halliday-trabalho-energia

Halliday & Resnick
Fundamentos de Física
Mecânica
Volume 1
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
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Capítulo 7
Energia Cinética e Trabalho
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7-1 Energia Cinética
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7-1 Energia Cinética
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Objetivos do Aprendizado
7.01 Aplicar a relação entre a
energia cinética, a massa e a
velocidade de uma partícula.
7.02 Saber que a energia
cinética é uma grandeza
escalar.
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7-1 Energia Cinética


Para produzir qualquer tipo de movimento, é preciso
energia
Energia:
o
o
o


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É uma grandeza escalar atribuída a um objeto ou a um
sistema de objetos
Pode ser convertida de uma forma para outra
É conservada em um sistema fechado, ou seja, em um
sistema fechado, a quantidade total de energia não varia
Neste capítulo será discutido um tipo de energia, a
energia cinética
Será discutido também um método de transferir
energia, o trabalho
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7-1 Energia Cinética

Energia cinética:
o
o

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Quanto mais depressa um objeto se move, maior a sua
energia cinética
A energia cinética é zero para um objeto em repouso
Para um objeto com uma velocidade v muito menor
que a velocidade da luz,
Eq. (7-1)

A unidade de energia cinética é o joule (J)
Eq. (7-2)
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7-1 Energia Cinética
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Exemplo Energia liberada na colisão de duas
locomotivas de peso conhecido, dadas a distância inicial
e a aceleração a partir do repouso
o
Velocidade final das locomotivas:
o
o
Massa das locomotivas:
o
Energia cinética:
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7-2 Trabalho e Energia Cinética
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7-2 Trabalho e Energia Cinética
Objetivos do Aprendizado
7.03 Conhecer a relação entre
uma força e o trabalho
realizado pela força sobre
uma partícula quando a
partícula sofre um
deslocamento.
7.04 Obter o valor do trabalho
calculando o produto escalar
do vetor força pelo vetor
deslocamento.
7.05 Calcular o trabalho total
realizado por várias forças
sobre uma partícula.
7.06 Usar o teorema do
trabalho e energia cinética
para relacionar o trabalho
realizado por uma força (ou
pela resultante de várias
forças) à variação da energia
cinética de uma partícula.
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7-2 Trabalho e Energia Cinética


Variações de energia cinética são explicadas dizendo que uma
força transferiu energia do objeto ou para o objeto
Em uma transferência de energia por meio de uma força, o
trabalho é
o

realizado por uma força sobre um objeto
Esse não é o sentido popular da palavra “trabalho”
o
Para realizar trabalho, é preciso transferir energia
o
Chutando uma bola, realizamos trabalho
o
Empurrando uma parede sem deslocá-la, não realizamos trabalho
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7-2 Trabalho e Energia Cinética

Partimos das equações da força e da velocidade:
Eq. (7-3)

Eq. (7-4)
Combinando as duas equações, obtemos
Eq. (7-5)

Como o lado esquerdo é a variação de energia, o
trabalho é
Eq. (7-6)
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7-2 Trabalho e Energia Cinética

Se a força e o deslocamento fazem um ângulo φ,
Eq. (7-7)

A mesma equação pode ser escrita como um produto
escalar:
Eq. (7-8)

Nessas equações,
o
a força é constante
o
o objeto se comporta como uma partícula
o
o trabalho pode ser positivo ou negativo
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7-2 Trabalho e Energia Cinética
Figura 7-2


A unidade de trabalho do SI é o joule (J), a mesma da
energia
No sistema inglês, a unidade é o pé-libra (ftlb)
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7-2 Trabalho e Energia Cinética


No caso de duas ou mais forças, o trabalho total é a
soma dos trabalhos realizados por todas as forças
O trabalho total pode ser calculado de duas formas:


Podemos calcular os trabalhos realizados individualmente
pelas forças e somar os resultados
Podemos determinar a força resultante e calcular o trabalho
realizado por essa força
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7-2 Trabalho e Energia Cinética

De acordo com o teorema do trabalho e energia
cinética,
Eq. (7-10)
(variação de energia cinética) = (trabalho total)

e também
Eq. (7-11)
(EC final) = (EC inicial) + (trabalho total)
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7-2 Trabalho e Energia Cinética

O teorema do trabalho e energia cinética é válido para
trabalhos positivos e para trabalhos negativos
Exemplo Se a energia cinética de uma partícula for 5 J
o
e a partícula receber uma energia de 2 J (trabalho positivo)
• a energia cinética final será 7 J
o
e a partícula fornecer uma energia de 2 J (trabalho negativo)
• a energia cinética final será 3 J
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7-2 Trabalho e Energia Cinética
Respostas: (a) diminui
(b) permanece a mesma
(c) é positivo (d) é nulo
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
Objetivos do Aprendizado
7.07 Calcular o trabalho
realizado pelo campo
gravitacional quando um
objeto é levantado ou
abaixado.
7.08 Aplicar o teorema do
trabalho e energia cinética a
situações nas quais um
objeto é levantado ou
abaixado.
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
o
Calculamos o trabalho como para qualquer outra força

A equação a ser usada é
Eq. (7-12)

Se o objeto está subindo,
Eq. (7-13)

Se o objeto está descendo,
Eq. (7-14)
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional

Trabalho para levantar e baixar um objeto, aplicando
uma força para cima:
Eq. (7-15)

No caso de um objeto que permanece em repouso:
o
A energia cinética é zero
o
Temos:
Eq. (7-16)

Assim, o trabalho para levantar e baixar um objeto é
Eq. (7-17)

O trabalho não depende da trajetória
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional



A Fig. 7-7 mostra o sentido das forças
e o trabalho correspondente em
deslocamentos para cima e para baixo
na presença de um campo
gravitacional
Note que os trabalhos da força
aplicada e da força gravitacional são
iguais apenas se a energia cinética
final é igual à energia cinética inicial
Se as energias cinéticas inicial e final
são diferentes, não basta conhecer o
deslocamento para calcular o trabalho
total; é preciso conhecer também a
diferença entre a energia cinética
inicial e a energia cinética final
Figura 7-7
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
Exemplos
o
Você está sendo puxado para cima em um trenó
• A força de tração da corda realiza um trabalho positivo e a força da
gravidade realiza um trabalho negativo
Figura 7-8
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
Exemplos
o
Você está descendo de elevador
• A força de tração da corda
realiza um trabalho negativo
e a força da gravidade
realiza um trabalho positivo
Figura 7-9
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7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica
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7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica
Objetivos do Aprendizado
7.09 Aplicar a relação (lei de
Hooke) entre a força que
uma mola exerce sobre um
objeto, o alongamento ou
encurtamento da mola e a
constante elástica.
7.12 Calcular o trabalho
realizado por uma força
elástica determinando a área
sob a curva de um gráfico da
força elástica em função da
posição do objeto.
7.10 Saber que a força elástica
é uma força variável.
7.13 Aplicar o teorema do
trabalho e energia cinética a
situações nas quais o
movimento do objeto é
causado por uma força
elástica.
7.11 Calcular o trabalho
realizado por uma força
elástica integrando a força
da posição inicial até a
posição final do objeto.
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7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica



Força elástica é a força variável exercida por uma mola
o
A força elástica tem uma expressão matemática característica
o
Muitas forças da natureza podem ser descritas pela mesma expressão
A figura (a) mostra a mola no
estado relaxado: como a mola
não está comprimida nem
alongada, não exerce nenhuma
força
Quando tentamos comprimir ou
alongar uma mola, ela resiste à
tentativa e exerce uma força
restauradora que tenta fazer a
mola voltar ao estado relaxado
Figura 7-10
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7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica

A força elástica é dada pela lei de Hooke:
Eq. (7-20)




O sinal negativo mostra que a força se opõe ao
deslocamento
A constante elástica k é uma medida da rigidez da
mola
A força elástica é uma força variável, já que é
proporcional à deformação da mola em relação ao
estado relaxado
No caso de uma mola que coincide com o eixo x,
temos:
Eq. (7-21)
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7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica

Podemos determinar o trabalho por integração:
Eq. (7-23)

Substituindo Fx por kx, obtemos:
Eq. (7-25)

O trabalho
o
o
pode ser positivo ou negativo
depende da transferência total de energia
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7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica

No caso em que a posição inicial é x = 0:
Eq. (7-26)

No caso em que a energia cinética inicial e a energia
cinética final são nulas:
Eq. (7-28)
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7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica
Respostas: (a) positivo
(b) negativo
(c) nulo
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7-5 Trabalho Realizado por uma Força Variável
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7-5 Trabalho Realizado por uma Força Variável
Objetivos do Aprendizado
7.14 Dada uma força variável
em função da posição,
calcular o trabalho realizado
pela força integrando a
função da posição inicial até
a posição final do objeto.
7.15 Dada uma curva da força
aplicada em função da
posição, calcular o trabalho
realizado pela força
calculando a área sob a
curva entre a posição inicial
e a posição final do objeto.
7.16 Converter um gráfico da
aceleração em função da
posição em um gráfico da
força em função da posição.
7.17 Aplicar o teorema do
trabalho e energia cinética a
situações nas quais o objeto
é submetido a uma força
variável.
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7-5 Trabalho Realizado por uma Força Variável



Vamos trabalhar com um
exemplo unidimensional
Estamos interessados em
integrar o trabalho (que
normalmente não varia
com a posição) no caso de
uma força variável
Podemos iniciar o processo
aproximando a área sob a
curva por uma série de
retângulos
Figura 7-12
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7-5 Trabalho Realizado por uma Força Variável

O limite da soma das áreas para x  0 é
Eq. (7-31)

ou, em forma de integral,
Eq. (7-32)

Em três dimensões, podemos escrever, usando o princípio
da superposição:
Eq. (7-36)

O teorema do trabalho e energia cinética continua válido!
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7-6 Potência
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7-6 Potência
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Objetivos do Aprendizado
7.18 Conhecer a relação entre
a potência média
desenvolvida por uma força,
o trabalho realizado pela
força e o intervalo de tempo
durante o qual o trabalho foi
realizado.
7.19 Calcular a potência
instantânea desenvolvida por
uma força a partir da
variação, com o tempo, do
trabalho desenvolvido pela
força.
7.20 Determinar a potência
instantânea calculando o
produto vetorial da força pela
velocidade de um objeto.
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7-6 Potência


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Potência é a taxa de variação, com o tempo, do trabalho desenvolvido por
uma força
Se uma força realiza um trabalho W em um intervalo de tempo Δt, a
potência média desenvolvida pela força é
Eq. (7-42)

A potência instantânea é dada por
Eq. (7-43)


A unidade de potência do SI é o watt (W): 1 W = 1 J/s
Isso significa que o trabalho e a energia podem ser calculados multiplicando
a potência por um intervalo de tempo. Uma unidade de potência muito
usada na prática, por exemplo, é o quilowatt-hora (kWh).
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7-6 Potência

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A potência instantânea pode ser calculada a partir da definição
de trabalho:
Eq. (7-47)

ou
Eq. (7-48)
Resposta: nula (P = Fv cos ɸ, e ɸ = 90°)
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7
Resumo
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Resumo
Energia Cinética
Trabalho
É a energia associada ao
movimento

Energia transferida de um
objeto ou para um objeto por
uma força

Pode ser positivo ou negativo
Eq. (7-1)
Trabalho Realizado por
uma Força Constante
Eq. (7-7)
Eq. (7-8)

O trabalho total é a soma
dos trabalhos individuais
Trabalho e Energia
Cinética
Eq. (7-10)
Eq. (7-11)
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Resumo
Trabalho Realizado pela
Força Gravitacional
Trabalho Realizado para
Levantar ou Baixar um
Objeto
Eq. (7-12)
Eq. (7-16)
Força Elástica
Força Elástica

No estado relaxado, a força é
nula

A constante elástica k é uma
medida da rigidez da mola
Eq. (7-20)

Para uma posição inicial x = 0,
Eq. (7-26)
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Resumo
Trabalho Realizado por
uma Força Variável

É calculado integrando a
equação do trabalho
Potência

Taxa com a qual uma força
realiza trabalho

Potência média:
Eq. (7-42)
Eq. (7-32)

Potência instantânea:
Eq. (7-43)

Para uma força agindo em
um objeto em movimento:
Eq. (7-47)
Eq. (7-48)