ENG 008_7 - departamento de engenharia química

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
ENG 008 – Fenômenos de Transporte I A – Profª Fátima Lopes
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Fluido Newtoniano – Viscosidade dos fluidos:
Definimos fluido como uma substância que se deforma continuamente sob a ação
de um esforço cisalhante. Na ausência deste esforço, ele não se deformará.
Os fluidos podem ser classificados de acordo com a relação entre a tensão
cisalhante e a taxa de deformação do fluido.
Ø Newtonianos: são fluidos nos quais a tensão cisalhante é diretamente proporcional
à taxa de deformação. Os fluidos mais comuns tais como água, ar e gasolina são
fluidos Newtonianos.
Ø Não-Newtonianos: são fluidos nos quais a tensão cisalhante não é diretamente
proporcional à taxa de deformação.
Exemplos:
sangue,
alguns tipos de óleos lubrificantes,
certas suspensões,
tenso-ativos,
pastas e polímeros de elevado peso molecular.
Considerando o comportamento de um elemento de fluido entre duas placas
infinitas, como indicado na figura que se segue, do mesmo modo que antes, vamos supor
que entre a placa móvel e a fixa existe um fluido.
Repetindo a experiência anterior, observaríamos:
a) A camada que está em contato com a placa fixa não se moveria enquanto que a
que toca a placa móvel se deslocaria com ela;
b) Seja qual for a força F , a placa móvel se acelera até alcançar uma velocidade
limite U ;
c) Cada camada recebe uma quantidade de movimento que é comunicada à camada
inferior.
Assim, uma substância como a água e o ar deforma-se continuamente por aplicação
de um esforço cisalhante, enquanto que um sólido de Hooke (o elástico) sofre uma
deformação finita.
A
∆l
B
A’
B’
F
U
h
y
∆α
x
D
C
l
Fig. 2.1 - Fluido
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A velocidade limite U que alcança a placa móvel é diretamente proporcional à
distância h entre as placas e à força aplicada F , porém inversamente proporcional à
área A da placa.
Fh
A
U ∝
U
h
Então:
∝
F
=τ
A
(1)
Supondo:
Ø t0 → fluido parado
Ø t0 + ∆t → fluido com a configuração da figura 2.1
Então, ∆l entre A e A ′ :
∆l = U ∆t
(2)
(2) – deduzida a partir da definição de velocidade
(v = d/t ∴ d = v t)
Para valores muito pequenos do ângulo ∆α :
∆l
∆l =
h 1 sen ∆α
∆α pequeno
h
h1
∆α
h1 ≅ h
sen ∆α ≅ ∆α
∆l =
h ∆α
Então
∆l =
h ∆α = U ∆t
De onde:
U=h
∆α
∆t
(3)
(4)
De (1) e (4) resulta:
U ∆α
=
∝τ
h
∆t
(5)
Fazendo ∆t → 0 e introduzindo uma constante de proporcionalidade:
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τ=µ
∂α
∂t
ou como para um fluido α é função apenas do tempo:
τ=µ
dα
dt
(6)
A equação (6) estabelece que a velocidade de deformação angular é proporcional
ao esforço tangencial.
Qualquer substância que satisfaz à equação (6) denomina-se Fluido Newtoniano,
em honra de Sir Isaac Newton (1642-1727), que foi o primeiro a formular a lei de fricção
dos fluidos.
A constante de proporcionalidade é chamada de COEFICIENTE
VISCOSIDADE ABSOLUTA ou VISCOSIDADE DINÂMICA e é designada por µ.
DE
A equação (6) será exposta de outra forma a qual será usada nas formulações que
aparecerão durante o curso.
Se na figura 2.1 a velocidade das partículas compreendidas entre os pontos A e C
e B e D varia linearmente, temos que:
U
v
v U
=
y h
(7)
h
y
Regime estabelecido: U e h são constantes
U
y
h
U
∂v = ∂ y
h
∂v U
=
∂y h
v=
De (5):
U ∆α
=
∝τ
h
∆t
∂v
τ=µ
∂y
(8)
(5)
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Como v = v(y)
τ= µ
dv
dy
τ yx = − µ
(9)
d vx
dy
com
vx = vx (y)
τ yx
= tensão atuando sobre o plano y (xz) na direção x
Vetorialmente:
τ = −µ∇v
Então µ é uma constante de proporcionalidade que vai dizer sobre a resistência do
fluido ao escoamento.
Para
τ constante
Dimensões de µ:
M L T−2
µ [=]
−1
2 LT
L
L
⇒ quanto maior
∇ v , menor a µ
Ø força por unidade de área e por unidade de gradiente de
velocidade
µ [=] M L−1 T −1 [=] F L− 2 T
Unidades de µ:
Sistema Métrico:
CGS
g/cm s = dina s/cm2 = 1 poise = 100 cp
SI (MKS)
kg/m s = N s/m2
Sistema Inglês:
FPS
Engenharia
(British Engineering
System) gravitacional
lbm/ft s = pdl s/ft2
slug/ft s = lbf s/ft2
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Viscosidade cinemática ν :
Além do coeficiente de viscosidade absoluta é muito utilizado na prática o
coeficiente de viscosidade cinemática.
ν=
sendo
Ø
Ø
ρ
γ
µ µg
=
ρ
γ
= massa específica
= peso específico (γ
= ρ g)
Dimensões de ν :
µ
M L−1 T − 1
[= ] L2 T−1
ν = [=]
−3
ρ
ML
Unidades de ν :
Sistema Métrico:
CGS
cm2/s = stokes = 100 centistokes
SI (MKS)
m2/s = 10.000 stokes = 106 centistokes
Sistema Inglês:
ft2/s
FPS
Engenharia
(British Engineering
System) gravitacional
ft2/s
Referências: CRANE
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Viscosidade de vapor - A-2
Viscosidade da água – A-2, A-3
Viscosidade de produtos petrolíferos líquidos – A-3
Viscosidade de vários líquidos – A-4
Viscosidade de gases e hidrocarbonetos (vapor) – A-5
Viscosidade de vapores refrigerantes – A-5
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Problema:
Se o espaço entre duas placas planas paralelas é lubrificado com água a 50oC,
calcular a força necessária para manter a placa superior com uma velocidade U = 3 m/s,
supondo a placa inferior parada. Sabe-se que as placas apresentam uma área de 0,93 m2
e que a distância entre elas é de 0,064 cm. Supor o perfil de velocidades linear.
F
d = 0,064 cm
y
x
U = 3 m/s
µ = 0,59 cp (à 50 oC)
Ref: Perry, John H., "Chemical Engineers' Handbook", Fourth Edition, Páginas 3199 e 3-200.
-3
-3
2
µH 2O = 0,59 cp = 5,9 x 10 poise = 5,9 x 10 dina s/cm
dv
τ=µ
dy
F
dv
τ= =µ
A
dy
F= Aµ
dv
dy
Como o perfil é linear: v = A y + B
C.C. 1: para y = 0 → v = 0
C.C. 2: para y = d → v = U
Substituindo na equação da reta a condição de contorno 1:
B=0
Substituindo a condição de contorno 2:
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∴
U=Ad
Então,
v=
A = U/d
U
y
d
dv U
=
dy d
∴
Substituindo,
F=Aµ
d v , onde:
dy
A = 0,93 m2 = 9300 cm2 = 9,3 x 103 cm2
µ = 5,9 x 10-3 dina s/cm2
U = 3 x 102 cm/s
d = 6,4 x 10-2 cm
F = 9,3 × 10 cm × 5,9 × 10
3
2
−3
dina s 3 × 102 cm s
×
cm2
6,4 × 10− 2 cm
F = 2,57 × 105 dina
Observação:
Variação da viscosidade dos fluidos com a temperatura:
A viscosidade de um gás aumenta com a temperatura:
GÁS
T↑
µ↑
A viscosidade nos líquidos diminui com a temperatura:
LÍQUIDO
T↑
µ↓
A resistência de um fluido ao cisalhamento depende da coesão e da
velocidade de transferência da quantidade de movimento.
LÍQUIDOS: forças de coesão muito maiores que nos gases.
A coesão parece ser a causa predominante da viscosidade em um líquido e
como a coesão diminui com a temperatura, a viscosidade segue o mesmo
comportamento.
GÁS: forças de coesão muito pequenas.
Sua resistência ao cisalhamento é principalmente o resultado da
transferência da quantidade de movimento.
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Equação de estado:
Como já foi dito anteriormente, o escopo da Mecânica dos Fluidos consiste em
aplicar as leis gerais da Mecânica para substâncias fluidas.
Acontece que, freqüentemente, os sistemas fluidos estão sujeitos a mudanças
termodinâmicas, como por exemplo, quando energia sob a forma de calor ou trabalho é
intercambiada entre o sistema e suas vizinhanças.
Estas mudanças termodinâmicas
conseqüentemente seu movimento.
alteram
o
estado
da
substância
e
A equação básica que descreve a relação entre as propriedades termodinâmicas
em todos os estados do sistema é chamada de “equação de estado”.
Dependendo da substância esta equação pode ser simples ou complicada.
Felizmente, para a maioria das substâncias que apresentam interesse na engenharia, a
equação de estado toma uma forma matemática muito simples, para as substâncias puras
ou homogêneas.
ρ = f (p, T )
(1)
onde:
ρ = massa específica
p = pressão
T = temperatura absoluta
Um exemplo bastante conhecido é a equação dos gases perfeitos:
pV=nRT
(2)
onde, n é o número de moles da substância e R a constante universal dos gases.
Para n = 1 → V = υ que é definido como sendo o volume específico que nada
mais é do que o inverso da massa específica.
Tem-se então:
ρ = p/R T
(3)
Compressibilidade e expansão térmica:
Como foi visto no item anterior, a massa específica é o recíproco do volume
específico para um sistema contendo um mol de uma dada substância.
Deste modo, a equação de estado pode ser expressa em função do volume ao
invés da massa específica, como é o caso da equação (2).
Genericamente tem-se:
p = φ (υ, T )
(4)
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De acordo com as regras de diferenciação, a variação da pressão de um sistema é
determinada em termos das variações de volume e temperatura desse sistema, na forma:
∂ p
∂ p
∆ p = 
 ∆ υ + 
 ∆ T
∂
υ
∂
T

T

υ
(5)
Para pequenas variações de pressão, isto é, para
∆ p → 0 a equação (5) será
dada por:
∂ p
 ∂ p
∆ p = 
 ∆ υ + 
 ∆ T
∂
υ
∂
T

T

υ
 ∂ p
∂ p

 ∆ υ = ∆ p − 
 ∆ T
 ∂ υ T
 ∂ T υ
(∂ p ∂ T )υ
∆υ
∆p ∆T
=
−
∆ T (∂ p ∂ υ)T (∂ p ∂ υ)T
lim
∆p→0
∆T → 0
(∂ p ∂ T )υ
∆υ
= −
∆T
(∂ p ∂ υ)T
No limite quando
∆ p = 0:
∆ υ  ∂υ
=

∆ T  ∂ T  p
Logo:
(∂ p ∂ T )υ
∂υ

 = −
(∂ p ∂ υ)T
 ∂ T P
(6)
Na realidade a equação (6) pode ser considerada como a forma diferenciada da
equação (4), que é a equação de estado de uma substância pura.
As três derivadas parciais que aparecem na equação (6) têm significado físico
especial.
Por definição, a quantidade:
β=
1 ∂υ


υ  ∂ T  p
(7)
é o coeficiente de expansão térmica. Este coeficiente descreve a variação de volume
produzida devido à variação de temperatura quando o processo é isobárico, isto é, ocorre
a pressão constante.
De maneira análoga o coeficiente de compressibilidade é definido como:
β1 = −
1 ∂ υ
 
υ  ∂ p T
(8)
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Este coeficiente mede a variação percentual de volume devido à variação de
pressão quando o processo se desenrola a uma temperatura constante.
Finalmente, a terceira derivada é o coeficiente de tensão.
β2 =
1  ∂p 


p  ∂ T  υ
(9)
Se o volume é mantido constante, este coeficiente indica a variação de pressão
devido à variação de temperatura.
Exemplo ilustrativo:
Calcular os 3 coeficientes β, β1 e β 2 , para um mol de gás perfeito nas C.N.T.P.
A equação de estado é dada por: p υ = R T
Como:
β=
1  ∂υ


υ  ∂ T p
β1 = −
β2 =
 ∂υ
R υ
1
1
→ 
 = =
→ β= =
T ( 273,16 + 25) K
 ∂ T p p T
1  ∂ υ
 
υ  ∂ p  T
∂ υ
RT υ
1
1
→   = 2 =
→ β1 = =
p
p 14,7 psi
p
 ∂ p T
∂ p R p
1  ∂p 
1
1
  →   = =
→ β2 = =
p  ∂ T υ
T (273,16 + 25) K
 ∂ T υ υ T
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