Oral Modelo de Adaptação Óssea em Torno de Próteses de

Modelo de Adaptação Óssea em Torno de Próteses de Quadril
Considerando a Evolução da Interface
Darlan Dallacosta y ,
Carlos R. M. Roeslery ;
Eduardo A. Fancello
y
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, POSMEC, UFSC,
Grupo de Análise e Projeto Mecânico, GRANTE
Campus Trindade, 8040-900, Florianópolis, SC
E-mail: [email protected], [email protected],
y
1
Laboratório de Engenharia Biomecânica - LEBm, HU, UFSC
Hospital Universitário, Campus Trindade
88040-900, Florianópolis, SC
E-mail: [email protected].
Introdução
sente trabalho, utiliza-se a hipótese de ótima
estrutura para simular a resposta adaptativa
do tecido ósseo, promovida pela colocação de
uma prótese. O osso trabecular é modelado
como um material poroso com densidade relativa variável e microestrutura periódica. A
partir do modelo de otimização procura-se estabelecer uma con…guração realística inicial de
um fêmur humano. O processo de remodelamento ósseo periprostético frente a uma alteração no sistema, proveniente da inclusão
de uma prótese e/ou modi…cações de carregamento, segue uma lei de evolução baseada na
hipótese de ótima estrutura. O comportamento evolutivo da interface emprega um modelo não-linear, que acopla o processo de remodelamento ósseo periprostético com a evolução
das condições da interface osso/prótese. A interface é modelada através do conceito de interface estrutural, utilizando elementos gasket
[1]. Uma das principais característica destes
elementos é a existência de um sistema de coordedandas local, onde as tensões e as deformações são calculadas. A evolução dos tecidos
da camada interfacial é obtida por critérios biomecânicos locais.
A capacidade de substituir articulações dani…cadas por próteses tem bene…ciado uma
série de indivíduos que apresentavam limitações motoras. A substituição da articulação
do quadril origina uma artroplastia total do
quadril (ATQ). O sucesso da ATQ é in‡uenciado por alguns problemas fundamentais que se
originam com seu uso. Dentre estes destacamse a reabsorção óssea proximal e os problemas
de instabilidade na interface.
Problemas na interface estão associados à
formação de tecido …broso em torno da prótese,
provocado pela ocorrência de micro movimentos excessivos entre prótese e osso. Além de
impossibilitar a osseointegração, estes micromovimentos dani…cam o tecido ósseo recém formado. Já a reabsorção óssea em torno da
parte proximal da prótese é decorrente da alteração do padrão de carregamentos sofridos
pelo fêmur, tendo como conseqüência a reabsorção óssea local, provocando instabilidade da
prótese.
Em 1832 Borgery apresentou a hipótese de
que o tecido ósseo se comporta como uma estrutura ótima, ou seja, apresenta a máxima resistência com a mínima quantidade de mater- 2 Problema de Equilíbrio
ial. Esta condição é escrita matematicamente
como a minimização da energia de deformação Considere dois corpos contínuos no espaço
total da estrutura com restrição sob a quan- Euclidiano tridimensional, sendo que o femur
tidade de tecido ósseo mineralizado. No pre- é representado pelo corpo que ocupa a região
aberta o e a haste femoral pelo corpo que
ocupa a região aberta h , interagindo um com
o outro através de um terceiro corpo que ocupa
a região aberta i , todos com fronteira e submetidos a forças de corpo b. Na fronteira, u
é a parte de onde estão impostas restrições
sobre o campo de deslocamentos u e t a região Figura 2: Microestrutura utilizada para idealizar a estrutura óssea trabecular.
de onde atuam as forças de superfície t.
Desta forma a equação de equilíbrio deste
fenômeno é dada pelo seguinte problema variade…ne a existência ou não de material está relacional: encontrar u 2 U tal que
cionada com as dimensões da célula unitária. O
Z
material da matriz óssea é considerado elástico
linear isotrópico, com módulo de elasticidade
(u) "(v)d o
E = 5GP a e coe…ciente de Poisson = 0; 3 [2].
Zo
O modelo de microestrutura fornece um
+
(u) "(v)d i
material homogeneizado com simetria cúbica,
Z i
E1 = E2 = E3 , G12 = G13 = G23 e 12 =
+
(u) "(v)d h l(v) =0 8v 2 V
13 = 23 . As propriedades do material, em
h
(1) função da densidade, são obtidas através dos
polinômios abaixo [2]:
onde U := fu 2 H 1 ( ) : uj u = 0g e V
:= fv 2 H 1 ( ) : vj u = 0g correspondem
C1111 = 5409; 96 3 + 8:636 2
respectivamente, ao conjunto das funções admissíveis e das variações admissíveis. Os três
C1122 = 938; 144 5 + 720; 29 4
(2)
4
3
primeiros termos da Eq.1 representam o traC1212 = 1789; 34 + 118; 038
balho das forças internas enquanto o último
sendo que C1111 = C2222 = C3333 , C1122 =
termo, o operador l( ) : V ! R, representa o
C
trabalho das forças externas.
é o tensor de
1133 = C2233 e C1212 = C1313 = C2323 .
Em cada ponto o tecido ósseo é caracterizado
tensões de Cauchy e " o tensor de deformações
pela
densidade , que é função do parâmetro
de Green linearizado.
O tecido interfacial é modelado através do que de…ne a microestrutura, e pela orientação
conceito de interface estrutural, ou seja, através do material dada pelos ângulos de Euler =
de uma …na camada deformável que tem a f 1 ; 2 ; 3 gT .
Para a região da interface diferentes leis confunção de unir meios contínuos [3].
O tecido ósseo é idealizado com um material stitutivas devem ser empregadas, a …m de repporoso com microestrutura periódica (Figura resentar seu comportamento biomecânico. Isso
2) e o método de homogeneização é utilizado se deve ao fato que, imediatamente após a impara determinar as propriedades macroscópi- plantação a haste encontra-se estabilizada decas do material. As propriedades do material vido as suas características geométricas, pois a
que constitui as trabéculas são assumidas iguais mesma é inserida sob pressão. A interação bioàs do osso cortical. A variável de projeto que mecânica na interface osso/prótese é um fator
que controla o estado de tensões do tecido interfacial. Com o passar do tempo e dependendo
do estado de tensões locais, a situação inicial
pode dar lugar a formação de tecido ósseo mineralizado ou tecido …broso. Cada uma destas
situações dá origem a uma condição de interface representada por relações constitutivas nas
direções normal e tangencial.
Figura 1: Representação do problema generalNa Figura 3, observar-se a existência de uma
izado com condições de interface.
relação para osso e outra para …bra, tanto na
direção normal quanto na tangencial. Devido a
M inimo
:
Z
nlc
X
1
j=1
sujeito a
:
:
Figura 3: Relação constitutiva para o tecido
interfacial na direção normal e tangencial.
Z
0
Z
+
+
! j C "j (u) "j (u)d
2
d
Z
=V;
(x)
1
x2
j (u)
"j (v)d
(3)
o
o
Z
j (u)
"j (v)d
i
j (u)
"j (v)d
h
i
h
ausência de dados que relacionem o comporta:
lj ( ) =0
8v
mento constitutivo do material interfacial com
os fatores …siológicos, neste trabalho será cononde nlc é o número de casos de carga. As
siderado comportamento elástico bilinear na di- restrições impostas ao problema correspondem,
reção normal C ( ; u) e elástico linear na di- respectivamente, ao limite de volume V , limites
reção tangencial C ( ) [8].
laterais sobre e satisfação de equilíbrio. As
variáveis de projeto são as frações volumétriO material da prótese é homogêneo e apre- cas elementares , ou seja, a razão entre o volsenta comportamento isotrópico linear elástico ume do material poroso e o volume do elemento
com módulo de elasticidade de 120GP a e coe- sólido, na discretização pelo método dos ele…ciente de Poisson 0; 3.
mentos …nitos (MEF).
O problema é resolvido via critério de otimalidade, e as condições necessárias de primeira ordem do prob.3 podem ser obtidas com o auxílio
do Lagrangeano, de…nido a seguir:
3
Modelo de Remodelamento
Ósseo
L(u; ; v; ) =
Z
1
2
+
+
Para iniciar o processo de remodelamento é
necessário uma morfologia óssea inicial, que
neste caso é obtida a partir da solução de um
problema de otimização topológica. O problema consiste na minimização da energia de deformação do sistema ósseo considerando as dimensões da microestrutura como variáveis de
projeto. Para o remodelamento, o problema de
otimização é reescrito incoporando condições
de interface osso/prótese, que estão contidas
na restrição dada pela equação não-linear de
equilíbrio.
+
C "j (u) "j (u)d
Z
o
Z
i
Z
j (u)
"j (v)d
j (u)
"(v)d
j (u)
"j (v)d
o
o
o
h
lj (v)+
Z
d
i
h
Vo
o
(4)
A condição de mínimo local é dada
por dL
= 0 onde c = (u; ; v; ) e
dc ; d
d = (^
u; ; v
^; ).
A condição de estacionaridade do Lagrangeano em relação às variáveis v e , recobra a satisfação da equação não-linear de estado e a restrição de volume. Já a condição de
Com isso o problema de minimização da en- estacionaridade do Lagrangeano em relação ao
ergia interna é escrito como:
campo dos deslocamentos u fornece:
Z
+
+
=
C "j (v) "j (^
u)d
o
o
Z
Z
Z
@
i
j (u)
"j (v) "j (^
u)d
@"j
C"j (v) "j (^
u)d
i
h
h
C "j (u) "j (^
u)d
o
o
8^
u2V
(5)
onde & é o parâmetro de amorteciento
numérico, n refere-se ao número da iteração e
é o limite móvel.
O processo de remodelamento, segue uma lei
de evolução baseada nos mesmos princípios de
estacionariedade fornecida pela Eq.6. Porém a
massa óssea pode mudar e assim o parâmetro
recebe o valor de convergência do processo
de otimização topológica e é mantido …xo ao
longo da simulação do remodelamento.
A variável que de…ne a orientação da microestrutura não entra no cálculo de sensibilidade Eq.6, mas é utilizada uma heurística de
reorientação seguindo as direções principais de
deformação [7]. Portanto, a cada iteração as direções materiais são alinhadas com as direções
principais de deformação, calculadas no centróide do elemento.
onde @ @"(u) representa a matriz tangente do
material. Para o e h a matriz tangente é o
próprio tensor de elasticidade linear, enquanto
para o domínio da interface o mesmo não é aplicavel devido a relação não-linear entre tensão e
deformação. A Eq.5 corresponde ao problema
adjunto e fornece a solução adjunta v. O termo
à esquerda da igualdade, uma vez discretizado
N lc
X
e
e avaliado na solução de equilíbrio u, corre"i =
! j ("ei )j
(8)
sponde à matriz tangente convergida, solução
j=1
do problema não-linear. Por outro lado, o
onde "ei representa a componente de defortermo a direita da igualdade representa a força
mação no centróide do elemento e ! j o fator de
adjunta.
Por …m, a variação do Lagrangeano com re- peso relacionado com cada caso de carga.
lação a variável de projeto toma a forma.
@L
;
@
1
2
Z
@C
=
"j (u) "j (u)d o
@
Z o
@C
+
"j (u) "j (v)d o
@
o
Z
@ j (u)
"j (v)d i + Vb
+
@
i
(6)
Considerando a densidade constante em cada
elemento, esta expressão é discretizada e utilizada num esquema do tipo ponto …xo para
atualizar os valores de densidade . Neste esquema, as frações volumétricas relativas elementares podem ser atualizadas de acordo com:
n+1
e
8
max f(1
) ne ; 0g se Be& ne
>
>
>
>
max f(1
) ne ; 0g ; Be& ne
>
>
>
>
se max f(1
) ne ; 0g
>
>
<
&
n
Be e
=
min
f(1
+
) ne ; max g ;
>
>
>
>
>
min f(1 + ) ne ; max g
>
>
>
>
se min f(1 + ) ne ; max g
>
:
Be& ne :
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
(7)
4
Evolução da Interface
O remodelamento que se desenvolve a partir da
ATQ é um processo evolutivo, portanto logo
após a cirurgia o osso não se encontra aderido
à superfície da prótese, isso somente acontecerá com o passar do tempo e sob condições
biomecânicas favoráveis. A partir disto é proposto um modelo de diferenciação tecidual, que
correlaciona a formação de diferentes tipos de
tecidos com o ambiente mecânico local, que
é aproximado via MEF. O estímulo escolhido
esta relacionado com os micromovimentos relativos entre prótese e osso. Este modelo utiliza
uma regra de mistura, ou seja, permite a coexistência de dois tipos de tecidos num mesmo
local interfacial: tecido ósseo colado representado por o e tecido …broso representado por
f [4]. Cada condição possui uma lei constitutiva própria, conforme apresentado na Figura3.
As quantidades relativas o e f podem
variar ao longo do processo de adaptação óssea,
e devem satisfazer:
o
+
f
=1
(9)
com a força interna do elemento sendo composta por:
o Fo
+
f Ff
= Fint
(10)
A Eq.9 é valida para valores de 0
1.
O composto dado pela regra de mistura é um
sólido homogêneo com propriedades mecânicas
proporcionais a fração volumétrica de seus constituintes.
Para a evolução de o e f , emprega-se um Figura 4: Representação grá…ca do critério de
critério baseado no ambiente biomecânico lo- osteogênese utilizado [8].
cal. Este critério tem a função de direcionar
o processo de evolução interfacial. A Eq.9
deve ser satisfeita para todo ponto x 2 i,
permitindo que as quantidades relativas o e
d
=
[
M (")]
(12)
f sejam determinadas a partir de um único
dt
parâmetro :
Com isto, a atualização das variáveis controlando a evolução da condição de interface
)( of )
(11) osso-implante é dada por:
o = ( of ),
f = (1
Onde é determinado a partir do parâmetro
denominado estímulo para a osteogênese, M ,
que é calculado a partir dos níveis de deformação mecânica experimentados pelo elemento
de interface. Com isso, a cada iteração do
processo de remodelamento é feita uma avaliação do ambiente mecânico local de cada elemento de interface. Esta avaliação permite realizar a evolução das parcelas de tecido ósseo e
…broso em cada elemento.
O estímulo para a osteogênese é baseado na
Teoria da Diferenciação Tecidual [5]. A representação simpli…cada desta teoria pode ser
vista na Figura 4, onde M é avaliado levandose em conta limites de deslocamento na direção normal ( UN max ) e na direção tangencial (jUT max j). Deste modo, elementos de interface que sofrem deslocamentos relativos abaixo
destes limites estarão contribuindo para a formação de osso interfacial ( = 1), em contra
partida, elementos submetidos a deslocamentos fora destes limites tendem a formação de
tecido …broso ( = 0).
A lei de evolução é dada pela Eq.12. Onde,
a evolução tecidual é proporcional a diferença
entre o estado atual de diferenciação do tecido
e o estado de diferenciação que corresponde aos
níveis de deformação atual. O parâmetro
limita a taxa de evolução e foi introduzido de
modo a evitar mudanças bruscas, de tecido interfacial, em cada iteração.
k+1
k+1
o
k+1
f
+_
=
k
=
k+1
= (1
(
t
(13)
k+1
of )
k+1
)(
(14)
k+1
of )
(15)
Esta lei de evolução permite que durante
todo o curso da simulação do remodelamento,
os elementos de interface possam evoluir para
a formação de tecido ósseo ou …broso, de modo
a cumprir o critério de adaptação.
Conforme apresentado em [8], paralelamente
a adaptação interfacial, encontra-se em curso
o processo de remodelamento periprostético, e
portanto a densidade dos elementos de interface
devem variar de acordo com a densidade do respectivo vizinho. Portanto, foi proposto que
durante todo o curso da simulação, a rigidez
da parcela de osso do elemento de interface
seja dada como uma parcela da rigidez do elemento vizinho correspondente. Assim, acoplase as mudanças adaptativas periprostéticas e a
adaptação da interface.
b
kN
( )=
bCort
kN
,kTb ( ) =
kTbCort (16)
bCort e k bCort referem-se a rigidez do
onde kN
T
osso cortical, é a densidade do elemento vizinho e é um parâmetro de penalização que
regula a in‡uência dos elementos vizinhos a interface sob os elementos de interface.
Figura 5: Distribuição do campo de densidades
ao longo do fêmur, obtida a partir da restrição
de volume de 50% do volume total.
5
Resultados Numéricos
Este exemplo utiliza um modelo geométrico de
um fêmur padrão. São aplicados três casos de
carga: a massa corporal, aplicada na cabeça
do fêmur, e a ação dos músculos glúteo máximo, glúteo médio e glúteo mínimo, aplicadas
no trocânter maior. Na parte distal da diá…se,
o modelo é …xado nas três direções. A restrição
de volume é de V = 0; 5V .
Na Figura 5, é apresentado o resultado da
solução do problema de otimização. Pode-se
notar caracteristicas morfológicas semelhantes
ao fêmur natural, como por exemplo, a formação do cortex medial e lateral, ou seja, duas
camada de osso cortical com alta densidade ao
longo da diá…se, a formação do canal medular com baixa densidade, a baixa densidade na
região do triângulo de Ward e a distribuição
complexa da densidade na região da matá…se
femoral. Observa-se também a maior densidade óssea na região do colo femoral, acompanhando a linha de cargas compressivas.
Na simulação do remodelamento ósseo são
empregadas as mesmas condições de contorno
utilizadas na obtenção da morfologia inicial,
com a diferança de que nesta etapa as cargas devido a compressão, na cabeça do fêmur,
passam a ser aplicadas na cabeça da prótese.
São mantidos os mesmos casos de carga, de
modo que as mudanças na distribuição de densidades sejam resultado somente da colocação
da prótese. O componente femoral apresenta
cobertura porosa em toda sua extensão. No inicio do processo de remodelamento, considerase que a prótese encontra-se encapsulada por
Figura 6: Distribuição de densidade óssea,
com evolução da interface e encapsulação …brosa como condição inicial. (a) Período pósoperatório. (b) Após a adaptação óssea (b).
tecido …broso. Os seguintes parâmetros foram
atribuidos para a lei de adaptação: Ut max =
150 m; Un max = 6 m; = 0; 1 e = 2:
Nas Figuras 6 e 7, observa-se a ocorrência de
atro…a proximal lateral e no calcar. Também
nota-se a tendência de aumento na densidade
do canal medular. Com relação a massa óssea
global, a mesma não sofre alterações signi…cativas, somente ocorre resdistribuição de material ao longo da estrutura que é observada pela
diminuição da massa na parte proximal e aumento na região distal.
A Figura 8 apresenta a distribuição tecidual
em torno da prótese. Este resultado demonstra
que o crescimento ósseo é esparsso, situação que
vai ao encontro de inúmeros casos clínicos que
têm demonstrado somente em uma pequena
parcela da cobertura porosa com crescimento
ósseo. Como foi visto anteriormente, a alteração no padrão de carregamentos sofrido pelo
fêmur provoca reabsorção óssea na parte proximal, a qual promove aumento da porosidade
do tecido. O tecido ósseo com elevado índice
de porosidade apresenta baixa capacidade de
suporte mecânico, o que remete a um ambiente
biomecânico não favorável ao crescimento ósseo
na região proximal.
Figura 8: Distribuição tecidual em torno do
componente femoral. Regiões na cor vermelha
Figura 7: Vista anterior do fêmur, com representam 100% de cresciemnto ósseo, enevolução da interface. Distribuição de densi- quanto regiões na cor azul representam interdade óssea nos períodos pós-operatório (a) e posição …brosa.
após a adaptação óssea (b). Variação de massa
óssea (c).
[2] M Bagge. "Remodeling of bone structures
", PhD. Thesis - Technical University of
Denmark,1999.
6
Considerações Finais
Poucos autores consideram o acoplamento entre o remodelamento ósseo periprostético e a
evolução da interface nos modelos computacionais de adaptação. Para incorporar tais
condições e inserir modelos não lineares na interface, alguns autores modelam a interface a
partir da formulação de mecânica do contato
[6] [8]. Fisicamente, a interface é caracterizada
por possuir espessura …nita e comportamento
material próprio, características simpli…cadas
através da modelagem interfacial com espessura nula. Já o conceito de interface estrutural permite a introdução de efeitos não-locais
através da existência de uma interface física e
com dimensões …nitas.
No presente trabalho, os valores assumidos
apresentam caráter puramente numérico, pois
os modelos visam testar a formulação e não reproduzir uma situação real em particular. Contudo, os resultados obtidos sâo similares com
situações veri…cadas clinicamente.
[3] D. Bigoni e A.B. Movchan, "Statics and
dynamics of structural interfaces in elasticity". International Journal of Solids and
Structures, Vol.39, pg.4843-4865, 2002.
[4] P. Büchler, D.P. Pioletti, L.R. Rakotomanana, "Biphasic constitutive laws for
biological interface evolution". Biomechanics and Modeling in Mechanobiology, Vol.1,
n.4, pg.239-249, 2003.
[5] D.R. Carter, G.S. Beaupre, N.J Giori e L.A.
Helms, "Mechanobiology of skeletal regeneration ", Clinical Orthopaedic, Vol.355,
pg.41-55, 1988.
[6] P.R. Fernandes, J. Folgado, C. Jacobs e
V. Pallegrini, “ A contact model with ingrowth control for bone remodelling around
cementless stems “. Journal of Biomechanics, Vol.35, pg.167-176, 2002.
[7] P. Pedersen, "Bounds on elastic energy in
solids of orthotropic materials", Structural
Optimization, Vol. 2, pg.55–63, 1990.
[8] C.R. Roesler, Adaptação mecânica do osso
em torno de implantes ortopédicos, Tese
– Universidade Federal de Santa Catarina,
[1] Abaqus. User’s Manual, Version 6.6. Das2006.
sault Systèmes Simulia Corp, RI, USA,
2006.
Referências