Relatividade - Sites do IFGW
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Relatividade Pedro Cunha de Holanda DRCC ­ IFGW UNICAMP I Escola de Inverno do IFGW julho/2008 Relatividade Restrita Princípio da Relatividade Experimentos idênticos realizados em referenciais inerciais diferentes fornecem resultados idênticos + A luz tem a mesma velocidade c em qualquer referencial inercial Relatividade Restrita Princípio da Relatividade Experimentos idênticos realizados em referenciais inerciais diferentes fornecem resultados idênticos + A luz tem a mesma velocidade c em qualquer referencial inercial Transformações de Lorentz Relatividade Restrita Transformações de Lorentz: Contração Espacial: “ ­ Daqui ao Exu ainda é muito longe? ­ É umas seis légua. Aqui pra nós, agora nesse carro aí não dá nem quatro.” Luiz Gonzaga Contração Espacial: “ ­ Daqui ao Exu ainda é muito longe? ­ É umas seis légua. Aqui pra nós, agora nesse carro aí não dá nem quatro.” Luiz Gonzaga Contração Espacial: “ ­ Daqui ao Exu ainda é muito longe? ­ É umas seis légua. Aqui pra nós, agora nesse carro aí não dá nem quatro.” Luiz Gonzaga Dilatação Temporal: Contração Espacial: “ ­ Daqui ao Exu ainda é muito longe? ­ É umas seis légua. Aqui pra nós, agora nesse carro aí não dá nem quatro.” Luiz Gonzaga Dilatação Temporal: Exemplos: ­ múons atmosféricos atingem detectores terrestres. ­ vida média de múons em aceleradores aumentada. Um pouco de notação: ­ 1380 dividido por 138 = 10 ­ MCCCLXXX dividido por CXXXVIII = X Uma notação adequada pode ressaltar propriedades físicas fundamentais Um pouco de notação: ­ 1380 dividido por 138 = 10 ­ MCCCLXXX dividido por CXXXVIII = X Uma notação adequada pode ressaltar propriedades físicas fundamentais Um pouco de notação: ­ 1380 dividido por 138 = 10 ­ MCCCLXXX dividido por CXXXVIII = X Uma notação adequada pode ressaltar propriedades físicas fundamentais Um pouco de notação: ­ 1380 dividido por 138 = 10 ­ MCCCLXXX dividido por CXXXVIII = X Uma notação adequada pode ressaltar propriedades físicas fundamentais Um pouco de notação: fazendo a correspondência: temos: onde é o elemento (,) da matriz 4x4 . Um pouco de notação: ou ainda: Convenção de Einstein: Índices repetidos se somam Um pouco de notação: ou ainda: Convenção de Einstein: Índices repetidos se somam ­ Boosts de Lorentz em diferentes direções mudam a matriz , mas não a estrutura da fórmula acima. ­ Espaço e Tempo fazem parte do mesmo “animal” matemático Um pouco de notação: ou ainda: Convenção de Einstein: Índices repetidos se somam ­ Boosts de Lorentz em diferentes direções mudam a matriz , mas não a estrutura da fórmula acima. ­ Espaço e Tempo fazem parte do mesmo “animal” matemático quadrivetores Quadrivetores: ­ qualquer objeto matemático que se transforma em um boost de Lorentz como o quadrivetor de tempo­espaço. Quadrivetores: ­ qualquer objeto matemático que se transforma em um boost de Lorentz como o quadrivetor de tempo­espaço. Exemplo: Quadrivetores: ­ qualquer objeto matemático que se transforma em um boost de Lorentz como o quadrivetor de tempo­espaço. Exemplo: Quadrivetores: Energia e momento compõem um quadrivetor com as seguintes componentes: obedecendo as seguintes regras de transformação: Outras sugestões? Invariantes: Pode­se observar que a seguinte combinação é invariante frente à transformadas de Lorentz: Convém então definir o seguinte produto escalar entre quadrivetores: Invariantes: Pode­se observar que a seguinte combinação é invariante frente à transformadas de Lorentz: Convém então definir o seguinte produto escalar entre quadrivetores: ou para manter a notação anterior: com: Invariantes: Pode­se observar que a seguinte combinação é invariante frente à transformadas de Lorentz: Convém então definir o seguinte produto escalar entre quadrivetores: ou para manter a notação anterior: com: métrica mais notação: i) (quadri)vetores contravariantes: x= (x0, x1, x2, x3)T ­ transformação via matriz , x' = x. mais notação: i) (quadri)vetores contravariantes: x= (x0, x1, x2, x3)T ­ transformação via matriz , x' = x. ii) (quadri)vetores covariantes: x= (x0, x1, x2, x3) = (­x0, x1, x2, x3) ­ transformação via matriz ­1, x'=x. mais notação: i) (quadri)vetores contravariantes: x= (x0, x1, x2, x3)T ­ transformação via matriz , x' = x. ii) (quadri)vetores covariantes: x= (x0, x1, x2, x3) = (­x0, x1, x2, x3) ­ transformação via matriz ­1, x'=x. iii) produto escalar de quadrivetores: a.b = g a b = a b. ­ invariante: a'.b' = a' b'a ba b Invariantes ­ exemplo: Utilizando o quadrivetor de energia­momento, constói­se o seguinte invariante: Invariantes ­ exemplo: Utilizando o quadrivetor de energia­momento, constói­se o seguinte invariante: Qual invariante é construído a partir do quadrivetor de tempo­espaço? Invariantes ­ exemplo: Invariantes ­ exemplo: Invariantes ­ exemplo: Invariantes ­ exemplo: Intervalo de tempo medido por um observador acompanhando o movimento Revisitando o paradoxo dos gêmeos: ­ Um viajante parte para uma viagem extragalática, deixando seu gêmeo idêntico na Terra. Ao retornar, 15 anos mais tarde, qual gêmeo estará mais novo? Revisitando o paradoxo dos gêmeos: ­ Um viajante parte para uma viagem extragalática, deixando seu gêmeo idêntico na Terra. Ao retornar, 15 anos mais tarde, qual gêmeo estará mais novo? Revisitando o paradoxo dos gêmeos: ­ Um viajante parte para uma viagem extragalática, deixando seu gêmeo idêntico na Terra. Ao retornar, 15 anos mais tarde, qual gêmeo estará mais novo? Revisitando o paradoxo dos gêmeos: ­ Um viajante parte para uma viagem extragalática, deixando seu gêmeo idêntico na Terra. Ao retornar, 15 anos mais tarde, qual gêmeo estará mais novo? Revisitando o paradoxo dos gêmeos: ­ Exercício: quanto se rejuvenesce pulando em uma cama elástica? Revisitando o paradoxo dos gêmeos: ­ Exercício: quanto se rejuvenesce pulando em uma cama elástica? Revisitando o paradoxo dos gêmeos: ­ Exercício: quanto se rejuvenesce pulando em uma cama elástica? ~10­16 s a cada pulo de 1m. Quadrivetores em Eletromagnetismo: Quadrivetores em Eletromagnetismo: Quadrivetores em Eletromagnetismo: Quadrivetores em Eletromagnetismo: Densidades de carga e corrente compõem um quadrivetor com as seguintes componentes: Quadrivetores em Eletromagnetismo: Densidades de carga e corrente compõem um quadrivetor com as seguintes componentes: Potenciais escalar e vetorial também compõem um quadrivetor. Quadrivetores em Eletromagnetismo: E os campos magnéticos e elétricos, como se comportam frente a transformações de Lorentz? Quadrivetores em Eletromagnetismo: E os campos magnéticos e elétricos, como se comportam frente a transformações de Lorentz? E e B formam um tensor anti­simétrico Quadrivetores em Eletromagnetismo: E os campos magnéticos e elétricos, como se comportam frente a transformações de Lorentz? E e B formam um tensor anti­simétrico Com as seguintes regras de transformação Quadrivetores em Eletromagnetismo: Ou, para voltar à uma notação mais “conservadora”: Quadrivetores em Eletromagnetismo: Ou, para voltar à uma notação mais “conservadora”: Quadrivetores em Eletromagnetismo: Ou, para voltar à uma notação mais “conservadora”: mas, compare com a elegância de: Equações de Maxwell: E por falar em elegância, as equações de Maxwell em notação relativística tomam a forma: onde os campos E e B são dados por: Equações de Maxwell: E por falar em elegância, as equações de Maxwell em notação relativística tomam a forma: onde os campos E e B são dados por: (4 equações) (6 equações) Equações de Maxwell: E por falar em elegância, as equações de Maxwell em notação relativística tomam a forma: onde os campos E e B são dados por: (4 equações) (4 equações) Equações de Maxwell: Maxwell: “We can scarcely avoid the inference that light consists in transverse ondulations of the same medium which is the cause of electric and magnetic phenomena” Equações de Maxwell: Maxwell: “Dificilmente podemos evitar a inferência de que a luz consiste em ondulações transversais do mesmo meio que é também a causa de fenômenos elétricos e magnéticos” Relatividade Restrita x Gravitação ­ Relatividade restrita estabelece que nenhuma informação pode ser transmitida com uma velocidade maior que c. ● Potenciais retardados ● Equações de Maxwell em notação relativística X ­ Gravitação Clássica assume uma interação instantânea entre dois corpos. Relatividade Restrita x Gravitação ­ Movimento de uma carga elétrica pontual em um campo elétrico uniforme Relatividade Restrita x Gravitação ­ Movimento de uma carga elétrica pontual em um campo elétrico uniforme Relatividade Restrita x Gravitação ­ Movimento de uma carga elétrica pontual em um campo elétrico uniforme Relatividade Restrita x Gravitação ­ Movimento de uma massa pontual em um campo gravitacional constante Relatividade Restrita x Gravitação ­ Movimento de uma massa pontual em um campo gravitacional constante Relatividade Restrita x Gravitação ­ Movimento de uma massa pontual em um campo gravitacional constante Relatividade Restrita x Gravitação ­ Movimento de uma massa pontual em um campo gravitacional constante Um planeta (1022 kg) e um neutrino (10­22 kg) descrevem a mesma trajetória em um campo gravitacional constante. No limite m­>0, é razoável supor o mesmo efeito. Relatividade Restrita x Gravitação ­ Movimento de uma massa pontual em um campo gravitacional constante Um planeta (1033 kg) e um neutrino (10­22 kg) descrevem a mesma trajetória em um campo gravitacional constante. No limite m­>0, é razoável supor o mesmo efeito. A trajetória da luz é distorcida por campos gravitacionais!! Problemas! Luz é acelerada em campos gravitacionais. Velocidade da luz é modificada... Violação da premissa fundamental da relatividade especial. Problemas! Luz é acelerada em campos gravitacionais. Velocidade da luz é modificada... Violação da premissa fundamental da relatividade especial. RELATIVIDADE GERAL Problemas! Luz é acelerada em campos gravitacionais. Velocidade da luz é modificada... Violação da premissa fundamental da relatividade especial. RELATIVIDADE GERAL (amanhã)
