Potência aparente e fator de potência

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Notas de aula da disciplina de
Analise de Circuitos 2
Prof. Luciano Baracho Rocha
Maio de 2016
Sumário
Potência aparente e fator de potência ......................................................................................... 2
Exercício 1: ................................................................................................................................ 4
Exercício 2: ................................................................................................................................ 5
Potência Complexa........................................................................................................................ 6
Triângulo de Potência ................................................................................................................... 9
Exercício 3: .............................................................................................................................. 10
Referência: Circuitos Elétricos , 5ª edição, Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku. Mc
Graw Hill, 2013.
Observação: o texto precisa de uma revisão final, e pode conter erros.
2
Potência aparente e fator de potência
Sabemos que se a tensão e corrente nos terminais de um circuito forem
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 )
e
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 )
ou, na forma fasorial,
𝐕 = 𝑉𝑚 𝑒 𝑗𝜃𝑣 e 𝐈 = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜃𝑖 e a potência média
1
𝑃 = 𝑉𝑚 . 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 )
2
e também
𝑃 = 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝐼𝑅𝑀𝑆 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) = 𝑆 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 )
onde o novo termo na equação
𝑆 = 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝐼𝑅𝑀𝑆
é conhecido como potência aparente .
O fator cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) é chamado fator de potência (FP).
Potência aparente , em VA é o produto dos valores RMS da tensão e da corrente.
A potência aparente tem esse nome porque parece que deve ser o produto da tensão
com a corrente por analogia com os circuitos resistivos em CC. Ela é medida em volt-ampères
ou VA para distingui-la da potência média ou real, que é medida em watts. O fator de potência
é adimensional, já que é a razão entre a potência média e a potência aparente,
FP =
𝑃
= cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 )
𝑆
O ângulo 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 é denominado ângulo do fator de potência, uma vez que ele é o
ângulo cujo cosseno é o fator de potência.
O ângulo do fator de potência é igual ao ângulo da impedância da carga se V for a
tensão na carga e I a corrente através dela. Isso fica evidente a partir do fato que
𝐙=
Como
𝐕 𝑉𝑚 𝑒 𝑗𝜃𝑣 𝑉𝑚 𝑗(𝜃 −𝜃 )
=
=
𝑒 𝑣 𝑖
𝐈
𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜃𝑖 𝐼𝑚
3
𝐕RMS =
𝐕
√2
= 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑒 𝑗𝜃𝑣
e,
𝐈RMS =
𝐈
√2
= 𝐼𝑅𝑀𝑆 𝑒 𝑗𝜃𝑖
A impedância Z pode ser escrita
𝐙=
𝐕 𝐕RMS 𝑉RMS 𝒋(𝜽 −𝜃 )
=
=
𝒆 𝒗 𝑖
𝐈
𝐈RMS
IRMS
Fator de potência é o cosseno da diferença de fase entre a tensão e a corrente. Êle
também é o cosseno do ângulo da impedância de carga.
4








Fator de potência deve ser visto como aquele fator pelo qual a potência aparente
dever ser multiplicada para se obter a potência média ou potência real.
O valor do FP varia entre 0 e 1;
Para uma carga puramente resistiva a tensão e a corrente estão em fase, de modo que
𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = 0, e FP=1; isto faz com que a potência aparente seja igual à potência média.
𝑜
Para uma carga puramente reativa 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = +
−90 e FP=0. Neste caso a potência
média é zero.
Entre estes dois casos diz-se que o FP está adiantado ou atrasado;
Um fator de potência adiantado significa que a corrente está adiantada em relação à
tensão, implicando uma carga capacitiva;
Um fator de potência atrasado significa que a corrente está atrasada em relação à
tensão, implicando um carga indutiva;
o fator de potência afeta as contas pagas pelos consumidores de energia elétrica,
como veremos mais adiante;
Exercício 1:
Uma carga ligada em série drena uma corrente 𝑖(𝑡) = 4 cos(100𝜋𝑡 + 10°) A quando a tensão
aplicada é 𝑣(𝑡) = 120 cos(100𝜋𝑡 − 20°) V. Determine a potência aparente e o fator de
potência da carga. Estabeleça valores dos elementos que formam a carga conectada em série.
Solução:
Respostas:240 VA; 0,866 (adiantado); R= 25,98 Ω e C= 212,2 µ F
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Exercício 2:
Deetermine o fator de potência de todo o circuito da figura abaixo visto pela fonte. Calcule a
potência média liberada pela fonte
6Ω
30 𝑒 𝑗30° 𝑉 𝑅𝑀𝑆
+
_
Respostas: FP =0,9734; P= 125 W
-j2 Ω
4Ω
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Potência Complexa
Considere a carga CA da figura:
I
+
Carga
V
Z
-
Sendo que na forma fasorial 𝐕 = 𝑉𝑚 𝑒 𝑗𝜃𝑣 e 𝐈 = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜃𝑖 da tensão 𝑣(𝑡) e da corrente
𝑖(𝑡) a potência complexa absorvida pela carga CA é o produto da tensão e do conjugado
complexo da corrente, ou seja,
1
𝐒 = 𝐕𝐈 ∗
2
considerando a regra dos sinais (passivo). Em termos de valor RMS,
𝐒 = 𝐕 RMS 𝐈 ∗RMS
onde,
𝐕RMS =
𝐕
√2
= 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑒 𝑗𝜃𝑣
e,
𝐈RMS =
𝐈
√2
= 𝐼𝑅𝑀𝑆 𝑒 𝑗𝜃𝑖
Podemos escrever a equação (x) como segue,
𝑆 = 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝐼𝑅𝑀𝑆 𝑒 𝑗(𝜃𝑣 −𝜃𝑖)
= 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝐼𝑅𝑀𝑆 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) + 𝑗𝑉𝑅𝑀𝑆 𝐼𝑅𝑀𝑆 sen(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 )
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1. A magnitude (módulo) da potência complexa é a potência aparente;
2. A potência complexa é medida em volt-ampères (VA);
3. O ângulo da potência complexa é o fator de potência;
A potência complexa pode ser expressa em função da impedância local Z.
𝐙=
𝐕 𝐕RMS 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝑗(𝜃 −𝜃 )
=
=
𝑒 𝑣 𝑖
𝐈
𝐈RMS
𝐼𝑅𝑀𝑆
Então 𝐕RMS = 𝐙 𝐈RMS .Substituindo essa expressão na equação (x) :
2
𝐒 = 𝐼𝑅𝑀𝑆
𝐙=
𝟐
VRMS
= 𝐕 RMS 𝐈 ∗RMS
𝒁∗
Uma vez que 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋, a equação (x) fica:
2 (𝑅
𝐒 = 𝐼𝑅𝑀𝑆
+ 𝑗𝑋) = 𝑃 + 𝑗𝑄
4.
5.
6.
7.
Onde P e Q são a parte real e imaginária da impedância complexa.
Então:
2
𝑃 = 𝑅𝑒(𝐒) = 𝐼𝑅𝑀𝑆
𝑅
2
𝑄 = 𝐼𝑚(𝐒) = 𝐼𝑅𝑀𝑆 𝑋
P é a potência média real e ela depende da carga. Ela é a potência média em watts
liberada para uma carga; ela é a única potência útil dissipada pela carga;
Q depende da reatância de carga X, e é denominada de potência reativa (ou em
quadratura); ela é uma medida da troca de energia entra a fonte e a parte reativa
da carga; a unidade de Q é o VAR (volt-ampère reativo) para diferenciá-la da
potência real medida em watts.
Os indutores e capacitores são elementos armazenadores de energia, não dissipam
nem absorvem energia, mas trocam energia (recebendo-a e fornecendo-a) com o
restante do circuito; da mesma forma a potência reativa é transferida (nos dois
sentidos) entre a carga e a fonte, pois representa uma troca semperdas entre a
carga e a fonte.
Note que:
 Q = 0 para cargas resistivas (FP unitário);
 Q < 0 para cargas capacitivas (FP adiantado);
 Q> 0 para carga indutivas (FP atrasado);
Portanto:
Potência complexa (em VA) é o produto do fasor de tensão RMS e o conjugado complexo
do fasor de corrente RMS. Por ser um número complexo, sua parte real é a potência real P
e a sua parte imaginária é a potência reativa Q.
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Resumindo:
Potência complexa
= 𝐒 = 𝐕 RMS 𝐈 ∗RMS = 𝑃 + 𝑗𝑄
=|𝑽RMS ||𝐈RMS |𝑒 𝑗(𝜃𝑣 −𝜃𝑖)
Potência real = 𝑃 = 𝑅𝑒(𝐒) = 𝑆 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 )
Potência reativa = 𝑄 = 𝐼𝑚(𝐒) = 𝑆 sen(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 )
𝑃
Fator de potência = 𝑆 = cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 )
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Triângulo de Potência
Q
S
∣Z∣
𝜃
X
𝜃
P
R
(a)triângulo de potência;
(b) triângulo de impedância;
Im
S
+Q (FP atrasado)
𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
S
Re
P
– Q (FP adiantado)
(c)Triângulo de potência
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Exercício 3:
A tensão em uma carga é 𝑣(𝑡) = 60 cos(𝜔𝑡 − 10𝑜 ) V a corrente através do
elemento no sentido da queda de tensão é 𝑖(𝑡) = 1,5cos(𝜔𝑡 + 50°) . Determine: (a) as
potências complexa e aparente; (b)as potências real e reativa;(c) o fator de potência e a
impedância de carga.
Respostas: 45e-j60° VA; 45 VA; 22,5 W; -38,97 VAR; 0,5 (adiantado); 40e-j60° Ω