Integral de Superfícies

Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Integral de Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Professor: Fabrı́cio de Figueredo Oliveira
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
1 de dezembro de 2011
Parametrizações
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Uma superfı́cie S ⊂ R3 é uma aplicação
φ : U ⊂ R2 → R3 , φ(u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z(u, v ))
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Se S = {(x, y , z) ∈ R3 |f (x, y , z) = 0} diremos que
f (x, y , z) = 0 é uma representação implı́cita para S.
Se de f (x, y , z) = 0 for possı́vel isolar uma variável,
diremos que esta é uma representação explı́cita da
superfı́cie.
Parametrizações
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Uma superfı́cie S ⊂ R3 é uma aplicação
φ : U ⊂ R2 → R3 , φ(u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z(u, v ))
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Se S = {(x, y , z) ∈ R3 |f (x, y , z) = 0} diremos que
f (x, y , z) = 0 é uma representação implı́cita para S.
Se de f (x, y , z) = 0 for possı́vel isolar uma variável,
diremos que esta é uma representação explı́cita da
superfı́cie.
Parametrizações
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Uma superfı́cie S ⊂ R3 é uma aplicação
φ : U ⊂ R2 → R3 , φ(u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z(u, v ))
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Se S = {(x, y , z) ∈ R3 |f (x, y , z) = 0} diremos que
f (x, y , z) = 0 é uma representação implı́cita para S.
Se de f (x, y , z) = 0 for possı́vel isolar uma variável,
diremos que esta é uma representação explı́cita da
superfı́cie.
Exemplos
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 é representação implı́cita da esfera.
z = x 2 + y 2 é representação explı́cita do parabolóide.
Isolando
p x no primeiro exemplo temos
x = ± 1 − z 2 − y 2 representação explı́cita da esfera.
No segundo caso, z − x 2 − y 2 = 0 é representação
implı́cita do parabolóide.
Exemplos
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 é representação implı́cita da esfera.
z = x 2 + y 2 é representação explı́cita do parabolóide.
Isolando
p x no primeiro exemplo temos
x = ± 1 − z 2 − y 2 representação explı́cita da esfera.
No segundo caso, z − x 2 − y 2 = 0 é representação
implı́cita do parabolóide.
Exemplos
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 é representação implı́cita da esfera.
z = x 2 + y 2 é representação explı́cita do parabolóide.
Isolando
p x no primeiro exemplo temos
x = ± 1 − z 2 − y 2 representação explı́cita da esfera.
No segundo caso, z − x 2 − y 2 = 0 é representação
implı́cita do parabolóide.
Exemplos
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
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Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 é representação implı́cita da esfera.
z = x 2 + y 2 é representação explı́cita do parabolóide.
Isolando
p x no primeiro exemplo temos
x = ± 1 − z 2 − y 2 representação explı́cita da esfera.
No segundo caso, z − x 2 − y 2 = 0 é representação
implı́cita do parabolóide.
Superfı́cies Parametrizadas
Integral de
Superfı́cies
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Algumas parametrizações
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Seja S uma superfı́cie. Ela estará parametrizada se for possı́vel
obter uma aplicação
r : U ⊂ R2 → R3 , r (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z(u, v )),
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
veja abaixo:
Exemplos
Integral de
Superfı́cies
Professor:
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Figueredo
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Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Esfera x 2 + y 2 + z 2 = a2 , dada por
r (u, v ) = (a cos v cos u, a cos v sin u, a sin v )
0 ≤ u ≤ 2π e −
π
π
≤v ≤
2
2
Parabolóide z = a2 (x 2 + y 2 ), dada por
r (u, v ) = (u, v , a2 (u 2 + v 2 )) com (u, v ) ∈ R2 .
Parabolóide z = a2 (x 2 + y 2 ), dada por
r (u, v ) = (u cos v , u sin v , a2 u 2 )
0 ≤ v ≤ 2π e 0 ≤ u < ∞
Exemplos
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
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Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Esfera x 2 + y 2 + z 2 = a2 , dada por
r (u, v ) = (a cos v cos u, a cos v sin u, a sin v )
0 ≤ u ≤ 2π e −
π
π
≤v ≤
2
2
Parabolóide z = a2 (x 2 + y 2 ), dada por
r (u, v ) = (u, v , a2 (u 2 + v 2 )) com (u, v ) ∈ R2 .
Parabolóide z = a2 (x 2 + y 2 ), dada por
r (u, v ) = (u cos v , u sin v , a2 u 2 )
0 ≤ v ≤ 2π e 0 ≤ u < ∞
Exemplos
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
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Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Esfera x 2 + y 2 + z 2 = a2 , dada por
r (u, v ) = (a cos v cos u, a cos v sin u, a sin v )
0 ≤ u ≤ 2π e −
π
π
≤v ≤
2
2
Parabolóide z = a2 (x 2 + y 2 ), dada por
r (u, v ) = (u, v , a2 (u 2 + v 2 )) com (u, v ) ∈ R2 .
Parabolóide z = a2 (x 2 + y 2 ), dada por
r (u, v ) = (u cos v , u sin v , a2 u 2 )
0 ≤ v ≤ 2π e 0 ≤ u < ∞
Exemplos
Integral de
Superfı́cies
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Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Esfera x 2 + y 2 + z 2 = a2 , dada por
r (u, v ) = (a cos v cos u, a cos v sin u, a sin v )
0 ≤ u ≤ 2π e −
π
π
≤v ≤
2
2
Parabolóide z = a2 (x 2 + y 2 ), dada por
r (u, v ) = (u, v , a2 (u 2 + v 2 )) com (u, v ) ∈ R2 .
Parabolóide z = a2 (x 2 + y 2 ), dada por
r (u, v ) = (u cos v , u sin v , a2 u 2 )
0 ≤ v ≤ 2π e 0 ≤ u < ∞
Exemplos
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
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Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Esfera x 2 + y 2 + z 2 = a2 , dada por
r (u, v ) = (a cos v cos u, a cos v sin u, a sin v )
0 ≤ u ≤ 2π e −
π
π
≤v ≤
2
2
Parabolóide z = a2 (x 2 + y 2 ), dada por
r (u, v ) = (u, v , a2 (u 2 + v 2 )) com (u, v ) ∈ R2 .
Parabolóide z = a2 (x 2 + y 2 ), dada por
r (u, v ) = (u cos v , u sin v , a2 u 2 )
0 ≤ v ≤ 2π e 0 ≤ u < ∞
Exemplos
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Esfera x 2 + y 2 + z 2 = a2 , dada por
r (u, v ) = (a cos v cos u, a cos v sin u, a sin v )
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
0 ≤ u ≤ 2π e −
π
π
≤v ≤
2
2
Parabolóide z = a2 (x 2 + y 2 ), dada por
r (u, v ) = (u, v , a2 (u 2 +v 2 )) com (u, v ) ∈ R2 .
Exemplos
Integral de
Superfı́cies
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Figueredo
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Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Esfera x 2 + y 2 + z 2 = a2 , dada por
r (u, v ) = (a cos v cos u, a cos v sin u, a sin v )
0 ≤ u ≤ 2π e −
π
π
≤v ≤
2
2
Parabolóide z = a2 (x 2 + y 2 ), dada por
r (u, v ) = (u, v , a2 (u 2 +v 2 )) com (u, v ) ∈ R2 .
Curvas coordenadas
Integral de
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Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
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Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Daqui por diante
r (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z(u, v )), (u, v ) ∈ R representará
superfı́cie parametrizada S.
u−curva
Fazendo v = v0 constante, a parametrização r depende apenas
de u. Tal curva é chamada de u−curva coordenada.
Curvas coordenadas
Integral de
Superfı́cies
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Superfı́cies
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Coordenada
Plano
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Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Daqui por diante
r (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z(u, v )), (u, v ) ∈ R representará
superfı́cie parametrizada S.
u−curva
Fazendo v = v0 constante, a parametrização r depende apenas
de u. Tal curva é chamada de u−curva coordenada.
Curvas coordenadas
Integral de
Superfı́cies
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Superfı́cies
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Coordenada
Plano
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Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Daqui por diante
r (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z(u, v )), (u, v ) ∈ R representará
superfı́cie parametrizada S.
u−curva
Fazendo v = v0 constante, a parametrização r depende apenas
de u. Tal curva é chamada de u−curva coordenada.
Curvas coordenadas
Integral de
Superfı́cies
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Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
v −curva
Fazendo u = u0 constante, a parametrização r depende apenas
de v . Tal curva é chamada de v −curva coordenada.
Curvas coordenadas
Integral de
Superfı́cies
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Figueredo
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Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
v −curva
Fazendo u = u0 constante, a parametrização r depende apenas
de v . Tal curva é chamada de v −curva coordenada.
Exemplo de curva coordenadas
Integral de
Superfı́cies
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Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Curva coordenada na esfera
Encontrar as curvas coordenadas da esfera
r (u, v ) = (cos u cos v , sin u cos v , sin v )
0 ≤ u ≤ 2π, −
no ponto P = ( 12 , 21 ,
√
2
2 )
π
π
≤v ≤
2
2
Curva coordenada na esfera
Integral de
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Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Para encontrarmos as curvas coordenadas, precisaremos do
ponto (u0 , v0 ) no domı́nio da parametrização. Assim,√
r (u0 , v0 ) = (cos u0 sin v0 , sin u0 cos v0 , sin v0 ) = ( 21 , 12 , 22 ),
donde tiramos (u0 , v0 ) = ( π4 , π4 ).
π
obtemos a u−curva
√ 4
√
√
2
π
r (u, 4 ) = ( 2 cos u, 22 sin u, 22 )
Fazendo u = π4 obtemos a v −curva
√
√
r ( π4 , v ) = ( 22 cos v , 22 cos v , sin v )
Fazendo v =
Curva coordenada na esfera
Integral de
Superfı́cies
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Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Para encontrarmos as curvas coordenadas, precisaremos do
ponto (u0 , v0 ) no domı́nio da parametrização. Assim,√
r (u0 , v0 ) = (cos u0 sin v0 , sin u0 cos v0 , sin v0 ) = ( 21 , 12 , 22 ),
donde tiramos (u0 , v0 ) = ( π4 , π4 ).
π
obtemos a u−curva
√ 4
√
√
2
π
r (u, 4 ) = ( 2 cos u, 22 sin u, 22 )
Fazendo u = π4 obtemos a v −curva
√
√
r ( π4 , v ) = ( 22 cos v , 22 cos v , sin v )
Fazendo v =
Curva coordenada na esfera
Integral de
Superfı́cies
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Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Para encontrarmos as curvas coordenadas, precisaremos do
ponto (u0 , v0 ) no domı́nio da parametrização. Assim,√
r (u0 , v0 ) = (cos u0 sin v0 , sin u0 cos v0 , sin v0 ) = ( 21 , 12 , 22 ),
donde tiramos (u0 , v0 ) = ( π4 , π4 ).
π
obtemos a u−curva
√ 4
√
√
2
π
r (u, 4 ) = ( 2 cos u, 22 sin u, 22 )
Fazendo u = π4 obtemos a v −curva
√
√
r ( π4 , v ) = ( 22 cos v , 22 cos v , sin v )
Fazendo v =
Plano tangente
Integral de
Superfı́cies
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Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Seja S uma superfı́cie, r sua parametrização e P um
∂r
∂r
e ∂v
no ponto P, são
ponto de S. Os vetores ∂u
tangentes as curvas coordenadas.
Se tais vetores forem Linearmente Independentes então
podemos calcular o produto vetorial entre eles e obter o
∂r
∂r
× ∂v
. Desta forma no ponto P teremos um plano
vetor ∂u
∂r
∂r
tangente TP de vetor normal dado por ∂u
× ∂v
.
Se Q é um ponto qualquer de TP teremos
∂r
∂r
(Q − P) · ∂u
× ∂v
= 0 a equação deste plano tangente.
A reta normal a superfı́cie
em P tem equação
∂r
∂r
X = P + t · ∂u
× ∂v
Plano tangente
Integral de
Superfı́cies
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Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Seja S uma superfı́cie, r sua parametrização e P um
∂r
∂r
e ∂v
no ponto P, são
ponto de S. Os vetores ∂u
tangentes as curvas coordenadas.
Se tais vetores forem Linearmente Independentes então
podemos calcular o produto vetorial entre eles e obter o
∂r
∂r
× ∂v
. Desta forma no ponto P teremos um plano
vetor ∂u
∂r
∂r
tangente TP de vetor normal dado por ∂u
× ∂v
.
Se Q é um ponto qualquer de TP teremos
∂r
∂r
(Q − P) · ∂u
× ∂v
= 0 a equação deste plano tangente.
A reta normal a superfı́cie
em P tem equação
∂r
∂r
X = P + t · ∂u
× ∂v
Plano tangente
Integral de
Superfı́cies
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Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Seja S uma superfı́cie, r sua parametrização e P um
∂r
∂r
e ∂v
no ponto P, são
ponto de S. Os vetores ∂u
tangentes as curvas coordenadas.
Se tais vetores forem Linearmente Independentes então
podemos calcular o produto vetorial entre eles e obter o
∂r
∂r
× ∂v
. Desta forma no ponto P teremos um plano
vetor ∂u
∂r
∂r
tangente TP de vetor normal dado por ∂u
× ∂v
.
Se Q é um ponto qualquer de TP teremos
∂r
∂r
(Q − P) · ∂u
× ∂v
= 0 a equação deste plano tangente.
A reta normal a superfı́cie
em P tem equação
∂r
∂r
X = P + t · ∂u
× ∂v
Plano tangente
Integral de
Superfı́cies
Professor:
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Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Seja S uma superfı́cie, r sua parametrização e P um
∂r
∂r
e ∂v
no ponto P, são
ponto de S. Os vetores ∂u
tangentes as curvas coordenadas.
Se tais vetores forem Linearmente Independentes então
podemos calcular o produto vetorial entre eles e obter o
∂r
∂r
× ∂v
. Desta forma no ponto P teremos um plano
vetor ∂u
∂r
∂r
tangente TP de vetor normal dado por ∂u
× ∂v
.
Se Q é um ponto qualquer de TP teremos
∂r
∂r
(Q − P) · ∂u
× ∂v
= 0 a equação deste plano tangente.
A reta normal a superfı́cie
em P tem equação
∂r
∂r
X = P + t · ∂u
× ∂v
Suavidade
Integral de
Superfı́cies
Professor:
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Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Intuitivamente, uma superfı́cie é suave quando não possui
arestas ou pontas. Esta propriedade pode ser vista em termos
∂r
da existência de vetor normal à superfı́cie, ou seja, quando ∂u
e
∂r
são
Linearmente
Independentes.
∂v
Orientação
Integral de
Superfı́cies
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Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Uma superfı́cie será orientável quando for possı́vel escolher
um vetor normal em cada um de seus pontos dividindo a
superfı́cie em lados (dentro ou fora),(direita ou esquerda),
(acima ou abaixo).
Ao escolher a orientação (O vetor normal) diremos que a
superfı́cie está orientada.
Existem superfı́cies não orientáveis. O exemplo mais
comum é a Faixa de Möbius
Orientação
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Uma superfı́cie será orientável quando for possı́vel escolher
um vetor normal em cada um de seus pontos dividindo a
superfı́cie em lados (dentro ou fora),(direita ou esquerda),
(acima ou abaixo).
Ao escolher a orientação (O vetor normal) diremos que a
superfı́cie está orientada.
Existem superfı́cies não orientáveis. O exemplo mais
comum é a Faixa de Möbius
Orientação
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Uma superfı́cie será orientável quando for possı́vel escolher
um vetor normal em cada um de seus pontos dividindo a
superfı́cie em lados (dentro ou fora),(direita ou esquerda),
(acima ou abaixo).
Ao escolher a orientação (O vetor normal) diremos que a
superfı́cie está orientada.
Existem superfı́cies não orientáveis. O exemplo mais
comum é a Faixa de Möbius
Orientação
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Uma superfı́cie será orientável quando for possı́vel escolher
um vetor normal em cada um de seus pontos dividindo a
superfı́cie em lados (dentro ou fora),(direita ou esquerda),
(acima ou abaixo).
Ao escolher a orientação (O vetor normal) diremos que a
superfı́cie está orientada.
Existem superfı́cies não orientáveis. O exemplo mais
comum é a Faixa de Möbius
Área de Superfı́cie
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
O plano tangente fornece uma aproximação da superfı́cie
em seu ponto de tangência.
∂r
∂r
e ∂v
, que geram o plano, formam um
Os vetores ∂u
∂r
∂r
pequeno paralelogramo de área | ∂u
× ∂v
|.
Quando u e v sofrem acréscimos ∆u e ∆v , a área deste
∂r
∂r
× ∂v
|∆u∆v e assim definimos:
paralelogramo é ∆S = | ∂u
Superfı́cie
Suave
Área de superfı́cie
Área de uma
Superfı́cie
A área a(S) da superfı́cie S é dada por
Z Z ∂r
∂r a(s) =
∂u × ∂v dudv
R
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Área de Superfı́cie
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
O plano tangente fornece uma aproximação da superfı́cie
em seu ponto de tangência.
∂r
∂r
e ∂v
, que geram o plano, formam um
Os vetores ∂u
∂r
∂r
pequeno paralelogramo de área | ∂u
× ∂v
|.
Quando u e v sofrem acréscimos ∆u e ∆v , a área deste
∂r
∂r
× ∂v
|∆u∆v e assim definimos:
paralelogramo é ∆S = | ∂u
Superfı́cie
Suave
Área de superfı́cie
Área de uma
Superfı́cie
A área a(S) da superfı́cie S é dada por
Z Z ∂r
∂r a(s) =
∂u × ∂v dudv
R
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Área de Superfı́cie
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
O plano tangente fornece uma aproximação da superfı́cie
em seu ponto de tangência.
∂r
∂r
e ∂v
, que geram o plano, formam um
Os vetores ∂u
∂r
∂r
pequeno paralelogramo de área | ∂u
× ∂v
|.
Quando u e v sofrem acréscimos ∆u e ∆v , a área deste
∂r
∂r
× ∂v
|∆u∆v e assim definimos:
paralelogramo é ∆S = | ∂u
Superfı́cie
Suave
Área de superfı́cie
Área de uma
Superfı́cie
A área a(S) da superfı́cie S é dada por
Z Z ∂r
∂r a(s) =
∂u × ∂v dudv
R
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Área de Superfı́cie
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
O plano tangente fornece uma aproximação da superfı́cie
em seu ponto de tangência.
∂r
∂r
e ∂v
, que geram o plano, formam um
Os vetores ∂u
∂r
∂r
pequeno paralelogramo de área | ∂u
× ∂v
|.
Quando u e v sofrem acréscimos ∆u e ∆v , a área deste
∂r
∂r
× ∂v
|∆u∆v e assim definimos:
paralelogramo é ∆S = | ∂u
Superfı́cie
Suave
Área de superfı́cie
Área de uma
Superfı́cie
A área a(S) da superfı́cie S é dada por
Z Z ∂r
∂r a(s) =
∂u × ∂v dudv
R
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Exemplo de cálculo de área
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Determinar a área do parabolóide z = 2(x 2 + y 2 ) abaixo do
plano z = 8.
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Temos que a parametrização do parabolóide pode ser dada
por r (u, v ) = (u, v , 2u 2 + 2v 2 ), (u, v ) ∈ R,
R = {(u, v ) ∈ R2 |u 2 + v 2 ≤ 4}
Encontrando os vetores tangentes às curvas coordenadas
∂r
∂r
obtemos ∂u
= (1, 0, 4u) e ∂v
= (0, 1, 4v )
∂r
∂r
O vetor normal é dado por ∂u
× ∂v
= (−4u, −4v , 1), e
∂r
√
∂r seu módulo ∂u × ∂v
= 16u 2 + 16v 2 + 1.
R R√
Finalmente a(S) = R
16u 2 + 16v 2 + 1dA, passando
para polares, obtemos
√
R 2 R 2π √
65 65 − 1
2
a(S) = 0 0
16r + 1rdθdr =
π
24
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Temos que a parametrização do parabolóide pode ser dada
por r (u, v ) = (u, v , 2u 2 + 2v 2 ), (u, v ) ∈ R,
R = {(u, v ) ∈ R2 |u 2 + v 2 ≤ 4}
Encontrando os vetores tangentes às curvas coordenadas
∂r
∂r
obtemos ∂u
= (1, 0, 4u) e ∂v
= (0, 1, 4v )
∂r
∂r
O vetor normal é dado por ∂u
× ∂v
= (−4u, −4v , 1), e
∂r
√
∂r seu módulo ∂u × ∂v
= 16u 2 + 16v 2 + 1.
R R√
Finalmente a(S) = R
16u 2 + 16v 2 + 1dA, passando
para polares, obtemos
√
R 2 R 2π √
65 65 − 1
2
a(S) = 0 0
16r + 1rdθdr =
π
24
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Temos que a parametrização do parabolóide pode ser dada
por r (u, v ) = (u, v , 2u 2 + 2v 2 ), (u, v ) ∈ R,
R = {(u, v ) ∈ R2 |u 2 + v 2 ≤ 4}
Encontrando os vetores tangentes às curvas coordenadas
∂r
∂r
obtemos ∂u
= (1, 0, 4u) e ∂v
= (0, 1, 4v )
∂r
∂r
O vetor normal é dado por ∂u
× ∂v
= (−4u, −4v , 1), e
∂r
√
∂r seu módulo ∂u × ∂v
= 16u 2 + 16v 2 + 1.
R R√
Finalmente a(S) = R
16u 2 + 16v 2 + 1dA, passando
para polares, obtemos
√
R 2 R 2π √
65 65 − 1
2
a(S) = 0 0
16r + 1rdθdr =
π
24
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Temos que a parametrização do parabolóide pode ser dada
por r (u, v ) = (u, v , 2u 2 + 2v 2 ), (u, v ) ∈ R,
R = {(u, v ) ∈ R2 |u 2 + v 2 ≤ 4}
Encontrando os vetores tangentes às curvas coordenadas
∂r
∂r
obtemos ∂u
= (1, 0, 4u) e ∂v
= (0, 1, 4v )
∂r
∂r
O vetor normal é dado por ∂u
× ∂v
= (−4u, −4v , 1), e
∂r
√
∂r seu módulo ∂u × ∂v
= 16u 2 + 16v 2 + 1.
R R√
Finalmente a(S) = R
16u 2 + 16v 2 + 1dA, passando
para polares, obtemos
√
R 2 R 2π √
65 65 − 1
2
a(S) = 0 0
16r + 1rdθdr =
π
24
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Temos que a parametrização do parabolóide pode ser dada
por r (u, v ) = (u, v , 2u 2 + 2v 2 ), (u, v ) ∈ R,
R = {(u, v ) ∈ R2 |u 2 + v 2 ≤ 4}
Encontrando os vetores tangentes às curvas coordenadas
∂r
∂r
obtemos ∂u
= (1, 0, 4u) e ∂v
= (0, 1, 4v )
∂r
∂r
O vetor normal é dado por ∂u
× ∂v
= (−4u, −4v , 1), e
∂r
√
∂r seu módulo ∂u × ∂v
= 16u 2 + 16v 2 + 1.
R R√
Finalmente a(S) = R
16u 2 + 16v 2 + 1dA, passando
para polares, obtemos
√
R 2 R 2π √
65 65 − 1
2
a(S) = 0 0
16r + 1rdθdr =
π
24
Para campo escalar
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Seja S uma superfı́cie suave parametrizada por r (u, v ) e f
campo escalar definido em S.
Definição
R R
A integral de superfı́cie de f sobre S, denotada por S fdS é
definida por
Z Z
Z Z
∂r
∂r fdS =
f (r (u, v )) ×
dudv
∂u ∂v S
R
Exemplo
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Exemplo
Z Z
Calcular
(x + z)ds, onde S é a superfı́cie plana
S
2x + 2y + z = 6 no primeiro octante.
Solução
Parametrizando a superfı́cie temos
r (u, v ) = (u, v , 6 − 2u − 2v ) com 0 ≤ u ≤ 3 e
0 ≤ v ≤ 3 − u.
∂r
f (r (u, v )) = −u − 2v + 6, ∂u
= (1, 0, −2),
∂r
∂r × ∂r = 3.
=
(0,
1,
−2)
e
∂v
∂u
∂v
Assim,
Z Z
Z
(x + z)ds =
S
0
3 Z 3−u
3(6 − u − 2v )dvdu =
0
81
2
Exemplo
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Exemplo
Z Z
Calcular
(x + z)ds, onde S é a superfı́cie plana
S
2x + 2y + z = 6 no primeiro octante.
Solução
Parametrizando a superfı́cie temos
r (u, v ) = (u, v , 6 − 2u − 2v ) com 0 ≤ u ≤ 3 e
0 ≤ v ≤ 3 − u.
∂r
= (1, 0, −2),
f (r (u, v )) = −u − 2v + 6, ∂u
∂r
∂r × ∂r = 3.
=
(0,
1,
−2)
e
∂v
∂u
∂v
Assim,
Z Z
Z
(x + z)ds =
S
0
3 Z 3−u
3(6 − u − 2v )dvdu =
0
81
2
Exemplo
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Exemplo
Z Z
Calcular
(x + z)ds, onde S é a superfı́cie plana
S
2x + 2y + z = 6 no primeiro octante.
Solução
Parametrizando a superfı́cie temos
r (u, v ) = (u, v , 6 − 2u − 2v ) com 0 ≤ u ≤ 3 e
0 ≤ v ≤ 3 − u.
∂r
f (r (u, v )) = −u − 2v + 6, ∂u
= (1, 0, −2),
∂r
∂r × ∂r = 3.
=
(0,
1,
−2)
e
∂v
∂u
∂v
Assim,
Z Z
Z
(x + z)ds =
S
0
3 Z 3−u
3(6 − u − 2v )dvdu =
0
81
2
Exemplo
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Exemplo
Z Z
Calcular
(x + z)ds, onde S é a superfı́cie plana
S
2x + 2y + z = 6 no primeiro octante.
Solução
Parametrizando a superfı́cie temos
r (u, v ) = (u, v , 6 − 2u − 2v ) com 0 ≤ u ≤ 3 e
0 ≤ v ≤ 3 − u.
∂r
f (r (u, v )) = −u − 2v + 6, ∂u
= (1, 0, −2),
∂r
∂r × ∂r = 3.
=
(0,
1,
−2)
e
∂v
∂u
∂v
Assim,
Z Z
Z
(x + z)ds =
S
0
3 Z 3−u
3(6 − u − 2v )dvdu =
0
81
2
Exemplo
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Exemplo
Z Z
Calcular
(x + z)ds, onde S é a superfı́cie plana
S
2x + 2y + z = 6 no primeiro octante.
Solução
Parametrizando a superfı́cie temos
r (u, v ) = (u, v , 6 − 2u − 2v ) com 0 ≤ u ≤ 3 e
0 ≤ v ≤ 3 − u.
∂r
f (r (u, v )) = −u − 2v + 6, ∂u
= (1, 0, −2),
∂r
∂r × ∂r = 3.
=
(0,
1,
−2)
e
∂v
∂u
∂v
Assim,
Z Z
Z
(x + z)ds =
S
0
3 Z 3−u
3(6 − u − 2v )dvdu =
0
81
2
Continua....
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
CONTINUA...
Para Campo Vetorial
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Seja S uma superfı́cie suave parametrizada por r (u, v ),
→
−
−
(u, v ) ∈ R, →
η vetor normal a S e unitário e f campo vetorial
definido em S.
Definição
→
−
A integral de superfı́cie de f sobre S, denotada por,
Z Z
→
−→
f −
η dS
S
é definida por
Z Z
Z Z
∂r
→
−→
∂r −
→
−
f η dS =
f (r (u, v )) η (u, v ) ×
dudv ,
∂u ∂v S
R
quando a integral à direita existe.
Escolha do vetor normal
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
∂r
×
−
Observe que se →
η 1 = ∂u
∂r ×
∂u
→
−
−
η = −→
η 1.
∂r
∂v ,
∂r ∂v
−
−
então →
η =→
η 1 ou
Assim, a integral pode ter um sinal positivo ou negativo.
O sinal será positivo se o normal unitário aponta para o
lado que estamos calculando a integral e negativo em caso
contrário.
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Z Z
S
→
−→
f −
η dS = ±
Z Z
f (r (u, v ))
R
∂r
∂r
×
∂u ∂v
dudv
Escolha do vetor normal
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
∂r
×
−
Observe que se →
η 1 = ∂u
∂r ×
∂u
→
−
−
η = −→
η 1.
∂r
∂v ,
∂r ∂v
−
−
então →
η =→
η 1 ou
Assim, a integral pode ter um sinal positivo ou negativo.
O sinal será positivo se o normal unitário aponta para o
lado que estamos calculando a integral e negativo em caso
contrário.
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Z Z
S
→
−→
f −
η dS = ±
Z Z
f (r (u, v ))
R
∂r
∂r
×
∂u ∂v
dudv
Escolha do vetor normal
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
∂r
×
−
Observe que se →
η 1 = ∂u
∂r ×
∂u
→
−
−
η = −→
η 1.
∂r
∂v ,
∂r ∂v
−
−
então →
η =→
η 1 ou
Assim, a integral pode ter um sinal positivo ou negativo.
O sinal será positivo se o normal unitário aponta para o
lado que estamos calculando a integral e negativo em caso
contrário.
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Z Z
S
→
−→
f −
η dS = ±
Z Z
f (r (u, v ))
R
∂r
∂r
×
∂u ∂v
dudv
Exemplo
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Exemplo
Z Z
→
−→
→
−
f −
η dS, onde f = (x, y , z) e S é a superfı́cie
Curva
Coordenada
Calcular
Plano
Tangente
exterior ao cilindro x 2 + z 2 = a2 limitada pelos planos y = −4
e y = 4.
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
S
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Inicialmente precisamos da parametrização.
Parametrizando
Superfı́cies
r (u, v ) = (a cos u, v , a sin u), a > 0, 0 ≤ u ≤ 2π e
−4 ≤ v ≤ 4.
Curva
Coordenada
f (r (u, v )) = (a cos u, v , a sin u).
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
∂r
∂u
∂r
∂u
∂r
= (−a sin u, 0, a cos u), ∂v
= (0, 1, 0) e
∂r
× ∂v = (−a cos u, 0, −a sin u)(Aponta para o interior).
∂r
∂r
Assim, f (r (u, v )) · ∂u
× ∂v
= −a2 e portanto
Z Z
Z 2π Z 4
→
−→
f −
η dS = −
(−a2 ) = 16πa2
S
0
−4
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Inicialmente precisamos da parametrização.
Parametrizando
Superfı́cies
r (u, v ) = (a cos u, v , a sin u), a > 0, 0 ≤ u ≤ 2π e
−4 ≤ v ≤ 4.
Curva
Coordenada
f (r (u, v )) = (a cos u, v , a sin u).
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
∂r
∂u
∂r
∂u
∂r
= (−a sin u, 0, a cos u), ∂v
= (0, 1, 0) e
∂r
× ∂v = (−a cos u, 0, −a sin u)(Aponta para o interior).
∂r
∂r
Assim, f (r (u, v )) · ∂u
× ∂v
= −a2 e portanto
Z Z
Z 2π Z 4
→
−→
f −
η dS = −
(−a2 ) = 16πa2
S
0
−4
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Inicialmente precisamos da parametrização.
Parametrizando
Superfı́cies
r (u, v ) = (a cos u, v , a sin u), a > 0, 0 ≤ u ≤ 2π e
−4 ≤ v ≤ 4.
Curva
Coordenada
f (r (u, v )) = (a cos u, v , a sin u).
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
∂r
∂u
∂r
∂u
∂r
= (−a sin u, 0, a cos u), ∂v
= (0, 1, 0) e
∂r
× ∂v = (−a cos u, 0, −a sin u)(Aponta para o interior).
∂r
∂r
Assim, f (r (u, v )) · ∂u
× ∂v
= −a2 e portanto
Z Z
Z 2π Z 4
→
−→
f −
η dS = −
(−a2 ) = 16πa2
S
0
−4
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Inicialmente precisamos da parametrização.
Parametrizando
Superfı́cies
r (u, v ) = (a cos u, v , a sin u), a > 0, 0 ≤ u ≤ 2π e
−4 ≤ v ≤ 4.
Curva
Coordenada
f (r (u, v )) = (a cos u, v , a sin u).
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
∂r
∂u
∂r
∂u
∂r
= (−a sin u, 0, a cos u), ∂v
= (0, 1, 0) e
∂r
× ∂v = (−a cos u, 0, −a sin u)(Aponta para o interior).
∂r
∂r
Assim, f (r (u, v )) · ∂u
× ∂v
= −a2 e portanto
Z Z
Z 2π Z 4
→
−→
f −
η dS = −
(−a2 ) = 16πa2
S
0
−4
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Inicialmente precisamos da parametrização.
Parametrizando
Superfı́cies
r (u, v ) = (a cos u, v , a sin u), a > 0, 0 ≤ u ≤ 2π e
−4 ≤ v ≤ 4.
Curva
Coordenada
f (r (u, v )) = (a cos u, v , a sin u).
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
∂r
∂u
∂r
∂u
∂r
= (−a sin u, 0, a cos u), ∂v
= (0, 1, 0) e
∂r
× ∂v = (−a cos u, 0, −a sin u)(Aponta para o interior).
∂r
∂r
Assim, f (r (u, v )) · ∂u
× ∂v
= −a2 e portanto
Z Z
Z 2π Z 4
→
−→
f −
η dS = −
(−a2 ) = 16πa2
S
0
−4
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Inicialmente precisamos da parametrização.
Parametrizando
Superfı́cies
r (u, v ) = (a cos u, v , a sin u), a > 0, 0 ≤ u ≤ 2π e
−4 ≤ v ≤ 4.
Curva
Coordenada
f (r (u, v )) = (a cos u, v , a sin u).
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
∂r
∂u
∂r
∂u
∂r
= (−a sin u, 0, a cos u), ∂v
= (0, 1, 0) e
∂r
× ∂v = (−a cos u, 0, −a sin u)(Aponta para o interior).
∂r
∂r
Assim, f (r (u, v )) · ∂u
× ∂v
= −a2 e portanto
Z Z
Z 2π Z 4
→
−→
f −
η dS = −
(−a2 ) = 16πa2
S
0
−4
Notação
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Escrever no quadro.
Teorema Stokes
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Teorema de Stokes
Seja S uma superfı́cie orientável, suave por partes, delimitada
−
por uma curva fechada simples, suave por partes C . Se →
g é
a
campo vetorial contı́nuo, com derivadas parciais de 1 ordem
contı́nuas em um domı́nio que contém S ∪ C , temos
Z Z
I
→
−
→
−
−
→
−
rot g η dS =
g d→
r,
S
C
C é tomada no sentido positivo determinado pela orientação de
S (regra mão direita).
Exemplo
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Exemplo
Z
Calcular I =
C
(y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz), onde C é o contorno de
x + y + z = a, a > 0 no 1o octante, no sentido anti-horário.
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
→
−
Veja que f = (y 2 , z 2 , x 2 ) e r (u, v ) = (u, v , a − u − v )
0 ≤ u ≤ a e 0 ≤ v ≤ a − u, é a parametrização.
∂r
∂u
∂r
∂r
∂r
= (1, 0, −1) e ∂v
= (0, 1, −1) com ∂u
× ∂v
= (1, 1, 1)
(aponta para o exterior).
→
−
rot f = (−2z, −2x, −2y ). Aplicando na parametrização
→
−
fica rot f = (−2a + 2u + 2v , −2u, −2v )
→
−
∂r
∂r
rot f · ∂u
× ∂v
= −2a.
Z a Z a−u
Logo, I =
(−2a)dvdu = −a3
0
0
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
→
−
Veja que f = (y 2 , z 2 , x 2 ) e r (u, v ) = (u, v , a − u − v )
0 ≤ u ≤ a e 0 ≤ v ≤ a − u, é a parametrização.
∂r
∂u
∂r
∂r
∂r
= (1, 0, −1) e ∂v
= (0, 1, −1) com ∂u
× ∂v
= (1, 1, 1)
(aponta para o exterior).
→
−
rot f = (−2z, −2x, −2y ). Aplicando na parametrização
→
−
fica rot f = (−2a + 2u + 2v , −2u, −2v )
→
−
∂r
∂r
rot f · ∂u
× ∂v
= −2a.
Z a Z a−u
Logo, I =
(−2a)dvdu = −a3
0
0
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
→
−
Veja que f = (y 2 , z 2 , x 2 ) e r (u, v ) = (u, v , a − u − v )
0 ≤ u ≤ a e 0 ≤ v ≤ a − u, é a parametrização.
∂r
∂u
∂r
∂r
∂r
= (1, 0, −1) e ∂v
= (0, 1, −1) com ∂u
× ∂v
= (1, 1, 1)
(aponta para o exterior).
→
−
rot f = (−2z, −2x, −2y ). Aplicando na parametrização
→
−
fica rot f = (−2a + 2u + 2v , −2u, −2v )
→
−
∂r
∂r
rot f · ∂u
× ∂v
= −2a.
Z a Z a−u
Logo, I =
(−2a)dvdu = −a3
0
0
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
→
−
Veja que f = (y 2 , z 2 , x 2 ) e r (u, v ) = (u, v , a − u − v )
0 ≤ u ≤ a e 0 ≤ v ≤ a − u, é a parametrização.
∂r
∂u
∂r
∂r
∂r
= (1, 0, −1) e ∂v
= (0, 1, −1) com ∂u
× ∂v
= (1, 1, 1)
(aponta para o exterior).
→
−
rot f = (−2z, −2x, −2y ). Aplicando na parametrização
→
−
fica rot f = (−2a + 2u + 2v , −2u, −2v )
→
−
∂r
∂r
rot f · ∂u
× ∂v
= −2a.
Z a Z a−u
Logo, I =
(−2a)dvdu = −a3
0
0
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
→
−
Veja que f = (y 2 , z 2 , x 2 ) e r (u, v ) = (u, v , a − u − v )
0 ≤ u ≤ a e 0 ≤ v ≤ a − u, é a parametrização.
∂r
∂u
∂r
∂r
∂r
= (1, 0, −1) e ∂v
= (0, 1, −1) com ∂u
× ∂v
= (1, 1, 1)
(aponta para o exterior).
→
−
rot f = (−2z, −2x, −2y ). Aplicando na parametrização
→
−
fica rot f = (−2a + 2u + 2v , −2u, −2v )
→
−
∂r
∂r
rot f · ∂u
× ∂v
= −2a.
Z a Z a−u
Logo, I =
(−2a)dvdu = −a3
0
0
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
→
−
Veja que f = (y 2 , z 2 , x 2 ) e r (u, v ) = (u, v , a − u − v )
0 ≤ u ≤ a e 0 ≤ v ≤ a − u, é a parametrização.
∂r
∂u
∂r
∂r
∂r
= (1, 0, −1) e ∂v
= (0, 1, −1) com ∂u
× ∂v
= (1, 1, 1)
(aponta para o exterior).
→
−
rot f = (−2z, −2x, −2y ). Aplicando na parametrização
→
−
fica rot f = (−2a + 2u + 2v , −2u, −2v )
→
−
∂r
∂r
rot f · ∂u
× ∂v
= −2a.
Z a Z a−u
Logo, I =
(−2a)dvdu = −a3
0
0
Exemplo
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Exemplo
Z Z
Calcular
[(2x − z)dydz + x 2 dxdz − xz 2 dxdy ], onde S é a
S
superfı́cie exterior ao cubo limitado pelos planos coordenados e
por x = 1, y = 1 e z = 1.
Superfı́cie
Suave
Exemplo
Área de uma
Superfı́cie
Como resolverı́amos utilizando integral de superfı́cie?
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Exemplo
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Exemplo
Z Z
Calcular
[(2x − z)dydz + x 2 dxdz − xz 2 dxdy ], onde S é a
S
superfı́cie exterior ao cubo limitado pelos planos coordenados e
por x = 1, y = 1 e z = 1.
Superfı́cie
Suave
Exemplo
Área de uma
Superfı́cie
Como resolverı́amos utilizando integral de superfı́cie?
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Teorema da Divergência ou de Gauss
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Teorema da Divergência
Seja T um sólido no espaço delimitado por uma superfı́cie
−
orientável S. Se →
η é a normal unitária exterior a S e se
→
−
f (x, y , z) = (f1 (x, y , z), f2 (x, y , z), f3 (x, y , z)) é uma função
vetorial contı́nua que possui derivadas parciais de primeira
ordem contı́nuas em um domı́nio que contém T , então
Z Z Z
Z Z
→
−→
→
−
−
f η dS =
div f dV
S
T
Exemplo
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Exemplo
Curva
Coordenada
Calcular
Plano
Tangente
superfı́cie exterior ao cubo limitado pelos planos coordenados e
por x = 1, y = 1 e z = 1.
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Z Z
S
[(2x − z)dydz + x 2 dxdz − xz 2 dxdy ], onde S é a
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Inicialmente observe que para usar o teorema da
divergência nem precisamos da parametrização.
→
−
f = (2x − z, x 2 , −xz 2 )
→
−
div f = 2 − 2zx
A região de integração é o próprio prisma, assim
Z Z
[(2x − z)dydz + x 2 dxdz − xz 2 dxdy ] =
ZS1 Z 1 Z 1
3
(2 − 2xz)dxdydz =
2
0
0
0
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Inicialmente observe que para usar o teorema da
divergência nem precisamos da parametrização.
→
−
f = (2x − z, x 2 , −xz 2 )
→
−
div f = 2 − 2zx
A região de integração é o próprio prisma, assim
Z Z
[(2x − z)dydz + x 2 dxdz − xz 2 dxdy ] =
ZS1 Z 1 Z 1
3
(2 − 2xz)dxdydz =
2
0
0
0
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Inicialmente observe que para usar o teorema da
divergência nem precisamos da parametrização.
→
−
f = (2x − z, x 2 , −xz 2 )
→
−
div f = 2 − 2zx
A região de integração é o próprio prisma, assim
Z Z
[(2x − z)dydz + x 2 dxdz − xz 2 dxdy ] =
ZS1 Z 1 Z 1
3
(2 − 2xz)dxdydz =
2
0
0
0
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Inicialmente observe que para usar o teorema da
divergência nem precisamos da parametrização.
→
−
f = (2x − z, x 2 , −xz 2 )
→
−
div f = 2 − 2zx
A região de integração é o próprio prisma, assim
Z Z
[(2x − z)dydz + x 2 dxdz − xz 2 dxdy ] =
ZS1 Z 1 Z 1
3
(2 − 2xz)dxdydz =
2
0
0
0
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Inicialmente observe que para usar o teorema da
divergência nem precisamos da parametrização.
→
−
f = (2x − z, x 2 , −xz 2 )
→
−
div f = 2 − 2zx
A região de integração é o próprio prisma, assim
Z Z
[(2x − z)dydz + x 2 dxdz − xz 2 dxdy ] =
ZS1 Z 1 Z 1
3
(2 − 2xz)dxdydz =
2
0
0
0
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Inicialmente observe que para usar o teorema da
divergência nem precisamos da parametrização.
→
−
f = (2x − z, x 2 , −xz 2 )
→
−
div f = 2 − 2zx
A região de integração é o próprio prisma, assim
Z Z
[(2x − z)dydz + x 2 dxdz − xz 2 dxdy ] =
ZS1 Z 1 Z 1
3
(2 − 2xz)dxdydz =
2
0
0
0
Exemplo
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Exemplo
Z Z
→
−→
f −
η dS, onde S é a superfı́cie exterior ao sólido
Curva
Coordenada
Calcular
Plano
Tangente
delimitado por z = x 2 + y 2 − 9 e z = −2x 2 − 2y 2 + 9, sendo
→
−
f = (2x, 3y , 4z)
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
S
Solução
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
No quadro
Agradecimentos e mensagem final
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
Superfı́cies
Curva
Coordenada
Plano
Tangente
Superfı́cie
Suave
Área de uma
Superfı́cie
Integral de
superfı́cie
Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
Divergência
Henry Ford: ”Se você acha que pode, você está certo. Se
você acha que não pode, você também está certo.”
Airton Senna: ”Se você quer ser bem sucedido, precisa ter
dedicação total, buscar seu último limite e dar o melhor de
si mesmo.”
Foi bom estar com vocês. Obrigado!
Agradecimentos e mensagem final
Integral de
Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
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Tangente
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Campo Escalar
Campo Vetorial
Stokes
Gauss ou
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Henry Ford: ”Se você acha que pode, você está certo. Se
você acha que não pode, você também está certo.”
Airton Senna: ”Se você quer ser bem sucedido, precisa ter
dedicação total, buscar seu último limite e dar o melhor de
si mesmo.”
Foi bom estar com vocês. Obrigado!
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Superfı́cies
Professor:
Fabrı́cio de
Figueredo
Oliveira
Parametrizando
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Coordenada
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Suave
Área de uma
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Stokes
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Henry Ford: ”Se você acha que pode, você está certo. Se
você acha que não pode, você também está certo.”
Airton Senna: ”Se você quer ser bem sucedido, precisa ter
dedicação total, buscar seu último limite e dar o melhor de
si mesmo.”
Foi bom estar com vocês. Obrigado!