Dinâmica e Estática de um Ponto Material (Parte 2).

1
•
Forças fictícias ou pseudoforças
Para se poder aplicar a 2ªlei de Newton a referenciais
acelerados é necessário utilizr forças fictícias – pseudoforças.
Estas forças não são exercidas por nenhum agente. São
introduzidas apenas para que a equação FR = m a seja válida num
referencial não inercial.
Utilizando a lei do movimento relativo para relacionar as
acelerações nos referenciais inercial (fixo) e não inercial (móvel e
acelerado):
aobj / ref .móvel = aobj / ref .fixo − aref .móvel / ref .fixo
mobj aobj / ref .móvel = mobj aobj / ref .fixo − mobj aref .móvel / ref .fixo
↓ 2ª lei é válida no ref. fixo
mobj aobj / ref .móvel = FR − mobj aref .móvel / ref .fixo
mobj aobj / ref .móvel = FR + FP
FP = −mobj aref .móvel / ref .fixo
Pseudoforça devida à
aceleração do referencial em
relação ao qual se está a tentar
aplicar a 2ª lei de Newton
2
Exemplos
1 – Corpo em queda dentro de um comboio acelerado
FP
aC
P
aC
P
P + FP = maB / C
P = mB aB
P − mB aC = maB / C
Note-se que, tal como vimos anteriormente, as duas observações
são conciliadas através da equação do movimento relativo:
aB/C = aB − aC ⇔ aB = aB/C + aC
2 – Corpo pendurado num comboio acelerado
y
α
T
y
aC
α
T
aC
x
x
P
FP
P
T + P = mB aB
T + P + FP = m B a B / C
como a bola não se move relativame nte
a bola não se move relativame nte ao comboio
ao comboio
T + P + FP = 0
aB/C = 0 = aB − aC ⇒ aB = aC
T + P − mB a C = 0
T + P = mB a C
a
( x ) Tsen(α ) = m B a C
⇒ tg(α ) = C

g
( y ) T cos(α ) − P = 0
T + P = mB a C
3
Movimento Curvilíneo
•
•
•
•
Quando a força resultante tem a direcção da velocidade o movimento
é rectilíneo
O movimento curvilíneo ocorre quando a força resultante não é
colinear com a velocidade. Existe então uma componente da
aceleração perpendicular à velocidade.
A componente da aceleração perpendicular à velocidade permite a
variação da direcção do movimento da partícula (através da variação
da direcção da velocidade)
Se a massa fôr constante então a aceleração é paralela à força
ûT
v
FT
aT
ûN
aN
F
FN
De F = m a e a = aT + aN obtém-se F = m aT + m aN
F =m
A força tangencial, FT,
origina uma variação do
módulo da velocidade, e é
tangente à trajectória. Se
fôr nula o movimento será
uniforme ( v = constante)
d v
dt
ûT + m
v
2
ρ
ûN
dv
v2
F =m
ûT + m
ûN
dt
ρ
FT
FN
Variação da direcção da velocidade.
A força normal, FN, aponta sempre para o
centro da curvatura da trajectória
(no movimento rectilíneo é ρ=∞ e logo FN=0)
v = v=constante <=> mov. uniforme
se FN=0: mov. rectilíneo uniforme
se FN≠0: mov. circular uniforme
FT=0
=>
FN=0
=> direcção de v constante <=> mov. rectilíneo
se FT=0: mov. rect. uniforme
se FT≠0: mov. rect. variado
4
•
No caso do movimento circular o raio de curvatura, ρ, é constante e igual
ao raio, R, da circunferência e v = ω R . Logo a força normal, ou força
centrípeta, é
v2
= m ω2 R
FN = FN = m aN = m
R
•
Quando o movimento é circular uniforme então F = FN (aT = 0) ou seja:
F = m aN ûN = m ω2R ûN = m(ω v ûN ) = m ω × v = ω × p
•
No caso geral podendo a massa variar tem-se:
F =
(
)
d ûT d p
d p d p ûT d p
v
=
=
ûT + p
=
ûT + p ûN
dt
dt
dt
dt
dt
ρ
FT
FN
Exemplo 1: Um fio de comprimento L ligado a um ponto fixo, tem na sua
extremidade uma massa m que gira em torno da vertical com velocidade angular
constante ω. Determinar o ângulo α que a corda faz com a vertical. Este
dispositivo designa-se por pêndulo cónico.
α
ω
ûz
ûN
R
T
v
FN
P
A massa m move-se descrevendo um círculo de raio R = L sen(α). As
forças que actuam na massa m são o peso, P, e a tensão T. A resultante das
forças deverá ser a força centrípeta, FN, necessária ao movimento circular:
T + P = FN
Tomando as componentes das forças nas direcções vertical (ûz) e normal (ûN)
T cos(α ) − P = 0
T = mg cos(α )
⇒
Tsen(α ) = FN
FN = mg sen(α ) cos(α )
tem-se: 
2
2
2
como FN=maN=mω R=mω L sen(α) conclui-se que cos(α ) = g ω L
5
Exemplo 2: Corpo preso por um fio em cima de uma mesa rotativa
(a “força centrífuga)
R
T
B
T + P + R = mB aB
como a bola descreve uma trajectória circular
Z
L
P
x
Z
R
T
x
L
B
P
vB2 ^
com uma velocidade constante aB = aN =
ux
L

vB2
( x ) T = m
B L

( z) R − P = 0

T + P + R + FP = m B a B / Mesa
T + P + R − m B a Mesa = m B a B / Mesa
como a bola está parada em relação à mesa e
como a mesa roda com uma velocidade cons tan te
a B/Mesa = 0 e
Força
centrífuga
que
o
observador em cima da mesa
tem de inventar de modo a
equilibrar a tensão explicando
assim
a
ausência
de
aceleração do corpo (em
relação à mesa)
a Mesa
v 2Mesa ^
v 2B ^
= aN =
ux =
ux
L
L

2
v
v 2B
B = 0
( x ) T − m
B
⇔ T = mB

L
L

(
z
)
R
−
P
=
0

No ponto em que o corpo B se
encontra a velocidade da mesa
e do corpo B são iguais
(o corpo B está parado
relativamente à mesa)
6
Momento Angular
Momento angular, Lo,
relativamente ao ponto O.
Lo = r × p
Lo
Lo = m r × v
Pode variar quer em direcção
quer em intensidade no
decorrer do movimento.
O
r
As unidades do momento
2 -1
angular são Kg m s
v
m
Se o movimento ocorrer num plano
que contém o ponto O, então a
direcção de Lo é constante e
perpendicular a esse plano.
( r e v estão contidos no plano do
movimento)
Movimento Circular
Sendo O o centro da circunferência, r e v são
perpendiculares e v = ω r. Logo:
L
Lo = m r × v
ω
O
r
v
m
90°
Lo = Lo = m r v
Lo = m r 2ω
e o sentido de Lo corresponde ao sentido de ω
sendo r constante.
7
Movimento Curvilíneo num plano
A velocidade pode ser decomposta nas suas
componentes radial, vr , e transversal, vθ :
v = vr + v θ
então
(
Lo = m r × v = m r × vr + v θ
)
L
como r e vr são paralelos obtém-se:
Lo = m r × v θ
vθ
O
θ
x
A intensidade de Lo é então dada por:
 dθ 
Lo = Lo = m r v θ = m r  r

 dt 
L o = m r 2ω
mas r pode variar no decorrer do
movimento.
Cálculo do momento angular
Cálculo genérico de Lo :
ûx
L o = rx
px
ûy
ry
py
ûz
ûx
rz = m rx
pz
vx
ûy
ry
vy
ûz
rz
vz
r
v
m
vr
8
Variação temporal do momento angular
(
)
Variação temporal de Lo :
d Lo d r × p
dr
dp
dp
=
=
×p+r×
=m v×v +r ×
dt
dt
dt
dt
dt
=
0
+r ×F
d Lo
= Mo
dt
Momento da força F relativamente ao ponto O
(o mesmo em relação ao qual se determina
o momento angular)
A variação temporal do momento angular de
uma partícula é igual ao momento da força
aplicada na partícula
Se Mo = 0 então Lo = constante ou seja
Existe conservação do momento angular sempre que Mo=0
Partícula livre
m θ
θ
r
b
O
v
Numa partícula livre F = 0. Assim Mo = 0
pelo que o momento angular, Lo, mantémse constante e
L o = L o = m v r sen(θ) = m v b
(v é constante pois não existem forças
aplicadas na partícula livre)
9
Partícula sob acção de forças centrais
Uma força central é uma força cuja direcção passa sempre por um ponto fixo.
Se esse ponto fôr escolhido como origem, O, os vectores F e r são paralelos
pelo que Mo = 0.
Assim numa partícula sob a acção de uma força central existe conservação do
momento angular (relativo ao centro da força).
F2
F1
L o = mr 2
r1
o
O movimento devido a uma
força central é sempre plano
pois o momento angular é
constante:
r2
v1 v2
dθ
= constante
dt
r 2 ω = constante
Exemplos de forças centrais:
Rotação da Terra em torno do Sol. A força gravítica de
atracção entre a Terra e o Sol passa sempre pelo Sol.
O momento angular da Terra relativamente ao Sol é
constante.
Movimento de um electrão num átomo de hidrogéneo.
O electrão desloca-se relativamente ao núcleo (mais pesado)
sob a acção de uma força electrostática que passa sempre
pelo núcleo atómico. Assim o momento angular do
electrão relativamente ao núcleo é constante.
10
Exemplo: Determinar para um projéctil lançado horizontalmente do cimo de um
edifício, o momento angular e o momento da força e verificar a relação entre
eles.
Y
v0
o
y
X
x
r
vx=v0
g
vy=g t
v
v = v oû x − (gt )û y
r = x ûx + y ûy
ûx
ûy
Lo = m x
y
vo
ûz
0 = m(− x g t − y v o )û z
− gt
0
1
mas x = v o t e y = − g t 2
2
1
1


logo L o = m − v o t g t + g t 2 v o û z = − mg v o t 2 û z
2
2


F = m g = −m g û y
ûx
ûy
Mo = m x
y
0
−g
ûz
0 = −m x g û z = −m g v o t û z
0
Verifica − se então que
d Lo d  1

=  − mg v o t 2  û z = −m g v o t û z = Mo
dt
dt  2
