1 INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 6ª Lista FUNDAMENTOS DE

INSTITUTO FEDERAL
DE B RASILIA
6ª Lis ta
Nome:
DATA: 31/10/2016
1) Resolva as inequações abaixo (com
justificando sua resposta.
a) 2  x  5
c)
2)
2 2 x  5
x  ),
b)
2x  5
d)
2 2 2x  5
foi criada com o objetivo de prevenir a infecção
por HPV e, dessa forma, reduzir o número de
pessoas que venham a desenvolver câncer de colo
de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada
em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de
meninas de 11 a 13 anos de idade. Considera-se
que, em uma população não vacinada, o HPV
acomete 50% desse público ao longo de suas
vidas. Em certo município, a equipe coordenadora
da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13
anos de idade em quantidade suficiente para que a
probabilidade de uma menina nessa faixa etária,
escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença
seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas
de cobertura, de modo a atingir essa meta:
Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo.
Proposta II: vacinação de 55,8% do públicoalvo.
Proposta III: vacinação de 88,2% do públicoalvo.
Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo.
Proposta V: vacinação de 95,9% do públicoalvo.
Para diminuir os custos, a proposta escolhida
deveria ser também aquela que vacinasse a menor
quantidade possível de pessoas.
A proposta implementada foi a de número
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
A demanda de um produto químico no mercado é
de D toneladas quando o preço por tonelada é
igual a p (em milhares de reais). Neste preço, o
fabricante desse produto oferece F toneladas ao
mercado. Estudos econômicos do setor químico
indicam que D e F variam em função de p, de
acordo com as seguintes funções:
D(p) 
3p2  21p
5p  10
e F(p) 
4  2p
3
Admitindo-se p  1 e sabendo que 7569  87,
determine o valor de p para o qual a oferta é
igual à demanda desse produto. Em seguida, e
ainda admitindo-se p  1, determine o intervalo
real de variação de p para o qual a demanda
D(p) do produto é positiva.
x2  4x  3
 0 se verifica para
x2  7x  10
todos os números reais x tais que
a) 1  x ou  3  x  2 ou x  5.
3) A desigualdade
b)
c)
d)
e)
FUNDAM ENTOS DE
M ATEM ÁTICA
6) Um supermercado vende dois tipos de sabão
líquido para lavagem de roupas: o sabão C, mais
concentrado, e o sabão D, mais diluído. Para cada
lavagem de roupas com o sabão C, Sofia gasta
30 m do produto; usando o sabão D, ela gasta
100 m . O sabão C é vendido apenas em
vasilhames de 600 m , custando 12 reais cada
vasilhame. O sabão D é vendido apenas em
vasilhames de 3 litros, custando 24 reais cada
vasilhame. Na compra de n vasilhames do sabão
D, o supermercado dá um desconto de 3n% no
preço de cada vasilhame desse sabão, quando
1  n  10. Quando n  10, esse desconto é de
30%. Sofia resolve comprar n vasilhames do
sabão D. Calcule
x  1 ou 2  x  3 ou x  5.
1  x  2 ou 3  x  5.
x  1 ou 2  x  5.
1  x  3 ou 2  x  5.
4) No conjunto dos números reais, o conjunto solução
2x 5x  3

 1 é o intervalo
3
4
3

a) ]  , 3[
b)  ,  
7

 3 
c)   ,  
d) ]  3, [
 7 
da inequação
5) O HPV é uma doença sexualmente
transmissível. Uma vacina com eficácia de 98%
1
a) quantos centavos de reais Sofia gastaria com o
sabão C em cada lavagem de roupas, se o
comprasse;
b) o valor mínimo de n para que Sofia gaste
menos reais com o sabão D do que com o
sabão C, em cada lavagem de roupas;
c) o número máximo de vasilhames do sabão D
que Sofia pode comprar com 128 reais.
9) De acordo com Agilar e Fioreze (2011), o
modelo que melhor representa a concentração de
álcool para indivíduos do sexo masculino que
ingerem uma lata de cerveja por hora, durante 5
horas, é:
C(t)  0,022  0,007  (t  1), para 1  t  5
C(t )  0,050  0,016  (t  5), para 5  t  8,125)
t  tempo decorrido após a ingestão da primeira
lata de cerveja.
Suponha que um indivíduo tenha chegado à
Oktoberfest às 20 horas, permanecido na festa
por 5 horas e que tenha bebido uma cerveja por
hora.
Sabendo-se que a Lei Seca não permite que o
indivíduo apresente um valor positivo de
concentração de álcool ao dirigir, é CORRETO
afirmar que esse motorista poderá começar a
dirigir novamente
a) antes das 4h do dia seguinte.
b) somente depois das 8h15min e 30s do dia
seguinte.
c) às 4h12min e 5s do dia seguinte.
d) somente depois das 6h do dia seguinte.
7) Uma função consiste na associação de dois
conjuntos A e B de números reais, por meio de
uma lei f. O subconjunto dos elementos de A que
corresponde a um, e somente um, elemento de B é
denominado domínio da função D(f ).
Considerando que a expressão
f(X) 
(2x2  8)(x 2  x  6)
x2  2x  3
é uma função, determine o domínio de f(x).
a) D  {x  | x  1; x  2 e x  3}
b) D  {x  | x  1; x  2 e x  3}
c) D  {x  | x  1; x  2 e x  3}
d) D  {x  | x  1; x  2 e x  3}
e) D  {x  | x  1; x  2 e x  3}
10) Na função f(x)  mx  2(m n), m e n  .
Sabendo que f(3)  4 e f(2)   2, os valores de m
e n são, respectivamente
a) 1 e 1
b) 2 e 3
c) 6 e 1
d) 6 e 3
8) A empresa Alpha dedica-se exclusivamente à
digitalização de documentos. Um funcionário leva
4 horas para digitalizar um documento, a empresa
opera durante 250 dias por ano e não há estoque
de documentos antigos para digitalizar. Em 2014,
os funcionários têm uma jornada de trabalho de 8
horas diárias, mas têm exatamente 2 horas de
ociosidade por dia. Em relação a 2014, o número
de novos documentos que chegam para serem
digitalizados aumentará 10.000 por ano nos
próximos três anos. Sem novas contratações, em
2017, os funcionários precisarão trabalhar 8 horas
por dia sem qualquer tempo ocioso para conseguir
processar toda a demanda de 2017.
11) Everton criou uma escala E de temperatura,
com base na temperatura máxima e mínima de sua
cidade
durante
determinado
período. A
correspondência entre a escala E e a escala Celsius
(C) é a seguinte:
E
0
80
C
16
41
Em que temperatura, aproximadamente, ocorre a
solidificação da água na escala E?
a) 16 E b) 32 E c) 38 E
d) 51 E e) 58 E
a) Qual é o número atual de funcionários da
empresa?
b) Quantos documentos deverão ser digitalizados
em 2015?
c) Representando o ano de 2014 como x  0,
2015 como x  1, 2016 como x  2, e assim
por diante, é possível expressar Y (demanda
da empresa, em número de documentos para
digitalização) em função de x, para o período
de 2014 a 2017, como Y(x)  a  bx. Nesta
expressão, a representa o número de
documentos digitalizados em 2014. Determine
o valor de b.
12) A função f(x) que representa o gráfico a
2
seguir, onde k é uma constante não nula, é dada
por:
a) Represente algebricamente a lei de formação
da função que descreve o valor a ser pago pelo
consumo de água na cidade A.
b) Para qual quantidade de água consumida, o
valor a ser pago será maior na cidade B do que
na cidade A?
15) Em 1º de junho de 2009, João usou R$
150.000,00 para comprar cotas de um fundo de
investimento, pagando R$ 1,50 por cota. Três anos
depois, João vendeu a totalidade de suas cotas, à
taxa de R$ 2,10 cada uma. Um apartamento que
valia R$ 150.000,00 em 1º de junho de 2009
valorizou-se 90% nesse mesmo período de três
anos. (Nota: a informação de que a valorização do
apartamento foi de 90% nesse período de três anos
deve ser usada para responder a todos os itens a
seguir).
a) Se, ao invés de adquirir as cotas do fundo de
investimento, João tivesse investido seu
dinheiro no apartamento, quanto a mais teria
ganhado, em R$, no período?
b) Para que, nesse período de três anos, o ganho
de João tivesse sido R$ 20.000,00 maior com o
fundo de investimento, na comparação com o
apartamento, por quanto cada cota deveria ter
sido vendida em 1º de junho de 2012?
c) Supondo que o regime de capitalização do
fundo de investimento seja o de juros simples,
quanto deveria ter sido a taxa de juros simples,
ao ano, para que a rentabilidade do fundo de
investimento se igualasse à do apartamento, ao
final do período de três anos? Apresente uma
função que relacione o valor total das cotas de
João (Y) com o tempo t, em anos.
k
 x, se 0  x  2
a) f(x)   2

k, se 2  x  5
k, se 0  x  2
b) f(x)  
3k, se 2  x  5
k
 , se 0  x  2
c) f(x)   2

kx, se 2  x  5
kx, se 0  x  2
k, se 2  x  5
d) f(x)  
k
 x, se 0  x  2
e) f(x)   2

k, se 2  x  5
13) A função f : 
satisfaz as condições:
f(1)  2 e f(x 1)  f(x)  1 para todo número real
x. Os valores f(14), f(36), f(102) formam, nessa
ordem, uma progressão geométrica. A razão dessa
progressão é
a) 1,5. b) 2,0. c) 2,5. d) 3,0.
14) Na cidade A, o valor a ser pago pelo consumo
de água é calculado pela companhia de
saneamento, conforme mostra o quadro a seguir.
Quantidade
de
Valor a ser pago pelo
água consumida
consumo de água (em reais)
3
(em m )
Até 10
R$18,00
Mais do que 10
R$18,00 + (R$2,00 por m3
que excede 10 m3 )
16) Em um triângulo equilátero de perímetro igual
a 6 cm, inscreve-se um retângulo de modo que um
de seus lados fique sobre um dos lados do
triângulo. Observe a figura:
Na cidade B, outra companhia de saneamento
determina o valor a ser pago pelo consumo de
água por meio da função cuja lei de formação é
representada
algebricamente
por
se x  10
 17
Bx  
, em que x representa
2,1x  4 se x  10
Admitindo que o retângulo possui a maior área
possível, determine, em centímetros, as medidas
x e y de seus lados.
a quantidade de água consumida (em m3 ) e B(x)
representa o valor a ser pago (em reais).
3
17) Em uma brincadeira, uma bola é arremessada
para o alto, e sua altura em relação ao solo, em
função do tempo, é dada pela fórmula
1
h(t)   (t  2)2  5, com h em metros e t em
2
segundos. A seguir temos o gráfico de h em
função de t.
19) Um modelo matemático para a propagação de
um vírus em uma população isolada de N
indivíduos considera que o número aproximado de
novos contágios pelo vírus em uma dada semana é
proporcional ao número de pessoas já portadoras
do vírus na semana anterior e também ao número
de pessoas ainda não infectadas, de forma que,
denotando-se por ps o número de portadores do
vírus na semana s, tem-se
Dessa forma, determine a altura máxima atingida
pela bola, e em que instante (tempo) isso
acontece.
ps  ps1  α ps1 N  ps1 
18) Seja r a reta de equação cartesiana x  2y  4.
Para cada número real t tal que 0  t  4,
considere o triângulo T de vértices em (0, 0),
(t, 0) e no ponto P de abscissa x  t pertencente à
reta r, como mostra a figura abaixo.
onde considera-se uma aproximação para o
número inteiro mais próximo e α é um
parâmetro constante.
Aplicando-se este modelo à população de uma
ilha com 1000 habitantes, considere que, na nona
semana de observação, o número de portadores
do vírus é 230 e, na décima semana, este número
sobe para 405.
a)
Baseando-se apenas nestes dados e
considerando-se o valor do parâmetro α que
melhor se ajusta a eles, determine se α é
menor ou maior que 0,001.
b) Aproximando-se o valor de α para 1/1000,
determine em qual semana ocorre o aumento
mais expressivo no número de pessoas
infectadas pelo vírus.
a) Para 0  t  4, encontre a expressão para a
função A(t), definida pela área do triângulo T,
e esboce o seu gráfico.
20) A editora fez também um estudo sobre o
lançamento do livro em duas versões: capa dura e
capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a
versão capa dura for vendida por x reais e a versão
capa de papelão por y reais, serão vendidos, no
b) Seja k um número real não nulo e considere a
função g(x)  k x, definida para todo número
real x não nulo. Determine o valor de k para
o qual o gráfico da função g tem somente um
ponto em comum com a reta r.

total, 130x  70y  x 2  y 2

exemplares das duas
versões. Por uma questão de estratégia, o gerente
de vendas decidiu que a versão capa dura deve
custar o dobro da versão capa de papelão.
4
a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão,
de modo que a quantidade de livros vendida
seja a maior possível?
23) Em um experimento de laboratório, ao
disparar um cronômetro no instante t  0 s,
registra-se que o volume de água de um tanque é
de 60 litros. Com a passagem do tempo,
identificou-se que o volume V de água no tanque
(em litros) em função do tempo t decorrido (em
segundos) é dado por V  t   at 2  bt  c, com a, b
e c reais e a  0. No instante 20 segundos
registrou-se que o volume de água no tanque era de
50 litros, quando o experimento foi encerrado. Se o
experimento continuasse mais 4 segundos, o
volume de água do tanque voltaria ao mesmo nível
do início. O experimento em questão permitiu a
montagem do gráfico indicado.
b) Nas condições do item (a), quantos exemplares
a editora estima vender no total?
21) O retângulo ABCD tem dois vértices na
parábola de equação y 
x 2 11
 x3
6
6
e dois
vértices no eixo x, como na figura abaixo.
Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede.
a) Determine as coordenadas do ponto A.
b) Determine as coordenadas do ponto C.
c) Calcule a área do retângulo ABCD.
a) Calcule o tempo decorrido do início do
experimento até que o tanque atingisse seu
menor volume de água.
b) Calcule o volume mínimo de água que o
tanque atingiu nesse experimento.
22) Dois robôs, A e B, trafegam sobre um plano
cartesiano. Suponha que no instante t suas posições
são
dadas
pelos
pares
ordenados
s A  t    t, – t 2  3t  10 
sB  t    t, 2t  9 ,
e
respectivamente.
Sabendo que os robôs começam a se mover em
t  0,
a) DETERMINE o instante t em que o robô A se
chocará com o robô B.
b) Suponha que haja um terceiro robô C cuja
posição é dada por sC  t    t, kt  11 , em que
k é um número real positivo. DETERMINE o
maior valor de k para que a trajetória do robô C
intercepte a trajetória do robô A.
5
GABARITO
Resposta da questão 17:
5 metros
Resposta da questão 18:
t
a) A(t)    (t  4).
4
Resposta da questão 1:
a) S  {x  | x  5  2}.
b) S  {x 
| 2  x  3}.
c) S  {x 
| 2  x  7}.
d) S  {x 
| 2  x  47}.
Resposta da questão 2:
2p7
Resposta da questão 3:
[B]
Resposta da questão 4:
[B]
Resposta da questão 5:
[A]
Resposta da questão 6:
30
 12  R$ 0,60,
a)
600
b) 9.
c) n  6.
Resposta da questão 7:
[A]
Resposta da questão 8:
a) 240 funcionários.
b) 100.000
c) b  10.000.
Resposta da questão
[C]
Resposta da questão
[C]
Resposta da questão
[D]
Resposta da questão
[A]
Resposta da questão
[D]
b) k  2.
Resposta da questão 19:
1
a) α 
1012
b) décima primeira semana.
Resposta da questão 20:
a) R$ 66,00
b) 5445
Resposta da questão 21:
a) -1
b) C  (8, 0).
c) 5
Resposta da questão 22:
9:
a) t 
10:
b) 1.
Resposta da questão 23:
11:
12:
a) 12 segundos
b) 42 litros
13:
Resposta da questão 14:
18 para x  0

a) A(x)  
18

(x
 10)  2, para x > 10

b) x  20
Resposta da questão 15:
a) 75.000
b) R$ 3,05
c) Y  150000  45000  t.
Resposta da questão 16:
y
1 5
.
2
3
e x  1.
2
6