desaceleração produzida pelos freios, em m/s2, para que o carro pare 5m antes
do sinal?
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Links Interessantes
Acesse o site Brasil Escola e leia o artigo sobre Movimento Uniformemente Variado. Disponível em: <
http://www.brasilescola.com/fisica/movimento-uniformemente-variado.htm
>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site Wikipédia e leia o artigo sobre Física. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/
F%C3%ADsica>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site Física Interativa e
assista a aulas de física online. Disponível em: <http://www.
fisicainterativa.com/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o portal Só Física e aprofunde seus conhecimentos, por meio de jogos online, exercícios e
curiosidades. Disponível em: <http://www.sofisica.com.br/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o portal e-física para saber mais sobre MRU e MUV. Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/>.
Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site Prisma e encontre respostas para diversos fenômenos do Universo, à luz da física.
Disponível em: <http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Vídeos Interessantes
Assista ao vídeo Movimento Retilíneo Uniforme. Disponível em: <http://www.youtube.com/
watch?v=aI9qYENJH5g>. Acesso em 13 fev. 2012. Aula com animação em flash que define o MRU e
cita exemplos.
Assista ao vídeo Movimento Uniformemente Variado. Disponível em: < http://www.youtube.com/
watch?v=-HIDTg9tD78&feature=related>. Acesso em 13 fev. 2012. Aula com animação em flash que
define o MUV e cita exemplos.
Referências Bibliográficas
EINSTEIN, A.; INFELD, L. A evolução da física. Rio de Janeiro, Jorge Zahar Ed., 2008.
FERRARO, NICOLAU GILBERTO; SOARES, PAULO ANTONIO DE TOLEDO. Física Básica. vol.
único. São Paulo: Atual, 2004.
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GUIMARÃES, OSVALDO; CARRON, WILSON. Faces da Física. vol. único. São Paulo: Moderna,
2002.
RAMALHO JR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. Fundamentos da física, vol 1. 9.ed. São
Paulo, Moderna, 2007.
Respostas das Atividades
01. s = 9 + 4t
02. 2h
03. a) v = 30 -6t b) t = 5s
04. a = – 8m/s2
AULA 3 - QUEDA LIVRE E LANÇAMENTO VERTICAL
Leitura Obrigatória
INTRODUÇÃO
Entre todos os movimentos que presenciamos em nosso cotidiano, o movimento de queda dos objetos
sob ação da gravidade é especialmente atraente e curioso e tem ocupado a mente dos cientistas há
muitos séculos. Duas perguntas podem ser feitas em relação ao movimento de queda dos objetos:
• Como os objetos caem, ou seja, que tipo de movimento eles executam durante a queda?
• Por que os objetos caem, ou seja, o que faz os objetos caírem em direção ao solo?
As primeiras tentativas para responder a essas perguntas foram feita por Aristóteles, na Antiga Grécia.
Segundo ele, os objetos devem cair porque tendem a ocupar seu lugar natural no mundo, ou seja, a
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Terra, que na época era vista como sendo o centro do universo. Além disso, ele acreditava que durante
a queda os objetos caiam com velocidade constante e que quanto mais pesado fosse o objeto mais
rapidamente ele deveria cair.
Já entre os séculos XVI e XVII o matemático Galileu Galilei questionou as idéias de Aristóteles e mostrou
que a queda dos objetos, quando desprezada a resistência do ar, é um movimento acelerado, ou seja,
durante a queda a velocidade dos objetos aumenta com o tempo. Através de várias experiências,
Galileu também mostrou que a aceleração que os objetos adquirem durante a queda é constante e não
depende de suas massas.
No final do século XVII, Isaac Newton através das Leis do Movimento e da Lei da Gravitação mostrou
que dois objetos quaisquer sofrem entre si uma força de atração gravitacional e conseguiu explicar
porque os objetos caem em direção à Terra.
Desta forma, hoje sabemos que a queda dos objetos são movimentos uniformemente variados
e a aceleração que eles adquirem durante a queda é denominada de aceleração da gravidade
(g). Medidas experimentais mostram que essa aceleração, próximo à superfície da Terra é de
aproximadamente 9,81 m/s2. No entanto, para a maioria dos problemas práticos esse valor pode ser
aproximado para 10 m/s2, ou seja:
Aceleração da gravidade na superfície da terrestre:
g = 8,81 m/s2 ≅ 10 m/s2
Nesta aula veremos como é possível descrever matematicamente o movimento de queda dos objetos sob
ação exclusiva da gravidade (sem resistência do ar) usando as equações do Movimento Uniformemente
Variado (MUV). Analogamente ao movimento de queda, também será estudado o movimento de
lançamento vertical para cima.
QUEDA LIVRE
Pode-se definir queda livre ao movimento descendente que um objeto executa sob ação exclusiva da
gravidade, ou seja, quando se despreza as possíveis forças devidas a resistência do ar. Como foi vimos,
neste caso o objeto executa um MUV com aceleração igual à aceleração da gravidade g. Sendo assim,
podemos usar as funções equações do MUV para descrever o movimento
20
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No entanto, para podermos utilizar essas
equações se faz necessário definir a trajetória. Para isso,
considere um objeto sendo abandonado, inicialmente em repouso, de uma altura H em relação ao
solo como mostra a figura.
Considerando uma trajetória orientada para baixo e escolhendo a origem na posição onde o objeto está
sendo abandonado, teremos:
s0 = 0 à pois o objeto parte da origem da trajetória
v0 = 0 à pois o objeto é abandonado inicialmente em repouso
g > 0 à pois a trajetória foi orientada para baixo (mesmo sentido da gravidade)
Sendo assim, pode-se determinar o tempo de queda (tq) usando a função horária do espaço.
1
s = s 0 + v 0 t + at 2 2
à
1
H = 0 + 0t + gt 2
2
à
tq =
2H
g
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A velocidade do objeto imediatamente antes de atingir o solo (vs) pode ser calculada pela função horária
da velocidade ou pela equação de Torricelli.
v 2 = v 0 2 + 2aΔs à
2
v s = 02 + 2gH vs = 2gH
à
LANÇAMENTO VERTICAL
Vamos agora descrever o movimento no qual um objeto é lançado verticalmente para cima com
velocidade inicial v0 e, devido à gravidade, ele desacelera, atinge uma altura máxima Hmáx e volta a
cair em direção ao solo. Analogamente ao movimento de queda livre, o lançamento vertical também é
descrito pelas equações do MUV. Entretanto, neste caso é comum orientarmos a trajetória verticalmente
para cima e adotar sua origem no ponto de lançamento, como mostra a figura. É importante notar que
no ponto mais alto da trajetória o móvel deve inverter o sentido de seu movimento e, portanto, sua
velocidade se anula (v = 0).
Com isso, temos novamente s0 = 0, mas a gravidade deve entrar nas equações com sinal negativo (g
< 0), pois está no sentido oposto ao da orientação da trajetória. Para determinarmos a altura máxima
(Hmáx), pode-se usar a equação de Torricelli.
v = v0 + 2a∆s
2
2
à
0 = v0 – 2gHmáx
2
2
H máx
à
22
v02
=
2g
oficina
O tempo de subida (tsub) pode ser determinado pela função horária da velocidade.
v = v0 + at
à
02 = v0 – gt
tsub =
à
v0
g
Considerando que o tempo de subida é igual ao tempo de descida até o ponto de lançamento, o tempo
total de vôo (ttotal) é dado por:
ttotal = 2
v0
g
Atividades
01. A distância d que um objeto percorre em queda livre, a partir do repouso, durante um tempo t, pode
ser expressa por d = (1/2).g.t2, onde g é a aceleração da gravidade no local. Uma pequena esfera é
solta, a partir de um repouso de um ponto situado a 1,80m de altura do solo. Considerando que na Terra
a aceleração da gravidade é g = 10m/s2, determine:
a) o tempo que a esfera leva para atingir o solo
b) a distância, em metros, percorrida pela esfera entre os instantes t = 0,2s e t = 0,3s
02. Um helicóptero militar sobe verticalmente a partir do solo com velocidade constante de 8 m/s,
parando no ar 10 segundos após a partida. Neste ponto um soldado que estava a bordo abandona do
repouso uma pequena bomba que cai verticalmente atingindo o solo. Durante a queda, sabe-se que a
bomba acelera uniformemente com 10 m/s2.
a) Determine de que altura em relação ao solo o soldado abandonou a bomba.
b) Determine a velocidade da bomba ao atingir o solo
03. Utilizando um estilingue, uma pessoa lança uma pedra verticalmente para cima com velocidade
inicial de 90 km/h (25 m/s) Desprezando-se a resistência do ar e considerando a gravidade g = 10m/s2,
determine a altura máxima atingida pela pedra e tempo que ela leva para voltar até a mão da pessoa.
23
oficina
04. Em uma experiência de laboratório, um estudante joga verticalmente para cima uma bolinha de aço
de tal forma que ele a pegue novamente, no mesmo nível, 2,4s após o lançamento. Desprezando-se a
resistência do ar determine e considerando g = 10m/s2, determine a velocidade inicial com que a bolinha
foi lançada.
Links Interessantes
Acesse o site Wikipédia e leia o artigo sobre Queda Livre. Disponível em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/
Queda_livre>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site Física Interativa e
assista a aulas de física online. Disponível em: <http://www.
fisicainterativa.com/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o portal Só Física e aprofunde seus conhecimentos, por meio de jogos online, exercícios e
curiosidades. Disponível em: <http://www.sofisica.com.br/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o portal e-física para saber mais sobre Queda Livre. Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/>.
Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site Prisma e encontre respostas para diversos fenômenos do Universo, à luz da física.
Disponível em: <http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Vídeos Interessantes
Assista ao vídeo Queda Livre. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=gbUAfViEAIo>.
Acesso em 13 fev. 2012. Aula com animação que explica os conceitos da Queda Livre.
Referências Bibliográficas
EINSTEIN, A.; INFELD, L. A evolução da física. Rio de Janeiro, Jorge Zahar Ed., 2008.
FERRARO, NICOLAU GILBERTO; SOARES, PAULO ANTONIO DE TOLEDO. Física Básica. vol.
único. São Paulo: Atual, 2004.
GUIMARÃES, OSVALDO; CARRON, WILSON. Faces da Física. vol. único. São Paulo: Moderna,
2002.
24
oficina
RAMALHO JR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. Fundamentos da física, vol 1. 9.ed. São Paulo,
Moderna, 2007.
Respostas das Atividades
01. a) 0,6s
b) 0,25m
02. a) 80m b) 4s
03. 31,25 m e 5 s
04. 12 m/s
AULA 4 - VETORES
Leitura Obrigatória
INTRODUÇÃO
Como você viu na Aula 1, grandeza física é tudo aquilo pode ser medido: comprimento, massa, tempo,
velocidade, aceleração, força, energia, etc. Já as grandezas físicas podem ser divididas em duas classes
básicas, as grandezas escalares e as grandezas vetoriais. Nesta aula aprenderemos a trabalhar com
as grandezas vetoriais, que serão muito úteis para as aulas sobre dinâmica e leis de Newton.
GRANDEZAS ESCALARES E GRANDEZAS VETORIAIS
As grandezas escalares são aquelas que podem ser caracterizadas apenas por sua magnitude,
ou seja, por um valor numérico (+ unidade). Tempo, massa, temperatura e volume são exemplos de
grandezas escalares. Por exemplo, quando dizemos que a massa de uma pessoa é de 80 kg, estamos
caracterizando a grandeza física apenas por um valor numérico (80) e por uma unidade (kg).
As grandezas vetoriais, por sua vez, não podem ser caracterizadas apenas por sua magnitude
(valor numérico + unidade) fazendo-se necessário especificar sua orientação espacial (direção e
sentido). Força, deslocamento, velocidade vetorial, aceleração vetorial, impulso e quantidade de
movimento são exemplos de grandezas vetoriais. Por exemplo, quando um jogador chuta uma bola ele
25
oficina
está aplicando sobre a bola uma força que, para ficar completamente caracterizada, deve-se especificar
sua intensidade, sua direção e seu sentido.
VETOR
Para representar uma grandeza vetorial, utiliza-se uma ferramenta matemática chamada vetor, que
nada mais é do que um segmento de reta orientado. Ela é conveniente para representar uma grandeza
vetorial pois o tamanho do segmento pode representar a magnitude da grandeza (em uma escala prédefinida), a direção da reta que contém o segmento representa a direção da grandeza e a orientação do
segmento representa o sentido, como mostra a figura abaixo.
Note que para simbolizar algebricamente uma grandeza vetorial, coloca-se uma pequena seta sobre

o nome da grandeza ( a ). Isso ajuda a diferenciar as grandezas vetoriais das grandezas escalares,
que não possuem seta sobre o nome. Por sua vez, quando deseja-se especificar apenas a magnitude

(módulo) de uma grandeza vetorial, utiliza-se a notação a ou simplesmente retirar a seta sobre o
nome. Deve-se tomar cuidado com essas notações, visto que normalmente é comum que se faça

confusão. Quando escrevemos a estamos nos referindo à grandeza vetorial completa contendo todas
as informações que caracterizam a grandeza (magnitude, direção e sentido). Por sua vez, quando

escrevemos a estamos nos referindo apenas à magnitude (módulo) da grandeza física.
SOMA DE VETORES
Uma das maiores dificuldades que os alunos apresentam quando começam a trabalhar com grandezas
vetoriais é em relação a fazer operações, tais como soma, com esse tipo de grandeza. A dificuldade
aparece porque no nosso cotidiano normalmente estamos acostumados a somar grandezas escalares
e isso pode ser feito com bastante facilidade. Por exemplo, se temos um balde contendo 3L de água e
adicionamos mais 2L de água, obviamente que teremos um total de 3L + 2L = 5L de água. No entanto, a
mesma facilidade não acontece quando temos que somar grandezas vetoriais. Por exemplo, se temos
um objeto sujeito à ação de uma força de 3N e aplicamos neste objeto outra força de 2N, não podemos
26
oficina
afirmar que a força total sobre o objeto é de 5N, visto que para fazer a soma das forças deve-se levar
em consideração a direção e o sentido de cada uma.
Vamos então aprender como se soma duas ou mais grandezas vetoriais. Para isso, apresentamos dois
métodos: a método do polígono e o método do paralelogramo.
• método do polígono
 

Considere os vetores a , b e c mostrados na figura abaixo (à esquerda). Para somarmos esses
três vetores pelo método do polígono, deve-se colocá-los seqüencialmente da forma que está




representado na parte direita da figura. O vetor soma a = a + b + c é definido com sendo o vetor
que tem origem coincidindo com a origem do primeiro que foi colocado na regra do polígono (no

exemplo dado, o vetor a ) e extremidade coincidindo com a extremidade do último que foi colocada


(no exemplo, o vetor s ). Deve-se destacar que o vetor soma s , como o próprio nome diz, é um vetor
e deve ser caracterizado por uma magnitude, uma direção e um sentido.
• método do paralelogramo


Considere dois vetores a e b , mostrados na figura abaixo (à esquerda). Para somá-los pelo método
do paralelogramo deve-se colocá-los de forma que suas origens coincidam. Em seguida, devem-


se traçar duas retas imaginárias, uma paralela ao vetor a passando pela extremidade do vetor b


e outra paralela ao vetor b passando pela extremidade do vetor a , formando um paralelogramo,


como mostra a figura abaixo (à direita). O vetor soma s = a +

a é definido com sendo o vetor que tem


origem coincidindo com as origens dos vetores que estão sendo somados ( a e b ) e extremidade
coincidindo com o cruzamento das duas retas imaginárias. Deve-se notar que, na verdade, o método
do paralelogramo é equivalente ao método do polígono, pois pode-se verificar que se colocarmos os


vetores a e b seqüencialmente, como é feito no método do polígono, obtermos o mesmo vetor soma
obtido pelo método do paralelogramo.
27
oficina

No caso do método do paralelogramo, é possível determinar o módulo do vetor soma s , caso saibamos


o ângulo θ entre os vetores a e b . Para isso, deve-se utilizar a Lei dos Cossenos.
!2 !2 !2
! !
s = a + b + 2. a . b .cos!
• casos especiais
Os métodos vistos acima podem ser usados para somar vetores independentemente de suas direções
e sentidos. No entanto, existem três casos especiais nos quais a soma vetorial é bastante simples de
ser realizada.
1o) vetores com mesma direção e mesmo sentido



Neste caso o vetor soma s terá a mesma direção e sentido dos vetores a e b e seu módulo será igual


à soma dos módulos dos vetores a e b .
2o) vetores com mesma direção e sentidos opostos



Neste caso o vetor soma s terá a mesma direção dos vetores a e b e o mesmo sentido do vetor

que tiver maior módulo (no exemplo da figura, mesmo sentido do vetor a ). Seu modulo será igual à


diferença dos módulos dos vetores a e b .
28
oficina
3o) vetores com direções perpendiculares
entre si


Neste caso o vetor soma a terá direção dada pela diagonal do paralelogramo definido pelos vetores a

e b (regra do paralelogramo) e seu modulo será dado pelo teorema de Pitágoras.
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES


Aprendemos a somar vetores, ou seja, transformar dois vetores a e b , por exemplo, em um único vetor

soma s . No entanto, em muitos problemas é comum haver a necessidade de se fazer o oposto, ou seja,

transformar um único vetor a em outros dois vetores mas que somados vetorialmente resultem no vetor

a . Isso acontece normalmente quando se tem um vetor cuja direção está inclinada em relação a um
sistema de eixos cartesianos x0y. Neste caso, é conveniente decompor o vetor que está inclinado em
dois vetores (componentes) cujas direções coincidem com as direções dos eixos x e y.

Considere, por exemplo, o vetor a da figura (à esquerda), que forma um ângulo θ com a direção


do eixo x. A decomposição do vetor a sobre os eixos x e y é feita projetando-se o vetor a sobre os



direita. Também pode-se determinar os módulos das componentes a x e a y em função do módulo do

vetor a e do ângulo θ através das definições de seno e cosseno no triângulo retângulo.




eixos produzindo-se as componentes a x e a y de tal forma que a x = a x + a y , como mostra a figura à
29
oficina
Atividades
01. Qual a diferença entre uma grandeza escalar e uma grandeza vetorial? Dê um exemplo de cada
uma.
02. Um avião viaja 600 km na direção norte-sul no sentido de norte para sul. Em seguida, percorre 300
km na direção leste-oeste no sentido de leste para oeste. Finalmente, voa mais 200 km da direção
norte-sul no sentido de sul para norte. Determine a distância entre a posição inicial e a posição.

03. A figura representa uma força F de intensidade 20N aplicada em um pequeno objeto que move-se
sobre o eixo x do sistema cartesiano.

Determine as intensidades das componentes Fx e

F

da força F sobre os eixos x e y.
Links Interessantes
Acesse o site Wikipédia e leia o artigo sobre Vetor. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Vetor_
(espacial)>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site Física Interativa e
assista a aulas de física online. Disponível em: <http://www.
fisicainterativa.com/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o portal Só Física e aprofunde seus conhecimentos sobre vetores, por meio de jogos online,
exercícios e curiosidades. Disponível em: < http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/
Vetores.php>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o portal e-física para saber mais sobre Vetores. Disponível em: < http://efisica.if.usp.br/mecanica/
universitario/vetores/>. Acesso em 13 fev. 2012.
30
oficina
Acesse o site Prisma e encontre respostas para diversos fenômenos do Universo, à luz da física.
Disponível em: <http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Vídeos Interessantes
Assista ao vídeo Vetores. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=mtNIaRk1XOE>.
Acesso em 13 fev. 2012. Aula com animação que trata sobre as grandezas vetoriais.
Referências Bibliográficas
EINSTEIN, A.; INFELD, L. A evolução da física. Rio de Janeiro, Jorge Zahar Ed., 2008.
FERRARO, NICOLAU GILBERTO; SOARES, PAULO ANTONIO DE TOLEDO. Física Básica. vol.
único. São Paulo: Atual, 2004.
GUIMARÃES, OSVALDO; CARRON, WILSON. Faces da Física. vol. único. São Paulo: Moderna,
2002.
RAMALHO JR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. Fundamentos da física, vol 1. 9.ed. São
Paulo, Moderna, 2007.
Respostas das Atividades
01. Grandeza escalar pode ser caracterizada apenas pela sua magnitude (número + unidade). Exemplo:
massa. Grandeza vetorial deve ser caracterizada por sua magnitude (número + unidade) e por uma
orientação espacial (direção e sentido). Exemplo: força.
02. 500 km
03. Fx = 16N e Fy = 12N
31
oficina
AULA 5 - FORÇA E LEIS DE NEWTON
Leitura Obrigatória
INTRODUÇÃO
Você viu na aula 1 que a Mecânica é o ramo da Física que estuda o movimento dos objetos e que
ela é dividida em duas partes: cinemática e dinâmica. Na cinemática, aprendemos a descrever
matematicamente o movimento dos objetos por meio de conceitos como espaço, velocidade e
aceleração, mas não nos preocupamos em compreender as causas dos movimentos.
Nesta aula, iniciaremos o estudo da dinâmica na qual aprenderemos a descrever o movimento
preocupando-se principalmente em compreender suas causas e conseqüências. As Leis do Movimento
propostas por Isaac Newton no século XVII formam a base da dinâmica. Segundo elas, é possível prever
como um objeto se movimenta conhecendo-se as forças que atuam sobre ele. Portanto, na mecânica
newtoniana, o conceito de força é fundamental e começaremos essa aula apresentando esse conceito.
FORÇA
O conceito de força normalmente está associado a esforço físico, como empurrar, puxar ou levantar
algo. No entanto, fisicamente falando, o conceito de força deve ser definido de uma forma mais
cuidadosa, visto que é comum fazer-se certa confusão sobre os possíveis efeitos que as forças
exercem sobre os objetos. A confusão mais comum e que deve ser corrigida para a compreensão das
Leis de Newton é a crença de que força gera movimento. Na verdade, de acordo com a mecânica
newtoniana força é uma ação física que um corpo sofre que altera seu movimento, ou seja, a ação
de uma força sobre um objeto faz com que ele sofra uma alteração em sua velocidade. Desta forma,
podemos definir força da seguinte forma.
Também foi visto na aula sobre vetores que força é um exemplo de grandeza vetorial. De fato,
para que uma força seja completamente caracterizada deve-se definir sua intensidade (módulo) e sua
orientação espacial (direção e sentido). Existem diversas unidades para se medir a intensidade de uma
32
oficina
força, sendo as mais importantes o newton (N), adotada no Sistema Internacional, e o quilogramaforça (kgf), normalmente usada em áreas técnicas, sendo que 1kgf ≅ 9,8N.
Quando se estuda a dinâmica do movimento de um objeto, é comum que ele esteja sujeito à ação de
diversas forças, tais como peso, tração, atrito, etc. Nestes casos, utiliza-se um artifício para simplificar

o problema que é a determinação da chamada força resultante ( FR ) que corresponde a uma força
única que “substitui” todas as forças que atual no objeto. A determinação da força resultante é feita
pela soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo, como mostra a figura abaixo. Para
isso, deve-se usar as regras para somar vetores vistas na aula sobre vetores.
LEIS DE NEWTON
Toda mecânica clássica, que é aquela desenvolvida até o inicio do século XX, baseia-se nas Leis de
Newton. Propostas por pelo matemático inglês Isaac Newton no final do século XVII em seu famoso
livro Princípios Matemáticos de Filosofia Natural elas permitem que se determine o movimento de um
objeto (ou de um sistema de objetos) conhecendo-se as forças que atuam no sistema. Naturalmente
que dependendo da complexidade do sistema e dos movimentos envolvidos, pode ser muito difícil a
aplicação das Leis de Newton tornando-se necessário o uso de ferramentas matemáticas sofisticadas.
No entanto, como veremos, para problemas relativamente simples a aplicação das Leis de Newton pode
ser feita sem muitas dificuldades.
• 1a LEI – Lei da Inércia
As primeiras idéias sobre inércia foram desenvolvidas por Galileu Galilei no inicio do século XVII. Através
de experimentos ele mostrou que um objeto só altera seu estado de repouso ou de movimento quando
sofre a ação de força. Em outras palavras, quando um objeto está em repouso, ele permanecerá em
repouso a menos que sofra ação de uma força. Da mesma forma, quando um objeto está em movimento,
ele permanecerá em movimento sem alterar sua trajetória ou sua velocidade a não ser que sofra a ação
de uma força.
33
oficina
No final do século XVII, Isaac Newton sistematiza essas idéias apresentando-as como uma de suas
três leis do movimento. Colocada de uma forma mais matemática, a Lei da Inércia afirma que se
a força resultante sobre um objeto é nula, ele deve estar em repouso ou em movimento retilíneo
uniforme (MRU).
Também é possível mostrar que quanto maior a massa de um objeto mais difícil é alterar seu estado de
repouso ou de movimento. Com isso, pode-se definir inércia como sendo uma propriedade da matéria
que faz com que os objetos resistam em alterar seu estado de movimento (velocidade) e que a massa
é uma medida da inércia.
• 2a LEI – Princípio Fundamental da Dinâmica
Como vimos, força é uma ação física capaz de alterar a velocidade de um objeto. Também aprendemos
na Aula 1 que quando a velocidade de um objeto varia ele possui aceleração, que mede a rapidez com
que a velocidade varia. Consequentemente, pode-se dizer que força gera aceleração, ou seja, quando
um objeto sofre a ação de uma força ele adquire um aceleração. A 2a Lei de Newton relaciona as forças
que agem num objeto com a aceleração que elas geram. Mais precisamente, ela afirma que a força


resultante ( FR ) sobre um objeto é diretamente proporcional a aceleração ( a ) que ele adquire, sendo
sua massa ( m ) a constante de proporção.
Deve-se notar que a equação acima é uma equação vetorial, ou seja, o vetor força resultante é o
produto da massa (que é uma grandeza escalar) pelo vetor aceleração. Considerando que a massa de
um objeto é sempre positiva, pode-se afirmar que a força resultante e a aceleração devem ter sempre
mesma direção e mesmo sentido. Também é importante destacar que no Sistema Internacional a força
resultante é dada em newton (N), a massa deve ser dada em quilogramas (kg) e a aceleração em m/s2.
34
oficina
• 3a LEI – Lei da Ação e Reação
De acordo com a mecânica de Newton, força sempre resulta da interação entre dois corpos. Por exemplo,
quando um jogador chuta uma bola, há uma interação entre o pé do jogador e a bola de forma que o
pé aplica uma força sobre a bola. No entanto, durante o chute também há uma força que a bola aplica
sobre o pé do jogador. De acordo com a 3a Lei de Newton, essas duas forças, a que o pé aplica na bola
e a que a bola aplica no pé formam um par ação-reação e são forças de mesma intensidade, mesma
direção e sentidos opostos.

Sendo assim, as forças sempre aparecem em pares, ou seja, se um objeto A aplica uma força FAB em



um objeto B, este reage e aplica uma força FBA no
objeto A de forma que as forças FAB e FBA têm mesma
intensidade, mesma direção e sentidos opostos.
PRINCIPAIS FORÇAS
Existe uma grande variedade de tipos de forças no nosso cotidiano: peso, atrito, tração, resistência do
ar, empuxo, elétrica, etc. No entanto, algumas delas são as mais comuns nos problemas relacionados
à dinâmica. Nesta secção discutiremos as características de algumas delas:

• Força Peso ( P )
A força peso corresponde à força de atração que um objeto sobre devido à Terra (ou a algum outro
planeta, lua, etc), ou seja, é a famosa força devido à gravidade. A força peso que atua em um objeto que
se encontra nas proximidades de um planeta tem direção vertical (linha que passa pelo objeto e pelo
centro do planeta), aponta para baixo (para o centro do planeta) e tem intensidade dada pelo produto
da massa m do objeto pela aceleração da gravidade g, como mostra a figura.
35
oficina

• Força Normal ( N )
A força normal corresponde à força que um objeto sofre quando está apoiado sobre uma superfície ou
em contato com outro objeto. Por exemplo, considere uma caixa apoiada sobre uma mesa horizontal,
como mostra a figura abaixo. A caixa pressiona a mesa e esta reage aplicando sobre a caixa uma
força normal impedindo que a caixa atravesse o tampo da mesa. Note que no caso da figura da
esquerda a força normal é vertical, pois o tampo da mesa é horizontal. Já na figura da direita o tampo
da mesa está inclinado fazendo com que a força normal também fique inclinada. Isso ocorre porque
a força normal é sempre perpendicular à superfície de apoio. A intensidade da força normal não pode
ser calculada através de uma fórmula como no caso da força peso, pois ela depende das condições
de cada problema.

• Força de Tração ( T )
A força de tração é aquela que o objeto sofre quando está conectado a um fio, corda, corrente, etc. A
figura abaixo mostra duas situações onde há força de tração envolvida. Na esquerda, um pescador puxa
um peixe de forma que a linha aplica sobre este uma força de tração e na direita um homem puxa um
carrinho usando uma corda que aplica sobre o carrinho uma força de tração. Esses exemplos mostram
que a direção da força de tração é sempre a direção do fio, corda, corrente, etc que está ligada ao objeto
que sofre a força. Já a intensidade, da mesma forma que a força normal, depende das condições de
cada problema
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oficina
Atividades
01. Um carro, de massa 1.200kg, está se movimentando sobre uma pista horizontal sujeito à ação de
uma força de 8.000N de direção horizontal e no mesmo sentido do movimento e sobre a ação da força
de resistência do ar de 4.400N, também de direção horizontal mas no sentido oposto ao movimento.
Sabe-se que no local a aceleração da gravidade é g = 10m/s2. Determine o valor da aceleração do carro.
02. A figura a seguir representa um pequeno objeto de massa 20kg que está sob a ação de quatro
forças, cujas intensidades estão indicadas.
a) Determine a intensidade da força resultante
sobre o objeto
b) Determine a aceleração do objeto.
03. As mais novas motocicletas podem, partindo do repouso, atingir uma velocidade de 108km/h (30m/s)
num intervalo de tempo de 3 segundos. Supondo que a massa da moto juntamente com a do piloto seja
de 300kg determine:
a) a aceleração adquirida pela moto na situação descrita
b) a intensidade da força resultante das forças sobre a moto nesta situação
37
oficina
Links Interessantes
Acesse o site Wikipédia e leia o artigo sobre as Leis de Newton. Disponível em: < http://pt.wikipedia.org/
wiki/Leis_de_Newton>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site Física Interativa e
assista a aulas de física online. Disponível em: <http://www.
fisicainterativa.com/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o portal Só Física e aprofunde seus conhecimentos sobre as Leis de Newton, por meio de jogos
online, exercícios e curiosidades. Disponível em: <http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/
Dinamica/leisdenewton.php>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o portal e-física para saber mais sobre as Leis de Newton. Disponível em: <http://efisica.if.usp.
br/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site Prisma e encontre respostas para diversos fenômenos do Universo, à luz da física.
Disponível em: <http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Vídeos Interessantes
Assista ao vídeo Leis de Newton. Disponível em: < http://www.youtube.com/watch?v=zhuKzrdqo-s>.
Acesso em 13 fev. 2012. Vídeo-aula com animação que trata sobre as Leis de Newton.
Referências Bibliográficas
EINSTEIN, A.; INFELD, L. A evolução da física. Rio de Janeiro, Jorge Zahar Ed., 2008.
FERRARO, NICOLAU GILBERTO; SOARES, PAULO ANTONIO DE TOLEDO. Física Básica. vol.
único. São Paulo: Atual, 2004.
GUIMARÃES, OSVALDO; CARRON, WILSON. Faces da Física. vol. único. São Paulo: Moderna,
2002.
RAMALHO JR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. Fundamentos da física, vol 1. 9.ed. São
Paulo, Moderna, 2007.
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oficina
Respostas das Atividades
01. 3 m/s2
02. a) 100N
b) 5m/s2
03. a) 10 m/s2 b) 3000N
AULA 6 - TRABALHO E ENERGIA
Leitura Obrigatória
INTRODUÇÃO
Um dos conceitos mais importante na física e na ciência em geral é o conceito de energia. Mesmo sendo
difícil de ser definida em palavras, sabemos que a energia pode se apresentar de diferentes formas
(energia mecânica, energia elétrica, energia térmica, etc) e que praticamente todos os fenômenos e
processos na natureza envolvem algum tipo de transformação de energia. Nesta aula aprenderemos
sobre o conceito de energia e sobre o conceito de trabalho, que está intimamente relacionado com o
conceito de energia. Particularmente abordaremos esses conceitos nos casos em que estão relacionados
com fenômenos e processos mecânicos.
TRABALHO DE UMA FORÇA
Quando um objeto sofre a ação de uma força e sofre um deslocamento sob ação desta força, diz-se
que a força realiza um trabalho sobre o objeto. Por sua vez, o trabalho realizado sobre o objeto está
relacionado com as possíveis variações e transformações de energia associadas ao seu deslocamento.
O cálculo do trabalho de uma força deve ser feito considerando-se duas situações possíveis: i) a força
que age sobre o objeto é constante e ii) a força que age sobre o objeto é variável.
i) trabalho de uma força constante

Considere um objeto sujeito a ação de uma força F constante e que sofre um deslocamento Δs sob
ação desta força, sendo que a força forma um ângulo θ com a direção do deslocamento, como mostra
a figura.
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oficina

O trabalho WF realizado pela força F é definido por
WF = F.∆s.cosθ
O trabalho é uma grandeza escalar, ou seja, para caracterizar o trabalho realizado por uma força basta
que se especifique sua magnitude (valor numérico + unidade). Pela definição pode-se verificar que a
unidade de trabalho, no Sistema Internacional, deve ser N.m, que é chamado de J (joule), ou seja,
1J = 1 N.m
É fácil notar que quando 0o ≤ < 90o, a força “ajuda” o movimento e o trabalho é chamado de motor, sendo
WF > 0. Por sua vez, quando 90o < θ ≤ 180o, a força “prejudica” o movimento e o trabalho é chamado
de resistente, sendo WF < 0. Finalmente, quando θ = 90o, o força não realiza trabalho, ou seja, WF = 0.
ii) trabalho de uma força variável
Quando a força que age no objeto não é constante, o trabalho deve ser calculado através de ferramentas
do cálculo diferencial e integral, assunto que está além da proposta deste curso. No entanto, é possível
mostrar que o trabalho corresponde à área sob o gráfico da projeção da força na direção do deslocamento
(F.cosθ) em função do deslocamento, como mostra a figura.
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A letra “N” sobre o sinal de igual na equação significa que o trabalho é numericamente igual à área, apesar
de não terem as mesmas unidades. Também deve-se destacar que a propriedade é válida qualquer que
seja a forma do gráfico, desde que seja gráfico da projeção da força em função do deslocamento. No
entanto, para figura demasiadamente complexas a área somente pode ser calculada através do cálculo
diferencial e integral sendo que neste curso serão considerados apenas gráficos cujas áreas podem ser
calculadas através da ferramentas básicas da geometria.
TEOREMA DA ENERGIA CINÉTICA
Como vimos na introdução desta aula, energia é um conceito difícil de ser definido e que pode se
apresentar de diferentes formas. Vamos agora tratar da forma mais intuitiva e comum de energia, que é
aquela associada ao movimento dos objetos. Essa energia é chamada de energia cinética e depende da
massa do objeto e de sua velocidade. Considerando um corpo de massa m e velocidade v, sua energia
cinética é dada por:
Deve-se notar que a unidade de energia cinética, no Sistema Internacional, é mesma de trabalho, ou
seja, J (joule).
Dadas as definições de trabalho e de energia cinética, vamos agora aprender sobre a relação entre
esses dois conceitos. Considere um objeto de massa m deslocando-se inicialmente com velocidade

vi e que sofre a ação de diversas forças sofrendo um deslocamento ∆s. A resultante destas forças FR
realiza um trabalho W FR durante esse deslocamento de forma que ao final a velocidade do objeto passa
a ser vf, como mostra a figura.
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oficina
Pode-se demonstrar que o trabalho realizado pela força resultante é igual à variação da energia cinética
do corpo, ou seja
ENERGIA POTENCIAL
Além da energia cinética, que está associada ao movimento propriamente dito de um objeto, existe uma
forma de energia que está associada a capacidade de um objeto entrar em movimento, ou seja, está
associada à “potencialidade” deste objeto poder se movimentar. Essa energia é chamada de energia
potencial.
• Energia potencial gravitacional
É a energia que um objeto possui quando está a certa altura do solo num local onde existe gravidade.
Essa energia depende da massa do objeto, da altura que ele se encontra e da gravidade. Por exemplo,
considera um objeto de massa m a uma altura h do solo num local onde a aceleração da gravidade é g.
A energia potencial gravitacional E Pg do objeto em relação ao solo é dada por:
• Energia potencial elástica
É a energia que um objeto possui quando está comprimindo ou esticando uma mola(ou um elástico).
Neste caso, a energia depende das características da mola e de quanto ela está deformada. Considere,
por exemplo, uma mola que em seu estado natural tem comprimento Lo. Ao ser tracionada por uma

força F , ela estica e passa ter um comprimento L, sofrendo uma deformação x = |L – Lo|. A relação
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oficina

entra a força F e a deformação x é dada pela Lei de Hooke, onde k é a constante elástica da mola, uma
característica própria da mola.
Através da Lei de Hooke e pela definição de trabalho, pode-se mostrar que a energia potencial elástica
.E Pe armazenada na mola é dada por:
ENERGIA MECÃNCIA E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
Vimos que um objeto em movimento possui energia cinética e que um objeto a uma certa altura do
solo ou ligado a uma mola tracionada ou comprimida possui energia potencial. Por sua vez, é comum
situações nas quais um objeto (ou sistema de objetos) pode possuir todas essas formas de energia
simultaneamente. Desta forma, define-se energia mecânica E mec como sendo a soma da energia
cinética e das energias potenciais (gravitacional e elástica) de um sistema, ou seja
Nos processos e fenômenos estudados pela física e pela ciência em geral, é comum que a energia
cinética e a energia potencial variem durante o processo. No entanto, em alguns processos, normalmente
aqueles nos quais não há forças dissipativas (atrito, resistência do ar, etc), verifica-se que a soma das
duas energias permanece constante, ou seja, a energia mecânica não se altera durante o processo.
Nestes casos, diz-se que está ocorrendo conservação da energia mecânica. Um exemplo simples é
quando lançamos um objeto verticalmente para cima. Durante a subida, ele ganha altura mas diminui
sua velocidade até parar no ponto mais alto. Se pudermos desprezar a resistência do ar, pode-se dizer
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oficina
que durante a subida ele transforma energia cinética em energia potencial. Já durante a descida ocorre
o contrário, ele perde altura (energia potencial) e ganha velocidade (energia cinética).
Portanto, quando um sistema é conservativo a energia mecânica do sistema se conserva, ou seja
Atividades
01. Sobre uma superfície horizontal, uma criança puxa um carrinho através de um fio aplicando-lhe

uma força F constante de intensidade 20N, como mostra a figura.

Sabe-se que a força F forma um ângulo de 37o com a direção horizontal e que o carrinho sofre um

deslocamento de 10m. Determine o trabalho realizado pela força F .
(Dados: sen 37o = 0,6 e cos 37o = 0,8)
02. Um caminhão tem uma massa de 16 toneladas (16.000 kg) e viaja com uma velocidade constante
de 36 km/h (10 m/s). Qual deve ser a velocidade de um carro popular, de massa 1.000 kg, para que ela
tenha a mesma energia cinética que o caminhão?
44
oficina
03. Durante um teste automobilístico, um carro de massa 1000kg, parte do repouso e acelera até atingir
a velocidade de 72 km/h (20m/s), em uma estrada plana e horizontal.
Determine o trabalho realizado pelas forças motoras durante o processo.
04. A figura mostra uma pequena esfera de massa 2kg que é abandonada no ponto A da pista e que
desliza sem atrito até atingir o ponto B.
Sabendo-se que no local a aceleração
da gravidade é g = 10m/s2, determine a velocidade da esfera ao
passar pelo ponto B.
Links Interessantes
Acesse o site Wikipédia e leia o artigo sobre Trabalho. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/
Trabalho>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site UOL Educação e leia o artigo sobre Trabalho e Energia. Disponível em: <http://educacao.
uol.com.br/fisica/trabalho-e-energia-os-objetos-de-estudo-da-mecanica.jhtm>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site Física Interativa e
assista a aulas de física online. Disponível em: <http://www.
fisicainterativa.com/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o portal Só Física e aprofunde seus conhecimentos sobre Trabalho, por meio de jogos online,
exercícios e curiosidades. Disponível em: < http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Dinamica/
trabalho.php>. Acesso em 13 fev. 2012.
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Acesse o site Brasil Escola e leia o artigo sobre Trabalho e Energia. Disponível em: <http://www.
brasilescola.com/fisica/trabalho.htm>. Acesso em 13 fev. 2012.
Acesse o site Prisma e encontre respostas para diversos fenômenos do Universo, à luz da física.
Disponível em: <http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/>. Acesso em 13 fev. 2012.
Vídeos Interessantes
Assista ao vídeo Energia. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=V3QuLn9Oljo>.
Acesso em 13 fev. 2012. Vídeo-aula com animação que trata sobre o conceito de Energia.
Referências Bibliográficas
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FERRARO, NICOLAU GILBERTO; SOARES, PAULO ANTONIO DE TOLEDO. Física Básica. vol.
único. São Paulo: Atual, 2004.
GUIMARÃES, OSVALDO; CARRON, WILSON. Faces da Física. vol. único. São Paulo: Moderna,
2002.
RAMALHO JR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. Fundamentos da física, vol 1. 9.ed. São Paulo,
Moderna, 2007.
Respostas das Atividades
01. 160J
02. 144 m/s
03. 200kJ
04. 8 m/s
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