Gravitação Dual de Cordas Relativísticas

SCIENTIA PLENA
VOL. 5, NUM. 11
2009
www.scientiaplena.org.br
Gravitação Dual de Cordas Relativísticas
G. M. A. Almeida & W. F. Chagas Filho
Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe, 49100-000, São Cristóvão-SE, Brasil
[email protected]
(Recebido em 01 de setembro de 2009; aceito em 01 de novembro de 2009)
Um dos principais problemas na física teórica moderna é a construção de uma descrição quantizada da
interação gravitacional partindo da relatividade geral. Estudos recentes na física de buracos negros
mostram que este problema pode ser solucionado incorporando na teoria de gravitação a dualidade ondapartícula, o que leva a uma quantização no espaço de fase. Neste trabalho, aplicaremos essa dualidade em
teoria de cordas relativísticas sem tensão, sendo estas uma extensão com mais dimensões do conceito de
partícula. Vamos demonstrar utilizando o método de Dirac de incorporar vínculos Hamiltonianos ao
sistema, que a dualidade onda-partícula relaciona a simetria local da corda relativística e as equações de
movimento na presença de campos tensoriais dependentes da posição com a simetria local e as equações
de movimento na presença de campos tensoriais dependentes do momento, surgindo, então, uma
gravitação dual de cordas relativísticas.
Palavras-chave: cordas relativísticas, dualidade, campos tensoriais.
One of the main problems in modern theoretical physics is the formulation of a quantized description of
gravitational interaction from general relativity. Recent developments in black hole physics show that this
problem may be solved by incorporating the wave-particle duality in the gravitational theory which leads
to a quantization in phase space. In this paper, we will apply this duality in tensionless relativistic strings
theory as being a higher dimensional extension of the particle concept. We will show, by using the Dirac
method of incorporating Hamiltonians constraints to the system, that the wave-particle duality relates the
string´s local symmetry and equations of motion in presence of position dependent tensorial fields with
local symmetry and equations of motion in presence of momentum dependent tensorial fields allowing
the emerging of a dual gravitation of relativistic strings.
Keywords: relativistic strings, duality, tensorial fields.
1. INTRODUÇÃO
De acordo com a teoria de cordas, todas as partículas observadas na natureza correspondem a
diferentes modos vibracionais de um objeto unidimensional, a corda. Esta teoria pode ser usada
como uma alternativa para a descrição da gravidade quântica.
Nosso objetivo é construir uma ação Hamiltoniana para uma corda bosônica relativística
fechada sem tensão e aplicar a dualidade onda-partícula verificando as simetrias locais
existentes e a estabilidade dinâmica da teoria. Cordas com tensão possuem o problema da
dimensão crítica, porém, não há uma demonstração com invariância de gauge que cordas com
tensão nula também tenham este problema. Além do mais, cordas sem tensão definem uma
teoria com invariância global conforme num espaço-tempo com d dimensões.
2. CORDAS RELATIVÍSTICAS SEM TENSÃO
Uma corda bosônica se propagando num espaço de Minkowski pode ser descrita pela ação de
Nambu-Goto
S = −T ∫ dτdσ − g ,
(1)
que nos fornece a área da “folha de universo” deixada pela corda. Temos que x μ = x μ (τ , σ ),
g = det g ab
é
o
determinante
da
métrica
114805-1
induzida
g ab = ∂ a x μ ∂ b xν η μν
com
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2
a, b = 0,1 = τ , σ e T é a tensão da corda. Na transição para o formalismo Hamiltoniano, a ação
(1) nos fornece o momento canônico
p μ = −T − g g 0 a ∂ a x μ
(2)
e uma Hamiltoniana nula, H = 0. Do momento (2) obtemos os vínculos
1
2
φ1 = ( p ² + T ² x ′²) ≈ 0
(3)
φ2 = p μ x′ μ ≈ 0 ,
(4)
e
onde x ′ μ =
∂x μ
∂σ
. Estamos seguindo a convenção de Dirac onde o vínculo só é considerado
zero após os cálculos serem realizados. Por isto escrevemos ≈ que significa uma igualdade
“fraca”. Dizemos então que os vínculos φ1 e φ 2 são “fracamente” nulos. A Hamiltoniana
estendida de Dirac para a corda é dada por
HE =
1
λ1 ( p ² + T ² x ′²) + λ2 p μ x ′ μ ,
2
(5)
onde λ1 e λ 2 são multiplicadores de Lagrange. Podemos então escrever a ação Hamiltoniana
[
S = ∫ dτdσ p μ x& μ − H E
]
1
⎡
⎤
= ∫ dτdσ ⎢ p μ x& μ − λ1 ( p ² + T ² x ′²) − λ 2 p μ x ′ μ ⎥ .
2
⎣
⎦
(6)
Fazendo T = 0 na ação (6) obteremos a ação para a corda sem tensão
1
⎡
⎤
S = ∫ dτdσ ⎢ p μ x& μ − λ1 p ² − λ 2 p μ x ′ μ ⎥ ,
2
⎣
⎦
(7)
⎡1
⎤
H = ∫ dσ ⎢ λ1 p ² + λ 2 p μ x ′ μ ⎥ .
⎣2
⎦
(8)
onde a Hamiltoniana é
As equações de movimento para os multiplicadores de Lagrange λi (i = 1,2) da ação (7)
fornecem os vínculos de primeira classe:
φ1 =
1
p² ≈ 0 ;
2
Introduzindo os parênteses de Poisson
φ2 = p μ x′ μ ≈ 0 .
(9)
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{x μ , xν } = 0 ,
{ p μ , pν } = 0 ,
{x μ , pν } = η μν ,
3
(10)
e requerendo a estabilidade [4] dos vínculos (9)
φ&i = {φi , H } = ∫ dσ ′λ j {φi (σ ), φ j (σ ′)} = 0 ,
(11)
obtemos as relações:
{φ1 (σ ), φ1 (σ ′)} = 0 ,
(12.a)
{φ1 (σ ), φ 2 (σ ′)} = −2φ1 (σ )
∂
δ (σ − σ ′)
∂σ
(12.b)
{φ 2 (σ ), φ 2 (σ ′)} = 2φ 2 (σ ′)
∂
δ (σ − σ ′) .
∂σ
(12.c)
e
As equações (12) mostram que os vínculos (9) são dinamicamente estáveis e geram as
transformações locais com parâmetro arbitrário ε i (τ , σ ) :
δx μ = ε i {x μ , φi }
= (ε1 pμ + ε 2 x′μ )δ (σ − σ ′) ;
(13.a)
δp μ = ε i { p μ , φi }
= ε 2 pμ
∂
δ (σ − σ ′) .
∂σ
(13.b)
De acordo com (13), a ação (7) se transforma como
δS = ∫ dτdσ [(ε 1λ2′ + ε 2 λ1′ − ε 1′λ2 − ε 2′ λ1 )φ1
+ (ε 2 λ 2′ + ε 2′ λ 2 )φ 2 +
d
(ε iφi ) + ε&iφi − φi δλi ] .
dτ
(13.c)
Utilizamos as equações de vinculo (9) podemos escrever
δS ≈ ∫ dτdσ [
d
(ε iφi ) + ε&iφi − φi δλi ] ,
dτ
(13.d)
e se escolhermos δλi = ε&i , a variação (13.d) reduz para
δS ≈ ∫ dτdσ
d
(ε iφi ) .
dτ
(13.e)
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4
Da variação (13.e) vemos que a carga de Noether conservada é a quantidade
1
Q = ∫ dσ ( ε 1 p ² + ε 2 p μ x ′ μ ) .
2
(14)
A Hamiltoniana (8) gera as equações de movimento
x& μ = {x μ , H } = λ1 p μ + λ 2 x ′μ
(15.a)
p& μ = { p μ , H } = λ 2′ p μ + λ 2 p ′μ .
(15.b)
e
Para chegar às equações de movimento (15) nós identificamos um termo de contorno nas
duas extremidades da corda. Conseqüentemente, estamos tratando de cordas fechadas sem
tensão.
3. CAMPOS TENSORIAIS DEPENDENTES DA POSIÇÃO
Agora vamos introduzir um campo tensorial dependente da posição g μν (x) e escrever a
ação para a corda
1
⎡
⎤
S = ∫ dτdσ ⎢ p μ x& μ − λ1 g μν ( x) p μ pν − λ 2 g μν ( x) p μ x ′ν ⎥ ,
2
⎣
⎦
(16)
onde a Hamiltoniana é
⎤
⎡1
H = ∫ dσ ⎢ λ1 g μν ( x) p μ pν + λ 2 g μν ( x) p μ x ′ν ⎥ .
⎣2
⎦
(17)
As equações de movimento para as variáveis λi (i = 1,2) fornecem os vínculos de primeira
classe:
φ1 =
1
g μν ( x) p μ pν ≈ 0 ;
2
φ 2 = g μν ( x) p μ x ′ν ≈ 0 .
(18)
Requerendo a condição de estabilidade dinâmica (11) para os vínculos (18) e utilizando a
Hamiltoniana (17), obtemos as relações
{φ1 (σ ), φ1 (σ ′)} = 0 ,
{φ1 (σ ), φ 2 (σ ′)} = g μν ( x) x ′ μ
− g μν ( x) p μ
(19.a)
∂φ1
δ (σ − σ ′)
∂xν
∂φ 2
δ (σ − σ ′) − 2φ1δ (σ − σ ′)
∂xν
(19.b)
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5
e
{φ 2 (σ ), φ 2 (σ ′)} = 2φ 2δ (σ − σ ′) .
(19.c)
Para satisfazer a condição de estabilidade dinâmica para os vínculos (18) devemos impor as
condições:
g μν ( x) x ′ μ
∂φ1
≈ 0;
∂xν
g μν ( x) p μ
∂φ 2
≈ 0.
∂xν
(20)
Quando as condições (20) são satisfeitas, os vínculos (18) se tornam dinamicamente estáveis.
Os vínculos (18) geram as transformações locais
δx μ (σ ) = ε i {x μ , φi }
= [ε 1 g μν ( x) pν + ε 2 g μν ( x) x ′ν ]δ (σ − σ ′)
(21.a)
e
δp μ (σ ) = ε i { p μ , φi }
1 ∂gαβ ( x) α β
= [− ε 1
p p
2
∂x μ
− ε2
∂gαβ ( x)
∂x
μ
pα x′ β ]δ (σ − σ ′)
+ ε 2 g μα ( x) p α
∂
δ (σ − σ ′) ,
∂α
(21.b)
fazendo a ação (16) variar da seguinte forma:
δS = ∫ dτdσ [2(ε 1λ 2 + ε 2 λ1 ) g μν x ′ μ
∂φ
∂φ1
+ (ε 2 λ1 − ε 1λ 2 ) g μν p μ 2
∂xν
∂xν
+ (ε 1λ 2′ + ε 2 λ1′ − ε 1′λ 2 − ε 2′ λ1 )φ1 + (ε 2 λ2′ + ε 2′ λ 2 )φ 2
+
d
(ε iφi ) + ε&iφi − φiδλi ] .
dτ
(21.c)
Utilizando os vínculos (18) e as condições (20) podemos escrever (21.c) como
δS ≈ ∫ dτdσ [
d
(ε iφi ) + ε&iφi − φi δλi ] ,
dτ
e se escolhermos novamente δλi = ε&i , obtemos
(21.d)
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δS ≈ ∫ dτdσ
d
(ε iφi ) .
dτ
6
(21.e)
Então, encontramos a partir de (21.e), a carga de Noether conservada correspondente às
transformações de simetria local (21) de cordas fechadas sem tensão no campo tensorial
g μν (x) é a quantidade
1
Q = ∫ dσε iφi = ∫ dσ [ ε 1 g μν ( x) p μ pν + ε 2 g μν ( x) p μ x ′ν ] .
2
(22)
A Hamiltoniana (17) nos fornece as equações de movimento
x& μ = {x μ , H } = λ1 g μα ( x) p α + λ 2 g μα ( x) x ′α
(23.a)
e
1 ∂g αβ ( x) α β
p& μ = { p μ , H } = − λ1
p p
2
∂x μ
− λ2
+ λ2
∂g αβ ( x)
∂x
μ
∂g μα ( x)
ν
∂x
p α x ′ β + λ2′ g μα p α
x ′ν p α + λ 2 g μα p ′α .
(23.b)
4. CAMPOS TENSORIAIS DEPENDENTES DO MOMENTO
Introduzindo as transformações de dualidade:
xμ → pμ ;
pμ → − xμ ;
(24.a)
λ1 → λ1 ;
λ 2 → −λ 2 .
(24.b)
Se aplicarmos (24) na ação da corda sem tensão (16) obtemos a ação dual
1
S = ∫ dτdσ {− x μ p& μ − [ λ1 g μν ( p ) x μ xν + λ2 g μν ( p) x μ p ′ν ]} ,
2
(25)
onde a Hamiltoniana é
1
H = ∫ dσ [ λ1 g μν ( p) x μ xν + λ2 g μν ( p ) x μ p ′ν ] .
2
(26)
As equações de movimento para os multiplicadores de Lagrange fornecem os vínculos:
φ1 =
1
g μν ( p) x μ xν ≈ 0 ;
2
φ 2 = g μν ( p) x μ p ′ν ≈ 0 .
(27)
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7
Requerendo a condição de estabilidade dinâmica
φ&i = {φi , H } = ∫ dσ ′λi {φi (σ ), φ j (σ ′)} = 0 ,
(28)
obtemos as relações
{φ1 (σ ), φ1 (σ ′)} = 0 ,
{φ1 (σ ), φ 2 (σ ′)} = − g μν ( p ) p ′ μ
+ g μν ( p ) x μ
(29.a)
∂φ1
δ (σ − σ ′)
∂pν
∂φ 2
∂
δ (σ − σ ′) − 2φ1
δ (σ − σ ′)
∂σ
∂pν
(29.b)
e
{φ 2 (σ ), φ 2 (σ ′)} = −2φ 2
∂
σ
δ (σ − σ ′) .
(29.c)
Para satisfazer a condição de estabilidade dinâmica (28) para os vínculos (27) devemos impor as
condições:
g μν ( p ) p ′ μ
∂φ1
≈0;
∂pν
g μν ( p ) x μ
∂φ 2
≈ 0.
∂pν
(30)
Quando as condições (30) são satisfeitas, os vínculos (27) se tornam dinamicamente estáveis de
primeira classe.
Os vínculos (27) geram as transformações locais
1
2
δx μ = [ ε 1
∂g αβ
∂p
μ
xα x β + ε 2
− ε 2 g μα x α
∂g αβ
∂p
μ
x α p ′ β ]δ (σ − σ ′)
∂
δ (σ − σ ′)
∂σ
(31.a)
e
δp μ (σ ) = −[ε 1 g μα x α + ε 2 g μα p ′α ]δ (σ − σ ′) ,
(31.b)
pelas quais a ação (25) se transforma como
δS = ∫ dτdσ [−2(ε 1λ 2 + ε 2 λ1 ) g μν p ′ μ
∂φ
∂φ1
− (ε 2 λ1 − ε 1λ2 ) g μν x μ 2
∂pν
∂pν
+ (ε 1λ 2′ + ε 2 λ1′ − ε 1′λ 2 − ε 2′ λ1 )φ1 + (ε 2 λ2′ − ε 2′ λ 2 )φ 2
+
d
(ε iφi ) + ε&iφi − φiδλi ] ,
dτ
(31.c)
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8
onde, usando as condições (30) e os vínculos (27) obtemos novamente (21.d) e (21.e) caso
δλi = ε&i . Vemos que a que a carga de Noether conservada correspondente para as cordas
fechadas sem tensão no campo tensorial g μν ( p ) é a quantidade
1
Q = ∫ dσε iφi = ∫ dσ [ ε 1 g μν ( x) x μ xν + ε 2 g μν ( p) x μ p ′ν ] .
2
(32)
A Hamiltoniana (26) gera as equações de movimento
x& μ = {x μ , H } =
+ λ2
− λ2
∂g αβ ( p )
∂p
μ
∂g μα ( p)
ν
∂p
1 ∂g αβ ( p ) α β
λ1
x x
2
∂p μ
x α p ′ β − λ2′ g μα x α
p ′ν x α − λ2 g μα x ′α
(33.a)
e
p& μ = { p μ , H } = −λ1 g μα ( p ) x α − λ 2 g μα ( p ) p ′α .
(33.b)
Notamos que se aplicarmos a transformação de dualidade (24) nas equações de movimento (33)
elas se transformam em (23).
5. CONCLUSÃO
A transformação de dualidade (24) relaciona duas descrições Hamiltonianas duais do
movimento da corda relativística fechada sem tensão na presença de campos tensoriais no
espaço de fase. Utilizando o método Hamiltoniano de Dirac fomos capazes de relacionar as
simetrias locais e as equações de movimento de duas descrições equivalentes. Estabelecemos
assim as condições iniciais para a construção de uma mecânica quântica que incorpora a
dualidade onda-partícula na presença da interação gravitacional.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
BALASUBRAMANIAN, V.; BOER, J.; EL-SHOWK, S.; MESSAMAH, I. Black Holes as
Effective Geometries. Class. Quant. Grav., 25, 214004 (2008).
CHAGAS FILHO, W. F. 2T Physics, Scale Invariance and Topological Vector Fields. International
Journal of Theoretical Physics, 47, 1571 (2008). arXiv:hep-th, 0706.0532 (2007).
CHAGAS FILHO, W. F.; ALMEIDA, G. M. A. Espaço-tempo não comutativo e o quantum de área.
Scientia Plena, 4, 114806 (2008).
DIRAC, P.A.M. Lectures on Quantum Mechanics. New York: Yeshiva University (1964).
GOLDSTEIN, H. Classical Mechanics. 1st Ed. Addison-Wesley Publishing Company (1980).
KAKU, M. Introduction to Superstrings. New York: Springer (1988).