ENG 008_6 - departamento de engenharia química

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
ENG 008 – Fenômenos de Transporte I A – Profª Fátima Lopes
________________________________________________________________________________________________
Tensão em um ponto
A descrição do campo de tensões é desenvolvida a partir da análise da tensão em
um ponto.
Considerando um elemento de área
como indicado a seguir.
δA , no ponto C, sobre o qual atua a força δF
A tensão em um ponto é definida por:
Tensão = lim
δ A →0
δF
δA
(1)
δA
y
δF
c
x
z
A grandeza dé δA é a área do elemento e a direção é normal à superfície.
Para definir a tensão é necessário avaliar a razão de dois vetores
O vetor
δF e δA .
δA pode ser escrito:
δA = δA x i + δA y j + δA z k
y
O elemento de área
o elemento ABC.
B
0
δA é
A
x
C
z
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y
δA y
δA
δA x
x
δA z
z
δA x = componente x de δA e é a projeção de δA sobre o eixo x. Em grandeza é a
projeção de ABC sobre o plano yz (área OBC), isto é o plano perpendicular ao
eixo x.
Similarmente acha-se
O vetor
δA y e δA z .
δF por sua vez pode ser representado nas suas componentes.
δF = δFx i + δFy j + δFz k
Para definir a tensão em um ponto, podemos considerar as componentes
e
δFz
da força
δF no ponto C atuando sobre as componentes δA x , δA y
δFx , δFy
e δAz da área
A no ponto C.
Então para definir o campo tensorial, a equação (1) é substituída por uma série de
nove equações.
Notação:
τij : a tensão atua sobre um plano i na direção j.
τij = lim
δ Ai → 0
ou
τxy = lim
δ Ax → 0
δ Fj
δ Ai
δ Fy
δ Ax
Especificando as nove componentes do campo de tensões:
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σ xx

τ yx
τ
 zx
onde:
τ xy
τ xz 

τ yz 
σ zz 
σ yy
τzy
σ = tensão normal
τ = tensão cisalhante
σ yy
y
τ yz
∆y
τ yx
τ zy τ zx
σ zz
τ xy
τ xz
∆z
σ xx
x
∆x
z
Revisão: Diádicas e Tensores
Para os vetores a e b
a = BT [a]
b = [b]T B
e
a b = BT [a] [b]T B
a 1 
a b = BT  
a2
 
a 3 
[b1 b 2 b 3 ] B
 a 1 b1
ab=B 
a b
 2 1
a 3 b1
T
a1 b 2
a 2 b2
a3 b2
a1 b 3 
a 2 b3  B

a 3 b3 
a b = BT [a b] B
Os termos da matriz [a b] denominam-se as “componentes” da diádica e a matriz
se chama “matriz das componentes”.
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ab=
ab=
ab
[e1 e 2 e3 ]
[e1 e 2 e3 ]
= a1 b1 e1 e1
a 1 b1
a b
 2 1
a 3 b1
a1 b3 
a 2 b3 
a 3 b 3 
a1 b 2
a2 b2
a 3 b2
a 1 b1 e1
a b e
 2 1 1
a 3 b1 e1
a1 b2 e2
a 2 b2 e2
a3 b2 e2
+ a 1 b 2 e1 e 2
e1 
e 
 2
e 3 
a 1 b3 e3 
a 2 b 3 e 3 
a 3 b 3 e3 
+ a 1 b 3 e1 e 3
+
a 2 b1 e 2 e1
+ a 2 b2 e2 e2
+ a 2 b3 e 2 e 3
a 3 b1 e 3 e1
+
+ a 3 b3 e 3 e 3
a3 b 2 e3 e2
+
Esta é a chamada forma nonionica da diádica a b.
Em termos de notação tensorial cartesiana, podemos escrever:
a b = a i b j ei e j
Em geral representamos por
D
D = Dij e i e j
D = B
T
onde
[D] B
[D] é a matriz dos componentes Dij
notação matricial
Desenvolvendo, temos:
D = [e1 e2 e3 ]
D = [e1 e2 e3 ]
Definindo:
D1 = [D11 e1
D 2 = [D 21 e1
D3 = [D31 e1
D12 e 2
D 22 e 2
D32 e 2
 D11
D
 21
 D31
 D11 e1
D e
 21 1
 D31 e1
D12
D 22
D32
D13  e1 
D 23  e 2 
  
D33  e 3 
D12 e 2
D 22 e 2
D32 e 2
D13 e 3 
D 23 e 3 

D33 e3 
D13 e3 ]
D 23 e 3 ]
D33 e3 ]
Podemos escrever:
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D = [e1 e 2 e3 ]
D = [e1 D1 +
 D1 
D 
 2
 D3 
e2 D 2 + e3 D 3 ]
e, finalmente, na forma nonionica:
D = D11 e1 e1
+ D12 e1 e 2
+ D13 e1 e3
+
D 21 e 2 e1
+ D 22 e 2 e 2
+ D 23 e 2 e3 +
D31 e3 e1
+ D32 e3 e2
+ D33 e3 e 3
Forças de campo e forças de superfície:
As forças de campo são todas as forças externas que atuam sobre um dado corpo
sem contato físico. Por exemplo, a força devido a ação da gravidade.
As forças de campo também chamadas forças de corpo são usualmente expressas
por unidade de massa do corpo em que atua.
As forças de superfície, por outro lado, incluem as forças que são aplicadas sobre o
contorno de um corpo por suas vizinhanças, através de contato direto.
Exemplo: força de pressão e tensão de cisalhamento.
Para estudar as forças de superfície, seja um elemento de área δA da superfície
de um corpo no qua l está atuando uma força de superfície δF como indicado na figura
que se segue:
δF
δF
δF n
δA
δF s
δA
(a)
(b)
Forças de superfície: tangenciais e normais
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A força δF pode ser decomposta em uma componente normal ao elemento de
superfície considerado, δF n e outra tangencial a este mesmo elemento de superfície,
δ Fs .
A tensão normal
pelos seguintes limites:
σnn e a tensão de cisalhamento num ponto são agora definidas
σ nn = lim
δA → 0
τss = lim
δA→0
δ Fn d Fn
=
δA dA
δ Fs d Fs
=
δA dA
Então, σ nn e τss são na verdade componentes de força por unidade de área, em
um dado ponto do corpo.
Uma notação conveniente para as tensões será agora apresentada e discutida com
o auxílio da figura que se segue, onde é mostrado um elemento de fluido na forma de um
paralelepípedo retangular.
σ zz
z
τ zy
τ zx
σ yy
τ yx
τ yz
τ xy τ
xz
τ xz
τ xy
σ xx
τ zy
x
σ xx
τ yz
τ yx
τ zx
σ yy
y
σ zz
Tensões normais e de cisalhamento
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O índice duplo tem sido utilizado para identificar as tensões.
Genericamente tem-se
τ ij . O primeiro índice indica a direção normal ao plano em
que a tensão atua. O segundo índice indica a direção própria de tensão.
Assim,
τ yx
indica uma componente do tensor tensão de cisalhamento, que atua
num plano perpendicular ao eixo y (plano xz) na direção x.
A tensão normal σ nn tem índice repetido pois a direção da normal ao plano sobre
o qual a tensão atua e a própria direção da tensão são colineares, ou seja, a direção é a
mesma.
Por que definir o conceito de tensão?
Sabe-se intuitivamente que forças aplicadas na superfície de um meio são
transmitidas de alguma maneira através desse meio. O problema é de que maneira essas
forças são transmitidas.
Usando o conceito de tensão esta ação pode ser perfeitamente entendida.
Deste modo, se a distribuição de tensão em um meio é conhecida, pode-se
perfeitamente descrever a maneira pela qual a força é transmitida através do meio.
Tensão em um ponto – pressão:
Foi investigado até agora a relação entre a tensão em qualquer interface de um
ponto com a tensão em um conjunto de interfaces ortogonais do ponto (figura anterior).
Usando a lei de Newton e tomando o limite para o elemento de fluido tendendo a
zero, pode-se chegar a relação que deve existir para a tensão em um ponto.
Será considerado inicialmente o caso mais simples de fluidos estacionários ou em
movimento uniforme.
Uma vez que fluidos se movam sob a ação de tensões de cisalhamento, um fluido
estacionário deve estar completamente livre deste tipo de tensão.
No caso de movimento uniforme, como a velocidade é constante, a sua variação
em qualquer direção d V d n é nula, ou seja, a taxa de deformação é nula e
evidentemente a tensão de cisalhamento também será nula.
(
(Ver caracterização de fluido:
)
τ = µ D)
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y
σ nn
α
α
ds
σ xx
dy
x
σ zz
z
dz
dx
σ yy
γ (dx dy dz)/2
Considere o volume infinitesimal de fluido representado na figura acima, supondo
que a única força de campo que atua é a força devido ao campo gravitacional.
O elemento de fluido está estático ou em movimento uniforme.
Efetuando-se o balanço de força tem-se:
Na direção x
− σ xx dy dz + σ nn dz ds cos α = 0
Como cos α = dy , vem:
ds
σ xx = σ nn
Na direção y
− σ yy dx dz + σ nn dz ds sen α − ρ g
dx dy dz
=0
2
Como sen α = dx , dividindo por dx dz, vem:
ds
− σ yy + σ nn − ρ g
No limite, q uando dy → 0, tem-se
dy
=0
2
σ yy = σ nn
Então
σnn = σ xx = σ yy
Assim, podemos concluir que em um fluido estacionário ou movendo-se com
velocidade uniforme, a tensão em um ponto é independente da direção, isto é, é uma
grandeza escalar.
Esta grandeza é equivalente ao negativo da pressão termodinâmica.
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O mesmo resultado é obtido se considerarmos um elemento de fluido com
viscosidade nula, em escoamento.
No caso de fluido viscoso em escoamento os efeitos viscosos são levados em
consideração por causa das tensões de cisalhamento.
Assim, quando os efeitos viscosos são significativos, a tensão deixa de ser um
escalar como nos dois primeiros casos e passa a ser uma grandeza tensorial.
Os nove componentes escalares do tensor tensão são geralmente indicados numa
matriz onde o primeiro subscrito corresponde a uma dada linha e o segundo subscrito a
uma dada coluna.
σ xx
τ xy
τ xz
τij = τ yx
σ yy
τ yz
τ zx
τzy
σ zz
Propriedade importante do tensor tensão
a) É um tensor simétrico, ou seja:
τxy = τyx
τyz = τzy
τ zx = τ xz
Deste modo, o tensor tensão em um ponto apresenta somente três componentes
independentes.
b) A tensão normal média, freqüentemente chamada de “bulk stress” é dada por:
σ=
1
(σxx + σyy + σzz )
3
A magnitude da tensão normal média é igual à pressão termodinâmica.
Como somente tensões normais negativas são possíveis em um fluido a afirmação
acima é representada matematicamente por:
−σ=p
Propriedades do transporte molecular dos fluidos
As propriedades de transporte molecular dos fluidos são aquelas relacionadas com
os fenômenos de transferência de calor, massa e quantidade de movimento, por meio de
mecanismos de ação molecular.
As taxas de transferência de quantidade de movimento, calor e massa podem ser
expressas por equações análogas pois, em geral, a taxa de transporte de uma quantidade
conservativa (como é o caso da quantidade de movimento, da energia e da massa) é
proporcional ao gradiente da grandeza que provoca esta transferência.
A constante de proporcionalidade é uma propriedade física da substância em
questão, também chamada de propriedade de transporte.
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As equações de transferência de quantidade de movimento, calor e massa são:
a) Transferência de quantidade de movimento:
d vx
(1)
τ =−µ
yx
dy
onde
τyx =
F = tensão de cisalhamento (força/unidade de área)
A
µ = viscosidade dinâmica do fluido
d v x d y = gradiente da componente x da velocidade na direção y.
A equação (1) é conhecida como a Lei da Viscosidade de Newton e pode ser
entendida como:
fluxo de quantidade de movimento =
quantidade de movimento transportada
(unidade de área ) (unidade de tempo )
= (vis cos idade) (gradiente da velocidade )
A viscosidade de um fluido dá uma medida da resistência desse fluido ao
movimento relativo de suas partículas constituintes.
b) Transferência de calor:
qy = − k
dT
dy
(q = − k ∇ T )
(2)
onde
qy =
Q - fluxo de calor na direção y
A
Q – calor total transportado por unidade de tempo
A – área através da qual Q é transportado
k – condutividade térmica do material.
dT/dy – gradiente de temperatura na direção y
A equação (2) é conhecida como “Lei de Fourrier” e pode ser entendida como:
fluxo de calor =
calor transportado
(unidade de área ) (unidade de tempo)
= (condutivid ade térmica ) (gradiente de temperatur a )
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A condutividade térmica k é uma medida da resistência que uma substância
oferece à transferência de calor.
c) Transporte de massa:
J Ay = − D AB
d CA
dy
(3)
onde
J Ay =
N A - fluxo molar do componente A na direção y
A
NA – número de moles de A transportado por difusão
A – área através da qual A se difunde
DAB – coeficiente de difusão mássica do componente A no componente B
dCA /dy – gradiente da concentração molar do componente A na direção y
A equação (3) é conhecida como a “Primeira Lei de Fick” e pode ser entendida
como:
fluxo molar de A =
número de noles de A transportado
(unidade de área ) (unidade de tempo)
= (coeficient e de difusão ) (gradiente de concentração )
O coeficiente de difusão em um sistema de 2 componentes (A,B) é a medida da
resistência à difusão molecular de um dos componentes (A) no outro (B).
Analisando-se as equações (1), (2) e (3) pode-se verificar a analogia existente
entre os 3 processos de transporte, isto é, transporte de calor, massa e quantidade de
movimento.
Deve-se salientar que o fluxo de calor
q
vetoriais, enquanto que a tensão de cisalhamento
e o fluxo de massa
J
são grandezas
τ é uma grandeza tensorial.
Deste modo, a analogia que é perfeita entre calor e massa, só pode ser aplicada ao
transporte de quantidade de movimento se este último for considerado em uma única
direção.
As equações (1), (2) e (3) podem então ser representadas por uma única equação
desde que se tenha em mente a restrição acima:
P =
c∇G
onde, P é o fluxo de uma certa quantidade, provocado pelo gradiente da grandeza G e c
é a constante de proporcionalidade que é uma propriedade característica do material
onde ocorre o processo de transporte em questão.
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Observação:
Transferência de quantidade de movimento:
τ yx
= −µ
d vx
dy
(1)
Na dedução da lei de Newton da viscosidade:
τ yx
= µ
d vx
dy
(2)
Deve-se salientar que a diferença de sinal entre as equações (1) e (2) deve-se ao
fato de que a primeira (1) representa a tensão de cisalhamento no fluido e a segunda
representa a tensão de cisalhamento na placa plana.
Assim sendo, quando se deseja estudar os efeitos da tensão no fluido o sinal
negativo da equação (1) deve ser levado em consideração.
Condutividade térmica
A condutividade térmica é a capacidade de uma substância transferir calor por
condução molecular.
A equação diferencial para condução molecular de calor unidimensional em uma
substância já foi apresentada anteriormente.
qy = − k
dT
dy
O sinal negativo é devido ao fato do calor ser conduzido da região de altas
temperaturas para baixas temperaturas ou seja, na direção contrária ao gradiente de
temperatura.
Para que a equação anterior seja dimensionalmente consistente, as dimensões da
condutividade térmica (k) devem ser:
k
Como
qy
[= ]
[=]
qy
dT d y
(M L T ) L
−2
L2 T
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dy
[= ]
M L2 T − 2
L2 T
θ
L
dT
k
[= ]
θ
L
[= ]
M T −3
θ L− 1
[= ]
M L T −3 θ−1
A condutividade térmica (k) é uma propriedade de transporte que também depende
da temperatura, sendo em geral independente da pressão, para pressões reduzidas
abaixo de 0,2.
Difusividade (ou coeficiente de difusão)
A difusividade em um sistema de dois componentes é a medida da transferência de
massa de qualquer dos componentes sob a influência de uma diferença de concentração.
A difusão se dá na direção decrescente da concentração. Este fato explica o sinal
negativo da equação diferencial que se segue. Esta equação é válida para transferência
de massa por difusão em uma direção.
J Ay = − D AB
d CA
dy
A difusividade DAB é dependente dos dois componentes que compõem o sistema e,
também é função da pressão e da temperatura.
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