Produto - PUC Minas

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
(PUC MINAS)
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
Gabriel Ferraz Rubinger de Queiroz
MATERIAL PEDAGÓGICO ELABORADO E SUPLEMENTO
(relacionados à dissertação intitulada Um estudo dirigido sobre a relatividade dos
campos elétrico e magnético, requisito parcial para obtenção do título de Mestre em
Ensino de Ciências e Matemática – Área de concentração: Física).
Orientador: Prof. Dr. Lev Vertchenko
Belo Horizonte
2016
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3
INTRODUÇÃO AO ESTUDANTE
Este material para estudo resulta de um trabalho de Mestrado em Ensino de
Ciências e Matemática na PUC Minas (Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais), na área de Física.
É abordado um texto do renomado físico norte-americano Richard Phillips
Feynman (1918 - 1988), intitulado A relatividade dos campos magnéticos e elétricos.
Este texto é parte de um capítulo da edição definitiva de sua famosa coleção Lições de
física de Feynman – em tradução para a língua portuguesa brasileira (FEYNMAN;
LEIGHTON; SANDS, 2008); e consta no volume II, capítulo 13: Magnetostática (a
obra completa possui três volumes). Cada capítulo dos livros se divide em seções; o
texto abordado corresponde à seção 13–6. A paginação da obra não é usual, sendo feita
pelo número do capítulo seguido do número da página do capítulo em questão; assim
sendo, nosso texto vai das páginas 13–7 a 13–11. O texto nesta edição brasileira, que
vem da ‘Reimpressão 2009’, contém vários erros – que o autor deste trabalho
encontrou. Desse modo, elaborou-se uma errata deste. Caso exista edição e/ou
reimpressão posterior, alguns (ou todos) erros podem já estar corrigidos. Também
julgamos necessário comparar os erros descobertos nesta versão brasileira com algum
original mais antigo, no idioma inglês; isso ocorre porque estes originais são ainda bem
encontrados na comunidade acadêmica. A edição original adotada data de 1964; nesta, o
texto também está no vol. II, cap. 13: Magnetostatics, correspondendo à seção 13–6:
The relativity of magnetic and electric fields (págs. 13–6 a 13–11) (FEYNMAN;
LEIGHTON; SANDS, 1964). As referências completas de todos os livros utilizados
neste material se encontram no fim deste.
Esta proposta de estudo destina-se principalmente aos estudantes e professores
de curso superior de Física ou afins, que já possuam um conhecimento introdutório de
temas da Teoria da Relatividade Especial (TRE) e do Eletromagnetismo, a saber: o
Princípio da Relatividade de Einstein, o conceito de referencial inercial, a contração do
espaço, a dilatação do tempo, o momentum linear relativístico, as leis de Ampère da
magnetostática e de Gauss da eletricidade, e alguns fundamentos de cálculo.
O texto a ser feita leitura realmente está numa das mais importantes e renomadas
coleções de livros-texto de Física, bastante reconhecida no meio acadêmico-científico
(um clássico da Física dos últimos cinquenta anos). A obra é ainda estudada
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mundialmente por físicos iniciantes e experientes, tendo sido vertida para no mínimo
doze línguas; possivelmente nenhuma outra coleção de Física exerceu impacto tão
grande e duradouro. Feynman foi um dos maiores físicos da América e um dos
pioneiros da Teoria da Eletrodinâmica Quântica, dividindo o Prêmio Nobel de Física –
em 1965 – com Sin-Itiro Tomonaga e Julian Schwinger. Elaborou importantes
diagramas, usados nas teorias de partículas. Em 1972, recebeu a Medalha Oersted de
Ensino, da qual tinha orgulho e afeto; foi considerado um grande professor e um
visionário da nanociência. (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008; FEYNMAN,
2012).
O texto de R. Feynman trata da conexão intrínseca entre a Teoria da
Relatividade Especial (TRE) e o Eletromagnetismo. O físico mostra que os efeitos
relativísticos de contração do espaço e dilatação do tempo já estão presentes na Teoria
Eletromagnética, mesmo se a velocidade entre dois referenciais inerciais for muito
baixa. Do ponto de vista da TRE, os campos e as forças elétricas e magnéticas tornamse grandezas e conceitos totalmente relativos, mas as equações de Maxwell se
preservam (não necessitam de correção relativística) – o que equivale a dizer que estas,
que tomam parte no formalismo teórico fundamental do Eletromagnetismo, mantêm a
mesma forma matemática, a mesma “cara”, em qualquer referencial inercial. Também, o
texto mostra a lei da invariância/conservação da carga elétrica e a validade dos
Postulados de Einstein.
As atividades mais importantes (segundo cremos) deste material são a proposta
de uma leitura ativa do texto pelo estudante, seguida da tentativa de resolução de
questões sugeridas – acompanhada do texto. Acreditamos que estas questões estão
claras e simples – o que não é sinônimo de facilidade –, devendo ser respondidas com
base no texto, numa cuidadosa tentativa de interpretação de ideias e intenções de
Feynman. De certa forma, isto equivale a dizer que se crê ser muito importante o
esforço atencioso, na tentativa de integrar, reelaborar certas ideias – à medida que se
procede na resolução. Além disso, cremos ser preciso que o aluno trabalhe muito na
proposta, exercitando o raciocínio, a observação cuidadosa, a análise/avaliação da
redação de Feynman e de suas equações. Estas últimas considerações baseiam-se, em
boa parte, nas orientações da obra de Bordenave e Pereira. Grosso modo, podemos dizer
que esta proposta assume algumas características de um estudo dirigido, conforme
proposto por estes autores, que indicam que (nesta espécie de estudo) o aluno “[...] terá
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que trabalhar bastante no texto entregue pelo professor, usando sua própria criatividade
na interpretação e na extrapolação do conteúdo do texto.” (BORDENAVE; PEREIRA,
2015, p. 266).
Julgamos útil esclarecer ao aluno que os erros no texto da ed. brasileira (aqui
adotada) realmente podem causar confusão, atrapalhando a leitura, a compreensão
textual e a resolução de questões propostas. Isto se deve principalmente ao fato de que
Feynman aborda dois referenciais inerciais no texto; em vários erros, a simbologia
usada para estes e seus atributos é confundida, ou seja, trocada, usando-se a de um no
lugar do outro – o que confunde um referencial com outro e, com razão, possivelmente
confunde e prejudica o leitor. Assim, pode ser valioso que o aluno, durante a leitura e
antes de resolver as questões, destaque trechos que suspeitar como incorretos,
conferindo/analisando posteriormente a errata – e corrigindo os equívocos em seu livro
(no caso em que sejam utilizadas as versões brasileira e/ou original citadas).1 Isto pode
ser bem importante para a posterior resolução de questões; também pode ser pertinente
no estímulo à percepção de “lacunas” textuais e no julgamento da validade de
informações, o que segundo Bordenave e Pereira (2015), é passível de auxiliar a
capacidade de observar e avaliar (consciência crítica). Em nota de rodapé abaixo 2,
disponibiliza-se um link que dá acesso à obra completa de Feynman (aqui citada) apenas
para leitura, em inglês, na qual nosso texto não possui nenhum dos erros mostrados na
errata.
Por fim, ressalte-se ao aluno que se elaborou o documento ‘Material
Suplementar’, com respostas e resoluções comentadas das questões, considerações sobre
aspectos que julgamos importantes no texto (e certos elementos correlatos). Uma
possível potencialidade deste material de suplemento, segundo cremos, é auxiliar o
aluno numa espécie de autocorreção/estudo das questões sugeridas; acreditamos que o
material deve ser utilizado apenas após a tentativa cuidadosa de se trabalhar em todas as
1
O aluno também pode ler o texto concomitantemente à errata; possivelmente, esta questão deverá ser
discutida/combinada com o professor e depende da versão do texto adotada e da disponibilidade de
tempo. Somente foram comparados os erros encontrados nesta ed. brasileira com o original americano
mencionado, verificando se estes constavam ou não neste – e fornecendo correções e explicações para
os trechos incorretos; assim, o original em questão pode conter erros adicionais.
2
O
‘California
Institute
of
Technology’
(Caltech)
disponibiliza
no
site
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/ os três vol. da obra, somente para leitura, não sendo
permitido qualquer tipo de cópia parcial ou completa. O último acesso foi feito em 17 de junho de
2015. A data de postagem, atualização etc. da obra não estava claramente indicada até a data do último
acesso; de acordo com informação de copyright, no rodapé do site, esta parece ser de 2013.
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questões – juntamente ao texto de Feynman. Se seu professor não dispõe de tempo para
uma espécie de pré-correção das questões, o documento pode ser útil a fim de que se
refaça e/ou corrija as questões (ou ao menos como leitura complementar, acompanhada
do texto de Feynman). Provavelmente, estas questões devam ser combinadas com o
professor. O material suplementar é a última parte deste estudo, constando antes das
referências bibliográficas deste.
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ERRATA DE UMA EDIÇÃO DO TEXTO BRASILEIRO; QUESTÕES PROPOSTAS
AO LEITOR.
Ao analisar esta errata com cautela, seria útil corrigir os erros em seu texto,
tornando-o confiável para as atividades propostas. Assim, não há o risco de se esquecer
das incorreções em leituras/consultas futuras. A correção, somada à leitura deste
documento, pode auxiliar na análise e compreensão textual. Os três volumes originais
em idioma inglês, da obra The Feynman Lectures on Physics (Feynman; Leighton;
Sands), foram lançados pelo California Institute of Technology (Caltech) e pelo The
Feynman Lectures Website em um site na internet. O conteúdo é de alta qualidade e
disponível apenas para leitura; seu endereço consta na segunda nota de rodapé da
Introdução anterior. O texto está no capítulo 13, seção 13–6. Neste caso, as seções
formam links.
Errata do texto A relatividade dos campos magnéticos e elétricos, em tradução para
o português brasileiro; comparação dos erros encontrados na versão brasileira com
um original norte-americano.
Apontamos e corrigimos erros do texto brasileiro de Feynman (2008),
comparando-os com um original de 1964, isto é, verificando se os equívocos ocorrem
ou não neste (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 1964). Não se comparou o texto
brasileiro ao original do qual a obra foi traduzida, pois não se teve acesso a ele, mas
também porque um original mais antigo ainda pode ser mais utilizado.
Edições/reimpressões brasileiras mais recentes do que a estudada (caso existam) podem
estar total ou parcialmente retificadas, no que se refere ao texto abordado.
Erro 1: Está logo no início do quarto parágrafo: “No referencial S´, claramente existe
uma força magnética na partícula.” (p. 13–7). Correção: Ao invés de S´, leia-se S (sem
o símbolo ´ ); pois é em S em que claramente existe força magnética na partícula.
Este erro não consta no original em inglês consultado, podendo ser erro tipográfico
surgido na versão brasileira ou noutra edição original posterior.
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Erro 2: No 15º parágrafo: “Esta carga deve ser igual a ρoLoA, porque as cargas são as
mesmas [...]” (p. 13–9). Correção: ρoLoA é igual à ρoLoAo. Feynman se refere à carga
Q num referencial S´ (= ρLAo) e enfatiza que esta deve igualar-se à carga num
referencial S (= ρoLoAo), a fim de obter uma relação geral entre as densidades de carga
relativa e de repouso para certo agrupamento de partículas elétricas – que
posteriormente é aplicada no experimento do texto. Isto não é bem um erro, mas uma
pequena confusão em símbolos usados no corpo do texto e na Figura 13–11 (p. 13–9);
nesta, se representa a área transversal do fio por A e seu comprimento relativo por L´,
enquanto que no corpo do texto se acham representações distintas destas grandezas.
Mas o importante é compreender que A = Ao e L´= L < Lo.
No original americano também há esta confusão.
Erro 3: Está no próprio enunciado da Figura 13–11, que se encontra incompleto: “Se
uma distribuição de partículas carregadas em repouso tem uma densidade de cargas ρo
as mesmas cargas terão densidade [...] quando vistas de um referencial com velocidade
v.” (p. 13–9). Correção: As reticências indicam o local em que faltam termos
matemáticos no texto, pois estes estão no original de 1964, e consistem na expressão:
ρ=
o
1
Erro 4:
; isto é provavelmente um erro tipográfico.
v
c2
2
No 17º parágrafo, bem no final da pág. 13–9, na seguinte afirmação sobre
densidades de carga negativa: “Na Eq. (13.23) ρo = ρ´_ , porque as cargas têm a
densidade ρ´_ quando o fio está em repouso [...]” (p. 13–9). Correção: Recorde-se que
a densidade de carga negativa, em cada referencial inercial do experimento pensado por
Feynman, refere-se apenas à carga somada de todos os elétrons de condução. Está
correto que os elétrons livres têm densidade de carga negativa de repouso ρo = ρ´_ , pois
se encontram em repouso no referencial inercial S´; entretanto, está errado que as cargas
destes elétrons têm densidade ρ´_ quando o fio está em repouso, pois, no referencial S
deste, a densidade destas é representada por ρ_. Bastava afirmar-se “Na Eq. (13.23) ρo =
ρ´_ para cargas negativas (elétrons de condução). Temos então que” para um bom
entendimento do trecho, pois o que vem antes deste trecho é suficiente para a
interpretação.
Este erro se encontra no original; pode ser um equívoco de tipografia que se
propagou ou um erro de Feynman.
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Erro 5:
Na pág. 13–10: “Temos, pelo menos, uma força na mesma direção nos dois
pontos de vista; a força elétrica em S possui a mesma direção [...]” (p. 13–10).
Correção: Ao invés de “força elétrica em S ”, leia-se “força elétrica em S´ ”, pois esta
força só se manifesta em S´.
O original está correto; talvez, o erro surgiu no texto brasileiro por falha de
tipografia.
Erros 6 e 7: Estão na última página do texto, penúltimo parágrafo: “[...] no sistema S
existem linhas de campo elétrico, que não encontraremos passando por nós com
velocidade v no sistema S. No sistema S´ não existe nenhuma linha de campo elétrico!”
(p. 13–10). Correção: No sistema S não existem linhas de campo elétrico, mas somente
de campo magnético; e em S´ existem linhas dos dois campos. Assim, o trecho fica
correto com as modificações: “[...] no sistema S´ existem linhas de campo elétrico, que
não encontraremos passando por nós com velocidade v no sistema S. No sistema S não
existe nenhuma linha de campo elétrico!”.
Estes dois erros deste fragmento não constam no original, e podem ter surgido na
ed. em português aqui utilizada ou num original posterior ao analisado.
Erro 8: Consta na última figura do texto, Figura 13–12 (p. 13–11). Trata-se de algo
bem simples: o sentido dos campos magnéticos B e B´ – em (a) e (b) da figura,
respectivamente – está invertido. Ao invés do sentido anti-horário mostrado (no plano
do papel), o sentido correto é o horário, assim como está na versão online mencionada.
Este equívoco também consta no original de 1964, podendo ser erro do autor ou de
tipografia que se propagou – ou até da edição brasileira.
Caso o leitor possua conhecimentos razoáveis do idioma inglês, talvez outros
erros possam ser identificados em edições norte-americanas – quando já se tem certo
conhecimento do texto, tema e abordagem de Feynman.
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Questões propostas ao leitor
Apresentamos as seguintes questões, a serem realizadas após a leitura do texto:
1. Esta primeira questão envolve a percepção do problema a ser resolvido: qual
seria a consequência se, na mudança do referencial inercial do fio para o da
partícula, continuássemos a considerar o fio como eletricamente neutro?
2. Obtenha as expressões para o módulo do campo magnético B ao redor do fio e
para o módulo da força magnética F, que atuam na partícula de prova, no
referencial inercial do fio (S). Para isto, use a lei de Ampère da magnetostática,
indicada abaixo. Por simplicidade, adote – assim como Feynman – a velocidade
vo da partícula de prova (no referencial do fio) como igual à velocidade média de
arraste v_ dos elétrons de condução neste referencial.
Obs.: Nas Figuras 1 e 2 destas questões (e também na Figura 13–10 do texto de Feynman) se representa
apenas uma seção do fio reto cilíndrico e infinito – longo o suficiente para que seu diâmetro seja
desprezível em relação ao comprimento.

B ∙ dl = μo i
linha
(A lei de Ampère, na forma de integral, como usualmente apresentada em várias obras de
Eletromagnetismo).
Figura 1 – O referencial do fio
Fonte: Adaptado de Feynman, 1964, p. 13–7
(1)
11
3. Esta questão tem por finalidade fazer uma avaliação do módulo da velocidade
média de arraste (também denominada velocidade de migração) em condutores
ordinários, como finos fios de cobre (Cu) residenciais. Os valores típicos de
velocidade para os elétrons livres da corrente são, geralmente, bem pequenos
quando comparados aos objetos “clássicos” do cotidiano.
Calcule o módulo da velocidade de arraste dos elétrons de condução no
referencial S de repouso de um fio de cobre, cujo diâmetro vale 1,00 milímetro e
que conduz corrente i = 1,00 ampère. Considere a densidade de átomos do cobre
equivalente a 8,48
x
1022 átomos/cm3 (em condições normais de temperatura e
pressão), e o módulo de carga elétrica elementar e = 1,60
x
10–19 coulomb;
suponha ainda que cada átomo contribui com um elétron livre na condução.
4. Mostre como o fio, eletricamente neutro em seu referencial de repouso, torna-se
não neutro (carregado) no referencial da partícula de prova. Evidencie a
alteração relativística dos comprimentos nos volumes usados para cálculo de
densidades de carga. Pergunta: Estando o fio eletricamente carregado, do ponto
de vista do referencial S´ (da partícula de prova), haverá carga elétrica líquida
não nula no fio?
5.
a) Obtenha as expressões dos módulos do campo elétrico E´ e da força elétrica
F´ que interagem com a partícula de prova no referencial desta (S´ ). Utilize
a equação para a lei de Gauss da eletricidade, abaixo indicada. Na Figura 2 é
representada uma seção do fio reto, considerado infinito.

sup erfície
E´ ∙ dS´ =
Qint erna
o
(2)
(A lei de Gauss da eletricidade, na forma de integral, como usualmente apresentada em várias obras de
Eletromagnetismo).
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Figura 2 – O referencial da partícula de prova
Fonte: Adaptado de Feynman, 1964, p. 13–7
b) As equações 1 e 2 apresentadas (na 2ª questão e no item (a) desta) são uma
das formas matemáticas de duas leis gerais do Eletromagnetismo, que podem
ser nomeadas lei de Ampère da magnetostática e lei de Gauss da
eletricidade, respectivamente; cada uma destas leis foi aplicada em certo
referencial inercial – S ou S´ – por Feynman. Isto foi feito sem a necessidade
de corrigir, modificar, relativisticamente as equações para estas leis. Elas
contêm quantidades físicas, μo e εo, que podem se definir matematicamente
por expressões que contêm outra quantidade física de enorme importância no
advento da Teoria da Relatividade Especial; na verdade, μo, εo e esta outra
quantidade estão intrincadamente correlacionadas matematicamente.
Perguntas: Analisando cuidadosamente as equações de Feynman, aponte
qual é a outra quantidade física (explícita na maioria das equações de seu
texto). Esta quantidade aparece “igualmente” nas expressões para grandezas
de ambos os referenciais inerciais, isto é, tem igual valor absoluto, tanto em
S quanto em S´ ? O que se pode dizer, inferir sobre ela? O que podemos
concluir sobre εo e μo, a permissividade elétrica e a permeabilidade
magnética, respectivamente, para o espaço livre?
6. O valor do momento relativístico – em um determinado eixo de um referencial
inercial – pode ser dado por p =
m u ; onde v representa o valor de
v2
1
c2
velocidade da partícula no referencial inercial em que se quer determinar o
momento, e u o valor da componente desta velocidade ao longo do eixo
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escolhido neste referencial. No texto de Feynman, é enfatizado que a variação no
valor dos momentos transversos (ou transversais) da partícula, Δpy e Δpy´ – nos
referenciais S e S´, respectivamente –, é a mesma. Isso equivale a dizer que o
momento transverso da partícula é igual (independente do referencial) em pontos
de mesma coordenada transversa y = y´; prove isto, ou seja, mostre que as
expressões para py e py´ são equivalentes (py = py´ ).
7. Qual a relação entre intervalos de tempo correspondentes no referencial inercial
do fio (S) e no da partícula (S´ )? Interprete o resultado, ou seja, tente descrevêlo de alguma forma, conferindo significado para esta relação.
8.
a) Como os resultados para os módulos da força elétrica F´ – da 5ª questão – e
da magnética F (obtido para o referencial do fio estacionário (S) na 2ª
questão) se relacionam matematicamente, de acordo com a previsão teórica?
Na prática, para o pequeno módulo de velocidade, calculado na 3ª questão –
em concordância com as pequenas velocidades consideradas por Feynman –,
o que se pode dizer sobre estas duas forças?
b) Use a equação relativisticamente correta do movimento e o resultado da 7ª
questão para obter a mesma relação (entre os módulos de F e F´) encontrada
no item (a) desta questão.
c) O obtido em (a) e (b) mostra a previsão relativística, que é válida, entre as
forças do texto; ambas, cada qual atuando em um referencial inercial, se
compatibilizam com o Eletromagnetismo Clássico e a Teoria da Relatividade
Especial. Qual efeito relativístico pode ser considerado na explicação da
diferença prevista entre estas forças? Tente descrever, interpretar, a
correlação deste efeito com as forças.
O autor disponibiliza seu e-mail para contato, [email protected], a respeito de dúvida,
crítica, sugestão, informação de erros etc., sobre este trabalho.
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MATERIAL SUPLEMENTAR
RESOLUÇÃO COMENTADA DAS QUESTÕES; CONSIDERAÇÕES AOS
ESTUDANTES E PROFESSORES (PARA A CONDUÇÃO DE DISCUSSÕES E
REFLEXÃO).
Introdução
Não se pretende, aqui, com as resoluções, comentários, considerações etc.
apresentadas a seguir, retirar a autonomia do professor em relação aos estudantes; mas,
pelo contrário, desejamos apresentar um material na tentativa de auxiliar o leitor na
percepção da riqueza do texto de Feynman e – obviamente – na correção de nossas
questões propostas. O texto do físico norte-americano mostra que a Teoria da
Relatividade Especial pode ser tomada emprestada a fim de que o Eletromagnetismo se
torne coerente na descrição de interação eletromagnética exemplificada pelo autor. Ele
também ressalta a relatividade das grandezas de campo e conceitos de força elétrica e
magnética; o que dá nome ao seu texto. Apesar desta relatividade, Feynman enfatiza
que uma descrição eletromagnética completa é invariante, ou seja, um fenômeno
elétrico e/ou magnético encontra descrição – em concordância com as mesmas leis
fundamentais do Eletromagnetismo (equações de Maxwell) – em qualquer referencial
inercial. Assim, as equações do Eletromagnetismo são válidas em todos os referenciais
inerciais, mantendo sempre a mesma forma matemática em qualquer um deles. Desse
modo, o Princípio da Relatividade de Einstein e a lei da invariância no valor absoluto da
velocidade da luz (no espaço livre) são satisfeitos. Podemos perceber, então, que existe
uma íntima conexão entre a teoria clássica do Eletromagnetismo e a Teoria da
Relatividade Especial.
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1ª QUESTÃO:
A primeira questão diz respeito a uma contradição que surge se continuamos a
considerar o fio como eletricamente neutro no referencial inercial da partícula (S´ ); o
que, na verdade, trata-se de um paradoxo aparente. A consequência em considerar-se o
fio descarregado (neutro) no referencial da partícula conduz a uma espécie de absurdo
físico; pois se, no referencial do fio em repouso (S), um observador ali estacionário vê a
partícula aproximar-se do fio, também no referencial S´ esta deve aproximar-se deste.
Em outras palavras, um observador estacionário no referencial inercial da partícula vê
uma interação atrativa – entre o fio e a partícula –, assim como outro observador
estacionário, desta vez no referencial inercial do fio, também testemunha uma interação
atrativa entre os dois objetos. Afinal, seria um absurdo lógico um observador, em
repouso com respeito ao fio, observar a partícula adentrar o campo magnético B e
paulatinamente aproximar-se do fio, enquanto outro observador (movendo-se
inicialmente junto à partícula) a observasse sempre estacionária em relação a ele – sem
nenhuma força atuante nesta, sem alteração de velocidade da partícula e sem
aproximação do fio. Esta seria a estranha consequência se continuamos a considerar o
fio como eletricamente neutro no referencial S´ da partícula de prova; no referencial S
(do fio), obviamente, temos a atuação de uma força magnética atrativa – devida ao
campo magnético gerado pela corrente –, mas em S´ não teríamos nenhuma força
atuando na partícula, e esta se comportaria, portanto, como uma partícula livre – pois a
velocidade da partícula em S´ é nula. Se, pois, não há força magnética em S´ (v = 0) – e
a interação gravitacional é extremamente pequena em ambos os referenciais inerciais, a
ponto de podermos desprezá-la –, que tipo de força deve atuar sobre a partícula neste
referencial S´? Forças de origem nuclear não podem ser, pois se supõe apenas um ente
físico elementar (um elétron, p. ex.), como partícula de prova, nas proximidades de um
fio conduzindo corrente. Finalmente, na experiência pensada por Feynman (2008),
também devemos supor a inexistência de quaisquer forças resistivas e de interação com
partículas, átomos, fótons, moléculas etc. Em suma, a experiência de Feynman (2008)
preocupa-se somente com a interação existente entre uma partícula negativa elementar e
um fio condutor de matéria ordinária (cobre, por exemplo) conduzindo corrente estática.
A interação (força) atuante na partícula, em S´, só pode ser descrita, portanto, por um
formalismo teórico que inclua a teoria eletromagnética.
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Grosso modo, podemos fazer uma analogia com a interação gravitacional: se um
observador – fixo com respeito à superfície da Terra (em um referencial S) – vê um
projétil ser abandonado de um avião em movimento reto e uniforme, colidindo com o
solo, também um observador estacionário no interior da aeronave (referencial S´ ) – com
velocidade inicial igual à desta – testemunhará a atração gravitacional. Este exemplo é
uma mera analogia; em ambos os casos, desconsideramos as interações – da partícula
elétrica e do projétil – com moléculas, átomos, fótons etc. e qualquer espécie de força
resistiva (de atrito). No texto de Feynman (2008), preocupamo-nos apenas com
interações descritas pela teoria eletromagnética clássica; e, nesta analogia, somente com
a interação gravitacional clássica. Logo, do mesmo modo que seria absurdo observar o
projétil – no referencial S´ da aeronave – permanecendo em repouso relativamente a
esta (sem sofrer a ação da gravidade terrestre), também seria totalmente incoerente
observar a partícula elétrica – no referencial S´ do texto de Feynman – como partícula
livre. Em suma, a partícula em S´ não pode permanecer sem a ação de uma força
descrita por teoria que inclua o Eletromagnetismo. Como esta força não pode ser
magnética em S´, pois forças magnéticas são dependentes da velocidade – e a
velocidade da partícula em S´ é nula –, não podemos continuar a considerar o fio como
eletricamente descarregado neste referencial. Então, embora o fio esteja descarregado
(neutro) no referencial inercial S, ele está eletricamente carregado no referencial inercial
S´.
Feynman demonstra que existe descrição teórico-conceitual (que intimamente
relaciona o Eletromagnetismo e a Teoria da Relatividade Especial) para a interação na
partícula no referencial inercial S´. Para chegar a esta conclusão, Feynman (2008) se
vale de previsões da Teoria da Relatividade Especial; através de uma destas previsões,
ele demonstra o fato de que o fio condutor, realmente, se encontra carregado no
referencial inercial S´ (da partícula). Também é interessante reparar em um importante
aspecto, citado na Introdução deste material suplementar: em ambos os referenciais
inerciais do texto, S e S´, as formas matemáticas para as equações de Maxwell são as
mesmas; ou seja, estas equações fundamentais do Eletromagnetismo não se alteram,
preservando seu formalismo, sua “cara”, em ambos os referenciais inerciais de
Feynman. E mais ainda: as formas matemáticas das equações de Maxwell se preservam
(sendo escritas identicamente) não só nos dois referenciais do texto abordado, mas em
qualquer referencial inercial. Porém, é necessário atentar para o fato de que existem
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grandezas nestas equações – como os campos elétrico e magnético – que podem variar
de um referencial inercial para outro, mas também quantidades físicas constantes
(invariantes). Dessa maneira, alguma forma matemática (das equações de Maxwell)
para cálculo de campo elétrico estático pode ser usada (escrita) no referencial de
repouso do fio (S); mas já sabemos, de antemão, que E em S deve ter resultado nulo,
pois o fio está eletricamente neutro neste referencial. E a mesma forma matemática para
cálculo de campo elétrico estático também é válida no referencial inercial de repouso da
partícula (S´ ), com a ressalva de que o campo elétrico neste referencial não pode mais
ser nulo; pois, como concluímos, o fio deve estar carregado em S´.
Enfim, não se pretende aqui – para a 1ª questão – dar uma resposta única para a
incompatibilidade gerada como consequência de considerar-se o fio eletricamente
descarregado em S´; mas, o intuito é tornar evidente ao leitor como a percepção deste
problema a ser resolvido é rica, podendo servir até como discussão introdutória. Assim,
o professor pode auxiliar na promoção de uma reflexão inicial em seus alunos,
utilizando esta questão no enfoque da riqueza do “problema de Feynman”. Uma boa e
breve discussão do problema envolvido no texto, por si só, já pode ser capaz de
introduzir (de forma bem introdutória) importantes noções como a relatividade dos
campos elétrico e magnético e a preservação das equações de Maxwell, referente ao fato
de que, em todos os referenciais inerciais, a teoria eletromagnética clássica é aplicável –
estando em compatibilidade com a Teoria da Relatividade Especial.
2ª QUESTÃO:
No cálculo do valor de campo magnético – no referencial do fio (S) –, basta
utilizarmos a lei de Ampère da magnetostática. Sendo este campo estático em S (não
variando no decorrer do tempo t deste referencial inercial), pois a corrente em S é
estacionária, devemos obter uma expressão para seu valor que varie apenas com a
distância radial r ao eixo longitudinal do fio; pois se considera um fio reto, muito longo
(que tende ao infinito) e de formato cilíndrico. A lei de Ampère da magnetostática, na
forma integral, é geralmente dada pela equação 1 do enunciado desta questão. O valor
absoluto da velocidade da luz no espaço livre, c, é uma constante obtida por Maxwell
em suas equações, designada por c =
1
 o o
; então, μo =
1
, e a equação para a lei
 oc 2
18
mencionada – escrita com os termos usados por Feynman (2008) em seu texto – fica:

B ∙ dl =
linha
i
 oc 2
(3)
Este problema exibe simetria cilíndrica, e a integral de linha fechada para o
campo magnético B é feita ao longo de uma circunferência concêntrica ao eixo
longitudinal do fio (cujo plano que a contém corta transversalmente o fio); como B e dl
são paralelos e tangentes em qualquer ponto da circunferência – e o valor de B é
constante em todos os pontos desta, a uma distância radial r qualquer –, a integral no
lado esquerdo da equação 3 iguala-se a: B

dl = B 2πr; onde a integral do elemento
linha
dl é o próprio comprimento 2πr da circunferência. Assim, igualamos este último
resultado ao lado direito de 3, e obtemos:
B=
i
2r o c 2
=
  vA
2r o c 2
(4)
Onde a corrente elétrica i – no referencial de repouso do fio (S) – foi substituída pela
expressão dada por Feynman (2008, p. 13–8), i = ρ_vA. O leitor facilmente pode provar
que ρ_vA é dimensionalmente coerente com a unidade de corrente, o ampère [A].
Portanto, ao obtermos a expressão do valor de B para qualquer distância r ao eixo do
condutor, temos uma equação válida para o valor deste campo, em S, na posição da
partícula de prova. O vetor B é tangente em todos os pontos duma superfície cilíndrica
imaginária que simetricamente envolva o fio – e perpendicular ao eixo longitudinal
deste. A direção/sentido de B é dada pela regra da mão direita para o campo magnético;
na posição da partícula de prova q, o vetor B “entra” no plano do papel. Pode-se tentar
visualizar a simetria na figura mostrada no enunciado.
Para obter o vetor força magnética, F, que atua na partícula de prova, em S,
deve-se tomar a equação:
F = qvo  B
(5)
19
A equação 5 provém da expressão mais geral para a força eletromagnética
Feletromag. = qE + (qv  B); geralmente atribuída à Lorentz. Em nosso caso de fio neutro
em S, a força atuante na partícula é puramente magnética neste referencial.
Não é necessário, aqui, introduzir um sistema de coordenadas cilíndricas
circulares, com uma base de vetores unitários, para o cálculo de F (magnética);
precisamos apenas respeitar a definição de produto vetorial e a regra de mão direita para
determinação da direção/sentido do produto vetorial vo  B, no referencial do fio.
Efetuando-se este produto, na posição da carga de prova, obtém-se uma força magnética
F radial ao eixo longitudinal do fio; assim, introduzimos um unitário r (radial), que
aponta no sentido do aumento do módulo de r (afastando-se do eixo do condutor):
F = qvo
  vA (r) = q  Av 2 (r)
2r o c 2
2r o c 2
(6)
Onde se considerou o valor de velocidade vo igual ao valor de v_ = v (velocidade de
arraste dos elétrons condutores em S), isto é, o caso especial tomado por Feynman
(2008, p. 13–8), em que vo = v. Repare que, sendo a carga q uma propriedade material
escalar e, neste caso, negativa, o sentido de F é contrário ao de um eixo radial que se
afasta do fio reto; então, a orientação desta força é radial apontando para o fio. A regra
da mão direita (para determinação de força magnética) é bem explicada por Serway e
Jewett (2008) 3. Relembre-se que o vetor resultante, em um produto vetorial, é sempre
perpendicular aos vetores envolvidos na operação.
No texto de Feynman, B e vo são perpendiculares, o que, pela definição de
magnitude do produto vetorial, faz com que F tenha seu módulo máximo, igual a
q  Av 2
. O resultado obtido em 6 é semelhante ao de Feynman (2008, p. 13–8),
2r o c 2
expresso na equação 13.21, com exceção do vetor unitário r. É interessante reparar que,
aqui, já aparece uma razão matemática bastante recorrente na Teoria da Relatividade
Especial, v2/c2. Até este ponto do texto, Feynman ainda não recorreu a nenhum efeito ou
3
O autor deste material pôde constatar que, com razão, existem algumas (senão várias) variações do que
se denomina regra da mão direita, inclusive em livros e notas de aula (na internet) para cursos
superiores; p. ex., para a determinação de produto vetorial, esta regra é – às vezes – chamada de regra
do parafuso direito. As variações parecem ocorrer tanto no nome dado à regra quanto em técnicas
mnemônicas envolvendo o polegar e os outros dedos da mão direita.
20
previsão relativísticos; entretanto, ele já discorreu sobre o fato de que o magnetismo não
é uma “coisa” independente, como se pode imaginar. (FEYNMAN; LEIGHTON;
SANDS, 2008, p. 13–7). Noutras palavras, podemos dizer que este resultado magnético
obtido para o referencial do fio em repouso não é absoluto para o fenômeno em questão;
ou seja, este referencial inercial (S) não é privilegiado para a descrição de campo
magnético. E, de modo análogo, para a descrição da força atuante na partícula elétrica.
Na verdade, todos os referenciais inerciais estão em pé de igualdade; isto se interliga ao
fato de que a grandeza de campo magnético é relativa:
[...] este vetor dependerá de qual sistema de referência escolhemos para
especificar a velocidade das cargas. Mas não falamos nada sobre qual o
referencial apropriado para se especificar o campo magnético. Verifica-se
que qualquer referencial inercial pode ser usado. (FEYNMAN; LEIGHTON;
SANDS, 2008, p. 13–7).
Sendo o Princípio da Relatividade einsteiniano válido no Eletromagnetismo,
devemos encontrar outras descrições compatíveis com as leis fundamentais desta teoria
no referencial inercial da partícula de prova (S´ ), e em qualquer outro referencial
inercial. Assim, os conceitos de forças e grandezas de campo magnético e elétrico são
relativos; mesmo assim, não há um referencial privilegiado (absoluto) para o
Eletromagnetismo e para a propagação da luz; uma descrição de natureza
eletromagnética, em sua totalidade, é invariante. (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS,
2008; EINSTEIN, 1999).
3ª QUESTÃO:
No cálculo do módulo da velocidade de arraste dos elétrons de condução, em S,
vamos partir da equação dada por Feynman (2008, p. 13–8) para a corrente elétrica, que
pode ser expressa por i = ρ_vA; onde ρ_ é a densidade de carga negativa de condução no
referencial do fio de cobre em repouso, v = v_ é o valor médio da velocidade (do
arraste) da distribuição de elétrons condutores neste referencial, e A é a área transversa
do fio – que é invariante, pois as dimensões transversas ao movimento não sofrem
alteração relativística. Isolando v_ , e escrevendo a área em função do diâmetro d do fio,
temos:
21
v_ =
i
d 
2
2
(7)
 _  
A única quantidade física não conhecida para o cálculo de v_ é ρ_ (para o cobre),
sua densidade de carga negativa de condução no referencial do fio. A quantidade de
átomos de cobre por unidade de volume (nas CNTP) é cerca de 8,48 x 1022 átomos/cm3
(SERWAY; JEWETT, 2008, p. 770); e, como cada átomo contribui com um elétron
6
3
livre de corrente, tem-se (8,48 x 1022 elétrons de condução/cm3)  10 cm  = 8,48 x 1028
 m3 
elétrons de condução/m3. Agora, basta multiplicarmos este resultado pela carga
elementar – de módulo e = 1,60 x 10–19 C –, o que nos fornece o módulo da densidade
negativa de condução: 1,3568
x
1010 C/m3 de densidade absoluta de carga para ρ_. O
leitor também pode obter este resultado utilizando a densidade de massa do cobre, sua
massa molar e a constante de Avogadro, que podem ser dados, respectivamente, pelos
valores: 8,96 g/cm3 (a 20 oC = 293 K); 63,54 g/mol e 6,02 x 1023 mol –1 (RESNICK;
HALLIDAY; KRANE, 2007). Finalmente, substituindo os valores fornecidos no
enunciado desta questão para a corrente i, o diâmetro d (= 1,00 mm = 10–3 m), e o
calculado para ρ_ , obtém-se:


 C/s 
1,00
v_ =

2 
 10 3   C m 2 
10
1,3568 x 10 x  

3

 2  m
= 9,38 x 10–5 m/s
(8)
(com três algarismos significativos)
O resultado obtido em 8 é da ordem de grandeza de 10– 4 m.s –1, isto é, um valor
de velocidade média de arraste em torno de apenas um décimo de milímetro por
segundo. O módulo desta velocidade é medíocre quando comparado aos valores
cotidianos comuns, como, p. ex., o de um carro que translada a 110,0 Km/h (≈ 30,6
m/s); o que nos dá uma razão (da ordem de grandeza) de 10–6 para a velocidade de
arraste dividida pela velocidade do carro. O texto de Feynman demonstra que as
previsões da Teoria da Relatividade Especial podem ser levadas em consideração, no
22
contexto do Eletromagnetismo, até quando os valores de velocidades entre os
referenciais inerciais são da ordem de grandeza – ou próximas – da calculada acima.
Com efeito, Feynman não especifica a composição química, o valor de corrente e o
diâmetro do condutor etc. na proposta de seu texto, mas considera o problema “para as
pequenas velocidades.” (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–10). A razão
entre o módulo da velocidade de arraste calculado e o da luz,
v_
, é muitíssimo pequena,
c
da ordem de grandeza 10–13. Vemos, portanto, que existe a possibilidade teórica de
enfocar a íntima conexão entre o Eletromagnetismo e a Teoria da Relatividade Especial
– com um tratamento matemático razoável – mesmo em velocidades relativas (entre
referenciais inerciais) usualmente menores do que as observadas na vida cotidiana e
consideradas em muitos estudos teóricos de Mecânica Clássica.
4ª QUESTÃO:
Em um longo fio reto e cilíndrico, de comprimento próprio Lo em seu referencial
de repouso (S), tem-se densidade de carga – para certa distribuição de cargas no corpo
do fio – dada por ρo =
Q ; onde LoAo é o volume próprio (medido no referencial de
Lo Ao
repouso) do fio e Ao é sua área de seção reta. Em um referencial inercial com velocidade
paralela ao eixo longitudinal do fio reto, o comprimento Lo se contrai por um fator
inverso ao de Lorentz, isto é, por 1/γ (um dividido por gama); o que nos dá um
comprimento relativo L:
L = 1 Lo =

= Lo 1  v
Lo
1
1
v
c2
2
c
2
(9)
2
Este é o resultado 13.22 do texto de Feynman (2008, p. 13–9). Assim, no
referencial inercial em movimento relativo ao fio (S´), este apresenta um comprimento L
menor que Lo; logo, o volume do fio também será menor no referencial da partícula.
Lembre-se que o fator de Lorentz, γ, é sempre um positivo maior do que um (1) quando
v é diferente de zero, e seu inverso fica entre zero e a unidade. O efeito da contração de
Lorentz (ou contração do espaço) é uma previsão da Teoria da Relatividade Especial
23
usada por Feynman (2008) a fim de concluir que o fio, no referencial inercial S´ de
repouso da partícula, possui densidade volumétrica de carga líquida não nula. É
interessante reparar que esta consideração relativística faz surgir o fator γ nas
expressões para os valores de força e campo elétricos – em S´. Aqui entra uma lei de
invariância – e também de conservação – de grande importância no arcabouço teóricoconceitual do Eletromagnetismo, da Teoria da Relatividade Especial e da Física em
geral; trata-se da questão da invariância (e conservação) da carga elétrica. Podemos
afirmar que a carga líquida associada a qualquer conjunto de partículas (que não recebe
nem perde nenhum portador de carga), digamos alguns prótons e elétrons, é sempre a
mesma, independentemente do movimento relativo entre o conjunto de partículas e um
observador; noutras palavras, a carga líquida contida numa partícula – ou em certa
coleção delas – é sempre uma propriedade escalar invariante que não depende da
velocidade, ou seja, uma quantidade física que se preserva em qualquer referencial
inercial. Por exemplo, imagine uma partícula com carga q que se move em relação à
superfície da Terra com valor de velocidade 0,5c (metade do valor da velocidade da luz
no espaço livre), o que é simétrico à superfície terrestre mover-se a 0,5 c relativamente a
esta partícula “em repouso” no referencial da órbita da Terra. Um observador
estacionário na superfície do planeta mediria sempre o mesmo valor de carga q da
partícula. Porém, as densidades de carga podem variar, pois os volumes do espaço se
alteram quando há movimento relativo entre referenciais inerciais; e, segundo Feynman
(2008), importa somente esta noção (no cálculo de densidades de carga), a de que o
volume de espaço varia devido à contração do comprimento (ou contração de Lorentz).
A lei de invariância da carga elétrica, junto ao efeito de contração do comprimento,
permite-nos deduzir uma expressão geral para densidades de carga de certa distribuição
de partículas na Teoria da Relatividade Especial.
A densidade de carga líquida no fio, no referencial inercial S´ (da partícula de
prova), é chamada por Feynman de ρ´. Vamos obtê-la; assumindo que a carga líquida Q
contida em certo conjunto de partículas (eletricamente isolado) deve ser invariante tanto
em um referencial S quanto num referencial inercial S´, ou em qualquer outro sistema
inercial, podemos obter um resultado geral a ser aplicado ao fio. Primeiramente, a área
de corte reta do fio, Ao, é uma dimensão transversa ao movimento que não se altera.
Usando o resultado 9 – que relaciona os comprimentos relativo L e de repouso (próprio)
Lo –, evidenciamos a alteração relativística do comprimento nos volumes usados no
24
cálculo de densidades (de carga)
ρo =
Q
Lo Ao
ρ=
e
Q
Ao Lo 1 
(10)
v
c2
2
Aqui, ρo e ρ são densidades de carga gerais para qualquer distribuição de partículas
carregadas; sendo ρo a densidade de carga em repouso, ρ a densidade de carga relativa e
Q a carga líquida contida na distribuição (quantidade invariante). Assim, fica evidente a
previsão da contração de Lorentz; e, isolando Q nas equações 10, obtemos a igualdade:
Ao Lo 1 
v2
  o Lo Ao
c2
ou

o
(11)
v2
1
c2
A última igualdade é um resultado mais geral para densidades de carga na Teoria
da Relatividade Especial, no nível de nosso interesse. Ela é dada por Feynman (2008, p.
13–9) em sua equação 13.23. Vamos aplicá-la ao exemplo do autor. As cargas positivas
(prótons nucleares) estão todas estacionárias no referencial do fio (S); se há um elétron
condutor por átomo (em S), então temos N(Z – 1) elétrons estacionários neste
referencial, cujas cargas são balanceadas por uma idêntica quantidade de prótons. Z é o
número atômico do elemento constituinte do condutor e N é o número total de átomos
deste elemento no fio. Assim, não é necessário contabilizar densidades de carga de N(Z
– 1) elétrons mais N(Z – 1) prótons no referencial S, pois estas partículas estão
estacionárias no referencial de repouso do fio (S); e a densidade e a carga líquida (delas
somadas) são nulas neste e em qualquer outro referencial. Preocupemo-nos, então,
somente com a carga elétrica referente a um próton em cada núcleo do fio mais a carga
do conjunto dos elétrons de condução; a densidade de carga líquida destas partículas é
nula – no referencial inercial do fio! –, pois o número de elétrons de condução iguala-se
ao de N prótons, e a carga total destes elétrons divide-se pelo mesmo volume que a
carga total dos prótons – o volume do fio em repouso (em S). Para cargas positivas, a
25
densidade de carga de repouso ρo – em S – nada mais é do que uma densidade positiva
de repouso ρ+ (referente à soma das cargas de cada próton líquido por núcleo); porém,
no referencial da partícula (S´) (no qual o fio está em movimento), estas mesmas cargas
positivas movem-se com velocidade
–v (menos v), tendo-se para elas, em S´, uma
densidade positiva relativa ρ´+; o que, segundo o resultado geral 11, nos dá:
ρ´+ =

(12)
v
c2
2
1
Para a distribuição de elétrons de condução, concluímos que estas partículas têm
sua densidade de carga negativa de repouso, ρ´_, no referencial S´ – pois estão
estacionárias neste referencial inercial; contudo, estes elétrons se movem em S, tendo
sua densidade de carga relativa ρ_ no referencial do fio em repouso. Daí,
ρ_ =
 ´_
(13)
v2
1
c2
obtemos o resultado acima, que corresponde à equação 13.25 de Feynman (2008).
Somando-se as densidades de carga ρ´+ e ρ´_, obtidas para S´, temos a densidade de
carga líquida ρ´ no referencial da partícula de prova:
ρ´ = – ρ+ 1  v
2
c2
+

1
=
v
c2
2
 v2 
v
   1     

2
 c 
c2
=
v2
v2
1
1
c2
c2
2
(14)
Onde se substituiu ρ_ por –ρ+ (menos ρ+) em 13, pois estas duas densidades se referem
ao referencial S; e, estando o fio neutro neste referencial inercial, a igualdade ρ+ + ρ_= 0
deve ser satisfeita. O resultado para ρ´ confirma que o fio condutor tem densidade
26
líquida de carga diferente de zero em S´; existe, assim, um campo elétrico E´ neste
referencial que interagirá com a partícula que ali está inicialmente estacionária. A
relatividade dos campos magnéticos e elétricos já pode ser vislumbrada nos resultados
matemáticos apresentados, uma vez que no referencial do fio em repouso (S) a soma das
densidades de carga positiva e negativa é nula, o que resulta em um campo elétrico E =
0. Entretanto, a soma de densidades de carga observadas no referencial inercial da
partícula de prova (S´) não é nula (ρ´ ≠ 0), o que faz surgir um campo elétrico E´
diferente de zero; assim, este tipo de campo existe em S´, mas não em S. Recorde-se
também que, no referencial S do fio, há somente campo magnético; e este tipo de campo
também está no referencial S´ da partícula, mas com valor diferente de B (em S) –
embora B´ e B tenham mesma direção e sentido, como veremos adiante. Mas ficam os
questionamentos: há carga elétrica líquida (no fio) do ponto de vista do referencial
inercial S´ ? Sendo a carga uma quantidade que se conserva, teria o fio carga interna
líquida zero em S´ (referencial da partícula), assim como no referencial S – mesmo
havendo densidade de carga não nula (ρ´ ≠ 0) em S´ ?
Isto suscita uma questão sutil e delicada. Ela não é explicitada por Feynman.
Sabendo que a conservação (invariância) da carga elétrica não pode ser violada,
poderíamos suspeitar que a carga (não a densidade) líquida no corpo do fio – em S´ –
seja também nula. Mas não, a carga líquida no fio, no referencial S´, é diferente de zero;
o que não viola a lei de conservação da carga. Aqui entra em cena a noção da
relatividade da simultaneidade, que se refere ao fato de que dois eventos simultâneos
em um referencial inercial não são simultâneos em outro, exceto em um caso específico.
Suponha que, no referencial S do fio de Feynman (como representado na Figura 13–10
(a) (2008, p. 13–7)), que está neutro, um elétron sai pela base direita do fio ao mesmo
tempo em que outro elétron entra pela base esquerda. Com efeito, sendo a corrente i
estática, ρ_ uniforme e a área de corte reta do fio invariante, a velocidade de arraste dos
elétrons de corrente mantém-se a mesma – de acordo com i = ρ_vA. Assim, em qualquer
instante de tempo t do referencial S, igual número de elétrons sai e entra no fio – o que o
mantém neutro. Obviamente, o exemplo de Feynman é idealizado; assim, não
consideramos nenhum efeito, flutuação no valor de grandezas (como ρ_, p. ex.) e
perturbações externas que possam gerar campo elétrico e carga líquida em S. Um
observador em movimento perpendicular ao eixo longitudinal do fio, na Figura 13–10
(a) (2008, p. 13–7), ao longo da reta que mantém iguais distâncias das bases do fio,
27
também constata a entrada de um elétron por uma base do fio simultaneamente à saída
de outro pela outra base; este é o caso específico mencionado acima, em concordância
com Taylor e Wheeler (1992). Porém, segundo a Teoria da Relatividade Especial, em
outros referenciais inerciais estes dois eventos (entrada de um elétron por um lado e
saída de outro elétron por outro lado) não são simultâneos; assim, no referencial S´ (da
partícula), um elétron sai pela base direita antes que outro entre pela esquerda, pois o
observador se move para a direita; e a distância de percurso da luz desta base até o
observador (em S´) é menor, o que o faz detectar a saída de um elétron pela direita antes
da entrada de outro pela esquerda. Isto origina uma carga líquida positiva no fio de
Feynman, do ponto de vista de S´, o que está de acordo com a densidade ρ´ positiva e
com o campo elétrico E´ que devem existir no referencial S´ da partícula de prova.
Obviamente, a descrição anterior é apenas uma experiência de pensamento. É válido
tentar imaginá-la a partir da Figura 13–10 (b) do texto (2008, p. 13–7); também, na
prática, lidamos com uma quantidade enorme de elétrons livres (o que pode se perceber
na resolução da 3ª questão). Imaginar que um elétron sai do fio antes que outro entre é
apenas uma simplificação útil. Não há nenhum problema mais profundo com o fato de
que o fio deixa de estar neutro na passagem do referencial inercial S para o S´, pois a lei
de conservação da carga não é violada. A conservação da carga elétrica deve ser local, e
se relaciona ao fato de que um portador de carga (em um sistema físico “em repouso”)
pode se mover de um local para outro e/ou permanecer estacionário dentro da fronteira
do sistema; mas nunca desaparecer e – simultaneamente – aparecer em outro lugar do
sistema em questão. Se isto ocorresse, um observador em MRU relativo ao sistema
poderia observar a não simultaneidade destes eventos (o desaparecimento e surgimento
de um elétron, p. ex.); portanto, este observador concluiria que, em certo intervalo do
seu tempo, o elétron sumiu ou houve um elétron extra. Assim, a lei de conservação da
carga só valeria corretamente no referencial do sistema considerado em repouso, isto é,
deveria haver um referencial privilegiado, absoluto; o que viola o Princípio da
Relatividade. Na experiência de Feynman (2008), obviamente, há um sistema que
contém o fio, uma bateria (ou outra fonte qualquer) e, como é possível imaginar, outros
elementos de circuito. Mas o que mais importa é que a carga líquida interna ao sistema
deve se conservar, estando este isolado (eletricamente); mesmo que a carga líquida no
corpo do fio seja nula em S e positiva em S´. Também, esta lei de conservação no
experimento de Feynman (2008) é compatível com a verificação de que deve ser local;
28
afinal, temos portadores de carga em movimento e em repouso (em S e S´) na estrutura
do fio de Feynman (2008), da fonte – e talvez em outros dispositivos –, mas não
partículas carregadas que desaparecem e reaparecem em outro local, o que segundo
Feynman “[...] é impossível, de acordo com o princípio da relatividade de Einstein.
Logo, é impossível haver conservação não local da carga. O caráter local da
conservação da carga é coerente com a teoria da relatividade.” (FEYNMAN, 2012, p.
71).
Esta questão é valiosa, pois neste ponto já se vislumbra a relatividade de campos
magnético e elétrico até quando a velocidade relativa entre referenciais inerciais é bem
pequena (da ordem obtida na 3ª questão, ≈ 10– 4 m.s –1). É significativo que o leitor
perceba, no aspecto da relatividade destes campos, a importância da Teoria da
Relatividade Especial a fim de tornar compatíveis (nos dois referenciais inerciais de
Feynman) descrições teóricas provindas da mesma teoria: o Eletromagnetismo Clássico.
Enfim, a partir da consideração de contração espacial, o físico deduz uma
expressão de densidade líquida de carga não nula em S´, e conclui pela existência do
campo E´ neste referencial; também, utilizando a noção de relatividade da
simultaneidade, mostramos (de modo razoavelmente convincente) que há carga líquida

positiva no fio em S´. O fator γ   1


1
v2
c2

 na equação obtida para ρ´ não vem de


correções relativísticas no formalismo matemático do Eletromagnetismo, mas sim da
Teoria da Relatividade Especial (previsão de contração do espaço) – que já inclui o
Eletromagnetismo no seu arcabouço teórico e conceitual, sem precisar modificá-lo.
Além disso, vimos que a carga elétrica de um sistema isolado eletricamente se conserva
em todos referenciais inerciais; esta é uma lei fundamental do Eletromagnetismo – e da
Física Moderna –, tanto é que Feynman (2012) a denomina um grande princípio de
conservação. Afinal, a carga é uma propriedade intrínseca à estrutura de boa parte da
matéria conhecida; Feynman (2008), no texto aqui estudado, explicita duas observações
cotidianas que implicam na invariância (e conservação) dessa propriedade. Uma aponta
que um objeto inicialmente descarregado (em certa temperatura) tornar-se-ia carregado
quando aquecido; a outra nos indica que uma substância qualquer se carregaria na
ocorrência de simples reações químicas. Mas estes efeitos nunca foram observados. As
explicações de Feynman (2008) a este respeito são muito boas, e é válido relê-las com
cuidado e atenção. Repare que a observação referente ao aquecimento de um objeto
29
também é válida se este for resfriado, de acordo com a explicação de Feynman; em
resumo, um objeto inicialmente neutro – em certa temperatura – tornar-se-ia
eletricamente carregado quando sua temperatura variasse. É claro que, nas observações
mencionadas por Feynman (2008), os objetos – sistemas – devem estar eletricamente
isolados. A lei de conservação e invariância da carga elétrica é um dos aspectos mais
pertinentes do texto de Feynman (2008), que tentamos enfatizar nos comentários desta
4ª questão, juntamente à relatividade dos campos magnético e elétrico e ao fato de que o
efeito da contração de Lorentz pode ser “emprestado” pela Teoria da Relatividade
Especial – a fim de se começar a vislumbrar a relatividade destes campos e a
compatibilização desta teoria com o Eletromagnetismo.
5ª QUESTÃO:
Item (a):
Primeiramente, vamos obter a expressão para o valor do campo elétrico E´,
como indicado por Feynman (2008) em sua equação 13.28. Lembre-se que o campo
elétrico somente se manifesta em S´; e aqui usaremos a equação da densidade líquida de
carga ρ´ no referencial inercial da partícula (S´). Esta equação se encontra no resultado
14.
É bom que se imagine sempre o fio em movimento ao nos referirmos ao
referencial S´ da partícula de prova – referencial inercial no qual esta partícula está em
repouso, mas não o fio. Isto é evidenciado na Figura 13–10 (b) (2008, p. 13–7) do
texto; assim, em S´, o fio se move para a esquerda e realmente está positivamente
carregado (o que pode se visualizar na Figura 13–12 (b) (2008, p. 13–11) de Feynman).
Poderia ser útil, neste momento, que o leitor revisse (com atenção) as figuras de
Feynman citadas acima – e relesse seus respectivos enunciados com cuidado –, pois
estas se referem ao referencial S´ da partícula elétrica. A Figura 13–12 (b) (2008, p.
13–11) ilustra razoavelmente bem a relatividade dos campos magnético e elétrico nos
sistemas inerciais S e S´.
Antes do cálculo do valor de E´ (no referencial S´), façamos algumas
argumentações sobre as equações indicadas – em enunciados de nossas questões – para
duas importantes leis do Eletromagnetismo. A lei de Gauss da eletricidade escrita para
30
S´ (dada no enunciado desta 5ª questão),

sup erfície
E´ ∙ dS´ =
Qint erna
, eq. 2, é uma das
o
formas de simbolizar-se matematicamente a lei de Gauss da eletricidade. A equação foi
escrita para o referencial da partícula em repouso (S´), ou seja, usamos um símbolo [´]
para representar grandezas e elementos físicos e matemáticos com caráter relativo; e
abstemo-nos do símbolo a fim de apresentar propriedades e quantidades físicas
invariantes (constantes). Isto é bem importante – no nível aqui abordado –, pois, apesar
da existência do que se denomina invariante e do se denomina relativo, a forma
matemática da lei de Gauss da eletricidade é a mesma tanto em S´ quanto em S. Grosso
modo, podemos dizer que a equação desta lei tem igual “cara” em qualquer referencial
inercial, isto é, não é necessário acrescentar nem retirar nada da equação; mas apenas
avaliar os termos relativos (que podem variar na passagem de um referencial para outro)
e os invariantes. Aliás, não apenas esta lei mantém sua forma em todos os referenciais
inerciais, mas todas as leis fundamentais da teoria eletromagnética (geralmente
chamadas de equações de Maxwell). E mais ainda: todas as leis fundamentais da Física
são as mesmas em qualquer referencial inercial. Este é um dos enunciados do que hoje
pode se denominar ‘Princípio da Relatividade de Einstein’ (que deve ser de
conhecimento do leitor); que significa que as equações para as leis fundamentais da
Física se preservam, isto é, mantêm seu formalismo, sua aparência, em todos os
referenciais inerciais. Assim, a expressão aqui descrita para a lei de Gauss da
eletricidade também é válida no referencial S do fio em repouso; todavia, esta lei não
precisa ser aplicada neste referencial, pois, de antemão, sabemos que E é nulo em S. A
carga líquida interna ao fio é zero no referencial do fio em repouso (ρ+= – ρ_); e isto
garante não ser preciso aplicar a lei de Gauss para a eletricidade no referencial S. É
interessante apontarmos que, o formato da lei de Gauss da eletricidade (escrito acima),
explicita a carga interna de um sistema – em nosso caso, do fio; recorde-se que a carga
elétrica interna (líquida) ao fio, no referencial S´, não é nula. Discutiu-se isto nas
considerações da 4ª questão utilizando a noção da relatividade da simultaneidade, onde
se concluiu que a Qinterna no fio – em S´ – não pode ser zero; com efeito, esta carga
líquida no fio é positiva no referencial inercial da partícula (S´), mesmo que a Qinterna
líquida no fio seja nula em S. Isto não viola a lei de conservação da carga elétrica; e
caso o leitor não se lembre de nossos argumentos a este respeito, na resolução da
questão anterior, é útil a releitura de certos trechos desta. Enfim, como a carga líquida
31
(no fio!) difere na mudança do referencial S para o S´, podemos usar a simbologia
Q´interna no cálculo de campo elétrico em S´; todavia, preferimos não usar este símbolo
na equação dada no enunciado desta questão, para enfatizar que a carga líquida em uma
partícula – ou em um sistema como um todo, eletricamente isolado – é invariante,
independente do movimento. Enfim, aplicando a lei de Gauss da eletricidade em S´,
temos:

E´ ∙ dS´ =
sup erfície
Q´int erna
=
o

E´ ∙ dS´ +
contorno
cilíndrico

E´ ∙ dS´ +
base
esquerda

E´ ∙ dS´ (15)
base
direita
Este cálculo também exibe simetria cilíndrica, e a integral na superfície (área)
cilíndrica fechada, que envolve o fio reto – cujo comprimento pressupõe-se ser bem
maior que o diâmetro –, divide-se em três integrais de superfícies abertas (que formam a
superfície total do cilindro); estas superfícies (áreas) podem ser vistas na Figura 2 deste
material, adaptada do próprio texto de Feynman (1964), isto é, adaptada de figura igual
à Fig. 13–10 (b) de Feynman (2008, p. 13–7). A integral no contorno cilíndrico (o
envoltório do cilindro) mais as integrais de suas bases esquerda e direita nos dá a
integral fechada

E´ ∙ dS´ completa na área cilíndrica do referencial S´. Repare
sup erfície
que, nas bases (que nada mais são do que círculos perpendiculares ao eixo do fio), por
argumentos vetoriais, vemos que o campo elétrico E´ é sempre tangente às superfícies
circulares. Lembre-se que o fio considerado é infinitamente longo, mas é preciso tomar
certo comprimento finito L (relativo) no referencial S´; assim, o fio continua
infinitamente além das bases. Então, o campo E´ é sempre perpendicular ao elemento
infinitesimal de área dS´; elemento sempre normal à superfície. Logo, o produto escalar
(interno) E´ ∙ dS´, nas bases circulares, se anula; e as integrais na base esquerda e direita
também se anulam:

base
esquerda
E´ ∙ dS´ = 0
e

E´ ∙ dS´ = 0
(16)
base
direita
Considera-se que a densidade de carga ρ´, no referencial de repouso da partícula
32
(S´), é uniforme; dessa forma, os argumentos vetoriais mencionados podem ser válidos.
Também por argumentos vetoriais – e considerando-se ρ´ uniforme –, pode-se visualizar
que E´ é sempre normal à superfície do contorno cilíndrico e, portanto, paralelo ao
elemento dS´. Assim, o produto escalar E´ ∙ dS´, na integral do contorno, fica igual ao
módulo de E´ multiplicado pelo módulo de dS´; e o resultado 15 se torna:

Q´int erna
=
o
E´ ∙ dS´ =
sup erfície

E´ dS´
(17)
contorno
cilíndrico
Sendo que E´ tem sempre o mesmo valor para certa distância r perpendicular ao
eixo do fio (E´ é estático); e como

dS´ = S´ (a área do contorno do cilindro),
contorno
cilíndrico
obtemos:
Q´int erna
= E´ S´ = E´ 2πrL
o
(18)
Onde S´ = 2πrL; portanto, o valor do campo elétrico E´, no referencial inercial da
partícula de prova, fica:
E´ =
´ A
´ Ao L
Q´int erna
=
=
2r o
2rL o 2rL o
Obtivemos o último termo (mais à direita) fazendo ρ´ =
(19)
Q´ ; assim, a carga
V´
interna Q´ se iguala à ρ´Ao L. O volume relativo V´ do fio, em S´, é dado por V´ = Ao L.
Atente-se para o fato de que a área de seção transversal do fio condutor é representada
por Ao = A, pois Feynman (2008) usa para esta estes dois termos – o que é
desnecessário, pois as dimensões transversais ao movimento relativo entre referenciais
inerciais não sofrem alteração relativística. Calculamos a expressão para ρ´ – que é
33
2
v

c 2 = ρ´; este cálculo está na 4ª questão
positiva – em S´ (referencial da partícula),
v2
1
c2
e no texto de Feynman (2008). Logo, o termo mais à direita em 19 se torna:
E´ =
 A
v2
c2
2 o r 1 
(20)
v
c2
2
Esta é a expressão para o valor de campo elétrico E´ – no referencial inercial S´
– como escrita por Feynman (2008) em sua equação 13.28. Este resultado também
mostra a questão da relatividade do campo elétrico; com razão, como o leitor deve
saber, há campo elétrico em S´, mas não em S. A expressão 20 demonstra que o valor de
E´, em S´, não pode ser nulo; já sabíamos disto de antemão, pois o fio está
positivamente carregado no referencial de repouso da partícula. Obviamente, a
relatividade dos campos magnético e elétrico também se aplica às forças engendradas
por estes na partícula elétrica.
Somos já capazes de explorar melhor o aspecto da relatividade do campo
magnético na experiência de Feynman (2008). Este campo está nos dois referenciais
inerciais do texto; em S, ele é devido à corrente estática i neste referencial, uma corrente
de elétrons livres; em S´, o campo magnético se deve à corrente (também estática) i´ que
se manifesta neste referencial: o fio, em movimento no referencial S´, leva consigo uma
distribuição de partículas positivas (prótons), fixas em sua estrutura. A distribuição tem
valor de velocidade v´+ = – v (para a esquerda); reveja a Figura 13–10 (b) do texto de
Feynman (2008, p. 13–7) e repare que esta velocidade é simplesmente o negativo do
vetor vo (velocidade da partícula de prova em S). As cargas positivas são representadas,
em S´, pela densidade de carga ρ´+ ; uma densidade relativa de carga positiva, pois estas
se movimentam no referencial S´ da partícula de prova. Recorde-se que a soma destas
cargas (contidas em prótons nucleares) é a carga total de N prótons, onde N é o número
de átomos de certa porção do fio infinito tomada para estudo. Os demais prótons
nucleares também se movem no referencial S´ (junto ao fio), mas suas cargas (e
densidades de carga) não precisam ser contabilizadas, pois se contrabalanceiam pelas
34
cargas dos demais elétrons atômicos. Em resumo, Feynman preocupa-se apenas com o
total de elétrons livres (que se supôs ser um por átomo na 3ª questão) que concorrem
com igual número de prótons nucleares – também um por átomo (por núcleo); os
demais elétrons e prótons estão em repouso uns em relação aos outros. E na ausência de
movimento relativo entre eles, suas cargas (e densidades de carga) se balanceiam em
qualquer referencial inercial. A equação 12 – ou 13.24 de Feynman (2008) – nos dá a
relação entre as densidades de carga positiva em S e S´: ρ´+ =

1
= γ ρ+; onde a
v
c2
2
densidade ρ+ é uma densidade de repouso, pois as cargas positivas estão estacionárias
em S, e ρ´+ é uma densidade de carga relativa – pois estas mesmas cargas se movem
junto ao fio em S´. Sendo γ =
1
maior do que um, em nosso caso (v ≠ 0), ρ´+ fica
v2
1
c2
maior que ρ+. O procedimento para cálculo do valor do campo magnético B´, em S´, é
igual ao utilizado no cálculo deste campo em S; isto indica que podemos usar a mesma
forma de equação de Maxwell (lei de Ampère da magnetostática), usada no referencial
do fio (S), para calcular o valor de B´ no referencial inercial da partícula (S´). Pois as
equações de Maxwell se preservam, mantendo sua forma, seu formato, em qualquer
referencial inercial; e devemos apenas analisar quantidades que variam (ou podem
variar) na passagem de um referencial para o outro. Assim, admitindo que o campo
magnético varia – de S para S´ –, pois o valor de corrente varia, podemos escrever a lei
de Ampère da magnetostática para S´,

B´ ∙ dl´ = μo i´, de tal modo a destacar o
linha
símbolo [´ ] nas quantidades que sofrem variação. Como i´ é dada ρ´+ (–v)A (assim
como i = ρ_vA), e substituindo-se μo por
1 (que são todas quantidades constantes),
 oc 2
obtemos que o valor de B´ – após um rápido cálculo – é
B´ =
 ´ vA
. Aqui, o infinitesimal dl´ = dl, pois estes são elementos
2r o c 2
matemáticos transversais; portanto, invariantes ao MRU relativo no texto de Feynman
(2008). Também a circunferência na qual se faz a integral

linha
dl´ possui comprimento
35
invariante, 2πr, pois é uma circunferência transversa ao movimento (assim como r), que
não se altera; e a simetria para o cálculo é igual à da obtenção do valor de B, com B´ e
dl´ paralelos. Optamos por usar 1 ao invés de μo, a fim de que nossos resultados
 oc 2
fiquem semelhantes aos de Feynman. Podemos comparar o resultado de B´ com o do
valor de B, obtido para S; para isto, basta utilizar a relação entre as densidades de carga
positiva (indicada acima e no texto) e a igualdade ρ+ = – ρ_. Fica, então, como sugestão
ao leitor obter B´ = γ B, que é a relação entre os valores dos campos magnéticos, para
determinada distância radial r ao eixo (longitudinal) do fio, nos dois referenciais do
texto.
Todos os campos de Feynman (2008), B, E´ e B´, são estáticos; e somente o
campo magnético B´ não atua na partícula de prova, pois a velocidade desta – em seu
referencial próprio – é nula. Não há força magnética em S´. Recorde-se que B
(magnético) existe apenas na perspectiva de um observador em S, enquanto E´ (elétrico)
e B´ apenas na perspectiva de um observador em S´; ou seja, estes campos são
totalmente relativos. Embora observemos a mesma espécie de acontecimento físico nos
dois referenciais de Feynman, a atração da partícula pelo fio, as grandezas de campo
usadas na descrição da interação (de natureza eletromagnética) são completamente
dependentes do referencial inercial escolhido. “Forças elétricas e magnéticas são parte
de um mesmo fenômeno físico – a interação eletromagnética das partículas. A
separação desta interação em parte elétrica e magnética depende muito do sistema de
referência [...]”, destaca Feynman (2008, p. 13–11). Isto equivale a dizer que, em
qualquer referencial inercial, observaríamos uma atração entre a carga de prova e cargas
no fio, mas o(s) tipo(s) de campo(s) e força(s) engendrada(s) na partícula elétrica por
este dependem completamente do referencial usado no estudo da experiência de
Feynman (2008). Como ressalta o cientista, em outro referencial que não S ou S´,
encontrar-se-ia uma mistura diferente dos campos elétrico e magnético. Lembre-se que
os resultados encontrados para campos e forças (neste material e no texto) valem para o
caso especial em que vo (da partícula em S) é igual à velocidade de arraste dos elétrons
de condução, em S. Também, ao dizermos que os campos de Feynman são estáticos,
eles o são em relação ao tempo de seu respectivo referencial inercial; cada campo, B,
E´, B´, existe apenas em um referencial.
Em relação ao fato de que as equações de Maxwell se preservam em todos os
36
referenciais inerciais, alguns comentários adicionais são pertinentes. Por exemplo, se
em S´ (um sistema com velocidade uniforme vo relativamente à S) tivéssemos um
campo magnético variável em função do tempo t´ – distante do fio de Feynman (2008) –
, produzido por corrente variável em outro fio, a lei de Gauss da magnetostática
possuiria a mesma forma neste referencial S´ ? Sim, esta lei continuaria correta e com
igual formalismo matemático; só não seria mais aplicável nesta situação. Para o cálculo
do campo magnético em certo ponto do espaço e instante, em S´, precisaríamos da lei de
Ampère generalizada. Mas o formalismo matemático associado a estas leis se mantém
em qualquer referencial, pois são equações de Maxwell. Do mesmo modo, a lei de
Gauss da eletricidade também é correta e se conserva no referencial S do fio de
Feynman. Esta só não precisa ser aplicada neste referencial inercial, pois a carga e
densidade líquidas são nulas em S. Enfim, todas as equações de Maxwell se preservam
em qualquer referencial inercial, sem a necessidade de nenhuma correção relativística; é
necessária, sim, a análise de características do(s) campo(s) em determinado referencial,
isto é, de grandezas e quantidades físicas que lhes originam e de suas possíveis
alterações – que podem se modificar na mudança de referencial inercial ou no próprio
referencial em questão. Assim, podemos estudar quais equações de Maxwell são mais
apropriadas em cada caso.
Para finalizar o item (a) desta questão, vamos obter o vetor força elétrica que age
na partícula de prova – em seu próprio referencial S´; é fácil perceber que este vetor é
radial ao eixo longitudinal do fio, pois o campo elétrico estático (em S´) também é radial
a este eixo. As linhas de campo são retas perpendiculares à superfície do condutor,
afastando-se deste, porque o fio está carregado positivamente no referencial da
partícula. Logo, basta inserir um unitário radial r positivo – na expressão do campo E´ –
para obtermos o vetor E´; e como o campo elétrico, em S´, pode ser dado por E´ = F´/q ,
temos que
F´ = q E´ = q
 A
v2
c2
(r)
(21)
v2
2 o r 1 
c2
Onde a carga q, no texto de Feynman (2008), é um invariante escalar negativo. Assim,
percebemos que a força elétrica F´ tem sentido contrário ao de E´, mas está na mesma
37
reta de ação (radial). O resultado 21 é coerente, pois as forças magnética F e elétrica F´
têm orientações iguais, cada qual em seu respectivo referencial inercial; o que não
poderia ser diferente, pois a experiência de Feynman envolve uma interação de natureza
eletromagnética atrativa. A atração eletromagnética deve se observar não apenas nos
dois referenciais do texto, mas em qualquer outro; seria um absurdo lógico a partícula
elétrica aproximar-se do fio no referencial de repouso deste (S), mas permanecer
estacionária – ou ser repelida, afastando-se do fio – em seu referencial próprio e/ou em
outro qualquer. Em suma, segundo o Princípio da Relatividade einsteiniano, não
somente as equações fundamentais do Eletromagnetismo (de Maxwell) são idênticas –
preservando os seus formatos matemáticos em quaisquer referenciais inerciais –, mas
todas as leis fundamentais da Física. Estas leis descrevem acontecimentos físicos (em
nosso caso, a interação eletromagnética em S e S´) logicamente coerentes com as
observações experimentais em distintos referenciais inerciais. Enfim, apesar de que
temos conceitos de força diferentes nos referenciais de Feynman (2008), a força
magnética (em S) e a elétrica (em S´) nos dão resultados físicos compatíveis – como
mostrado por Feynman e em considerações posteriores deste material. A relatividade
das forças elétricas e magnéticas provém da relatividade dos campos a elas associados;
também, na abordagem de Feynman (2008), vimos que foi possível concluir pela
relatividade destas forças partindo de leis e previsões como a invariância da carga
elementar, a contração do espaço, a variação relativística de densidades de carga etc. E
mesmo na existência de tantas grandezas, quantidades e conceitos relativos, certos
resultados físicos devem mostrar-se iguais, como p. ex., o valor da carga na partícula de
prova. As forças F e F´ de Feynman apenas podem ser relacionadas em sua equação
13.30 porque o valor q é o mesmo (invariante). Caso a carga contida na partícula
dependesse de sua velocidade (e, por conseguinte, dependesse do referencial inercial),
não se poderia equacionar F´ e F como faz Feynman (2008); assim, os resultados físicos
não seriam coerentes em S e S´, estando em contradição com o Princípio da
Relatividade. A medição de carga deve resultar em valores idênticos, para quaisquer
referenciais; esta é uma boa maneira de se enfatizar a lei de invariância (e conservação)
da carga elétrica. Observando o leitor as expressões 13.21 e 13.29 de Feynman – do
valor de força magnética e elétrica, respectivamente –, facilmente notará que estas
apenas se relacionam matematicamente se a carga elétrica líquida q da partícula for um
invariante escalar. Isto é verdade para qualquer sistema na natureza, que esteja
38
eletricamente isolado. Assim, mesmo que haja recebimento/perda de energia pelo
sistema e/ou ocorrência de reações químicas em seu interior, a carga líquida sempre é
invariante (se conserva). A lei de invariância/conservação da carga elétrica é muito
importante na ciência; afinal, como afirma Feynman (2012), a carga é a propriedade
fonte do campo eletromagnético.
Item (b):
A outra quantidade física à qual o enunciado deste item se refere – explícita na
maior parte das equações de Feynman (2008) – é o valor absoluto da velocidade da luz
no espaço livre (vácuo), geralmente designado por c; uma constante para qualquer
frequência de onda eletromagnética – visível e invisível ao olho humano. Podemos dizer
que c é mais um invariante que aparece no sistema teórico interligado ao
Eletromagnetismo e à Teoria da Relatividade Especial, além da propriedade de carga
elétrica, das equações de Maxwell, dentre outros; seu valor mais preciso, atualmente
aceito, é 299.792.458 m.s
–1
, em unidades do Sistema Internacional (EINSTEIN, 1999;
TAYLOR; WHEELER, 1992). Podemos perceber a invariância (ou constância) de c, no
texto de Feynman, pelas seguintes considerações. A velocidade da luz, no referencial S
do fio em repouso, aparece já na equação 13.21 para o valor de força magnética F. Mas,
o valor da velocidade luminosa, no espaço livre, que surge elevado ao quadrado (c2)
nesta equação de Feynman (2008), vem diretamente da lei de Ampère da
magnetostática. O leitor pode comprovar isto ao substituir μo por
1 na eq. 1 deste
 oc 2
material e fazer o cálculo de campo e força magnética que atua na partícula de prova –
em S. Recorde-se que o valor de c é dado por
1
 o o
. Mas c também surge nas
equações 13.28 e 13.29 de Feynman, sempre ao quadrado; desta vez, a quantidade c2
nestas equações provém da expressão para a densidade líquida (positiva) de carga ρ´,
evidenciada na equação 13.27 do texto. Em última instância, c2 aparece nas equações
para o valor de campo e força elétrica, em S´, pois vem da adoção de Feynman (2008)
do efeito relativístico da contração do espaço – expresso em sua equação 13.22. Assim,
para que os valores de força elétrica F´ e magnética F possam ser relacionados em 13.30
– e também para que possamos provar (mais adiante) que o momento transverso da
partícula é invariante em ambos os referenciais inerciais de Feynman (2008) –, devemos
39
assumir que c tem igual valor absoluto em equações para grandezas dos dois
referenciais do texto. Noutras palavras, c deve possuir o mesmo valor absoluto na
equação 13.29 (para F´ no referencial S´) e na equação 13.21 (para F no referencial S),
para que se possa relacionar estas forças e concluir pela coerência dos resultados físicos
em ambos os referenciais inerciais. Caso c fosse uma quantidade relativa, o adequado
seria usar símbolos e/ou subscritos distintos para esta velocidade nas equações de S e S´
– assim como faz Feynman para diversas grandezas relativas e variáveis. Porém, c surge
como constante nas equações para grandezas de qualquer referencial inercial, sendo, por
conseguinte, independente do movimento relativo entre estes. E isto é confirmado pela
experiência. Deve ser de conhecimento do leitor, por exemplo, a famosa experiência
óptica de Michelson-Morley (ou outros avanços empíricos que também comprovam a
constância de c). Afinal, se a invariância no valor de velocidade luminosa (no espaço
livre) não tivesse provas da observação, Feynman (2008) não poderia concluir pela
compatibilidade entre o Eletromagnetismo e a Teoria da Relatividade Especial. E, se c
não fosse constante, a permissividade elétrica εo e a permeabilidade magnética μo, para o
espaço livre, também não o seriam; pois εo =
1 e μ = 1 . Dessa forma,
o
o c 2
 oc 2
poderíamos esperar que o formalismo matemático das equações de Maxwell não se
preservasse, sendo dependente de um referencial absoluto, privilegiado; neste caso, o
Princípio e a Teoria da Relatividade Especial de Einstein não seriam válidos –
juntamente às previsões de dilatação temporal e contração espacial. Entretanto, c, μo e εo
são quantidades físicas invariantes, intrincadamente relacionadas entre si e às equações
de Maxwell.
Pode parecer aparentemente absurdo que a velocidade de propagação da
radiação eletromagnética tem sempre o mesmo módulo no espaço livre, independente
do movimento relativo entre a fonte de luz e o observador. A constante c traz à tona, de
certa forma, a intrincada relação entre as grandezas de espaço e tempo; segundo Taylor
e Wheeler (1992), c pode ser interpretada – ao utilizarmos unidades iguais para as
medidas de tempo e espaço – como um fator de conversão entre estas grandezas. Esta
constante também evidencia de certo modo a conexão íntima entre os formalismos
teóricos do Eletromagnetismo e da Teoria da Relatividade Especial, como se percebe no
texto de Feynman (2008), p. ex., ao observarmos suas equações para densidades de
carga – válidas mesmo quando a velocidade relativa entre dois referenciais inerciais é
40
muito pequena.
6ª QUESTÃO:
Esta, talvez, é a questão mais difícil deste material, no que se refere ao
procedimento de cálculo; entretanto, ela envolve noções interessantes. Em primeiro
lugar, deve-se deixar claro ao leitor que a abordagem em Feynman (2008) insere-se
somente no contexto da teoria clássica do Eletromagnetismo e da Teoria da Relatividade
Especial.
Podemos
desconsiderar
qualquer
interação
gravitacional;
também,
desconsideram-se quaisquer efeitos ou previsões relacionados às teorias quânticas,
assim como quaisquer forças de resistência/atrito mecânico. Enfim, só nos interessam
referenciais inerciais, ou melhor, referenciais inerciais bem aproximados; assim, as
variações de velocidade da partícula elétrica de prova q – devido às forças que nela
atuam, cada qual em um referencial – devem ser tomadas como bastante pequenas, de
tal maneira que o referencial S´ de repouso desta partícula (a própria partícula!)
mantenha-se quase que somente em movimento reto e uniforme em relação ao
referencial S (de repouso do fio). Noutras palavras, o movimento entre a partícula e o
fio seria, na prática, muito próximo de um movimento relativo uniforme; e as variações
de velocidade da partícula seriam muitíssimo sutis. Com este propósito, vamos tomar
intervalos de tempo – nos referenciais S e S´ – bem pequenos; ao invés da notação de
Feynman (Δt e Δt´ ), utilizemos elementos infinitesimais de tempo dt e dt´ para os
referenciais inerciais S e S´.
A partir da equação do enunciado da 6ª questão, p = m u , vamos escrever a
v2
1
c2
expressão para o valor do momento relativístico transverso da partícula em S. A
partícula possui velocidade longitudinal vo neste referencial (que, de fato, é sua
velocidade inicial no referencial S). Devido à força magnética radial – que atua apenas
em S (apontando para o fio) –, temos uma sutil variação na velocidade, de acordo com
as considerações acima. Assim, a partícula tem, após um intervalo de tempo muito curto
dt decorrido em S, um pequenino vetor velocidade uy radial e para baixo. A velocidade
resultante da partícula (em S) é a soma vetorial de vo com uy; mas somente nos interessa
v2 (sempre positivo), que é o quadrado do valor de velocidade v no referencial em
41
questão – primeiramente em S –, dado pela soma dos quadrados dos valores de vo e uy:
vo2 + uy2 = v2. Logo, segundo a equação anterior, o valor de momento transverso (ou
transversal) da partícula, em S, é escrito como
py =
mu y
mu y
=
 vo 2  u y 2 

1 
 c2



v2
1
c2
(22)
Onde m é a massa de repouso da partícula negativamente carregada.
Através de considerações semelhantes, escrevemos a expressão para o valor de
py´. Repare que agora, no referencial inercial S´ (da partícula), esta possui apenas uma
bem pequena velocidade radial uy´ – após decorrido um tempo infinitesimal dt´ no
referencial S´. Esta velocidade lhe é conferida, agora, pela força elétrica, que age apenas
em S´. Enfim, a expressão do momento transversal, em S´, fica:
py´ =
mu y ´
v2
1
c2
=
mu y ´
1
(23)
u y ´2
c2
Onde v2 foi simplesmente substituído por uy´ 2, pois o valor de velocidade da partícula,
em S´, é apenas uy´.
Escrevendo os valores de uy e uy´ como derivadas temporais, obtemos uy = dy e
dt
uy´= dy´ ; também, sabemos que na existência de movimento relativo entre dois ou mais
dt´
referenciais inerciais manifesta-se o efeito da dilatação do tempo. Esta previsão
relativística nos aponta que relógios em repouso (estacionários) em diferentes
referenciais inerciais não terão o mesmo ritmo (pressupõe-se que todos estes relógios
são igualmente construídos). Noutras palavras, na Teoria da Relatividade Especial –
quando os efeitos gravitacionais podem ser desprezados –, o ritmo do tempo em dois
referenciais em movimento retilíneo uniforme (MRU) entre eles se mostrará diferente.
Aqui, entra um aspecto importante que devemos enfatizar. Assim como
Feynman (2008) toma emprestado o efeito da contração de Lorentz – que pôde ser
42
usado na contabilidade das densidades de carga elétrica –, ele também se vale do efeito
de dilatação temporal a fim de conciliar a igualdade dos momentos transversos. Vemos
aqui que duas noções relativísticas são explicitamente utilizadas, propiciando descrições
eletromagnéticas clássicas que estão em concordância com as equações de Maxwell e
com a Teoria da Relatividade Especial. A partir da invariância/conservação da carga, da
contração de Lorentz (ou contração do espaço) etc., o texto de Feynman nos permite
concluir pela relatividade dos conceitos de campo elétrico e magnético, pois o fio está
carregado em S´ (mas não em S) – e, como já vimos, as intensidades do campo
magnético devem diferir de um referencial inercial de Feynman (2008) para o outro. De
modo análogo, concluímos também pela relatividade das forças elétrica e magnética,
pois em S a força é de natureza magnética e em S´ de natureza elétrica. E, com a
previsão da dilatação temporal, veremos que os resultados físicos previstos, em
concordância com a Relatividade Especial, são compatíveis com nossas descrições
eletromagnéticas. Com efeito, intervalos de tempo Δt e Δt´ correspondentes (entre os
mesmos dois eventos) – medidos em seus respectivos referenciais S e S´ – são
relacionados, por Feynman, pela equação Δt =
saber,
1
1
t´ em 13.33. Como o leitor deve
v2
1
c2
é geralmente denominado fator de Lorentz, representado pela letra grega
v
c2
2
γ (gama). Como optamos por escrever os bem curtos intervalos de tempo como
incrementos infinitesimais (dt e dt´ ), esta equação resulta em dt = γ dt´. Devemos
destacar que o que chamamos de ‘eventos’ não são exclusivos de determinado
referencial inercial; ou seja, eventos possuem existência independente no espaço-tempo
(TAYLOR; WHEELER, 1992). Na Teoria da Relatividade Especial, geralmente se
trabalha com o conceito de evento, acontecimentos aos quais são definidos (pelo menos
teoricamente), em certo referencial inercial, um instante de tempo e uma posição
espacial (EINSTEIN, 1999). Na experiência de pensamento de Feynman (2008) não são
especificados eventos quaisquer; o que não é necessário. Não precisamos nos preocupar
com a introdução de sistemas de coordenadas para definir posições; porém, sabemos
que as coordenadas transversas y e y´ são invariantes (y = y´), não sofrendo alteração
relativística. Assim, também dy = dy´, de tal forma que se pode representar o valor de
43
dy´ dy
=
; e, de dt = γ dt´, ainda obtemos
dt´ dt´
velocidade uy´ – como uma derivada – por
dt´
dt

. Então:
uy´ =
dy
dy
=
=γuy
dt
dt 
(24)
Em 24, temos o resultado uy´ = γ uy ; substituindo este no termo mais à direita da
eq. 23 do momento transverso py´, em S´, temos:
mu y
py´ =
1
 uy
2
(25)
2
c2
 2u y
Onde o termo 1 –
, no interior da raiz quadrada, é manipulado de tal modo que
c2
2
2
2
 1 uy2 
 2u y
 2  2u y
2
 . Assim, retornando o último resultado para
1–
=
= 


  2 c2 
2
c2
c2


dentro da raiz quadrada em 25, obtém-se:
mu y
py´ =

1

2

uy
c
2
2
=
mu y
 1
2
uy
2
. Neste resultado, o termo mais à
vo

c2
c2
direita é equivalente à expressão do momento transverso py, escrita em 22. Portanto:
py = py´
(26)
Chegamos à igualdade almejada. Se o valor da componente transversa (ou
transversal) do momento da partícula de prova é invariante, também os valores de
variações deste momento – entre iguais coordenadas y
final
= y´
final
ey
inicial
= y´
inicial
–
serão igualmente invariantes em ambos os referenciais inerciais de Feynman (2008),
isto é, Δpy = Δpy´. Neste contexto, é de grande validade a citação de Feynman, que
44
conclui que:
[...] temos o mesmo resultado físico quando analisamos o movimento de uma
partícula movendo-se ao longo de um fio num sistema de coordenadas em
repouso com respeito ao fio, ou num referencial em repouso com respeito à
partícula. No primeiro caso, a força era puramente “magnética”, já no
segundo, puramente “elétrica”. (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p.
13-11, destaques do autor).
Ou seja, a abordagem de Feynman demonstra que, sob a ótica da Teoria da
Relatividade Especial, podemos mostrar que a teoria clássica do Eletromagnetismo é
compatível com o arcabouço formal e conceitual da Teoria da Relatividade Especial;
isto implica que não existem contradições lógicas internas entre estas teorias, ao menos
no nível em que se está a considerar.
Na passagem do referencial S (em repouso com respeito ao fio) para o
referencial inercial S´ (em repouso com respeito à partícula), ocorre a mudança na
descrição do conceito de força atuante na partícula – primeiramente magnética e depois
elétrica. Todavia, as duas descrições nos dão resultados físicos totalmente coerentes e
compatíveis com as teorias citadas, isto é, com as leis de Ampère da magnetostática e de
Gauss
da
eletricidade,
com
a
lei
da
invariância
no
valor
c,
com
a
invariância/conservação da carga, com o Princípio da Relatividade etc. Apesar de que
foram utilizadas duas equações de Maxwell distintas – para campos estáticos do texto e
deste material –, uma para magnetostática e outra para a eletricidade, sem conexão
aparente entre o campo magnético de S e o campo elétrico de S´, na própria natureza há
um íntimo relacionamento entre estes campos, interligado ao Princípio da Relatividade.
Este aspecto é ressaltado por Feynman (2008, p. 13–7), e pode-se percebê-lo no fato de
que as descrições dadas pelos conceitos de força (magnética em S e elétrica em S´ )
fornecem iguais resultados físicos.
7ª QUESTÃO:
A relação entre intervalos de tempo Δt medidos no referencial S (do fio em
repouso) e intervalos de tempo Δt´ medidos no referencial inercial S´ (da partícula em
repouso) é dada pela equação 13.33 de Feynman (2008, p. 13–11), Δt =
t´ = γ Δt´.
v2
1
c2
45
É preciso que o leitor compreenda que estes intervalos temporais – Δt em S e Δt´ em S´
– devem ser correspondentes, como afirma Feynman: “Precisamos, obviamente,
comparar Δpy
com Δp´y para intervalos de tempo correspondentes Δt e Δt´.”
(FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–11). Esta correspondência refere-se
ao fato de que os intervalos de tempo, em cada referencial, devem ser mensurados entre
os mesmos eventos; como destacado na 6ª questão, eventos têm existência
independente. O leitor pode imaginar, por exemplo, o evento inicial da experiência de
Feynman como a formação (e/ou emissão) da partícula negativa – um elétron, p. ex. –
em um processo nuclear ou atômico capaz de fazê-lo, ou que a partícula provém de uma
fonte qualquer. Obviamente, pressupõe-se que, no evento inicial, a partícula é emitida
com velocidade inicial vo (paralela ao fio) igual à velocidade média de arraste dos
elétrons de condução no referencial S. Os instantes para este evento poderiam ser
especificados por t
inicial
= t´inicial = 0. Como optamos por escrever a equação 13.33 na
forma diferencial (dt = γ dt´ ), pois estamos a tomar intervalos de tempo como
elementos infinitesimais, o evento final poderia ser a observação/detecção da partícula,
em coordenada transversal final y = y´, quando seu momento transverso variou dpy =
dpy´. Lembre-se que esta variação de momentum ocorre após atuação das forças
magnética e elétrica, nos respectivos tempos infinitesimais dt e dt´ – em seus
respectivos referenciais inerciais.
Feynman (2008, p. 13–11) destaca que “intervalos de tempo que se referem a
partículas que se movem parecem ser maiores que aqueles no referencial de repouso da
partícula.”. Mas há aí uma incorreção, ou mais provavelmente um descuido do físico
nesta citação, pois os intervalos temporais aos quais se refere não parecem ser maiores,
mas realmente o são. Podemos descrever melhor este fenômeno mencionando a Física
de Partículas; por exemplo, observa-se que a vida média de uma partícula instável
qualquer (que sofre algum tipo de decaimento/desintegração) é maior quando esta se
encontra em MRU relativo ao referencial inercial de um laboratório. Expressando isto
melhor: o intervalo de tempo Δt, medido para a vida média da partícula – por relógios
estacionários no referencial inercial de um “laboratório” –, é maior quando a partícula
está em MRU relativamente a este laboratório do que quando ela está em repouso no
referencial do laboratório. O que se chama de laboratório pode ser um moderno
acelerador de partículas ou até a própria Terra, pois, partículas instáveis que são
formadas/emitidas na porção superior da atmosfera (com valores de velocidade
46
próximos de c) são detectadas na superfície terrestre; múons, como exemplo, vêm da
parte atmosférica mais alta, como radiação secundária de raios cósmicos (TAYLOR;
WHEELER, 1992; GAZZINELLI, 2009).
Esta questão é útil para auxiliar o leitor a compreender melhor a citação do texto,
pois intervalos temporais mensurados para a vida média de partículas instáveis – em
velocidades significativas em relação à luminosa – são realmente maiores quando
tomados por relógios estacionários no referencial do laboratório do que quando
tomados/calculados para o referencial da partícula. Outra finalidade desta questão foi
descrever a dilatação temporal, dando alguma interpretação para os distintos intervalos
correspondentes Δt e Δt´, e também citar poucos exemplos de confirmações
experimentais. Em suma, podemos afirmar que há um intervalo de tempo próprio,
medido no próprio referencial inercial de repouso da partícula; este intervalo é sempre
menor que o intervalo temporal correspondente medido em qualquer outro referencial
inercial. Para a vida média de uma partícula instável, concluímos, então, que há uma
vida média de repouso, medida no referencial inercial da própria partícula; assim, esta
vida média de repouso, que é um intervalo de tempo próprio, sempre se mostra menor
que a vida média da partícula instável em qualquer outro referencial inercial. Em termos
de eventos, podemos ressaltar: o intervalo de tempo próprio – entre dois eventos – é o
intervalo Δt´ medido num referencial inercial (por relógios fixos neste) no qual estes
eventos ocorrem na mesma posição; em qualquer outro referencial inercial o intervalo
de tempo Δt, entre os mesmos eventos, é maior que o intervalo próprio por um fator γ =
1
1
(GAZZINELLI, 2009; TAYLOR; WHEELER, 1992). Este é o significado da
v
c2
2
equação Δt = γ Δt´ contida em Feynman (2008). Logo, no texto do físico, Δt´ pode ser
considerado um intervalo de tempo próprio, pois refere-se ao referencial de repouso da
partícula negativa. E embora Feynman (2008, p. 13–11, destaque nosso) reconheça que
“[...] nossa partícula está inicialmente em repouso em S´ [...]”, ele assume que, para
pequenos tempos, podemos esperar Δt = γ Δt´; e tudo mostrar-se-á correto (FEYNMAN;
LEIGHTON; SANDS, 2008). Por isto utilizamos infinitesimais de tempo, para dar uma
boa ênfase ao fato de que os tempos tomados – em cada referencial – devem ser
bastante curtos, a fim de que as acelerações produzidas na partícula de prova (pelas
forças, em seus respectivos referenciais) sejam também bem pequenas, sutis. Assim, a
variação no valor de momento transversal pode também ser abordada, em nossos
47
cálculos, como elementos dpy = dpy´. Desse modo, tomamos os referenciais em
movimento relativo como inerciais, com boa aproximação.
8ª QUESTÃO:
Item (a):
A relação matemática entre os valores de força magnética F e elétrica F´ – em
seus respectivos referenciais inerciais S e S´ – pode ser obtida de modo simples. Não
nos preocuparemos com a questão de que alguma ou outra equação de Feynman (2008)
possa resultar em valores negativos, na substituição dos termos nas expressões.
Feynman deixa claro que se está a considerar o módulo destas forças. Também,
aplicando uma regra de mão direita em S, e sabendo que o fio está positivamente
carregado em S´, concluímos facilmente que F e F´ têm igual direção e sentido (radial e
“para baixo”, apontando para o fio). Assim, nos dois referenciais a partícula elétrica é
atraída pelo fio, o que não poderia ser diferente, pois violaria o Princípio da
Relatividade. Na 5ª questão, a equação 21 (eq. 13.29 de Feynman (2008)) contém o
valor de força elétrica: F´ = q E´ = q
 A
v2
c2
. Temos, portanto, uma força
v2
2 o r 1 
c2
puramente elétrica que atua na partícula de carga q, no referencial de repouso desta
(S´ ); sendo ρ+ uniforme e A e v = v_ constantes, o valor de força elétrica que atua em
um elétron de prova, por exemplo, dependerá apenas da distância r ao eixo longitudinal
do fio. Isto pode ser vislumbrado na equação escrita acima. Dada a expressão para F
(magnética) – presente no termo mais à direita da equação 6 deste material, e na
equação 13.21 de Feynman –, e substituindo-se ρ_ por – ρ+ na expressão para F =
q  Av 2  q  Av 2
=
, vamos obter:
2r o c 2
2r o c 2
F´ = q
v 2 = q  Av 2
2r o c 2
v2 c2
2 o r 1 
c2
 A
1
1
= F
v
c2
2
1
1
(27)
v
c2
2
Onde, segundo o considerado acima, desprezamos o sinal negativo vindo de – ρ+, pois
48
nos interessam apenas os valores absolutos (módulos) das forças.
Repare que, assim como F´, o valor de força magnética (no referencial S)
também depende apenas da distância radial r ao eixo do fio; e, de acordo com o
resultado 27, podemos escrever a relação entre estas forças como F´ = γ F, em
concordância com a expressão obtida por Feynman (2008), na equação 13.30.
A relação F´ = γ F ressalta a relatividade dos conceitos de força elétrica e de
força magnética; no exemplo pensado por Feynman (2008) – um caso especial em que a
velocidade de um portador de carga é igual à velocidade de arraste de elétrons
condutores da corrente (no referencial de repouso do fio condutor) –, vemos que os
conceitos de força mudam não apenas de espécie, mas também em seus valores
previstos para uma mesma coordenada transversa y = y´, na qual temos um mesmo
resultado físico. Em outras palavras, as forças elétrica e magnética (no contexto da
teoria eletromagnética clássica) são, de fato, conceitos relativos, dependentes do
referencial inercial utilizado para descrever uma interação eletromagnética; e a
experiência do texto mostra bem este aspecto, pois, como enfatiza Feynman (2008), no
referencial S de repouso do fio a força é puramente “magnética”, ao passo que no
referencial S´ de repouso da partícula a força é puramente “elétrica”. E as forças de
Feynman devem diferir em valor de acordo com a relação acima, mesmo em
velocidades medíocres entre os referenciais inerciais – como a obtida na 3ª questão.
Analogamente, vemos que a questão da relatividade destas forças se relaciona
intrincadamente à relatividade dos campos da experiência de Feynman (2008), pois um
campo magnético e um campo elétrico estáticos (em S e S´, respectivamente) são “os
responsáveis” por engendrar as forças na partícula de prova. Então, podemos enfatizar
que, em S, há um campo totalmente magnético, enquanto que, em S´, temos os dois
tipos de campo – muito embora somente o campo elétrico interaja com a partícula
carregada. Estas considerações são suficientes para nos convencermos que os conceitos
de força e as grandezas de campo (do Eletromagnetismo clássico) são, com efeito,
relativos, dependentes do movimento uniforme reto entre sistemas de referência.
Recorde-se o leitor que aqui estamos a tratar uma experiência idealizada de Feynman
(2008), na qual os intervalos de tempo e os valores das variações de momentos
transversos da partícula foram tomados como infinitesimais, em seus respectivos
referenciais. Apesar de que os valores de força são diferentes, de acordo com F´ = γ F,
podemos dizer que, no caso de velocidades relativas tão baixas como a da 3ª questão (da
49
ordem de 10– 4 m.s –1), as forças elétrica e magnética são praticamente iguais. Pois v2/c2,
na prática, é uma razão que pode se considerar nula, dada por
(10 4 m.s 1 ) 2
=
(299.792.458m.s 1 ) 2
108
; e que resulta na ordem de grandeza de 10– 25. Desse modo, o fator γ
16
8,98755179x 10
é praticamente igual a um, e as forças se igualam. Daí também a citação de Feynman:
“[...] para as pequenas velocidades que estamos considerando, as duas forças são iguais.
Podemos dizer que, para pequenas velocidades, entendemos o magnetismo e a
eletricidade apenas como “duas maneiras de olhar para a mesma coisa”.” (FEYNMAN;
LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–10).
Isto nos aponta a profunda conexão entre o magnetismo e a eletricidade, ou seja,
o fato de que um campo magnético estático não é absoluto, independente do referencial,
assim como um campo elétrico estático; como aponta Feynman (2008), na própria
natureza existe uma relação íntima entre estes campos. Com efeito, os dois tipos de
campo dependem do referencial inercial, não sendo independentes, mas podendo ser
tomados em conjunto, segundo Feynman (2008), como um único campo
eletromagnético.
Enfim, dizer que as forças F´ e F são iguais em ambos os referenciais de
Feynman, é dizer que, do ponto de vista prático, podemos desprezar os efeitos
relativísticos em sua experiência; assim, dois observadores inerciais distintos – um em S
e outro em S´ – medirão praticamente o mesmo valor de força. Entretanto, embora o
observador em S´ saiba que, na prática, sua minúscula velocidade (≈ 10– 4 m.s –1) pode
ser desprezada, e o valor de força (em S´) pode ser calculado usando-se a expressão do
valor de força magnética, ele também sabe que, na verdade, a força em S´ é elétrica
(que, no baixo valor de velocidade relativa, se iguala à magnética de S). Isto equivale a
dizer que estamos cientes do fato de que, do ponto de vista experimental, as duas forças
concordam nestas pequenas velocidades – portanto, estas forças fornecem como que
duas formas de perceber a mesma interação eletromagnética atrativa partícula-fio.
Item (b):
A equação relativisticamente correta do movimento é escrita por Feynman
(2008) (no final da pág. 13–10), sendo dada por F = dp/dt; onde F não representa mais
apenas a força magnética atuante no portador de carga em S, mas a força resultante
50
numa partícula qualquer em determinado referencial inercial; e dp/dt é a derivada do
vetor momentum relativístico da partícula em relação ao tempo do referencial em
questão. Este vetor momentum, em três dimensões, pode ser definido por p =
mv =
v2
1
c2
mv (GAZZINELLI, 2009). Não precisamos desta equação nesta questão, mas é
válido ressaltá-la para que o leitor perceba que as equações da Mecânica newtoniana
precisaram ser reformuladas/corrigidas relativisticamente, o que não foi necessário para
o Eletromagnetismo clássico. Adiante, argumentaremos um pouco mais sobre este
importante aspecto.
Obtivemos a relação entre os valores das forças elétrica e magnética de Feynman
(2008), F´ = γ F, a partir de expressões obtidas para estas. Mas, pela equação dt = γ dt´,
e usando o momento relativístico da partícula de prova de Feynman, podemos obter a
mesma relação entre forças. Repare que, ao considerarmos intervalos de tempo e
variações nos valores de momento transversal da partícula (em S e S´) como
infinitesimais, podemos também tomar as forças F´ e F como tendo praticamente iguais
orientações. É bom destacarmos isto, pois a força magnética em certo ponto do espaço e
instante de um referencial inercial (que age numa partícula carregada de sinal
conhecido) é dependente da direção e sentido da velocidade da partícula em relação ao
campo magnético naquele ponto e naquele instante de tempo. Logo, é fácil visualizar
que em intervalos temporais não curtos (decorridos no referencial S) a direção (e
também o valor) da força magnética F varia; porém, para nossos curtos infinitesimais dt
e dt´, consideremos F e F´ com a mesma orientação. Assim, também desconsideramos o
caráter vetorial da força e do momento, pois ambas as forças atuam somente ao longo da
direção transversal ao fio, variando o momentum da partícula apenas desta componente.
Já sabemos que os momentos transversos são iguais (py = py´) para uma mesma
coordenada y = y´; então dpy
= dpy´, e aplicando a equação do movimento
relativisticamente correta no valor da força elétrica F´, temos que
F´ =
dp y ´
dt´

dp y
dt 

dp y
dt
 F
(28)
Onde fizemos dt´ = dt /γ e encontramos o valor de força magnética, que pode se
51
representar por
dp y
dt
= F.
Na verdade, Feynman (2008) usou a equação F = dp/dt a fim de obter a
igualdade dos momentos transversos (em S e S´) e concluir que os resultados físicos se
compatibilizam. Provamos a igualdade destes momentos através de um cálculo, talvez
mais convincente, utilizando uma expressão para o valor de uma componente de
momento relativístico.
Esta questão mostra-se útil para explorarmos um pouco a noção de que o
Eletromagnetismo é compatível com a Teoria da Relatividade Especial, embora a
Mecânica newtoniana não o seja – e as forças de Feynman (2008) se transformem na
passagem de um referencial para outro. Podemos vislumbrar isto constatando que as
equações fundamentais da teoria eletromagnética clássica – usadas por Feynman no
cálculo das expressões para os valores de campos e forças (B e F; E´ e F´), em seus
respectivos referenciais – são a lei de Ampère da magnetostática e de Gauss da
eletricidade. Estas leis, assim como as outras equações de Maxwell, não precisaram de
reformulação/correção com o advento da Teoria da Relatividade Especial,
diferentemente das leis da Mecânica newtoniana. Perceba, no texto de Feynman (2008),
que as expressões obtidas para B e F, E´ e F´, provêm diretamente das leis
eletromagnéticas fundamentais citadas anteriormente. É verdade que nas equações para




1 ;
a força e campo elétricos do texto, F´ e E´, aparece o fator de Lorentz γ 


v2 
1 

c2 

mas este não vem das equações do Eletromagnetismo mencionadas, mas sim da
consideração do efeito de contração de Lorentz do fio (no referencial S´), que é “tomado
emprestado” da Teoria da Relatividade Especial a fim de propiciar uma descrição
eletromagnética (em S´) coerente com o arcabouço teórico do Eletromagnetismo e com
o Princípio da Relatividade. Assim, é obtida uma expressão para a densidade de carga ρ´
– no referencial de repouso da partícula – que é diferente de zero e que possui o fator γ.
Este fator, por conseguinte, surge na expressão do valor de força elétrica (repare a
equação 13.29 de Feynman (2008)), e assim como foi feito no item (a) desta questão, os
valores das forças são relacionados por F´ = γ F. Isto implica dizer que, em última
instância, γ surge nesta relação porque vem da contração de Lorentz, e não porque este
fator (ou outro termo/fator matemático qualquer) deva ser incluído em equações de
52
Maxwell. Contudo, vimos que a mesma relação (entre forças) é obtida usando-se dp/dt
(em y = y´) e também a previsão de dilatação temporal (aqui expressa por dt = γ dt´ ), o
que nos leva ao último item desta questão. Em suma, o Eletromagnetismo se preserva,
isto é, suas equações fundamentais (de Maxwell) são válidas em qualquer referencial
inercial, sem necessidade de modificação quando há MRU relativo entre dois ou mais
referenciais, inclusive em velocidades significativas em relação à c. Apesar disso, fica
aqui evidente que as forças clássicas não são invariantes; no caso do Eletromagnetismo
clássico, a força pode variar também em seu tipo (elétrica e/ou magnética).
Item (c):
O efeito relativístico, que pode ser utilizado na descrição da diferença entre as
forças elétrica F´ e magnética F – que atuam na partícula elétrica nos referenciais
inerciais S´ e S, respectivamente –, é a dilatação do tempo. Já se enfatizou que o
intervalo de tempo próprio (medido em um referencial inercial no qual dois eventos
ocorrem na mesma posição) é o menor intervalo temporal entre estes eventos –
considerando-se somente intervalos mensurados em referenciais inerciais. A relação
entre intervalos de tempo foi escrita por nós como dt = γ dt´; onde se constata que dt´
representa o tempo próprio mensurado no referencial de repouso da partícula (S´).
Portanto, dt representa o geralmente denominado intervalo de tempo relativo, pois não é
medido no referencial próprio (ou de repouso) da partícula ou dos eventos – isto é, em
referencial inercial no qual os eventos “estão em repouso” (ocorrem na mesma posição).
Como imaginado na 7ª questão, o evento inicial de Feynman (2008) poderia ser a
emissão de um elétron em processo nuclear ou atômico (ou por fonte qualquer) com
velocidade inicial vo (paralela ao fio), no referencial S, igual à velocidade de arraste dos
elétrons de corrente. Definiríamos os instantes deste evento, em S e S´, por t
inicial
=
t´inicial = 0; e o evento final seria a detecção do elétron (em iguais coordenadas
transversas y = y´) em ambos os referenciais, quando seu momento transversal variou
dpy em S e dpy´ em S´. Como já provamos aqui, “[...] o momento transverso da partícula
deve ser o mesmo em ambos os referenciais S e S´.” (FEYNMAN; LEIGHTON;
SANDS, 2008, p. 13–10). Assim, também as variações deste momento são iguais (dpy =
dpy´) após as forças F e F´ atuarem no elétron em seus respectivos referenciais inerciais,
durante distintos intervalos de tempo dt e dt´ – a partir do evento inicial (instante zero).
Ou seja:
53
F dt = dpy
F´ dt´ = dpy´
(29)
Onde se desconsiderou o caráter vetorial das forças, pois ambas agem apenas
transversalmente nos intervalos de tempo bem curtos. Repare que as equações 29 nada
mais são do que outra forma de se expressar a lei (relativística) de movimento do
elétron, em S e S´, assim como descrita em 28. Pela igualdade dos momentos
transversais, vemos que F dt = F´ dt´; o que é escrito por Feynman (2008) de forma um
pouco diferente no último resultado de seu texto. Podemos descrever a diferença entre F
e F´ – através da dilatação temporal – ao analisarmos bem a igualdade F dt = F´ dt´;
ambos os valores de força, tanto magnética F quanto elétrica F´, variam em função do
tempo de seu respectivo referencial inercial. Isto se dá pelo fato de que os campos
estáticos de Feynman não são uniformes; dessa maneira, os valores F e F´ também não
o são, variando em função da distância r (que é a mesma para S e S´, pois é transversal)
ao centro do fio. Em outras palavras, os valores de força F e F´ são inversamente
proporcionais à r, aumentando à medida em que o elétron se aproxima do fio; de tal
modo que F (magnética) varia no decorrer do tempo t de S, e F´ (elétrica) varia no
decorrer de t´ de S´. Recorde-se que, para que o intervalo temporal próprio dt´ (medido
em S´) seja menor que o intervalo relativo correspondente dt (medido em S) – de acordo
com dt´ = dt/ γ –, o ritmo do tempo t deve ser mais rápido do que o de t´. Isso implica
que, a partir do evento inicial (quando o elétron é emitido com velocidade vo no
referencial S), o valor de força magnética em S aumenta menos do que o valor de força
elétrica em S´, para intervalos temporais correspondentes. Porém, o menor aumento da
força magnética em S é compensado pelo maior tempo dt de atuação desta em S, ao
passo que o maior aumento da força elétrica em S´ se compensa pelo menor tempo dt´
de atuação desta neste referencial. E, segundo Feynman (2008), isto acontece após
curtos e correspondentes intervalos de tempo dt e dt´ (em nossa notação), de tal forma
que a partícula negativa tenha iguais momentos transversos nos dois referenciais. Então,
para o evento final (detecção do elétron) – que ocorre em igual coordenada y = y´ –, o
valor de F´ tem maior módulo que F, de acordo com F´ = γ F. Entretanto, a força elétrica
age durante o tempo próprio dt´, o menor tempo entre os eventos, enquanto a força
magnética age por um maior intervalo de tempo relativo dt.
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Enfim, para v2/c2 na ordem de 10 –25, a razão aproximada para a bem pequena
velocidade relativa entre os referenciais inerciais (v ≈ 10 –4 m.s – 1), como calculada na 3ª
questão – valor típico de velocidade de arraste (ou de migração) para elétrons de
condução –, o fator γ é igual a um (ou melhor, tende a um). Isto dificulta o uso de um
exemplo numérico nesta ordem de grandeza (ou próxima). Mas reforça a afirmação de
Feynman (2008) sobre o fato de que, na prática, a força magnética (em S) e a força
elétrica (em S´) – na experiência por ele pensada – são iguais. Em suma, o texto de
Feynman (2008) permite-nos vislumbrar a íntima conexão entre a Teoria da
Relatividade Especial, o magnetismo e a eletricidade, pois, sob a ótica da Teoria da
Relatividade Especial e suas previsões, o físico demonstra o vigoroso vínculo entre as
denominadas força elétrica e força magnética.
Os distintos intervalos de tempo, medidos cada qual em seu sistema inercial,
compensam a diferença entre as forças do experimento de Feynman, preservando
resultados físicos compatíveis com o Eletromagnetismo. Para alcançar estes resultados,
Feynman utiliza a Relatividade Especial, uma teoria coerente com o Eletromagnetismo
clássico. Nas palavras de Gazzinelli: “[...] a eletrodinâmica de Maxwell é uma teoria
relativisticamente correta, [...]. Ela não exige modificações, [...] já tem, de fato, uma
formulação relativística.” (GAZZINELLI, 2009, p. 101).
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