Lista 3 - Paweł Klimas

FSC 5422, Teoria Eletromagnetica II
LISTA 3
Paweł Klimas
Universidade Federal de Santa Catarina, Trindade, 88040-900, Florianópolis, SC, Brazil
(Dated: March 28, 2017)
1. Calcule a densidade de energia e energia total do campo
magnético no interior de bobina da Fig1. Os parametros da
bobina: raio interno - a, raio externo - b, altura - h, numero de
espiras - N . Considere que a corrente que flui em espiras da
bobina tem valor I. Em segundo instante considere um novo
sistema composto de bobina da Fig1. e um fio infinito fino
com densidade linear de carga elétrica λ. O fio corresponde
com eixo vertical de simetria da bobina. Calcule o vetor de
Poynting, densidade de momento linear e densidade de momento angular do campo eletromagnético de tal sistema.
3. Uma casca esférica fina de raio a, de material não sendo um
condutor, com massa M e carga eletrica Q distribuidas uniformemente na superficie r = a encontra-se num campo mag~ = B(t)êz . A casca esta em repouso para
nético uniforme B
t = 0. Calcule a velocidade angular ω
~ da casca para qualquer
instante t > 0 assumindo que B(0) = B0 .
Resposta:
ω
~ =
1 Q
[B0 − B(t)]
2c M
Etapas:
~ = E(t)êϕ a partir
(a) Calcule o campo elétrico induzido E
da Lei de Faraday
~ = I~
(b) Calcule o momento angular em direção êz , L
ω
onde
o
momento
de
inercia
da
casca
é
dado
por I =
R
(a sin ϑ)2 dm com dm = σm dS sendo σm densiS2
dade superficial de massa e dS = a2 sin ϑdθdϕ elemento de area em coordenadas esféricas.
R
~ =
~ onde dF
(c) Calcule torque sob a casca ~τ = S 2 ~r × dF
~ e dq = σq dS sendo σq densidade superficial da
dq E
carga elétrica.
Figure 1.
2. No interior e exterior de um solenoide comprido de raio R
encontram-se dois cilindros finos (cascas cilindricas) coaxiais
de raios r = a e r = b sendo a < R < b. O comprimento
de cilindros tem valor h b. Considere que intensidade da
corrente elétrica que flui em solenoide tem valor I e cilindros (não condutores!) possuem as cargas elétricas e massas
+Q, Ma (cilindro interno) e −Q, Mb (cilindro externo) uniformemente distribuidas na superficie lateral dos cilindros. Os
cilindros podem girar em torno de eixo comum deles sendo
também o eixo de solenoide. Inicialmente os cilindros permanecem em repouso.
(a) Calcule momento angular do campo eletromagnético.
(b) Ao desligar a corrente os cilindros começam girar. Calcule momentos angulares transferidos para cada cilindro e velocidades angulares finais ωa e ωb dos cilíndros.
Neste calculo despreza o fato que aparece um campo induzido devido a corrente associada com movimento das
superficioes cilíndricas carregadas.
(c) Considerando que as velocidades angulares finais (t →
∞) tem valores ωa e ωb calcule momento angular associado com campo eletromagnético deste sistema (momento não transferido para cilindros) considerando que
movimento dos cilíndros leva a uma corrente superficial
cuntribuente ao campo magnético.
(d) Rezolve equação de Newton
~
dL
dt
= ~τ para ω
~ (t).
4. Considere o campo eletromagnético associado com a casca
esférica de Problema 3. Seja constante a velocidade angular
da casca ω
~ = ωêz . O sistema possui a energia cinética e o
momento angular relacionados com o movimento de massa
e também com a preessenca do campo eletromagnético. O
campo eletromagnético apesar de ser estacionario carrega
também o momento angular. Calcule a energia total do sistema e o momento angular total levando em conta a contribução do proprio campo eletromagnético.
Etapas:
(a) Calcule o campo elétrico e magnético no interior r < a
e exterior r > a da casca. Para calcular o campo
elétrico basta aplicar a lei de Gauss. O campo mag~
nético pode ser calculado a partir do potencial vetor A
~
~
~
tal que B = ∇ × A. Para calcular A:
i. Moste que a Lei de Ampère leva a equação
~ = − 4π J~ para gauge de Coulomb. Veri∇2 A
c
~
fique que a densidade da corrente J~ = Kδ(r
− a)
~ é a densidade da corrente superficial K
~ =
onde K
Qω
σ~v = 4πa
sin ϑêϕ
ii. No exterior e interior da casca esférica a equação
de Poisson reduz-se a uma equação de Laplace
~ = 0. Resolve esta equação em coordenads
∇2 A
esféricas. Atenção : em coordenadas curvilinias a
componente k de Laplaciana de um campo veto~ k não é igual a Laplaciana da comporial (∇2 A)
nente Ak isto é ∇2 Ak . As componentes de Laplaciana em coordenadas esféricas:
2
2
2 r
2
∂ϑ (sin ϑAϑ ) − 2
∂ϕ Aϕ
A − 2
r2
r sin ϑ
r sin ϑ
Aϑ
2
2 cos ϑ
~ ϑ = ∇2 Aϑ −
(∇2 A)
+ 2 ∂ϑ Ar + 2
∂ϕ Aϕ
2
r
r sin2 ϑ
r sin2 ϑ
ϕ
2 cos ϑ
2
~ ϕ = ∇2 Aϕ − A
∂ϕ Ar + 2
(∇2 A)
+ 2
∂ϕ Aϑ
2
r sin ϑ
r sin2 ϑ
r sin2 ϑ
~ r = ∇2 Ar −
(∇2 A)
e onde
∇2 Ak =
1
1
1
∂r (r2 ∂r Ak ) + 2
∂ϑ (sin ϑ∂ϑ Ak ) + 2 2 ∂ϕ2 Ak
r2
r sin ϑ
r sin ϑ
Como a densidade da corrente depende de sin ϑ
então a solução deve ser procurada na forma Aϕ =
R(r) sin ϑ. As outras componentes podem ser escolhidas na forma Ar = Aϑ = 0. Verifique que o
potencial satisfaz condição de Coulomb e calcule
a função Rin (r) no interior e Rout (r) no exterior
da casca.
r
Bin/out
,
(b) Calcule as componentes do campo magnético
ϕ
ϑ
Bin/out
e Bin/out
em regioes r < a e r > a. Apli~ in (r =
cando condição de continuidade do potencial A
~
a) = Aout (r = a) e condições de contorno para campo
~ determine as constantes livres da integração .
B
Resposta:
~ in = 2 Qω [cos ϑêr − sin ϑêϑ ] = 2 Q ω
~
B
3 ca
3 ca
3
~ out = 1 Qω a [2cos ϑêr + sin ϑêϑ ]
B
3 ca r
3(m
~ · ~r)~r
m
~
=
− 3
r5
r
onde m
~ =
1 Qa2
ω
~
3 c
é momento magnético do sistema.
~ e angular
(c) Calcule as densidades do momento linear P
~L do campo eletromagnético.
~ = Q2 a22ω sin5ϑ êϕ , L
~ = − Q2 a22ω sin4ϑ êϑ
Resposta: P
12πc
r
12πc
r
Calcule o momento angular total do campo.
2
Q
Resposta: Lx = 0, Ly = 0, Lz = 2 3c
aω.
(d) Calcule densidade da energia do campo eletromagnético e o valor da energia.
2
Q 2
Resposta: E = Q
+ 3c
aω 2
2a
(e) Calcule energia cinética mecánica e momento angular
mecánico da casca.
Resposta final:
Etot =
2
1
Q2
+ M a2 ω 2 +
2a
3
Q
3c
Q
3c
2
Ltot =
2
M a2 ω + 2
3
aω 2
aω
Observação final: Este problema mostra que para fazer a
casca girar com a velocidade angular ω é necessario transferir
ao sistema a energia
"
2 #
1
Q
1
2
Ecin =
Ma +
a ω 2 = Ltot ω
3
3c
2
o que é valor maior do que para um sistema puramente
mecánico.
5. Considere uma distribução uniforme da carga elétrica Q no
interior de uma esfera de raio R.
(a) Calcule componentes cartesianas do tensor das tensões
do campo eletromagnético T ij como funções das coordenadas esféricas.
(b) Calcule a força total exercida sobre elemento de volume
r ∈ [0, R], ϑ ∈ [0, π2 ], ϕ ∈ [0, π2 ]