Manual de laboratório e tratamento de erros

Departamento de Química e Bioquímica
Manual de laboratório e tratamento de erros
em Técnicas Laboratoriais de Análise
Isabel Cavaco
Ana Rosa Garcia
2003/2004
Preâmbulo
Estas folhas destinam-se aos alunos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade do
Algarve que frequentem as disciplinas da área científica de Química Analítica.
O capítulo I descreve os princípios de boas práticas de laboratório na medição rigorosa de massas e
volumes, que devem ser seguidos nas aulas práticas da disciplina. As regras descritas neste capítulo
são básicas, mas essenciais para os bons resultados em qualquer trabalho prático de análise
química.
O capítulo II descreve os procedimentos para tratamento e apresentação de números e resultados
experimentais.
As secções A e B sistematizam os conceitos de erros aleatórios e sistemáticos, precisão e exactidão.
devem ser lidas cuidadosamente pelos alunos de todos os níveis. Estes conceitos são fundamentais
para a compreensão do tratamento de resultados.
Na secção C descreve-se o conceito de algarismos significativos, e as regras de tratamento de
números. Deve ser lida cuidadosamente pelos alunos do primeiro ano, e consultado posteriormente
em caso de dúvida.
A secção D descreve o tratamento estatístico de conjuntos simples de resultados.
A secção E descreve o tratamento estatístico de conjuntos de resultados binários.
A secção F descreve o método de cálculo do erro associado a um valor resultante de uma ou mais
operações aritméticas (propagação de erros).
Índice
I.
Medições de volumes e massas ...................................................................................................... 3
A.
Medição de volumes de líquidos............................................................................................... 3
1.
B.
Material para medição de volumes: .......................................................................................... 3
Medição de massas .................................................................................................................. 4
II.
Tratamento de resultados............................................................................................................. 5
A.
Tipos de erros ........................................................................................................................... 5
B.
Precisão e exactidão................................................................................................................. 5
C.
Algarismos significativos ........................................................................................................... 6
1.
Regras de arredondamento ...................................................................................................... 7
2.
Manuseamento dos dados experimentais (operações matemáticas elementares): ................ 7
D.
Intervalos de confiança ............................................................................................................. 8
E.
Determinação da “melhor recta” que passa pelos pontos experimentais .............................. 10
F.
Propagação de erros............................................................................................................... 12
I. Medições de volumes e massas
A.
Medição de volumes de líquidos
1.
Material para medição de volumes:
(1)
Material de Vidro
A medição de volumes é uma das acções mais frequentes num laboratório de análises. Entre
o material volumétrico existente, distinguem-se:
Pipetas, existem dois tipos fundamentais: volumétricas e graduadas.
Volumétricas - têm uma só marca indicadora do nível a que o líquido se deve ajustar de modo a
que o valor vazado seja o valor fixo indicado na pipeta (mais rigorosas).
Graduadas – têm uma escala que permite o vazamento de quantidades variáveis de líquido (menos
rigorosas).
Balões volumétricos, o volume final deve ser ajustado, com o solvente, até ao traço.
Buretas, tubo cilindrico graduado com uma “válvula” e com o qual é possivel controlar o fluxo
e a quantidade de líquido vazado. O volume é lido na escala da bureta.
Provetas, graduadas de modo a permitir a medição de volumes variáveis e lídos até ao valor
máximo da sua escala.
Rigor das medições:
Pipetas volumétricas – Pipetas graduadas – Balões volumétricos – Buretas – Provetas
+ rigor
− rigor
As leituras de volume devem ser
efectuadas tendo em conta a posição do
menisco, considerando que o volume é o
correspondente à sua base, tal como
indicado na figura:
(a)
Procedimento para utilização de pipetas volumétricas:
Ajustar uma "pompete" à ponta superior da pipeta, segurando sempre a pipeta pela ponta superior
(e nunca pelo meio!).
Mantendo a pipeta na posição vertical, mergulhá-la no líquido e enchê-la, por aspiração, utilizando
a "pompette", até ligeiramente acima do traço superior .
Remover quaisquer gotas de água aderentes ao exterior da pipeta, limpando-a num movimento
descendente com papel absorvente.
Deixar escorrer a água lentamente e ajustar convenientemente o menisco. Eliminar qualquer gota
em excesso que se encontre na extremidade da pipeta, encostando-a à parede molhada dum
recipiente.
Assegurar-se que não existem gotas de água aderentes ao exterior da pipeta ou às paredes
internas acima do menisco e que não há bolhas de ar nem espuma no líquido.
Deixar escoar livremente o líquido contido na pipeta para o recipiente, mantendo a pipeta na
vertical, com a extremidade encostada à parede interna do recipiente, sem a deixar escorregar.
Quando terminar o escoamento visível (o menisco deve permanecer imóvel ligeiramente acima da
extremidade), manter a pipeta na mesma posição durante 3 segundos (ou, se a pipeta tiver tempo de
espera, mantê-la durante o tempo indicado).
(2)
Micropipetas automáticas
A necessidade de medição de pequenos volumes de líquidos, na gama do mililitros ou
microlitros, levou ao desenvolvimento de uma gama de pipetas automáticas de pontas descartáveis.
A fiabilidade destes sistemas depende em grande parte da qualidade do instrumento, mas também de
outros factores como a qualidade das pontas, o ambiente e o operador.
Pontas descartáveis - a forma, propriedades do material e o ajuste da ponta à pipeta influenciam o
rigor da medição. É importante verificar que a ponta encaixa bem na pipeta, testar a forma como se
molha, e verificar se ficam gotas remanescentes depois de escoar o líquido.
Condições ambientais - As fontes de erro do meio ambiente incluem a temperatura (diferença de
temperatura entre a pipeta, o fluido e a temperatura ambiente), a pressão atmosférica e a humidade
do ar. A maior contribuição para os erros ambientais é a temperatura. É importante garantir que todos
os componentes estão à mesma temperatura, dentro de ±1ºC.
(a)
Procedimento para utilização de micropipetas:
Ajustar a ponta na pipeta e ajustar o volume a medir.
Pressionar com o polegar o manípulo até à primeira paragem;
Segurando a pipeta verticalmente, introduzir a ponta cerca de 2-3 mm na amostra;
Soltar gradualmente o manípulo e observar o processo de enchimento (deve evitar-se a turbulência
no interior da ponta, para minimizar o risco de formação de aerossóis). Quando o manípulo estiver na
posição inicial, remover o polegar completamente (a ausência de pressão melhora a precisão).
Lentamente, retirar a ponta da pipeta da amostra, e limpar quaisquer gotas de água que tenham
ficado aderentes ao exterior.
Para escoar o volume medido, encostar a ponta da pipeta na parede do recipiente, num ângulo de
10-45º. Colocar o polegar sobre o manípulo e pressionar de forma uniforme até à primeira paragem.
Esperar 1 segundo. Pressionar rapidamente até à segunda paragem.
Cuidados a ter ao usar micropipetas:
a pipeta e respectiva ponta devem ser escolhidas de forma a minimizar o espaço de ar entre o
pistão e o líquido;
a ponta deve ser mergulhada apenas à superfície da solução (2-3mm de profundidade);
deve molhar-se previamente a ponta com a solução a medir, para melhorar a precisão e exactidão;
deve segurar-se a pipeta na vertical;
a aspiração deve ser feita de forma suave, e não bruscamente.
B.
Medição de massas
Uma das operações mais frequentes num laboratório é a pesagem, operação pela qual se
determina a massa de uma substância. O grau de exactidão e precisão que é necessário satisfazer
numa pesagem dependem da sua finalidade.
Uma balança analítica, muito rigorosa, ±0,0001 g, tem uma capacidade que pode variar de 50
a 200 g.
Uma balança técnica é menos rigorosa, ±0,01 g, mas tem uma capacidade elevada que pode
ser de ~1000 g.
(a)
Cuidados a ter durante as pesagens:
A balança deve ser mantida sempre limpa, ou seja, não se devem colocar reagentes directamente
no prato mas sim sobre uma cápsula de pesagem (ex: vidro de relógio). As substâncias voláteis ou
corrosivas devem ser pesadas em recipientes fechados.
A temperatura do objecto a pesar deve ser razoavelmente próxima da temperatura da balança.
As janelas da balança devem estar fechadas durante a pesagem.
Cada passo na pesagem - taragem, colocação do objecto no prato, leitura - deve ser feito
lentamente, dando tempo suficiente à balança para atingir o equilíbrio.
O objecto a pesar deve ser cuidadosamente colocado no centro do prato da balança, para evitar
erros de excentricidade.
Terminada a pesagem, a balança deve ser limpa, se necessário, as janelas fechadas e desligada
se não for utilizada de imediato.
II. Tratamento de resultados
A.
Tipos de erros
Todas as medições experimentais estão sujeitas a erros. O resultado de uma análise pode
ser quantitativo ou qualitativo. Quando o resultado é quantitativo, é extremamente importante fazer
uma estimativa dos erros envolvidos na medição. Um resultado é inútil se não for acompanhado
de uma estimativa dos erros envolvidos na sua medição.
Podemos classificar os erros em três tipos:
Grosseiros (irremediáveis)
Aleatórios
Sistemáticos
Erros grosseiros:
Não entram no padrão normal dos erros associados a uma análise. Não devem ocorrer, e,
se ocorrem e são detectados, normalmente é necessário repetir toda a análise.
Ex: avaria de um instrumento; distracção do operador; contaminação macroscópica de um
reagente, etc.
Erros Aleatórios (ou Indeterminados):
As suas fontes podem ser incerteza instrumental, do método ou do operador;
Não são elimináveis, mas podem minimizar-se com trabalho cuidadoso;
Reconhecem-se como uma dispersão dos valores em torno de uma média;
Afectam a precisão;
Podem quantificar-se pela medição da precisão (p. ex., através do desvio-padrão).
Erros Sistemáticos (ou Determinados):
As suas fontes podem ser erros instrumentais, do método ou do operador;
Em princípio, são reconhecíveis e podem reduzir-se parcial ou completamente;
Reconhecem-se pelo afastamento entre o valor verdadeiro e o valor médio;
Afectam a exactidão;
Podem quantificar-se pela medição da diferença entre o valor verdadeiro e valor médio.
B.
Precisão e exactidão
Exactidão:
Concordância entre o valor obtido e o valor aceite como verdadeiro
Precisão:
Concordância entre os valores obtidos no mesmo ensaio repetido várias vezes
A
201.60
202.20
201.80
202.00
202.40
B
C
D
197.60
203.80
200.80
202.80
195.80
199.60
200.40
193.80
200.40
196.00
201.00
199.40
204.20
195.60
200.80
(1)
Repetibilidade
Precisão obtida nas mesmas condições:
mesmo laboratório
mesmo operador
mesmo equipamento
curto intervalo de tempo
(a)
Reprodutibilidade
Precisão obtida fazendo variar as condições:
diferentes laboratórios
diferentes operadores
diferentes equipamentos
espaçamento no tempo
Exactidão
Precisão
erros sistemáticos
erros aleatórios
erro = x − x v
desvio-padrão
n
n
xi
Média: x =
s=
i=
n
i=
(x i − x )
n−
variância: s2
s
x
coeficiente de variação (CV): srx100
desvio padrão relativo(RSD): s r =
C.
Algarismos significativos
O conceito de algarismos significativos permite introduzir de um modo simples a precisão
de uma medida sem explicitar a sua incerteza. Este conceito permite também estimar a
precisão de um valor que é calculado por combinação de diferentes tipos de medida, pois
a incerteza de um valor é propagado em todas as contas que com ele forem feitas.
Contagem do número de algarismos significativos:
Valor
Número de algarismos
significativos
Obs:
5,630
4
Zero à direita da vírgula com significado
0,270
3
Zero à direita com significado mas o zero à esquerda da
virgula sem significado
0,0004
1
Todos os zeros à esquerda da virgula sem significado
1,0007
5
Todos os algarismos com significado
2
Valor em notação científica. Apenas se consideram os
algarismos antes do expoente
7
8,1x10
-7
2x10
1
3
3,60x10
3
3600
2 ou 3 ou 4
2,36
2
Os zeros podem estar apenas a indicar a posição da virgula
2
(ex. 36,0x10 )
O número em índice indica um valor estimado (ex. 2,36 cm
medidos com uma régua graduada em mm)
1.
Regras de arredondamento
(de acordo com a norma Portuguesa NP-37/1961):
Os arredondamentos devem ser feitos de acordo com o valor do algarismo seguinte ao
qual se pretende arredondar, ou seja, quando se arredondar um algarismo à casa de
ordem n, deve ser ter-se em conta o algarismo que está na casa de ordem n-1.
Se o algarismo correspondente à casa de ordem n-1 é menor que 5, o número arredondado
mantém inalterado o algarismo de ordem n (ex.: 11341 arredondado às dezenas é 11340, ou 342,53
arredondado às décimas é 342,5).
Se o algarismo correspondente à casa de ordem n-1 é maior que 5, o número arredondado tem o
aumento de uma unidade no algarismo de ordem n (ex.: 11346 arredondado às dezenas é 11350, ou
342,57 arredondado às décimas é 342,6)
Se o algarismo correspondente à casa de ordem n-1 é 5, e nas casa n-2, n-3... pelo menos um
algarismo é diferente de zero, o número arredondado tem também o aumento de uma unidade no
algarismo de ordem n (ex.: 11345,01 arredondado às dezenas é 11350, ou 342,552 arredondado às
décimas é 342,6).
Se o algarismo correspondente à casa de ordem n-1 é 5, e nas casa n-2, n-3... não há algarismos,
ou são zeros, existem três modos de proceder ao arredondamento:
(a) O valor a arredondar apresenta, com maior probabilidade, erro por excesso do que
por defeito (é o caso dos valores resultantes de certos métodos de medida), neste caso
o número arredondado mantém inalterado o algarismo de ordem n.
(b) O valor a arredondar apresenta, com maior probabilidade, erro por defeito do que por
excesso (é o caso dos valores resultantes de divisões, interrompidas quando ainda
deixavam resto; e dos que resultam de certos métodos de medida), neste caso o
número arredondado tem o aumento de uma unidade no algarismo de ordem n.
(c) Não há motivos para supor que o valor a arredondar apresenta, com maior
probabilidade, erro por excesso ou por defeito, neste caso o valor arredondado é obtido
somando uma unidade ao algarismo de ordem n se este for ímpar (ex.: 11335
arredondado à dezenas é 11340; se 342,55 arredondado às décimas é 342,6; se
43,735 arredondado às centésimas é 43,74) ou mantendo inalterado o algarismo de
ordem n se este for par (ex.: 11345 arredondado à dezenas é 11340; se 342,65
arredondado às décimas é 342,6; se 43,745 arredondado às centézimas é 43,74).
2.
Manuseamento dos dados experimentais (operações matemáticas
elementares):
Adição e subtração: nos cálculos são utilizados todas as casa decimais, mas o número de casa
decimais significativas do resultado não pode ultrapassar o menor número de casas significativas das
parcelas. Ex.:
22,33
2,23 3
0,22 33
24,78 63
= 24,79
arredondamento
Multiplição e divisão: o resultado tem o número de algarismos significativos idêntico ao do factor
2
2
com menor número de algarismos significativos (ex.: 0,2x103,4 = 20,68 ou seja 0,2x10 ou 0,21x10 ;
2
2
0,2x140,7 = 28,14 ou seja 0,3x10 ou 0,28x10 ). Neste último caso é notário a informação dada pela
numenclatura com índice. NOTA: os números inteiros quando multiplicados por reais não afectam o
número de algarismos significativos, ou seja se um computador custar 6.000 euros, dois
computadores custam 12.000 euros e não 1x104 euros...
Logaritmos: o argumento do logaritmo e a mantissa do seu resultado deverão ter o mesmo
número de algarismos significativos (ex.: log 2,02 = 0,305)
D.
Intervalos de confiança
É importante quantificar os erros aleatórios numa medição experimental. Isto faz-se determinando um
intervalo de confiança para o resultado final.
O intervalo de confiança representa-se como
"x ± ∆x, para um nível de confiança de α %"
e significa que há uma probabilidade α de o valor que medimos se encontrar entre x-∆x e x+∆x.
A forma mais simples de estimar um intervalo de confiança é fazer a mesma medição repetidas
vezes. Os erros aleatórios que ocorrem em cada medição serão diferentes. Uns serão por excesso,
outros por defeito. Fazendo a média de todos os resultados, estaremos a compensar os erros por
excesso com os erros por defeito, e, portanto, a minimizar os erros aleatórios de forma geral. Quanto
mais medições fizermos, melhor.
O valor médio de n repetições da mesma medição, xm, é uma estimativa do valor verdadeiro da
propriedade que queremos medir (chamemos a este µ ). Se fosse possível fazer infinitas medições,
conseguiríamos eliminar totalmente os erros aleatórios. Só nesse caso é que teríamos a certeza de
que o valor médio das medições seria igual ao valor verdadeiro. Na prática, isto é impossível. Nunca
conseguimos saber o valor µ com rigor absoluto. O melhor que podemos fazer é estimar um intervalo
que tenha uma probabilidade elevada de o conter.
Sabemos que o desvio padrão é uma medida dos erros aleatórios que ocorreram nas medições.
A maior parte dos erros aleatórios obedece a um tipo comportamento estatístico, a que chamamos
1
"distribuição normal" ou "distribuição de Gauss". Se representássemos num histograma infinitas
medições sujeitas a erros aleatórios, este teria a forma de uma "boca de sino" designada por "curva
de distribuição normal". Estas curvas são simétricas, e são definidas por dois parâmetros: a média (µ)
2
e o desvio padrão (σ) . Na figura seguinte representam-se duas curvas de distribuição normal com
a mesma média (µ=200) e desvios padrão diferentes (σ1=1,0 e σ2=2,5). É de salientar que:
- os valores ocorrem mais frequentemente próximo da média, e são progressivamente menos
frequentes quando nos afastamos para os extremos (o máximo da curva está em µ);
- quanto maior o desvio padrão σ (maior é a dispersão dos valores em torno da média µ) mais "larga"
é a curva.
0.45
!
0.4
0.35
σ1 < σ2
σ1
0.3
0.25
0.2
0.15
σ2
0.1
0.05
0
190
195
200
µ
205
210
Um histograma é um gráfico que traduz a frequência com que ocorre cada valor. No eixo das abcissas
representam-se os valores, e no eixo das ordenadas o número de vezes que cada um ocorreu.
Uma das propriedades mais úteis das curvas de distribuição normal é que, qualquer que seja µ e σ,
cerca de 95% de todas as medições encontram-se no intervalo µ-2σ e µ+2σ. Da mesma forma,
encontra-se sempre uma percentagem (p%) bem definida de todas as medições em qualquer
intervalo µ±zσ. Isto significa que, quando faço uma medição x, há p% de probabilidade de o valor
verdadeiro, µ, estar dentro do intervalo x±zσ. Os valores de z encontram-se tabelados em função da
probabilidade (nível de confiança). Os mais vulgarmente usados são:
p%
z
95,0%
1,96
99,0%
2,58
99,7%
2,97
Para calcular o intervalo de confiança, já só preciso de saber o valor de σ. Há duas hipóteses:
- se fizer um número elevado de medições3, posso calcular o desvio padrão s e dizer que σ ≈ s.
- se não for possível fazer um número suficientemente grande de medições, calculo o desvio padrão,
s, e em vez de multiplicar por z multiplico por outro factor, o t de student.
O valor t de student encontra-se tabelado em função do nível de risco, (100-p), e do número de graus
de liberdade, gl. Este é dado por gl = n - 1 quando estamos a fazer uma média de n medições.
4
Na Tabela 1 encontram-se alguns valores deste parâmetro .
Tabela 1 - Distribuição t de
student para níveis de risco de
5% e 1%
gl
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.05
12.71
4.30
3.18
2.78
2.57
2.45
2.36
2.31
2.26
2.23
2.09
2.04
2.02
2.01
2.00
1.99
1.99
1.99
1.98
0.01
63.66
9.92
5.84
4.60
4.03
3.71
3.50
3.36
3.25
3.17
2.85
2.75
2.70
2.68
2.66
2.65
2.64
2.63
2.63
Passaremos a designar por µ e por σ a média e o desvio padrão de uma curva de distribuição normal, que
seriam teoricamente obtidos através de infinitas medições e corresponderiam aos valores "verdadeiros", e por xm
e por s a média e desvio padrão calculados com um conjunto finito de n pontos experimentais.
3
O que é um "número elevado de medições" varia, conforme os casos. Em geral, considera-se n>30
suficientemente elevado.
4
Também pode calcular-se t numa folha de cálculo excel (versão inglesa) com a função TINV(risco, gl).
O intervalo de confiança obtido para uma única medição x será então
±
−
×
No entanto, geralmente fazem-se n medições (são necessárias para determinar s), e o valor médio
dessas medições, xm, é uma aproximação melhor ao valor verdadeiro do que as medições individuais.
Demonstra-se que o desvio-padrão da média, sm é igual ao desvio-padrão dos valores individuais, s,
dividido pela raiz quadrada do número de valores usados na média. O melhor intervalo de confiança
que conseguimos assim obter com n medições será:
±
E.
−
Determinação da “melhor recta” que passa pelos pontos experimentais
Frequentemente fazem-se medições de uma propriedade que varia linearmente com outra (por
exemplo, a absorvência de uma solução pode variar linearmente com a sua concentração, segundo a
lei de lambert-beer). No entanto, as medições estão sempre sujeitas a erros aleatórios, pelo que, em
geral, os pontos experimentais não coincidem com uma recta. Nestes casos, é necessário determinar
a equação (y=mx+b) da recta que melhor se ajusta ao conjunto do dados experimentais. A este tipo
de cálculo chama-se "regressão linear".
Um dos métodos mais usados para fazer regressão linear é o método dos mínimos quadrados. Neste
método, procura-se minimizar a distância "vertical" de cada ponto experimental x a uma recta teórica,
mx+b (ver figura).
O método parte de dois pressupostos muito
importantes:
1. os erros aleatórios ocorrem apenas nas
ordenadas (y), e não nas abcissas (x)
2. a ordem de grandeza dos erros aleatórios
não varia ao longo da recta.
Com estes pressupostos, o método calcula os
"residuais", que são a distância, na vertical, de
cada ponto experimental, yi, à recta:
−
onde ýi representa o valor esperado de y, valor
que yi teria se não tivesse erro, ou seja, se
tivesse "caído" sobre a recta).
A função U é a soma dos quadrados dos
residuais, e é uma medida do afastamento de todos os pontos experimentais a uma recta teórica de
declive m e ordenada na origem b:
(
=
=
(
)
−
−
⋅
=
)
−
→
Na função U, as incógnitas são m (o declive da recta) e b (a ordenada na origem). Pode calcular-se o
mínimo desta função derivando e igualando a zero. O resultado deste cálculo dá as seguintes
fórmulas para m e b:
=
= −
⋅
onde N é o número de pontos experimentais (xi, yi). Os parâmetros Sxx, Syy e Sxy podem calcular-se
por:
=
(
−
)
=
−
=
(
−
)
=
−
=
(
−
)(
−
(
)
(
)
)=
−
(
)(
)
Da regressão linear retira-se outro parâmetro muito importante, o desvio padrão dos residuais, sy:
(
=
−
)
−
−
=
⋅
−
O desvio padrão dos residuais é uma quatificação dos erros aleatórios que afastam os pontos da
recta. Pode usar-se para determinar o desvio padrão do declive, sm e da ordenada na origem, sb:
=
=
⋅
−(
⋅
)
=
⋅
−
(
)
Assim, podemos determinar a equação da recta que melhor passa pelos pontos experimentais, com
intervalo de confiança para o declive e ordenada na origem:
=
±
−
⋅
⋅ +
±
−
⋅
(Note-se que, neste caso, o número de graus de liberdade para o t de student é n-2, e não n-1)
Um parâmetro que traduz de forma simples se o ajuste da recta é bom ou não é o coeficiente de
correlação . O cálculo deste pode ser feito utilizando a expressão:
=
⋅
O coeficiente de correlação pode tomar valores entre +1 e –1, quando |r|=1 então existe uma relação
linear entre x e y (os resultados experimentais podem ser descritos por uma recta), se r=0 existe uma
independência completa entre os valores de x e y (os resultados não apresentam qualquer relação
linear).
Em métodos instrumentais de análise a regressão linear é frequentemente usada para construir com
soluções padrão uma recta de calibração, que posteriormente é usada para determinar a
concentração de uma amostra. Nestes casos, o desvio padrão sc associado à concentração C
determinada a partir da recta é:
=
+
+
(
−
⋅
)
onde L é o número de réplicas da amostra que foram lidas,
c é a média das L leituras da amostra,
e é a média das leituras das N soluções padrão que foram usadas para construir a recta.
O intervalo para a concentração da amostra será então C ± 2 sC, para 95% de confiança.
F.
Propagação de erros
Na maior parte das análises é necessário efectuar operações aritméticas sobre os resultados de uma
medição, ou combinar os resultados de várias medições, cada uma sujeita a erros aleatórios, de
forma a obter um resultado final. O desvio padrão deste resultado final pode calcular-se a partir dos
desvios padrão de cada medição, aplicando a lei de propoagação de erros de Gauss.
Dada um função y=f(x1, x2, x3,...,xn), em que xi são variáveis aleatórias independentes, descritas por
desvios padrão sxi, então o desvio-padrão da função y será dado por:
n
i =1
∂y
∂x i
2
⋅ s 2xi
Resolvendo esta equação para os casos mais simples, obtém-se a tabela seguinte:
Função
y = x1 + x2
ou
y = x1 - x2
desvio padrão
+
sy =
Função
desvio padrão
y = ln x
sy =
y = log x
sy =
y = x1 ⋅ x2
ou
y = x1 / x2
=
y = xa
=
y = ex
= ex
y = ex
= sx
y = 10x
= (ln 10) ⋅ e
+
x