1.Aulas-OpNrosReais

1
Conjuntos Numéricos
INTRODUÇÃO
Conjuntos: São agrupamentos de elementos com algumas características comuns.
Ex.: Conjunto de casas, conjunto de alunos, conjunto de números.
Alguns termos:
Pertinência
Igualdade
Conjunto vazio
Conjunto universo
É o conjunto no qual se encontram os elementos de todos os conjuntos estudados.
Subconjuntos
OBSERVAÇÕES:
Relacionam ELEMENTO com CONJUNTO.
Pertence
Não pertence
Relacionam CONJUNTO com CONJUNTO.
Está contido
Não está contido
2
Contém
Não contém
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Naturais (N)
N = {0, 1, 2, 3,4, ...}; N* = {1, 2, 3, 4, ...}
Números Inteiros (Z)
•Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
•Z* = Z - {0}
•Z+ = {0, 1, 2, 3,...}; Z+ = N
•Z- = {0, -1, -2, -3, ...}
Números Racionais (Q)
Q = {... -2;... – 1;... – ⅝;... -⅓; 0;... ½;... 1;... 1,5...}
½ = 0,5
¼ = 0,25
Z
N
•
•
•
⅔ = 0,666666...
Q
Se 2 é um número natural, ele também é inteiro e racional.
Nem todo número racional é inteiro: ⅔.
Nem todo inteiro é natural: -10.
Números Irracionais
π = 3,141592654...
√2 = 1,4142135
√3 = 1,7320508
Números Reais (R)
N
R* = R - {0}
Z
Q
I
R
3
R+ = conjunto dos números reais não negativos
R- = conjunto dos números reais não positivos
INTERVALOS
Qualquer subconjunto dos números reais.
Intervalo aberto
Intervalo fechado
Intervalo semi-aberto à direita
Intervalo semi-aberto à esquerda
Intervalos infinitos
4
Operações com Intervalos
Exemplos:
•
Sejam A = {x € R I 2 < x < 5} e B = { x € R I 3 ≤ x < 8}. Determinar A ∩ B e A U B.
Resolução
A∩B
A
2
5
2
A
8
3
B
AUB
A∩B
5
B
3
8
AUB
3
2
5
8
Resposta:
Resposta:
A ∩ B = { x € R I 3 ≤ x < 5} = [3,5[
A U B = { x € R I 2 < x < 8} = ]2,8[
•
Sejam A = {x € R I -1 < x < 4} e B = {x € R I x ≤2}. Determinar A ∩ B e A U B.
Resolução
A∩B
A
AUB
4
-1
A∩B
4
-1
B
2
B
A
2
AUB
-1
4
2
Resposta:
Resposta:
A ∩ B = { x € R I -1 < x ≤ 2} = ]-1,2]
A U B = { x € R I x < 4} = ]- ∞,4[
5
Operações com números reais
Radicais
= ↔ √ = Exemplos:
−
6 = 36 ↔ √36 = 6
= − ↔ − = −
√−625 = ∄
Propriedades do radicais
√ = √ √
√ = =
√
√
√300 =
√96
√6
=
√729 =
√10 =
8 =
,−6- =
,−6- =
Simplificação de expressões com radicais
Pré-Cálculo: Página 20 – Capítulo 2
10) √216. / =
30) √96. 01 =
2
31) 8. 3 4 / =
Racionalização
√ = √ Exemplos
√ =
√ = √
|| ,
" #$&
, " í%#$
6
34)
0
√5
=
67
2
7
37) 8 =
38) =
Potenciação com expoentes racionais
:
u = √;
53)
:
2 . =
2
7
u = √; :
,x + y-7 = ,. + 4-
2
55) , . -,3 . - =
61) 9. @3 4 / =
6 A 8 7
6 7
/6 7 6 7
8
63) =
65) 87 . =
Polinômios e fatoração
Adição, subtração e multiplicação de polinômios
Um polinômio em x pode ser escrito na forma:
anxn + an-1xn-1 + ... +a1x + a0
n – número inteiro não negativo
an≠ 0
Exemplos
(2x3 – 3x2 + 4x – 1) + (x3 + 2x2 – 5x + 3)
(4x2 + 3x – 4) – (2x3 + x2 – x + 2)
(3x + 2) . (4x2 – 5)→ Operar na forma horizontal
7
(x2 – 4x + 3) . (x2 + 4x + 5) → Operar na forma vertical
OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS (Continuação)
Produtos notáveis
1. PRODUTO de uma SOMA e uma DIFERENÇA:
(u + v)(u - v) = u2 – v2
2. QUADRADO de uma SOMA de dois termos:
(u + v)2 = u2 + 2uv + v2
3. QUADRADO de uma DIFERENÇA de dois termos:
(u – v)2 = u2 – 2uv + v2
4. CUBO de uma SOMA de dois termos:
(u + v)3 = u3+ 3u2v + 3uv2 + v3
5. CUBO de uma DIFERENÇA de dois termos:
(u – v)3 = u3 – 3u2v + 3uv2 – v3
Fatoração de polinômios usando produtos notáveis
Exemplos:
•
2x2 + 7x – 4
•
x3 – 9x
•
2x3 + 2x2 – 6x (Colocar em evidência os fatores comuns)
•
25 x2 – 36 (Fatoração da diferença de dois quadrados)
•
9x2 + 6x + 1(Trinômio do quadrado perfeito)
•
x3 – 64 (Fatoração da diferença de dois cubos)
8
Expressões fracionárias
Domínio de expressão algébrica
Observem-se os quocientes (razões) abaixo:
. − 5. + 1
Expressão fracionária (ou fração), expressão algébrica.
√. + 1
Expressão fracionária (ou fração), expressão racional.
2. − . + 1
5. − . − 3
Note que: Enquanto os polinômios são definidos para todos os números reais, algumas
expressões algébricas não são para alguns números reais. Desta forma:
Domínio da expressão algébrica: É o conjunto dos números reais que definem uma expressão
algébrica.
Exemplos:
Definir o domínio das seguintes expressões:
3. − . + 5 =
√. − 1 =
.
=
.−2
Simplificação de expressões racionais
u, v e z – números reais, variáveis ou expressões algébricas.
;B ;
= ;
CB C
B≠0
• Numerador e denominador pedem fatoração em fatores
primos;
• Removidos os fatores primos, tem-se a forma reduzida da
expressão racional (ou número racional).
Exemplo:
. − 3.
=
. − 9
OBSERVAÇÃO: As formas racional e reduzida da expressão têm que ser equivalentes, possuir o
mesmo domínio.
Operações com expressões racionais
; B
=
↔ ;F = CB
C F
9
u, v, w, z – números reais, variáveis ou expressões algébricas, denominadores ≠ 0.
; B
;±B
± =
C C
C
; F
;B ± CF
± =
C B
CB
; F
;F
.
=
C B
CB
;
F
; B
;B
÷ = .
=
C
B
C F
CF
Exemplos:
2. + 11. − 21
. − 8
.
. + 2. + 4. . + 5. − 14
. + 1
. − . + 1
÷
. − . − 2
. − 4. + 4
.
3
+
3. − 2 . − 5
.
,J;KLM#KMNçãQ-
,RMCMSãQ-
,TQ%-
2
1
3
+ − − 2. . . − 4
,UVW;çãQ Q %VS%Q WV"Q%M"WQ$ − JJX-
Expressões racionais compostas
Exemplos:
3
1
-
7
x +2
1
x-3
1
a2
1
a
-
1
b2
1
b
Equações
Propriedades:
u, v, w, z – números reais, varáveis ou expressões algébricas.
•
•
•
•
•
Reflexiva: u = u
Simétrica: u = v ↔ v = u
Transitiva: u = v e v = w → u = w
Adição: u = v e w = z → u + w = v + z
Multiplicação: u = v e w = z →u . w = v. z
Exemplo: Provar que x = -2 e solução de x3 – x + 6
10
Equações lineares com uma variável
Equação linear em x: ax + b
a e b – números reais, a ≠ 0
Exemplos:
2(2x - 3) + 3(x + 1) = 5x + 2
54 − 2
4
=2+
8
4
Solução de equações por meio de gráficos
y = 2x – 5
No gráfico o par ordenado é (5/2, 0)
(5/2, 0)
Os valores por onde a reta intercepta o eixo
horizontal x são chamados raízes ou zeros da
função.
y = 2x2 – 3x –2 (Por fatoração)
(- 1/2, 0)
Propriedade do fator zero
(2, 0)
a e b – números reais → a . b = 0 → a = 0 ou b = 0
Inequações
Inequações lineares com uma variável
Inequação linear em x:
ax + b < 0
,
ax + b ≤ 0
,
ax + b > 0
,
e
v<w
→
u<w
→
u+w<v+w
a, b – números reais, a≠0
Propriedades
•
Transitiva:
u<v
•
Adição:
u<v
ax + b ≥ 0
11
u<v
•
Multiplicação:
e
u<w
→
u+w<v+z
u<v
e
c>0
→
uc < vc
u<v
e
c<0
→
uc > vc
OBSERVAÇÃO: As propriedades são verdadeiras se < é substituído por ≤. Há propriedades
similares para > e ≥.
Exemplos:
3(x – 1) + 2 ≤ 5x + 6
. 1 . 1
+ > +
3 2 4 3
–3<
6Z5
≤5
Soluções de inequações quadráticas
Exemplos:
x2 – x – 12 > 0
2x2 + 3x ≤ 20
x2 – 4x + 1 ≥ 0