Estudo de curto-circuito trifásico na máquina síncrona
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UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO PROJETO DE FINAL DE CURSO ESTUDO DE CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO NA MÁQUINA SÍNCRONA por DIÓGENYS FÁBIO SALES NASCIMENTO Recife, maio de 2010 UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ESTUDO DE CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO NA MÁQUINA SÍNCRONA por DIÓGENYS FÁBIO SALES NASCIMENTO Monografia apresentada ao curso de Engenharia Elétrica – modalidade Eletrotécnica da Universidade de Pernambuco, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Engenheiro Eletricista. ORIENTADOR: Mozart de Siqueira Campos Araújo, Dsc. Recife, maio de 2010. © Diógenys Fábio Sales Nascimento, 2010 UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA No dia DIA de maio de 2010, às HORA:MINUTO horas, reuniu-se para deliberar a defesa de Monografia de Conclusão de Curso de Engenharia Eletrotécnica, do aluno Diógenys Fábio Sales Nascimento, orientado pelo professor Mozart de Siqueira Campos Araújo, sob título Estudo de curto-circuito trifásico na máquina síncrona, a banca composta pelos professores: 1. PROFESSOR ORIENTADOR 2. PROFESSOR CONVIDADO Após a apresentação da monografia esta foi julgada e APROVADA, sendo-lhe atribuída nota NOTA (NOTA POR EXTENSO). Recife, DIA de MÊS de ANO. _________________________________________________________________________ _ Prof. NOME DO PROFESSOR DA DISCIPLINA PROJETO DEFINAL DE CURSO Professor da disciplina Projeto de Final de Curso _________________________________________________________________________ _ Prof. NOME DO PROFESSOR ORIENTADOR Professor Orientador _________________________________________________________________________ _ Prof. NOME DO PROFESSOR CONVIDADO Professor Convidado Ofereço este trabalho à minha querida esposa Mariana, à minha amada filha Clarice e aos meus queridos pais. AGRADECIMENTOS Agradeço ao Meu grandioso Pai celestial pela saúde, coragem e perseverança necessárias para o desenvolvimento desse trabalho e pela minha linda família. Em especial, agradeço à minha amada esposa Mariana Neves Baptista pelo apoio irrestrito e imensa colaboração, principalmente quando do nascimento da nossa primeira filha, Clarice Nascimento, em 24 de abril do corrente ano. Aos meus amados pais pela constante preocupação com a formação educacional de seus filhos. À existência da Escola Politécnica de Pernambuco, em especial pelo seu curso noturno, que me proporcionou o sonho de me tornar engenheiro eletrotécnico. Em particular, ao prezado Professor Mozart de Siqueira Campos Araújo que, pelo seu entusiasmo para com as máquinas elétricas, conquistou-me a realizar esse estudo voltado a área de máquinas elétricas, onde tive o privilégio de tê-lo como orientador desse trabalho. Aos professores Antônio Varejão de Godoy e Alexandre Jorge Tavares Souza pela imensa colaboração através da disponibilização de publicações da CHESF. Por fim, externo minha gratidão aos meus caros amigos da POLI, ontem alunos, hoje engenheiros eletrotécnicos, pela participação na realização desse trabalho e pelo estímulo necessário a permanecer no desafio de estudar máquinas elétricas. “Viva como se fosse morrer amanhã. Aprenda como se fosse viver para sempre.” (MAHATMA GHANDI) Resumo da Monografia apresentada ao curso de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica de Pernambuco. ESTUDO DE CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO NA MÁQUINA SÍNCRONA Diógenys Fábio Sales Nascimento Maio/2010 Orientador: Mozart de Siqueira Campos Araújo, Dsc. Área de Concentração: Dinâmica das máquinas elétricas. Palavras-chave: máquina síncrona, curto-circuito trifásico, transitório elétrico. Número de Páginas: 58. RESUMO: O estudo do desempenho transitório da máquina síncrona é fundamental na obtenção das amplitudes das correntes após uma perturbação qualquer, como um curtocircuito ou rejeição de carga, pois, a partir dos valores de corrente após o defeito, tem-se os subsídios necessários ao projetista de uma dada subestação, por exemplo, especificar a máxima corrente de suportabilidade de um equipamento elétrico e a capacidade de interrupção dos equipamentos de disjunção. No presente estudo, será analisado um curtocircuito aplicado nos terminais de uma máquina síncrona. Ainda que a estatística aponte para uma pequena probabilidade de ocorrência desse defeito, suas implicações são as mais severas. Por ser de mais fácil análise, o curto-circuito trifásico constitui o ponto de partida para o estudo dos fenômenos transitórios de uma máquina síncrona. A partir da aplicação da transformada de Park às equações que regem a máquina, são apresentados circuitos equivalentes que facilitam a visualização do acoplamento magnético entre os diversos circuitos que constituem a máquina síncrona. Através da solução desses modelos equivalentes, busca-se compreender o comportamento da máquina durante o curto, onde se realiza uma interpretação física dos fenômenos que ocorrem com os fluxos de enlace e uma interpretação analítica das expressões representativas das correntes de fase e de campo, onde cada termo das equações apresentadas é abordado e discutido minuciosamente. LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 – Comparativo do histórico da geração de energia elétrica do SIN entre os vários tipos de geração......................................................................................................... 13 Figura 2.1 – Rotor de uma máquina síncrona de pólos lisos – rotor cilíndrico.............................. 15 Figura 2.2 – Rotor de uma máquina síncrona de pólos salientes................................................... 15 Figura 2.3 – Definição do eixo direto e do eixo em quadratura no rotor de pólos salientes.......... 16 Figura 2.4 – Formas de ligação do enrolamento amortecedor....................................................... 17 Figura 2.5 – Localização do enrolamento amortecedor................................................................. 17 Figura 2.6 – Enrolamento amortecedor localizado na face polar do rotor..................................... 17 Figura 2.7 – Estator de uma máquina síncrona trifásica................................................................. 18 Figura 2.8 – Ranhuras do estator onde são alojados os enrolamentos trifásicos da armadura....... 18 Figura 3.1 – Enrolamentos da máquina síncrona de pólos salientes com enrolamentos amortecedores........................................................................................................... 20 Figura 3.2 – Circuito magnético da máquina de 4 pólos onde se observa a variação do entreferro com a posição do rotor............................................................................. 22 Figura 3.3 – Lei de indução magnética aplicada a uma bobina...................................................... 24 Figura 3.4 – Máquina síncrona de pólos salientes ideal, onde se observa os eixos direto (eixo d) e em quadratura (eixo q), os eixos dos enrolamentos do estator, bem como a obtenção do ângulo θ formado entre o eixo da fase a e o eixo de campo........................................................................................................................ 26 Figura 4.1 – Circuito equivalente do eixo d................................................................................... 36 Figura 4.2 – Circuito equivalente do eixo q................................................................................... 36 Figura 4.3 – Circuito equivalente do eixo d, após estimativa de que Lfkd=Lad............................... 36 Figura 5.1 – Comportamento do fluxo do estator no eixo d durante o período subtransitório....... 39 Figura 5.2 – Comportamento do fluxo do estator no eixo d durante o período transitório............ 39 Figura 5.3 – Comportamento do fluxo do estator no eixo d durante o regime permanente........... 39 Figura 5.4 – Diagrama fasorial no instante do curto para a máquina sem amortecedor onde R<<X......................................................................................................................... 40 Figura 5.5 – Traço simétrico do defeito......................................................................................... 41 Figura 5.6 – Traço assimétrico das correntes de armadura e de campo......................................... 42 Figura 5.7 – Componentes girantes do campo monofásico pulsante devido à componente AC do circuito de campo.................................................................................................... 42 Figura 5.8 – Circuito equivalente para um único enrolamento amortecedor................................. 43 Figura 5.9 – Circuito equivalente sem enrolamento amortecedor.................................................. 44 Figura 5.10 – Curto-circuito trifásico aplicado aos terminais da máquina..................................... 46 Figura 5.11 – Envoltória de amortecimento das correntes de fase durante um curto trifásico aplicado na máquina em vazio.................................................................................. 48 Figura 5.12 – Componentes das envoltórias de decaimento da corrente de fase no tempo........... 51 Figura 5.13 – Corrente simétrica de curto-circuito......................................................................... 52 Figura 5.14 – Circuito equivalente do eixo d e q para um curto trifásico aplicado através de uma impedância externa............................................................................................ 53 Figura 5.15 – Comportamento do conjugado durante o curto-circuito.......................................... 55 LISTA DE SÍMBOLOS Simbologia f ra rf uf rkd rkq Χf Χs Χd Χq Χ′d Χ′q Χ″d Χ″q Χkd Χkq Χmd=ωLmd Χmq=ωLmq χf=ωLf χkd=ωLkd χkq=ωLkq Lmd Lmq Lkd Lkq Lf la Ta T′d T′d0 T′q T′q0 T″d T″d0 T″q T″q0 Tkd Tkq Id I′d I″d Iq I′q I″q Descrição Freqüência elétrica da rede Resistência elétrica da armadura Resistência elétrica do enrolamento de campo Tensão de alimentação do campo Resistência elétrica do enrolamento amortecedor do eixo direto Resistência elétrica do enrolamento amortecedor do eixo em quadratura Reatância do enrolamento de campo Reatância síncrona Reatância síncrona do eixo direto (eixo d) Reatância síncrona do eixo em quadratura (eixo q) Reatância transitória do eixo d Reatância transitória do eixo q Reatância subtransitória do eixo d Reatância subtransitória do eixo q Reatância do enrolamento amortecedor do eixo d Reatância do enrolamento amortecedor do eixo q Reatância de magnetização do eixo d Reatância de magnetização do eixo q Reatância de dispersão do enrolamento de campo Reatância de dispersão do enrolamento amortecedor do eixo d Reatância de dispersão do enrolamento amortecedor do eixo q Indutância de magnetização do eixo d Indutância de magnetização do eixo q Indutância do enrolamento amortecedor do eixo d Indutância do enrolamento amortecedor do eixo q Indutância do enrolamento de campo Indutância da armadura Constante de tempo da armadura Constante de tempo transitória do eixo d em curto circuito Constante de tempo transitória do eixo d em circuito aberto Constante de tempo transitória do eixo q em curto circuito Constante de tempo transitória do eixo q em circuito aberto Constante de tempo subtransitória do eixo d em curto circuito Constante de tempo subtransitória do eixo d em circuito aberto Constante de tempo subtransitória do eixo q em curto circuito Constante de tempo subtransitória do eixo q em circuito aberto Constante de tempo do enrolamento amortecedor do eixo d Constante de tempo do enrolamento amortecedor do eixo q Corrente do eixo d Corrente transitória do eixo d Corrente subtransitória do eixo d Corrente do eixo q Corrente transitória do eixo q Corrente subtransitória do eixo q Unidade [Hz] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [H] [H] [H] [H] [H] [H] [s] [s] [s] [s] [s] [s] [s] [s] [s] [s] [s] [A] [A] [A] [A] [A] [A] eexc ifd n FMM f.e.m. φ δ ε ω Tensão de excitação de campo Corrente de excitação ou corrente de campo Velocidade da máquina Força magneto-motriz Forca eletro-motriz Ângulo entre tensão e corrente Ângulo de carga Constante matemática exponencial igual a 2.7182818 Velocidade angular síncrona dada por 2πf [V] [A] [rpm] [A.e] [V] [°] [°] ݀ܽݎൗ ݃݁ݏ SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO.........................................................................................................................................13 2. DESCRIÇÃO DA MÁQUINA SÍNCRONA POLIFÁSICA .................................................................15 3. REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA – EQUAÇÕES BÁSICAS .......................................................20 4. CIRCUITOS EQUIVALENTES .............................................................................................................32 5. ANÁLISE DOS FENÔMENOS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO ....................................................................................................................................................38 6. CONCLUSÕES .........................................................................................................................................56 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................................................58 13 1. Introdução Uma breve observação da figura 1.1, que apresenta o histórico da geração de energia elétrica do Sistema Interligado Nacional (SIN) para os tipos de geração, vê-se que a oferta de energia elétrica nacional é basicamente provida da geração hidráulica, seguida da energia proveniente da geração térmica. Diante desse cenário e sabendo que as usinas hidrelétricas utilizam geradores síncronos na conversão da energia mecânica da queda d’água em energia elétrica, torna-se justo conhecer o comportamento dinâmico da máquina síncrona. Figura 1.1 – Comparativo do histórico da geração de energia elétrica do SIN entre os vários tipos de geração. Para tal, o estudo é iniciado com uma breve descrição da máquina síncrona, onde são apresentadas suas partes constituintes, sua classificação quanto à geometria do rotor e, sobretudo, a definição dos eixos direto e em quadratura. Em seguida, será desenvolvido o conceito da importantíssima transformação de Park, comumente conhecida por transformação dq0. Em virtude da imensa simplificação obtida e da significativa interpretação física dos fenômenos que surgem durante a falta 14 equilibrada com o uso desse artifício matemático, todo o equacionamento aqui realizado será através da aplicação dessa transformação às expressões que regem a máquina. No item quatro desse trabalho, são apresentados os modelos equivalentes da máquina utilizados nos estudos de estabilidade transitória. O quinto tópico busca desenvolver o propósito do presente estudo, que consiste em analisar o comportamento da máquina síncrona de pólos salientes quando submetida a uma mudança repentina em seu estado de operação elétrico, em especial o curto-circuito trifásico, através da aplicação dos circuitos equivalentes da máquina mostrados na parte quatro. Dessa forma, pretende-se investigar a reação da máquina diante da falta simétrica e quais os parâmetros que a caracterizam nessa condição. Por fim, são tecidas conclusões com respeito ao desempenho da máquina síncrona, fundamentando a importância do conhecimento e entendimento dos fenômenos que ocorrem durante a ocorrência co curto-circuito trifásico. 15 2. Descrição da máquina síncrona polifásica A máquina síncrona polifásica é constituída fundamentalmente por duas estruturas fabricadas com chapas de material ferromagnético, uma estacionária, intitulada estator e outra girante, designada rotor. Disposto no rotor girante há o enrolamento de campo, o qual é alimentado por uma fonte CC que conduz a corrente contínua até esse enrolamento através de escovas estacionárias de carvão que fazem contato com anéis coletores, criando um campo magnético de excitação estacionário em relação ao rotor, mas girante em relação ao estator. Segundo a geometria, o rotor (indutor) pode ser de pólos lisos (ou cilíndrico) ou de pólos salientes, como mostram as figuras 2.1 e 2.2, respectivamente. Figura 2.1 – Rotor de uma máquina síncrona de pólos lisos – rotor cilíndrico. Figura 2.2 – Rotor de uma máquina síncrona de pólos salientes. É importante destacar que, no rotor de pólos lisos, o entreferro – espaço físico existente entre rotor e estator – é uniforme, o que garante uma permeância P constante para o fluxo que atravessa o entreferro e, por conseguinte, indutâncias também constantes. No 16 caso do rotor de pólos salientes, examinando o circuito magnético para as FMM do estator, percebe-se que a permeância desse circuito mudará com a posição do rotor em virtude das variações no entreferro. Como implicação direta da estrutura de pólos salientes, defini-se dos eixos de simetria no rotor. O eixo direto ou eixo polar (ou apenas eixo d) que apresenta menor relutância em sua direção e o eixo em quadratura ou eixo interpolar (ou eixo q), que se encontra a 90° elétricos adiantado do eixo d e possui maior relutância em sua direção. Ambos giram na velocidade síncrona ω, uma vez que estão associados ao rotor. Daí, surge a reatância de eixo d X d e a reatância de eixo q X q . A figura 2.3 mostra com detalhes a definição dos eixos d e q. Figura 2.3 – Definição do eixo direto e do eixo em quadratura no rotor de pólos salientes. Ademais, há o enrolamento amortecedor, constituído por barras condutoras interligadas, dispostas em ranhuras existentes na face polar do rotor, análogo ao enrolamento do tipo gaiola de esquilo de uma máquina de indução. A figura 2.4 ilustra as duas formas de ligação do enrolamento amortecedor e as figuras 2.5 e 2.6, a sua localização no rotor. Haja vista que os motores síncronos não desenvolvem conjugado de partida, pois só há produção de conjugado quando esse atinge a velocidade síncrona, utiliza-se o enrolamento amortecedor com a finalidade de permitir a partida dos motores síncronos como motores de indução até que a sua velocidade atinja quase que plenamente a velocidade síncrona sem excitação de campo, quando, finalmente, seu campo é alimentado pela fonte CC, mantendo-o em sincronismo. É também aplicado no amortecimento de oscilações do rotor, na limitação das sobretensões em determinadas condições de curtocircuito, além de contribuir na sincronização da máquina (ALTINO, 1984). 17 Figura 2.4 – Formas de ligação do enrolamento amortecedor. Figura 2.5 – Localização do enrolamento amortecedor. Figura 2.6 – Enrolamento amortecedor localizado na face polar do rotor. No estator (ver figura 2.7), distribuídos em ranhuras na periferia do entreferro, existe o enrolamento de armadura, que consiste em três enrolamentos trifásicos com eixos 18 magnéticos defasados entre si de 120° elétricos no espaço, que quando conectados a uma fonte de tensão CA trifásica equilibrada, produzem um campo magnético que gira na mesma velocidade mecânica do rotor (velocidade síncrona). Portanto, estacionário em relação ao rotor. Figura 2.7 – Estator de uma máquina síncrona trifásica. A distribuição das bobinas nas diversas ranhuras tem por objetivo produzir uma onda de FMM mais próxima quanto possível de uma onda de FMM senoidal, fornecendo uma componente fundamental espacial senoidal estacionária em relação campo de excitação que predomine na onda de FMM de entreferro. Além disso, esse artifício construtivo mitiga os severos efeitos das harmônicas espaciais de ordem mais elevada, que, por sua vez, contribuem, principalmente, na reatância de fuga da armadura e em perdas por corrente de Foucault na superfície do rotor, fato que torna necessário laminar ao menos a superfície do ferro do rotor. A figura 2.8 apresenta a distribuição das bobinas nas ranhuras do estator. Figura 2.8 – Ranhuras do estator onde são alojados os enrolamentos trifásicos da armadura. 19 A freqüência elétrica f [Hz] das tensões e correntes induzidas que circulam na armadura estão relacionadas à velocidade mecânica n [rpm] de regime permanente da máquina pela seguinte equação: n= 120 f p [2.1] onde p é o número de pólos existentes no rotor. Para o estudo proposto nesse trabalho, será analisada apenas a máquina de pólos salientes, uma vez que o estudo da máquina com rotor cilíndrico trata-se de um caso particular envolvido nas equações que representam a primeira. 20 3. Representação matemática – equações básicas Nessa parte serão apresentadas as equações matemáticas representativas da máquina síncrona de pólos salientes com enrolamentos amortecedores, construídas a partir das indutâncias próprias e mútuas dos seus enrolamentos, através da teoria do acoplamento magnético existente entre os circuitos da máquina. O processo de obtenção das equações pode ser resumido, de forma básica, como se segue: primeiramente, escrevem-se as equações do fluxo concatenado dos enrolamentos físicos, onde todas as mútuas indutâncias entre rotor e estator são funções periódicas da posição do rotor, bem como a mútua indutância entre as fases do estator, duas a duas, em virtude da saliência do rotor. Da natureza periódica das indutâncias, realiza-se um tratamento matemático de transformação de variáveis, chamada transformação dq0, para as variáveis do estator. Em seguida, expressam-se as equações de enlace de fluxo em componentes dq0 e, por fim, obtêm-se as equações de Park das tensões de armadura em componentes dq0. Conforme descrito anteriormente, a máquina síncrona trifásica é composta de três enrolamentos no estator – enrolamento da fase a, da fase b e da fase c –, um enrolamento de campo localizado no rotor e o enrolamento amortecedor disposto na face dos pólos do rotor. No modelo que será utilizado na obtenção das equações gerais, a máquina de pólos salientes é considerada com o rotor composto por um enrolamento de campo, um amortecedor no eixo d e um amortecedor no eixo q e seu enrolamento trifásico de armadura. A figura 3.1 ilustra essa representação para o modelo da máquina usado na obtenção de suas equações. Figura 3.1 – Enrolamentos da máquina síncrona de pólos salientes com enrolamentos amortecedores. 21 A partir da teoria acoplamento magnético de circuitos, a qual relaciona fluxos concatenados às correntes através das indutâncias próprias e mútuas, escreve-se a seguinte expressão para o enlace de fluxo das três fases dos enrolamentos estatóricos: λa = −l aa ia + l ab ib + l ac ic + l afd i fd + l akd ikd + l akq ikq [3.1] λb = −lbb ib + l ab ia + lbc ic + lbfd i fd + lbkd ikd + lbkq ikq [3.2] λ c = −l cc ic + l ac ia + l bc ib + l cfd i fd + l ckd ikd + l ckq ikq [3.3] onde, laa lbb lcc = auto-indutância do enrolamento da fase a, fase b e fase c da armadura, respectivamente. lab lac lbc = indutância mútua entre os enrolamentos das fases a,b e c entre si. lafd lbfd lcfd = indutância mútua entre os três enrolamentos do estator e o enrolamento de campo. lakd lbkd lckd = indutância mútua entre os três enrolamentos do estator e o enrolamento amortecedor de eixo direto. lakq lbkq lckq = indutância mútua entre os três enrolamentos do estator e o enrolamento amortecedor do eixo em quadratura. ia ib ic = correntes nas fases a, b e c, respectivamente. ifd = corrente de campo. ikd = corrente do amortecedor de eixo direto. ikq = corrente do amortecedor do eixo em quadratura. Segundo MELLO (1983), o fluxo φ é uma função da relutância do circuito magnético sobre o qual age uma dada FMM. A relutância, por sua vez, é dada pela relação entre a FMM e fluxo φ produzido pela ação dessa mesma FMM, que representa fisicamente a relutância da trajetória fechada do fluxo através do ferro da armadura, através do entreferro, através do ferro do rotor e de retorno ao entreferro. Sabendo-se que a permeância é o inverso da relutância e observando o circuito magnético da figura 3.2, percebe-se, claramente, que a permeância desse circuito varia com a posição do rotor 22 devido às variações do entreferro, uma vez que o entreferro é menor na frente do eixo do campo e maior a 90° elétricos dessa posição. A fim de perceber matematicamente o exposto, estima-se a seguinte expressão para a permeância P: P = P0 + P2 cos(2θ ) onde θ é a distância angular entre o ponto do estator e o centro de um pólo. Figura 3.2 – Circuito magnético da máquina de 4 pólos onde se observa a variação do entreferro com a posição do rotor. Partindo dessa estimativa de variação senoidal para a permeância, tem-se a indutância própria da fase a laa expressa da seguinte forma: laa = Laa 0 + Laa 2 cos(2θ ) [3.4] Sempre que o eixo q bissecciona o ângulo entre as fases, a indutância entre as fases da armadura é mínima em razão da geometria do circuito magnético. Então, sucede que: ( 3) cos(2θ − π ) 3 lab = Lab0 + Lab2 cos 2θ + π [3.5] lac = Lac0 + Lac 2 [3.6] Pela simetria existente, Lab0, Lac0 e Lbc0 são iguais entre si, bem como Lab2, Lac2, Lbc2, Laa0, Lbb2 e Lcc2. As expressões para as mútuas indutâncias entre a fase a e os enrolamentos localizados no rotor são: lafd = Lafd cosθ [3.7] 23 lakd = Lakd cosθ [3.8] lakq = −Lakqsenθ [3.9] onde os termos Lafd, Lakd e Lakq são constantes e serão máximos quando os eixos dos circuitos de campo correspondentes estão em fase com eixo da fase a ( θ =0°). Para as demais fases do estator, é suficiente apenas substituir o ângulo θ das equações [3.7], [3.8] e [3.9] por ( θ − 2π 3 ) para a fase b e por ( θ + 2π 3 ) para a fase c. Substituindo as equações [3.4] a [3.9] na expressão [3.1] do fluxo concatenado da fase a, vê-se que este é uma função da posição do rotor, como se segue: λa = −ia (Laa0 + Laa 2 cos 2θ ) + Lab0 (ib + ic ) + Laa 2ib cos(2θ + 60°) + Laa 2ic cos(2θ − 60°) + Lafd i fd cosθ + Lakd ikd cosθ − Lakqikq senθ [3.10] De forma análoga, pode-se obter as expressões dos enlaces de fluxos para as outras fases, apenas tomando o cuidado de realizar o deslocamento de fase apropriado para as fases b e c e modificar adequadamente os subscritos dos coeficientes envolvidos. Para os enlaces de fluxo no rotor, utilizando as equações das indutâncias mútuas entre a fase a e o circuito do rotor disponíveis em [3.7], [3.8] e [3.9] e as expressões das mútuas das demais fases obtidas de [3.7], [3.8] e [3.9] com deslocamento de fase adequado, chega-se a seguinte expressão: λ fd = L ffd i fd + L fkd ikd − Lafd [ λ kd = − L fkd i fd + Lkkd ikd − Lakd [ λ kq = − Lkkq ikq + Lakq [ onde L ffd , L kkd e L kkq i a i cosθ + i cos(θ − 2π / 3) + i cos(θ + 2π / 3) ] a b [3.11] c i cosθ + i cos(θ − 2π / 3) + i cos(θ + 2π / 3) ] a b [3.12] c senθ + ib sen(θ − 2π / 3) + ic sen(θ + 2π / 3) ] [3.13] são, respectivamente, as auto indutâncias do campo, amortecedor de eixo d e amortecedor de eixo q. Como não há acoplamento magnético entre os eixos d e q (eixos ortogonais), não existe fluxo de enlace entre o campo e o amortecedor do eixo q, nem entre o amortecedor de eixo d e o amortecedor de eixo q. Observe que há apenas enlace entre o campo e o amortecedor de eixo d, representado pelos termos [3.11] e L i fkd fd em [3.12]. L i fkd kd em 24 A fim de obter as equações de armadura, aplica-se a Lei de Lenz a uma bobina, onde a tensão induzida eind nos terminais da bobina é dada por: eind = − dλ dt Estando o circuito da bobina de resistência r em curto-circuito e adotando a corrente conforme ilustra a figura 3.3, vem: eind = dλ − ri dt [3.14] Figura 3.3 – Lei de indução magnética aplicada a uma bobina. Aplicando [3.14] aos circuitos do estator e do rotor, tem-se: ea = dλa − ria dt eb = dλb − rib dt ec = dλc − ric dt [3.15] que é o conjunto de equações de tensão da armadura. e fd = d λ fd + rfd i fd dt 0= d λkd + rkd ikd dt 0= d λkq + rkq ikq dt que é o conjunto de equações de tensão aplicada ao circuito do rotor. [3.16] 25 Em geral, para o circuito do campo, adota-se a corrente entrando no enrolamento de campo como resultado de uma tensão aplicada. Por esse motivo, foi colocado sinal positivo nas equações de tensão do campo. Ainda no sistema de equações em [3.16], o zero à esquerda das mesmas representa o curto-circuito do enrolamento amortecedor, não havendo, assim, tensão induzida no mesmo. A manipulação das equações de tensão expostas acima é bastante complicada em virtude da sua natureza não-linear e da dependência da posição do rotor. A fim de simplificar de forma significante a solução dessas equações diferencias não-lineares de tensão, realiza-se um tratamento matemático simples e elegante, alcançado pelo uso de novas variáveis transformadas, as quais eliminam a variação das indutâncias com o ângulo de posição do rotor. Essa transformação é chamada transformação dq0. Transformação dq0 Trata-se de uma transformação matemática originada no trabalho do francês Andre Blondel, muitas vezes referida como o método das duas reatâncias de Blondel. Consiste na decomposição das grandezas trifásicas do estator em duas componentes girantes, uma em fase com eixo de campo, a componente de eixo direto, e a outra 90° a frente do eixo direto, a componente de eixo em quadratura, ambas localizadas no rotor, de acordo com o disposto na figura 3.4. Seu principal conceito origina-se no fato de que, embora cada fase da armadura enxergue uma indutância variável com a posição θ do rotor devido à saliência dos pólos, as grandezas transformadas, por sua vez, giram em sincronismo com o rotor e vêem caminhos magnéticos que independem da posição do rotor. Dessa forma, conseguese eliminar o ângulo θ do sistema de equações diferencias representativo da máquina, o que simplifica consideravelmente suas soluções. Além disso, a transformação das grandezas estatóricas em componentes que giram na velocidade ω do rotor permite analisar a interação das ondas de fluxo e FMM de rotor e estator, havendo ou não efeitos decorrentes da saliência dos pólos, pois essas interações tornam-se, em regime permanente, iguais as existentes entre ondas constantes de FMM e fluxo, afastadas por um ângulo espacial também constante. 26 Figura 3.4 – Máquina síncrona de pólos salientes ideal, onde se observa os eixos direto (eixo d) e em quadratura (eixo q), os eixos dos enrolamentos do estator, bem como a obtenção do ângulo θ formado entre o eixo da fase a e o eixo de campo. Analisando as FMM resultantes antes e após a aplicação da transformada dq0, é fato que ambas devem ser idênticas. Para os enrolamentos de N espiras do sistema trifásico da armadura: FMM a = Ni a FMM b = Nib [3.17] FMM c = Nic Para o sistema dq0 formado por enrolamentos de Nd espiras e analisando as expressões [3.11], [3.12] e [3.13] de enlace de fluxo no rotor, o qual se observa que as correntes estatóricas se relacionam de maneira bem definida, a FMM de eixo d e eixo q são dadas por: ( ) ( ) [3.18] ( ) ( ) [3.19] FMM d = N d id = N ia cos θ + ib cos θ − 2π + ic cos θ + 2π 3 3 FMM q = N d iq = N − ia senθ − ib sen θ − 2π − ic sen θ + 2π 3 3 De [3.18] e [3.19], vem: 27 ( ) ( ) ( ) id = N i cos θ + i cos θ − 2π + i cos θ + 2π b N d a 3 c 3 iq = N − i senθ − i sen θ − 2π − i sen θ + 2π b N d a 3 c 3 ( ) [3.20] [3.21] Tomando-se arbitrariamente N N = k = 2 3 , tem-se: d ( ) ( ) [3.22] ( ) ( ) [3.23] id = 2 ia cos θ + ib cos θ − 2π + ic cos θ + 2π 3 3 3 iq = − 2 ia senθ + ib sen θ − 2π + ic sen θ + 2π 3 3 3 As expressões [3.22] e [3.23] são chamadas de transformação dq das correntes trifásicas. Para se ter total liberdade aos valores das correntes de fase, é necessário expressá-las através de três componentes, as quais duas já foram escolhidas (eixos d e q) e uma terceira nomeada de corrente de sequência zero, a saber: i0 = 1 3 (ia + ib +i c ) [3.24] Sob condições equilibradas ia + ib +i c = 0 , o que implica em i0 = 0 . A transformação dq0 pode ser aplicada a qualquer grandeza de estator – corrente tensão ou fluxo – através da utilização da equação de transformação genérica escrita na forma matricial abaixo: 2 S d 3 cosθ S = − 2 senθ q 3 S0 1 3 ( ) 2 cos θ − 2π 3 3 − 2 sen θ − 2π 3 3 1 3 ( ) ( ) 2 cos θ + 2π 3 3 − 2 sen θ + 2π 3 3 1 3 ( ) S a S b Sc [3.25] A transformação inversa de [3.25] é dada por: cosθ S a S = cos θ − 2π b 3 Sc cos θ + 2π 3 ( ( ) ) − senθ − sen θ − 2π 3 2 π − sen θ + 3 ( ( ) ) 1 1 1 S d S q S 0 [3.26] 28 Nesse momento, é fundamental salientar que a transformada dq0 é aplicada aos valores instantâneos das grandezas transformadas, não aos valores eficazes. A transformação dq0 aplicada à máquina síncrona De posse do conceito da transformação dq0, exprimem-se as equações representativas da máquina através das variáveis dq0 lançando mão das equações [3.25] e [3.26]. As expressões do fluxo concatenado do rotor em [3.11], [3.12] e [3.13], após o tratamento matemático da transformada de Blondel, são dadas por: λ fd = L ffd i fd + L fkd i kd − 3 2 L id afd λkd = L fkd i fd + Lkkd ikd − 3 2 L id akd [3.27] λkq = Lkkq i kq − 3 2 L iq akq onde todas as indutâncias envolvidas são constantes, uma vez desprezados os efeitos da saturação magnética. Uma análise das equações acima mostra que não há nenhum termo da variável i0 nessas expressões. Isso deriva do fato de que os componentes i0 das correntes estatóricas não geram FMM líquida através do entreferro da máquina. A mesma conclusão pode ser obtida da expressão básica da FMM produzida pela armadura descrita em [3.28], onde a troca de ia = ib =i c = i0 , evidencia que FMM resultante é nula. ( FMM ∝ i a cos θ + ib cos θ − 2π 3 )+ i cos(θ + 2π 3 ) c [3.28] Para os enlaces de fluxo na armadura em variáveis dq0, após laborioso trabalho algébrico e uso de identidades trigonométricas, tem-se o seguinte conjunto de equações: λd = − Ld id + Lafd i fd + Lakd ikd λq = − Lqiq + Lakqikq λ0 = − L0i0 [3.29] 29 onde se define: ( ) ( ) Ld = Laa 0 + Lab 0 + 3 Laa 2 2 Lq = Laa 0 + Lab 0 − 3 Laa 2 2 L0 = (Laa 0 − 2 Lab 0 ) O sistema de equações de tensão da armadura em componentes dq0 é definido por: ed = eq = e0 = dλd dθ − λq − ra id dt dt dλq dt + λd dθ − ra iq dt [3.30] dλ0 − rai0 dt As equações descritas acima em [3.30] são conhecidas por equações de Park, em homenagem a R. H. Park. Perceba que essas equações têm forte analogia ao conjunto de expressões em [3.15], diferindo apenas pelo surgimento dos termos de tensão de velocidade ( dθ = ω ) resultado da escolha de definir as variáveis transformadas em um dt sistema de referência girante de velocidade angular ω. Segundo FITZGERALD (2006), há uma analogia direta desses termos com os termos de tensão de velocidade encontrados nas máquinas CC, uma vez que o conjunto comutador/escovas transforma as tensões de armadura (rotor) para o sistema de referência do enrolamento de campo (estator). Assim, afirmam ALTINO (1984) e MELLO (1983), quando se realiza a transformada dq0, significa, fisicamente, substituir uma máquina real de anéis deslizantes por uma máquina CC, contanto que a representação do campo girante real seja feita através de um campo fixo no rotor e este, por sua vez, girando com velocidade angular ω. Os termos dλ q dt dλ d e dt são definidos como tensão de transformação. Em regime permanente, com correntes 30 de estator senoidais e equilibradas, id, iq, ed, eq, λd e λq são constantes e os termos dλ q dt dλ d e dt nulos (ALTINO,1984). Conjugado e potência A expressão que define a potência instantânea nos terminais da máquina é dada por: P = eaia + ebib + ecic [3.31] Em termos dos componentes dq0: P = 3 2 (ed id + eqiq + 2e0i0 ) [3.32] Sob condições equilibradas e0 e i0 são nulos. Daí, vem: P = 3 2 (ed id + eqiq ) [3.33] Substituindo as equações de tensão de armadura em componentes dq0 [3.30] em [3.32], obtém-se a expressão generalizada da potência instantânea, a saber: dλ dλ dθ dθ dλ P = 3 id d − λq − rid + iq q + λd − riq + 2i0 0 − ri0 2 dt dt dt dt dt [3.34] Reordenando os termos de [3.34]: dλ dλ dλ dθ 3 P = 3 id d + iq q + 2i0 0 + 3 (iq λd − id λq ) − r id2 + iq2 + 2i02 2 dt 2 2 dt dt dt ( [3.35] Analisando os termos de [3.35], conclui-se que a parcela 3 i dλd + i dλq + 2i dλ0 é a taxa de variação da energia magnética da armadura. O q 0 2 d dt dt dt dθ termo 3 2 iq λd − id λq representa a transferência de potência através do entreferro e, dt ( ) ) 31 ( 2 2 2 por fim, 3 r id + iq + 2i0 2 ) fornece as perdas ôhmicas na armadura. Dividindo-se o segundo termo da equação [3.35] por ω, chega-se a expressão representativa do conjugado: T=3 2 (i λ q d − id λq ) [3.36] 32 4. Circuitos equivalentes Na simulação do comportamento dinâmico de um Sistema Elétrico de Potência realizada por meio de softwares computacionais, as equações que regem a máquina, expressas em termos de circuitos equivalentes para o eixo d e para o eixo q, são substituídas por diagramas de blocos. Todavia, a obtenção dos circuitos equivalentes só se faz possível após a aplicação do sistema por unidade, também chamado sistema pu. De acordo com ALTINO (1984), a vantagem de exprimir as equações na forma adimensional decorre das simplificações alcançadas da razão de transformação 1:1 resultante desse sistema. Dessa forma, é mais simples equacionar o modelo da máquina e algumas variáveis podem ser eliminadas dando origem a expressões operacionais, dependentes de tensões e correntes de armadura e campo, que governam o comportamento da máquina. Conforme dito na seção 3, as correntes, tensões e enlaces de fluxo das expressões básicas correspondem aos seus valores instantâneos. Os valores de base a serem utilizados em todas as equações representativas da máquina no sistema pu, definidos a partir dos valores nominais dos parâmetros do estator e do rotor, são dados a seguir: e s base i sbase E I sbase sbase ω Z base sbase = valor de pico da tensão de fase nominal [V] = valor de pico da corrente de linha nominal [A] = valor eficaz da tensão de fase nominal dado por = valor eficaz da corrente de linha nominal dado por sbase 2 [V] isbase 2 [A] = velocidade síncrona ( 2πf 0 = 377 rad s ) para f 0 = 60 Hz = e i sbase = sbase L esbase = Z sbase ω base E I sbase sbase [H] [Ω] 33 λ s base = Ls base i sbase e = sbase ω [Wb-espiras] base VA3φ base = 3Esbase I sbase = 3 i = Lad ⋅ Lafd i sbase = Lad ⋅ Lakd1 isbase = Lad ⋅ Lakq1 i sbase = VA3φ base fd base = e fd base Z fd base fd base = = VA3φ base = Z kd base i fd base kd base i kqbase e Z L Z L fd base kd base kdbase i fdbase i fd base = = esbase isbase 2 = 3 esbase isbase = 3Esbase I sbase 2 2 L L 3 3 esbase afd = Esbase afd 2 Lad Lad 2 VA3φ base i 2fd base ω base ikd2 base ω base Transformando as equações de tensão e de fluxo concatenado do estator e rotor para o sistema pu, têm-se as seguintes equações generalizadas, onde o subscrito pu será omitido, a fim de minimizar a sobrecarga de índices nas equações, considerando-se que, daqui pra frente, todas as variáveis e parâmetros estarão expressos em por unidade. 34 Observe que as equações que se seguem estão desenvolvidas para o caso de dois enrolamentos amortecedor, podendo ser expandido para qualquer número de enrolamentos quanto possível. Como não se trata do propósito do presente estudo, as demonstrações das equações apresentada a seguir foram omitidas, podendo ser consultadas em ALTINO (1984) e MELLO (1983) caso o leitor tenha o interesse de melhor entender as expressões. Equações de enlaces de fluxo do estator em pu: λd = −(Ll + Lad )id + Lad i fd + Lad ikd1 + Lad ikd 2 + K λq = −(Ll + Laq )iq + Laqikq1 + Laqikq2 [4.1] λ0 = − L0i0 ( ) onde (Ll + Lad ) = Ld e Ll + Laq = Lq Equações de enlaces de fluxo do rotor em pu: λ fd = − Lad id + L ffd i fd + L fkd1ikd1 + L fkd 2ikd 2 λkd1 = − Lad id + L fkd1i fd + Lkkd1ikd1 + L fkd 2ikd 2 λkd 2 = − Lad id + L fkd 2i fd + Lkd12ikd1 + Lkkd 2ikd 2 [4.2] λkq1 = − Laqiq + Lkkq1ikq1 + Laqikq2 λkq2 = − Laqiq + Laqikq1 + Lkkq2ikq 2 Como descreve MELLO (1983), as indutâncias próprias em pu descritas em [4.2] podem ser decompostas em duas componentes: a componente de dispersão (que não atravessa o entreferro) e a componente mútua com o estator, sendo Lad no eixo d e Laq no eixo q, de tal sorte que: L ffd = Lad + L fd Lkkd 1 = Lad + Lkd 1 Lkkd 2 = Lad + Lkd 2 35 Lkkq1 = Lad + Lkq1 Lkkq2 = Lad + Lkq 2 Tensões do estator em pu: ed = d λd − λqω − raid dt eq = d λq + λd ω − raiq dt e0 = d λ0 − rai0 dt [4.3] Tensões do rotor em pu: e fd = onde os termos rkd12 d λ fd + r fd i fd dt 0= d λkd1 + rkkd1ikd1 + rkd12ikd 2 dt 0= d λ kd 2 + rkd 12 ikd 1 + rkkd 2 ikd 2 dt 0= d λkq1 + rkkq1ikq1 + rkq12ikq 2 dt 0= d λkq 2 + rkq12 ikq1 + rkkq 2 ikq 2 dt e rkq 12 [4.4] são as resistências mútuas pu entre os enrolamentos amortecedores. Conjugado e potência em pu: Na base de potência trifásica, tem-se: P = ed id + eq iq + 2e0i0 [4.5] 36 T = iq λ d + i d λ q [4.6] Lançando mão das equações [4.1], [4.2] e [4.4], bem como das considerações a respeito das indutâncias de dispersão, representa-se os circuitos equivalentes do eixo d e do eixo q, ilustrados abaixo nas figuras 4.1 e 4.2, respectivamente. Figura 4.1 – Circuito equivalente do eixo d. Figura 4.2 – Circuito equivalente do eixo q. Em muitos casos, considera-se L fkd = Lad . Assim, o termo L fkd − Lad do circuito equivalente do eixo d pode ser eliminado, resultando em: Figura 4.3 – Circuito equivalente do eixo d, após estimativa de que L fkd = L ad . onde L f = L ffd − Lad [4.7] Lkd = Lkkd − Lad [4.8] 37 Solucionando o sistema de equações obtido dos circuitos equivalentes do eixo d e q, conjuntamente com o uso das expressões representativas do estator e do sistema o qual se está conectado, pode-se analisar a operação da máquina, seja no regime permanente, seja no regime transitório elétrico (MELLO, 1983). 38 5. Análise dos fenômenos transitórios elétricos do curto-circuito trifásico Nessa seção será desenvolvido o propósito do presente estudo que consiste em analisar o comportamento da máquina síncrona de pólos salientes quando da ocorrência de um curto-circuito trifásico. Apesar da pequena probabilidade de sua ocorrência, a falta simétrica é a condição mais severa, pois provoca elevadas correntes de curto e instabilidade na operação da máquina. Não obstante, é a condição mais simples de análise, o que a torna o ponto inicial para o estudo das perturbações que acontecem no Sistema Elétrico de Potência, permitindo obter o conjunto dos parâmetros representativos das máquinas em situações transitórias elétricas. É fundamental ressaltar que o termo “transitório elétrico” significa analisar as variações que ocorrem apenas no circuito elétrico, não encerrando as variações mecânicas do problema, inseridas no ponto de vista dinâmico. Isso denota que a velocidade da máquina será constante durante toda a duração do transitório elétrico. Essa consideração fundamenta-se no fato de que os fenômenos transitórios elétricos têm menor duração do que os mecânicos e a nova condição de regime permanente é alcançada antes mesmo que haja variações significativas na velocidade da máquina (MELO, 1977). Salienta-se também que, no tratamento que se segue, a saturação magnética será desprezada, pois os métodos empregados são necessariamente para análise de sistemas lineares. O estudo do curto-circuito trifásico será desenvolvido a partir da aplicação da transformada dq0 às equações de tensão da máquina, onde são definidas as condições iniciais antes da falta para a obtenção da solução das equações diferenciais. Interpretação física do transitório elétrico O regime transitório elétrico é formado por três estados definidos a partir de três reatâncias de valores distintos. As reatâncias subtransitórias (Χ″d e Χ″q) definem o período subtransitório, que consiste no intervalo de tempo em que os enrolamentos amortecedores têm efeitos expressivos sobre as correntes de armadura. Esse regime perdura apenas nos primeiros ciclos do defeito, onde os amortecedores provocam uma barreira à penetração do 39 fluxo do estator no rotor, tornando Χ″d < Χ′d < Χd e Χ″q < Χ′q ≈ Χq. A figura 5.1 ilustra esse fenômeno. Figura 5.1 – Comportamento do fluxo do estator no eixo d durante o período subtransitório Após alguns ciclos do surgimento desse escudo que impede a passagem do fluxo para o rotor, as correntes dos amortecedores vão decrescendo exponencialmente e o fluxo vai começando a penetrar no rotor, provocando o aumento de Χ′d e Χ′q (ver figura 5.2). Nesse momento, apenas o circuito de campo produz efeito sobre as correntes de armadura. Defini-se, então, o período transitório. Figura 5.2 – Comportamento do fluxo do estator no eixo d durante o período transitório Por fim, o fluxo criado pelo estator enlaça ambos os enrolamentos, amortecedor e de campo (ver figura 5.3). Quando a corrente de campo retorna ao seu valor de regime permanente, as correntes estatóricas também entram em regime permanente, definindo o regime permanente de curto-circuito. Figura 5.3 – Comportamento do fluxo do estator no eixo d durante o regime permanente. 40 Como ilustra o diagrama fasorial da figura 5.4 para um curto-circuito trifásico aplicado nos terminais da máquina, a resposta da armadura, representada pelo fasor A, é desmagnetizante, o que provocaria a diminuição da FMM resultante da interação entre a FMM de campo e armadura, representada pelo fasor F. Mas, através da Lei de Lenz, que afirma que, em um circuito indutivo, os fluxos de enlace não podem variar subitamente, surge uma corrente induzida no campo I de modo a manter o fluxo concatenado constante antes e após o defeito. Essa componente induzida no campo define o supracitado período transitório e decai exponencialmente no tempo com uma constante de tempo que é função do circuito de campo. Figura 5.4 – Diagrama fasorial no instante do curto para a máquina sem amortecedor onde R<<X. De forma semelhante, os fluxos de enlace dos amortecedores com a armadura devem permanecer constantes. Para isso, correntes são induzidas no amortecedor produzindo uma FMM na direção do eixo polar e, consequentemente, maior excitação para a armadura. Nesse momento, tem-se o período subtransitório. A figura 5.5 é conhecida por traço simétrico de defeito e mostra uma combinação dos registros subtransitório, transitório e permanente de curto-circuito. A denominação simétrica surge pelo fato de está sendo considerada apenas a componente simétrica do defeito. 41 Figura 5.5 – Traço simétrico do defeito. Se a falta ocorrer no instante em que os fluxos concatenados entre os enrolamentos do estator são diferentes de zero, uma componente contínua de corrente é induzida na fase de forma a conservar o enlace de fluxo no momento inicial do curto, onde seu decaimento depende diretamente da resistência de armadura. Estando os fluxos entre as fases do estator defasados de 120° entre si, a componente DC tem valores distintos para cada corrente de fase da armadura. Essa componente DC dá origem a uma componente AC de frequência fundamental no campo da máquina que decai com a mesma constante de tempo de decaimento dessa componente DC da armadura (ALTINO, 1984). A figura 5.6 ilustra a influência da componente DC sobre as correntes de fase, bem como o efeito da componente AC na corrente de campo. Essa figura representa o traço assimétrico das três correntes de fase do estator e da corrente de campo. 42 Figura 5.6 – Traço assimétrico das correntes de armadura e de campo. A componente AC, descrita acima, por sua vez, produz uma FMM monofásica (ou pulsante) no circuito magnético do rotor. Esse campo pulsante pode ser decomposto em uma componente direta e outra inversa, que giram na velocidade síncrona em sentidos opostos, com amplitude igual à metade da amplitude máxima do campo pulsante originário. A componente direta gira com freqüência dupla em relação ao estator, induzindo, dessa forma, uma corrente de segundo harmônico na armadura. A componente inversa gira em sentido oposto ao rotor, ou seja, estacionária em relação ao estator, se opondo a FMM correspondente do estator (ALTINO, 1984, MELO, 1977). Essa decomposição é apresentada na figura 5.7. Figura 5.7 – Componentes girantes do campo monofásico pulsante devido à componente AC do circuito de campo. Enfim, diante da interpretação física dos fenômenos que ocorrem na máquina durante uma perturbação, conclui-se que a corrente de armadura é constituída como se segue: 43 Componente AC de freqüência fundamental ou componente simétrica, abrangendo os períodos subtransitório, transitório e permanente; Componente DC; Componente de segundo harmônico. Análise analítica do transitório elétrico Nesse momento serão apresentadas as expressões representativas da corrente de fase e de campo e do conjugado durante a ocorrência da perturbação, com vistas a interpretar os termos constituintes das expressões, comparando-os com a interpretação física a pouca estuda. Não é o propósito desse trabalho demonstrar a equações que serão analisadas, haja vista o laborioso algebrismo utilizado no processo de obtenção das mesmas, além do fato de que os seus desenvolvimentos encontram-se descritos em ALTINO e MELLO. Logo, serão ilustrados os efeitos fundamentais com certas simplificações e apresentadas as expressões em detalhes para a corrente de curto-circuito. Diante do exposto, para as dois modelos equivalentes comumente utilizados na representação da máquina, o primeiro constituído de um único enrolamento amortecedor (ver figura 5.8) e o outro sem enrolamento amortecedor (ver figura 5.9), tem-se o resumo das constantes da máquina: Figura 5.8 – Circuito equivalente para um único enrolamento amortecedor. 44 Figura 5.9 – Circuito equivalente sem enrolamento amortecedor. Constantes fundamentais em pu: r a = resistência da armadura r fd = resistência do enrolamento de campo kd = resistência do amortecedor do eixo d r r kq = resistência do amortecedor do eixo q L ad = indutância mútua entre estator e rotor do eixo d L aq = indutância mútua entre estator e rotor do eixo q Ll L ad L aq = indutância de dispersão do estator + Ll = Ld = indutância síncrona do eixo d + Ll = Lq = indutância síncrona do eixo q L L fd kd L kq = indutância de dispersão do campo = indutância de dispersão do amortecedor do eixo d = indutância de dispersão do amortecedor do eixo q 45 L ffd = Lad + L fd = indutância própria do campo Lkkd = Lad + Lkd = indutância própria do amortecedor do eixo d Lkkq = Laq + Lkq = indutância própria do amortecedor do eixo q Constantes de tempo: T 'do = 1 T ' 'd = rfd L ffd = constante de tempo transitória de rfd eixo d em circuito aberto T 'd = 1 rfd LL L fd + l ad Ll + Lad =constante de tempo transitória do eixo d, em curto-circuito T ' 'do = 1 rfd L L Lkd + fd ad L fd + Lad =constante de tempo subtransitória de eixo d, em circuito aberto 1 Lkd + 1 + 1 + 1 Lad Ll L fd T 'qo = T 'q = 1 rkq Lkq + Laq rkq LL Lkq + l ad Ll + Lad Tkd = =constante de tempo subtransitória de eixo q, em curto-circuito =constante de tempo transitória de eixo q, em circuito aberto =constante de tempo transitória de eixo q, em curto-circuito Lkd rkd =constante de tempo de dispersão do amortecedor do eixo d Indutâncias derivadas: L ' d = Ld Lad L fd T 'd = Ll + T ' do Lad + L fd =indutância transitória do eixo d 46 L' 'd = Ld T 'd T ' 'd = Ll + 1 T 'do T ' 'do L ' q = Lq 1 Lad T 'q T ' qo + 1 Lkd = Ll + + 1 =indutância subtransitória do L fd Laq Lkd Laq + Lkd eixo d =indutância transitória do eixo q Aplicando um curto-circuito trifásico equilibrado nos terminais da máquina síncrona em vazio, conforme ilustra a figura 5.10, as tensões de fase ea, eb e ec são nulas e, por conseguinte, suas tensões transformadas ed e eq também serão zero. Nos enrolamentos amortecedores, pela natureza de suas ligações, as tensões ekd e ekq são iguais a zero. A tensão de campo é mantida constante e igual a efd durante toda a perturbação. Figura 5.10 – Curto-circuito trifásico aplicado aos terminais da máquina. Na solução de problemas transitórios é comum fazer uso do princípio da superposição, dado por: e = e0 + ∆e i = i0 + ∆ i 47 onde o índice em eo significa o valor da grandeza antes da ocorrência do curto. Isso equivale a dizer que as tensões e correntes logo após o defeito são iguais aos seus valores iniciais acrescidos das suas variações resultantes da falta. Inicialmente, será apresentada a alteração da corrente na fase a, obtida da hipótese de que r fd = 0 e ra = 0 . Considerando o ângulo θ0 como o ângulo do eixo d relativo ao eixo da fase a no instante inicial do defeito, donde vem que θ = ωt + θ 0 , obtém-se a seguinte expressão para o incremento de corrente na fase a: ∆ia = − + e0 1 1 e0 + cos(θ0 − δ ) + cos(δ )cos(ωt + θ0 ) 2 X ' 'd X ' 'q X ' 'd e0 e 1 1 sen(δ )sen(ωt + θ0 ) − 0 + cos(2ωt + θ0 + δ ) X ' 'q 2 X ' 'd X ' 'q [5.1] Nota-se em [5.1] a presença da componente DC (1º termo), a componente de freqüência fundamental (2º e 3º termos) e a componente de dupla freqüência (4º termo) devido à saliência do subtransitória. Perceba que o 1º termo é tal que para t = 0 , tem-se ∆ia = 0 . A componente DC surge em virtude dos termos dλ dt presente nas equações de tensão do estator [4.3]. Admitindo r fd = 0 , ou seja, constante de tempo do campo infinita, o fluxo do período subtransitório não decai com o tempo. Em contrapartida, para r fd ≠ 0 , a componente AC das correntes estatóricas decai no tempo com uma envoltória definida pela constante de tempo de curto-circuito do rotor, conforme pode ser observado na figura 5.11. 48 Figura 5.11 – Envoltória de amortecimento das correntes de fase durante um curto trifásico aplicado na máquina em vazio. Desprezar a resistência de armadura significa que a componente de deslocamento DC, que surge nas correntes de fase a fim de manter o fluxo enlaçado de armadura constante, não decai com o tempo. Contudo, fazendo ra ≠ 0 , essa componente é amortecida pela constante de tempo de armadura Ta , dada por: 1 1 + X '' X ' 'q d Ta = ra [5.2] Dependendo do ângulo θo , que define o instante de tempo da aplicação do curto, essa componente pode alcançar valores mais elevados, onde seu conhecimento se torna necessário na especificação da corrente de interrupção dos disjuntores de proteção. O fato de desprezar todas as resistências apenas implica no não aparecimento dos termos exponenciais de decaimento no tempo na expressão incremental de ia. Outra condição importante é quando o ângulo de potência δ for nulo (máquina sem carga). Assim, a expressão [5.1] se torna: 49 ∆ia = − e0 1 1 e + cosθ0 + 0 cos(δ )cos(ωt + θ0 ) 2 X ' 'd X ' 'q X ' 'd e 1 1 − 0 + cos(2ωt + θ0 ) 2 X ' 'd X ' 'q [5.3] Analisando a equação [5.3], nota-se que a componente de freqüência fundamental é função apenas de X ' 'd . Isso decorre do fato da ausência de carga no instante do defeito, pois MELLO (1983) afirma que, nessa condição, não há fluxo no eixo em quadratura. Por outro lado, para a máquina em seu limite de estabilidade, o ângulo de potência δ tende para 90°. Dessa forma, [5.1] se reduz a: ∆ia = − e0 1 1 e + senθ0 + 0 sen(ωt + θ0 ) 2 X ' 'd X ' 'q X ' 'q e 1 1 − 0 + sen(2ωt + θ0 ) 2 X ' 'd X ' 'q [5.4] Nessa situação, o termo de freqüência fundamental de [5.4] é função de X ' 'q , pelo argumento de que o fluxo está na direção do eixo q (MELLO, 1983). As expressões expostas acima foram desenvolvidas a partir das equações de tensão do estator [4.3] aqui repetidas como fito de facilitar a consulta às mesmas. ed = dλd − λqω − raid dt eq = dλq + λd ω − raiq dt e0 = dλ0 − rai0 dt [4.3] Se o termo dλ dt de [4.3] for desprezado, apenas o termo da componente de freqüência fundamental será obtido, não tendo, portanto, as componentes DC e de segundo harmônico. Observe a equação [5.5]. A interpretação física dessa simplificação é direta, 50 uma vez que o termo dλ dá origem à componente DC na armadura e esta, por sua dt vez, induz uma corrente AC no circuito do rotor, onde resultará no surgimento de uma FMM pulsante responsável pela componente de segundo harmônico. ∆ia = e0 e cos(δ ) cos(ωt + θ 0 ) + 0 sen(δ )sen(ωt + θ 0 ) X ' 'd X ' 'q [5.5] Conhecendo as implicações das simplificações adotas anteriormente, ou seja, dλ dt = 0 e ra = 0 , tem-se as expressões dos incrementos das correntes de armadura em termos das variáveis transformadas quando r fd ≠ 0 , após aproximações fundamentadas no fato de que T ' 'd e T ' 'd 0 são pequenas em relação à T 'd e T 'd 0 (MELLO, 1983). −t −t 1 1 1 T 'd 1 T '' d ε + eq 0 ε ∆id (t ) = + eq 0 − − X '' Xd X ' X X ' d d d d eq 0 ( ) [5.6] −t e e T ' − T 'q T ' q ∆iq (t ) = − d 0 − d 0 q 0 ε Xq Xq T 'q [5.7] O primeiro termo da expressão [5.6] define a envoltória da componente AC do regime permanente do curto. O segundo e terceiro termos, por sua vez, estabelecem as envoltórias do regime transitório e subtransitório, respectivamente. Perceba que os amortecimentos são estabelecidos pelas constantes de tempo de curto-circuito do rotor. A figura 5.12 ilustra os envelopes das componentes AC para os três períodos durante a perturbação. 51 Figura 5.12 – Componentes das envoltórias de decaimento da corrente de fase no tempo. Diante do exposto, pode-se escrever a expressão completa para a corrente de curto da fase a da armadura ia levando em consideração todos os parâmetros da máquina e que opera em vazio, como se segue: −t 1 e 1 T 'd ε cos(ωt + θ 0 ) − ia = 0 cos(ωt + θ 0 ) + e0 + Xd X ' X d d −t −t e0 1 1 T 'a e0 1 1 T 'a − + ε cosθ 0 − + ε cos(2ωt + θ 0 ) 2 X 'd X q 2 X 'd X q [5.8] Veja que se, no instante da falta, θ 0 = 90° , o termo referente a componente DC desaparecerá, eliminando a assimetria da corrente de armadura. Nessa condição, conforme dito na seção que trata da interpretação física do fenômeno, tem-se a chamada corrente simétrica de curto-circuito, como ilustra a figura 5.13. Todavia, nas demais fases do estator, essa componente DC estaria presente, pois é impossível eliminá-la nas três fases. 52 Figura 5.13 – Corrente simétrica de curto-circuito. Efeito de uma impedância externa Até o momento foi examinado o caso de um curto-circuito trifásico nos terminais da máquina em vazio. Mas, se o curto ocorrer através de uma impedância externa Z ext = RE + LE s ? Nesse caso, o circuito equivalente toma a forma da figura 5.12 e, para a consideração de que RE = 0 , r fd = 0 , ra = 0 , o efeito sobre as constantes de tempo para essa situação aparece da seguinte forma: T 'dz = T 'd 0 ( X E + X 'd ) (X E + X d ) T ' 'dz = T ' 'd 0 ( X E + X ' 'd ) ( X E + X 'd ) T 'qz = T 'q0 (X (X E E [5.9] [5.10] + X 'q ) + Xq ) [5.11] Se X E = 0 , essas constantes de tempo tornam-se iguais as constantes de tempo de curtocircuito anterior. 53 Figura 5.14 – Circuito equivalente do eixo d e q para um curto trifásico aplicado através de uma impedância externa. Transitórios na corrente de campo A interpretação física descrita nessa mesma seção afirma que as perturbações impõem transitórios nas correntes de campo e dos enrolamentos amortecedores, haja vista que o fluxo, devido a sua continuidade no tempo, não pode variar subitamente. Observando a figura 5.4 conclui-se que é obrigatória a indução de corrente no circuito de campo a fim de neutralizar o efeito desmagnetizante transitório das correntes de armadura, pois o fluxo resultante deve permanecer constante. Porém, até o presente momento, esses transitórios no campo e nos amortecedores foram desprezados, uma vez que a tensão de excitação foi mantida constante durante o defeito. Tomando o modelo da máquina com amortecedores e todas as resistências não nulas, a expressão da corrente de campo i fd é dada por: −t −t X − X ' T−'t T ' ' T ' ' f f T ' ' T d ε d − i fd = i fd 0 1 + d ε d − 1 − ε '' h cosωt X 'd T ' 'd T ' 'd [5.12] Observe que a equação [5.12] é formada por uma componente antes do defeito i fd (0 ) (1º termo), uma componente DC regida pela constante de tempo transitória T 'd , que é a própria resposta do campo ao súbito aumento da corrente estatórica (2º termo), uma componente DC com decaimento dado pela constante de tempo subtransitória T ' 'd , que reflete o efeito dos enrolamentos amortecedores (3º termo) e por uma componente AC de freqüência fundamental, amortecida pela constante de tempo de armadura Ta , que é reflexo da componente DC da corrente de armadura durante a perturbação (4º termo). 54 Conjugados de curto-circuito Conforme a metodologia usada até o momento, serão feitas simplificações a fim de permitir uma melhor compreensão dos fenômenos que ocorrem no conjugado durante essa perturbação. Considere que a excitação de campo não se altera e que e a velocidade do rotor é constante para a máquina operando em vazio. Tornando a resistência de armadura ra nula, tem-se a seguinte expressão para o conjugado: e02 e02 1 1 T= senωt − − sen2ωt X ' 'd 2 X ' 'd X ' 'q [5.13] Na expressão [5.13] observa-se uma componente de freqüência fundamental e outra componente de segundo harmônico que surge devido a saliência subtransitória. Da hipótese de ra = 0 , tem-se conjugado médio nulo, uma vez que não há decaimento do conjugado no tempo, descrevendo uma onda senoidal pura. O conjugado de pico pode alcançar até 7,0 pu para o caso em que X ' 'd = 0,15 pu (MELLO, 1983). Para ra ≠ 0 , aparecerá, na expressão que rege o conjugado, um termo de conjugado DC devido às 2 perdas ri , sendo i o componente de freqüência fundamental da corrente de armadura, e outro com decaimento do termo de freqüência fundamental amortecido pela constante de tempo da armadura Ta . É importante salientar que, na obtenção da expressão do conjugado de curto-circuito, as equações de tensão de armadura [4.3] devem, necessariamente, conter os termos dλ dt , pois são eles que dão origem ao termo AC do conjugado. Na hipótese de ra ≠ 0 , r fd = 0 e X ' ' d = X ' ' q , tem-se a expressão: T= onde α = e02 X '' + r 2 d 2 a [ε −αt ( X ' 'd senωt − ra cosωt ) + ra ] ra . A figura 5.14 ilustra a forma do conjugado de curto-circuito. X ' 'd [5.14] 55 Figura 5.15 – Comportamento do conjugado durante o curto-circuito. Se a resistência do rotor r fd for diferente de zero, surgirá um termo unidirecional do conjugado em virtude das perdas ri 2 , onde i é a componente AC da corrente do rotor (ou a componente DC das correntes de fase). 56 6. Conclusões O trabalho teve por objetivo a análise do comportamento da máquina síncrona em regime transitório elétrico após aplicação de um curto-circuito trifásico. Esse estudo tornase muito útil na obtenção das correntes de curto-circuito para o estudo da proteção de Sistemas de Potência, pois é essencial conhecer a maior valor atingindo pela corrente após a falta para a determinação da máxima corrente de suportabilidade dos equipamentos a serem protegidos, assim como servirão de subsídio para a especificação da capacidade de interrupção dos equipamentos elétricos de disjunção. Por esse motivo, a escolha do modelo adequado a ser utilizado para a determinação da corrente de defeito depende de cada problema particular e do pleno conhecimento do valor significativo do erro introduzido pelas simplificações utilizadas na solução do problema. Para exemplificar isso, ALTINO, 1984 cita que, em alguns casos, a corrente de interrupção pode ser obtida desprezando-se a componente subtransitória, sendo dada pela componente inicial simétrica do período transitório multiplicada por um fator de ajuste. Esses métodos de aproximação fornecem a ordem de grandeza das correntes sendo, muitas vezes, suficientes para o dimensionamento dos equipamentos de proteção. A interpretação analítica da expressão da corrente de curto-circuito de fase mostrou que essa é composta por três componentes: uma componente de freqüência fundamental, uma componente DC e uma componente de segundo harmônico. O valor inicial do termo de freqüência fundamental depende da reatância subtransitória de eixo direto X ' 'd que define a envoltória de amortecimento da corrente de defeito. Como X ' 'd é muito pequeno, esse valor inicial se torna bastante elevado e decai muito rapidamente (ocorre apenas nos primeiros ciclos) amortecida pelo termo ε −t T ''d . Com o fim do período subtransitório, a corrente passa a ser governada pela reatância transitória X 'd , amortecida pela constante de tempo T 'd , através do termo ε −t T 'd . Esse regime tem maior duração que o período antecedente. Por fim, quando a corrente transitória se torna desprezível, a corrente de curto atinge seu valor de regime permanente determinado pela reatância síncrona X d . 57 Analisando o comportamento transitório da corrente de campo i fd , foi visto que a mesma é composta por quatro componentes, uma componente DC regida pela constante de tempo subtransitória T ' 'd , que reflete o efeito dos enrolamentos amortecedores, uma componente DC com constante de tempo transitória T 'd , que é a própria resposta do campo ao súbito aumento da corrente estatórica, uma componente AC de freqüência fundamental, amortecida pela constante de tempo de armadura Ta , que é reflexo da componente DC da corrente de armadura durante a perturbação e, finalmente, a componente antes do defeito i fd (0 ) . No comportamento transitório do conjugado, percebeu-se a influência das resistências de armadura e de campo, pois essas, além de amortecer a componente de freqüência fundamental, produzem um conjugado DC devido às perdas ôhmicas intrínsecas a cada enrolamento. O efeito da saliência subtransitória, por sua vez, dá origem à componente de segundo harmônico. O cálculo dos conjugados no instante do curto é essencial para o projeto das fundações da máquina e para o dimensionamento da resistência mecânica dos eixos de acoplamento. 58 7. Referências bibliográficas ALTINO, L. M.; 1984. Máquinas síncronas: teoria e aplicacões. Recife: Ed. Universitária. 426p. CHAPMAN, S. J.; 1991. Electric machinery fundamentals. 2 ed. Houston: McGraw-Hill. 716p. FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY. C. Jr.; UMANS, S. D.; 2006. Máquinas Elétricas. Tradução de Anatólio Laschuk. 6. ed. Porto Alegre: Bookman. 648p. MELLO, F. P. de; 1983. Dinâmica de Máquinas Elétricas I. Tradução de Arlindo R.Mayer e Somchai Ansuj. 2 ed. Santa Maria: UFSM. 224p. MELO, J. A. F. de; 1977. Máquinas síncronas – regime transitório elétrico. Publicação técnica – CHESF. FERNANDES, J. L.; 2006. Máquina Síncrona em Regime Transitório após Brusco CurtoCircuito no Estator. Lisboa. Dissertação (Mestrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores) – Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa . GODOY, M. V.; 2008. Modelagem de máquinas síncronas. Recife. Apostila. OPERADOR NACIONAL DO SISTEMA ELÉTRICO; 2010. Apresenta informações sobre o Setor Elétrico Brasileiro. Disponível em < http://www.ons.org.br>. Acesso em: 05 mai 2010.
