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Números
e funções
Guia do professor
Experimento
Morto ou vivo?
Objetivos da unidade
1. Reforçar conceitos de múltiplos e divisores;
2. Obter a quantidade de divisores de um número natural.
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons
Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Governo Federal
Guia do professor
Morto ou vivo?
Sinopse
Neste experimento, a classe desenvolverá uma atividade para estudar o
conceito de divisibilidade. Nela, aprenderão como calcular a quantidade
de divisores de um número e, com isso, descobrirão uma característica
importante que define os quadrados perfeitos, pois eles são os únicos
números que possuem uma quantidade ímpar de divisores.
„„
„„
Conteúdos
Conjuntos, Lógica e Números: Divisibilidade;
Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem.
Objetivos
1. Reforçar conceitos de múltiplos e divisores;
2. Obter a quantidade de divisores de um número natural.
Duração
Uma aula dupla.
Introdução
O experimento
O objetivo deste experimento é, por meio de uma brincadeira, manipular
o conceito de múltiplos, divisores e quantidade de divisores de números
naturais. Além disso, será abordada uma caracterização dos números
quadrados perfeitos. Acreditamos que com o lúdico o conteúdo parecerá
mais leve e agradável, já que comumente tem sido apresentado através
de cálculos repetitivos, sem que o aluno perceba sua importância para
resolução de problemas.
Etapa 1 Como deixar apenas um número vivo?
Inicialmente, são apresentadas as regras da brincadeira e as questões
a serem respondidas pelos alunos. A atividade deve ser realizada em
grupo (é importante que cada grupo tenha no mínimo 10 alunos) e em um
local adequado para que todos possam levantar-se e sentar-se livremente
e, também, para que cada aluno tenha uma boa visão de todos do grupo.
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Motivação
Ao interpretar e analisar as questões propostas, o aluno é levado a utilizar os
conceitos de múltiplos e divisores de números naturais, proporcionando a
reflexão e causando um entendimento mais significativo sobre os mesmos,
assim como, sobre suas propriedades e resultados relacionados. Além
disso, o aluno tomará conhecimento de como a fatoração de números
naturais e o Princípio Fundamental da Contagem fornecem respostas sobre
o número de divisores de números naturais.
fig. 1
Nesta etapa é essencial que os alunos exercitem a criatividade e o racio­
cínio lógico na busca de estratégias para resolver o desafio proposto, que
é apresentado por meio da seguinte questão:
Quais números devo falar para que apenas o aluno de número
em pé?
fique
É possível completar a questão com diferentes números para cada grupo.
Por exemplo, se a questão for preenchida com o número 2 (considerando um
grupo formado por 10 alunos), ao se pronunciar os números da sequência 2,
Morto ou vivo? Guia do professor 2 / 9
4, 6, 10, apenas o aluno correspondente ao número 2 terminará a atividade
em pé. Além de exercitar habilidades para resolução de problemas, nesta
atividade são trabalhados essencialmente os múltiplos de um número.
Ao final da atividade, é aconselhável que se faça a socialização das
diferentes estratégias utilizadas pelos alunos para resolver a questão.
Etapa 2 Morto ou vivo?
As respostas dependem da observação e da reflexão acerca das posições
de cada aluno do grupo em cada momento da atividade. O intuito é que
eles encontrem as condições que determinam o que faz com que um aluno
termine a atividade em pé. Ao final da atividade, o grupo deve registrar suas
observações e conclusões e também responder às questões propostas.
Conclusão importante
Os números dos alunos que terminam em pé são quadrados perfeitos.
Caso os alunos encontrem dificuldades em alcançar as conclusões espe­
radas, a atividade pode ser refeita de modo que a classe toda seja um único
grupo e o professor seja o chefe. Para permitir uma melhor discussão e
obter uma resposta experimental com maior clareza, pode ser feita uma
tabela descrevendo as posições dos alunos a cada chamada de um número.
A seguir, apresentamos uma tabela mostrando as posições para um grupo de
p p e s significam
s
30 alunos. As letras
em pé e sentado, respectivamente.
Fechamento
„„
„„
„„
„„
„„
Após cada grupo desenvolver a Etapa 1 do Experimento e ter tirado suas
conclusões, é importante a socialização de seus resultados com a classe
toda anotando os resultados na lousa. Abaixo, seguem algumas obser­
vações e conclusões esperadas:
Os alunos que alteram sua posição têm seu número como um múltiplo do
número chamado pelo chefe;
O número de vezes que a posição de um aluno é alterada coincide exata­
mente com o número de divisores de seu número correspondente;
O aluno que altera sua posição mais vezes é aquele cujo número corres­
pondente possui uma quantidade maior de divisores;
Apenas aqueles alunos que alteram sua posição um número ímpar de vezes
ficam em pé (vivos);
Os alunos que ficam em pé são aqueles cujos números correspondentes
possuem um número ímpar de divisores.
Morto ou vivo? Guia do professor 3 / 9
Alunos
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
p
p
p
p
p
p
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3
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5
s
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s
s
s
p
11
s
p
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p
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10
s
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p
9
s
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p
s
8
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p
s
7
s
p
p
s
6
Chamadas feita pelo chefe
s
s
p
s
16
p
p
17
s
18
s
19
s
20
s
21
s
22
s
23
s
24
s
25
p
26
s
27
s
28
s
29
s
30
s
tabela 1
Morto ou vivo? Guia do professor 4 / 9
Número de divisores positivos de um número natural
A seguir, veremos como a fatoração de um número em primos e o Princípio
Fundamental da Contagem fornecem um método para determinar o número
de divisores positivos de um número natural.
Princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo
Número de divisores positivos de um número natural
Como calcular a quantidade de divisores
Depois de apresentados os resultados obtidos pelos diversos grupos e efetu­
ados os devidos comentários, mostre aos alunos, por meio de um exemplo
como o seguinte, como se calcula a quantidade de divisores de um número
usando a fatoração do número em primos e o Princípio Fundamental da
Contagem. Assim, seja o número natural 15876000: sua forma fatorada é
15876000 = 25 · 34 · 53 · 72,
(5 + 1) · (4 + 1) · (3 + 1) · (2 + 1
k1
k2
i1
i2
ks k1 i1k2 i2 ks is
is
D2D1 de
q p modos
pqD2 e,nqualquer
q n =pq
pque
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seja
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is
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12 k2 k1 ksk2
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pD1 e D2pé igual
qD15876000
n53p·k
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ppi1k
. .+
p·sp1)2 · (4
. . .+
.p.11)
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.0p
0 k1 i2 0k
. .
, 0k
, 0ks i
de maneiras de se tomar consecutivamente as decisões
igual
25 · 3n
(22 +. .1)
=
s1)··p(3
s i360
2 pqq =npq
1 .0k
1 i1 
2 , i. 2
2 ,i.s. .
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1
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k2
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is
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q a pq.
n
n = p 1 · p2 . . . ps
p1 · p2 . . . ps
0  i1  k 1
0  i2  k 2 , . . . , 0  is  k s
n
(k1 + 1)(k2 + 1) . . . (ks + 1)
m
n
n = km
Uma caracterização dos quadrados perfeitos
Em seguida, vamos mostrar que os números que têm um número ímpar
k1k1 k2k2
i1i1 i2i2
ksks
is is
p
p
D
D
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q
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pq
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n
n
n
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p
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. . ., .0, 
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. (k
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.
.
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s+
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ss
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1de
1
2i
2
1+
1+
2+
2+
11 22
11 22
2
é única pelo Teorema Fundamental da Aritmética, então qualquer número
isso, primeiramente supondo que o número natural n é um
quadrado
n=
p
p
p = pk
1
k1k1k1k2k2k2 ksksks i1 i1i1i2 i2i2 is isis
k1
k2
s2
1
2
n=
p=
p·1p·2p· 2p. 2. . p
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p. .2. p
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nn
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km
km
km
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· pk
...p
sis
sksks n nn (k(k
s.ou
sn
s1)
s p1p1
sp, e considerando
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1k1
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2k,2
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11
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2perfeito,
2
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k2
2k1 2 2k2
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1
s
s 2
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n . Pelo
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fatoração
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n1 =
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p2k1 p 0  pi2=pkk
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= 1)
p· ,ptemos
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. .2. +
pk
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sn = p
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1 ·Contagem,
12 ,·.p. 2
1
11 +
2primos
2 m
is  k s
n
(k1 + 1)(k2 + 1) . . . (ks + 1) números
m deste
n tipo.
n =Por
km
temos
outro lado, 2se
k2
2k1
2k2
ks 2
2ks
1
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p = pk
n = p2 = (pk
pk
· pk
(2k + 1)(2k2 + 1
k2
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ks n
ip
s
s ) = p 1 · p2 . . . ps .
1
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p
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2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1(k
2
2 disso,
1
1
2
2
1
2
11
1
1
22
2
2
i
i
1
2 i
{p1 , p2 , . . . , ps }
n
(kos divisores
1) . . . (kdo
1)
m pertencem
n
nao=conjunto
km
que é um número ímpar, pois é o produto de números ímpares.
s +número
1 + 1)(k2 +primos
k1
k2
ks
2
e, na sua fatoração, que existe e é única pelo Teorema Fundamental da
Por outro lado, se o número n temnum
depdivisores,
= pnúmero
p ímpar
p=
n=
1 · p2 . . . ps
 k2 , . . . , 0 Aritmética,
 is  ks só aparecem
n
(k1primos
+ 1)(k2deste
+ 1) conjunto.
. . . (ks + 1)
n = km
Logo, m é umndos núme­
os expoentes de sua fatoração em números primos são números pares.
k2k1
2k21
2k
2k
2k21
2k2 r
k1
k2k1
ks2
ksi2ii22 2i2ii22 ki21siiss k2k1
ks2 2 ks2k
2k
2ks
2kr
kr 2
2
1
1
2s
1
r2 2
p
p
p
,
,
p
,
p
,
,
,
.
.
,
.
,
p
,
p
p
p
p
p
·
p
·
·
p
p
0
0

0


i
i
i



k
k
k
0
0
0


i
i
i



k
k
k
,
,
.
,
.
.
.
,
.
,
0
,
0

0


i
i
i



k
k
k
(k
(k
(k
+
+
+
1)(k
1)(k
1)(k
+
+
+
1)
1)
1)
.
.
.
(k
.(k
(k
+
1)1)
1)
.
.
.
.
p
.
p
p
ros
do
tipo
,
com
,
.
Logo,
portanto,
= pk
·
=
p
p
·
n
=
p
n
=
=
(p
=
(p
.
.
p
.
.
.
p
·
p
·
)
=
p
)
=
p
.
.
.
p
.
.
.
p
·
p
.
·
.
p
.
p
.
.
.
p
(2k
+
(2k
1)(2k
+
1)(2k
+
1)
.
.
.
+
(2k
1)
.
+
.
.
(2k
1)
n
= q2k
· qq2k
n=
. q22k
..q
· q(q
. . ·. qk
s
s
s
s
s
s
sss+
s+
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
r .e,
rn = (q1
r ). . . qr ) . Assim,
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
111 222
1
21
2
1
21
2
1
21
2
1n =
21 .·. q
k1k1 k2k2 2 1krkr 2
k1
k2
i1
i2
ks
is
2
2
....qi. sq
D1 quepo número
D2 deqdivisores
pq de n é exatamente
n = p 1 · p2 . . . ps
p1 · p2 .podemos
. . ps
0  i1 nkn1==qq,0com
q
i2q==qkq
.·.q
 ,kos que nmostra
(kque
Assim, podemos concluir
escrever
rr
1 + 1)(k2 + 1) . .
121, ·.q
2, 20. 
k2
ks
2 = (pk1 · pk2 . . . pk
1
is  k s
(k1 + 1)(k2 + 1) . . . (ks + 1).
o número n é umnquadrado
perfeito.
= p2
p
p = pk
·
p
n
=
p
.
.
.
p
s
s
1
2
1
2
O número de divisores positivos de um número natural é igual ao produto
dos expoentes dos números que aparecem em sua fatoração, adicio­
nando a cada um deles uma unidade, ou seja, se a fatoração do número
i
i
i
p1 , p2 ,é. .dada
. , p2 por p12 · p22 . . . piss , o número
0  i1 
 knúmero
is  a ks
dekdivisores
1 0  i2 do
2 , . . . , 0éigual
is  k s
(k1 + 1)(k2 + 1) . . . (ks + 1).
Morto ou vivo? Questão para os alunos
Um quadrado perfeito possui um número ímpar de divisores e, também,
se um número possui um número ímpar de divisores é um quadrado
perfeito.
(k1 + 1)(k2 + 1) . . . (ks + 1)
Guia do professor 5 / 9
Etapa 1 Virando os cartões
Assim, podemos afirmar o que segue:
Conclusão
„„
Os alunos que terminam a atividade em pé são aqueles cujos números são
quadrados perfeitos.
Variações
Procedimento
O professor deve colocar um barbante, como se fosse um varal, junto ao
quadro negro e, com clipes, pendurar todos os cartões mostrando a cor
azul. Os alunos também devem ser numerados de 1 em diante e ter seu
número afixado na roupa de modo visível.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14
15 16
17
18
19
20
fig. 2
Uma variação do modo como pode ser desenvolvido este experimento é
trabalhar com a classe toda em um só grupo, usando cartões numerados.
„„
„„
„„
„„
„„
Versão do experimento utilizando cartões
Material:
Cartões (15 × 20 cm) com faces de cores diferentes, por exemplo, azul
e vermelho, numerados em ambas as faces;
Barbante;
Clipes;
Papel para registro.
Observação: O número de cartões deve ser igual ao número de alunos
da classe e a cada aluno deve ser atribuído um número. Esperamos que
a classe tenha mais que 20 alunos. Em caso contrário, o professor pode
atribuir a cada aluno dois números, a saber, seu número e o outro número
obtido pela soma de seu número com o número de alunos da classe.
O professor deve pedir ao aluno de número 1 que vire todos os cartões para
a outra face, começando do primeiro cartão.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14
15 16
17
18
19
20
fig. 3
„„
O aluno de número 2 deve virar um cartão sim outro não, alternadamente,
a partir do segundo.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14
15 16
17
18
19
20
fig. 4
Morto ou vivo? Guia do professor 6 / 9
„„
Cartões
O aluno de número 3 deve mudar a face dos cartões de 3 em 3, a partir do
terceiro.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
2
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14
15
16
17
18
19
5
fig. 5
„„
6
7
8
10
11
12
13
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14
15 16
17
18
19
20
A
A
V
A
A
A
V
V
A
A
V
A
V
A
A
A
A
A
A
tabela 2
Etapa 2 Interpretando os registros da tabela
fig. 6
„„
A
9
O aluno de número 4 deve mudar a face dos cartões de 4 em 4, a partir do
quarto.
1
A
4
20
Alunos
1
A
Esse procedimento deve continuar até que todos os alunos tenham passado
pelos cartões.
„„
Os alunos devem registrar cada uma das passagens. Por exemplo, usando
cores diferentes, azul e vermelho, as passagens podem ser registradas da
forma mostrada na tabela a seguir, onde V significa cartão com a face
vermelha aparente e A significa cartão com a face azul aparente.
„„
„„
„„
„„
Morto ou vivo? Os alunos devem analisar os dados da tabela e responder às seguintes
questões:
Quais cartões ficaram vermelhos?
O que define se um cartão fica vermelho ou azul?
Qual é a relação entre a quantidade de divisores de um número e a quan­
tidade de vezes que o cartão com esse número muda de face?
Qual cartão mudou de face mais vezes?
Supondo que tivéssemos um número muito grande de cartões, o cartão
de número 1000 terminaria com a face vermelha ou a face azul aparente?
E o cartão de número 390625?
Guia do professor 7 / 9
Bibliografia
Carvalho, Paulo Cezar Pinto. Métodos de Contagem e Probabilidade.
Programa de Iniciação Científica. obmep. 2008.
Hefez, Abramo. Elementos de Aritmética. Textos Universitários. Rio de
Janeiro. sbm. 2006.
Krulik, Stephen, Reys, Robert E. (org). A Resolução de Problemas na
Matemática Escolar. Tradução de Hygino Domingues e Olga Corbo. São
Paulo. Atual Editora. 2001. p. 218-234.
Santos, José Plínio, Mello, Margarida P. e Murari, Idani T. C. Introdução
à Análise Combinatória. Rio de Janeiro. Editora Ciência Moderna Ltda.
2007.
Morto ou vivo? Guia do professor 8 / 9
Ficha técnica
Autoras
Claudina Izepe Rodrigues,
Eliane Quelho Frota Rezende e
Maria Lúcia Bontorim de Queiroz
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Grupo Gestor
de Projetos Educacionais
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
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Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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