Universidade Federal de Mato Grosso – ICET – Depto de Matemática - GEPEMAT POLINÔMIOS COM MATERIAL CONCRETO PRÉ-REQUISITOS: Operações em Q. Áreas de figuras planas. Resolução de equações do 1º grau em Q. OBJETIVO: utilizar material concreto para realizar as operações com os polinômios, fatoração e resolução de equação do 2º grau. MATERIAL A SER UTILIZADO: (papel cartão, cartolina ou papelão) Quadrados de lado x (5 x 5 cm) Retângulos de medidas U e x (2 x 5 cm) Quadrados de lado U (2 x 2 cm) Uma das faces de cada peça deverá ser colorida (hachurada) CONSIDERAÇÕES SOBRE O MATERIAL: x 1 a) As medidas dos lados do quadrado, retângulo e quadradinho valem respectivamente: x 1 x 1 b) As áreas dessas figuras valem respectivamente: x2 x 1 c) As peças lisas serão utilizadas para representar expressões algébricas que tenham números positivos e as peças pintadas representarão expressões algébricas com números negativos. II) – 3x2 – 1 Exemplos: I) 2x2 + x x2 x2 x – x2 – x2 – x2 –1 A) REPRESENTE OS POLINÔMIOS ABAIXO COM O MATERIAL E DESENHE ESSA REPRESENTAÇÃO a) 2x2 c) x2 + 1 e) – 2x2 + 4x – 3 1 Universidade Federal de Mato Grosso – ICET – Depto de Matemática - GEPEMAT b) – 3x ) x2 + 3x + 6 f) – 2x2 – 4x + 3 g) – 2x2 + 3x – 4 B) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS Para somar ou subtrair polinômios utilizaremos o recurso do retângulo e a placa A (em anexo). PROCEDIMENTO: Representar na 1ª linha a primeira expressão e na 2ª linha a segunda expressão, depois juntá-las, efetuando as trocas necessárias de acordo com a operação indicada. Não se esqueça: dos exemplos dos Kamikazes (cada Kamikaze tem que destruir um Aliado); sinal negativo antes de uma expressão, altera o sinal de cada termo. Exemplos. 1 – Efetue as adições indicadas usando o conjunto de peças: a) (x2 + 3x – 1) + (2x2 – x – 4) b) (3x2 – x + 4) + (– x2 – x – 1) c) (3x2 – x) + (– x2 + 2x – 3) d) (x2 – x – 1) + (2x2 + x + 2) 2 2 e) (– 5x + 4x – 3) + (6x – 3x + 8) f) (x2 + 2x – 7) + (– 5x2 + 7x – 2) 2 – Efetue as subtrações indicadas usando o conjunto de peças: a) (x2 + x + 2) – (x2 + 2x + 1) b) (x2 + 3x – 1) – (2x2 – x – 4) 2 2 c) (3x + x + 4) – (– x – x – 1) d) (3x2 – x) – (– x2 + 2x – 3) e) (x2 – x – 1) – (2x2 + x + 2) 3 – Dando a primeira expressão e o resultado, descubra a 2ª expressão (previsão). a) (x2 + 3x + 3) ...........................................= – x2 + 2x + 5 b) (x2 – 2x – 1) ............................................= 2x2 + 4 c) (– 5x2 + 3x – 2) ........................................= – x2 + 2x d) (4x2 – 2x + 1) ..........................................= 3x2 + 5x – 1 C) MULTIPLICAÇÃO (PRODUTO) DE POLINÔMIOS Para multiplicar polinômios utilizaremos o recurso do retângulo e o esquema ao lado. a) Na região 1 e 3 serão colocados somente retângulos. b) Na região 2 serão colocados somente quadrados. c) Na região 4 serão colocados somente quadradinhos. quadrados 2 retângulos 3 retângulos 1 quadradinhos 4 2 Universidade Federal de Mato Grosso – ICET – Depto de Matemática - GEPEMAT PROCEDIMENTO: Na multiplicação de polinômios as peças serão dispostas nas regiões do esquema acima com o objetivo de formar uma figura retangular (quadrado ou retângulo) onde as medidas dos lados da figura encontrada indicarão cada um dos fatores e o resultado (produto) será dado pela área da referida figura. a) (x + 1) . (x + 2) = x2 + 3x + 2 b) (x + 1) . (x – 3) = x2 – 2x – 3 c) x . (x + 1) x+1 x–3 x+2 x x+1 x+1 Efetuar as multiplicações: a) x . (x + 3) b) x . (x – 2) c) (x + 3) . (x + 1) d) (x + 2) . (x + 2) e) (x – 1) . (x – 2) f) (x + 1) . (2x + 2) g) (x + 3) . (x – 2) h) (x – 2) . (x + 2) i) (x + 3)2 j) (2x – 2)2 3 Universidade Federal de Mato Grosso – ICET – Depto de Matemática - GEPEMAT D) DIVISÃO DE POLINÔMIOS Para dividir polinômios usaremos o recurso do retângulo. PROCEDIMENTO: São dados, inicialmente, a área da figura a ser construída (DIVIDENDO) e a medida de um dos lados (DIVISOR). Nosso objetivo é encontrar a medida do outro lado da figura a ser construída (QUOCIENTE). Isto será possível porque ao dispormos as peças nas regiões e, considerando os dados iniciais (área da figura e a medida de um dos lados), a medida do outro lado será identificada. Exemplo: (x2 + 2x + 1) : (x + 1) = .................................... ? Área da figura a ser construída Medida de um dos lados Medida do outro lado x+1 medida do outro lado x+1 medida de um lado Área da figura Efetue as divisões: a) (x2 + 3x + 2) : (x + 1) d) (x2 + 3x – 10) : (x – 2) c) (x2 + x – 2) : (x – 1) f) (2x2 – 3x – 2) : (x – 2) b) (x2 + 4x + 3) : (x + 3) e) (2x2 + 5x + 2) : (x + 2) E) FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS Para fatorar um polinômio, usa-se o recurso do retângulo disposto no esquema apresentado anteriormente (quadrantes). PROCEDIMENTO: Dado o polinômio, construiremos a figura (retângulo mais próximo de um quadrado) a partir de sua área e descobriremos a medida dos dois lados. Exemplos: a) x2 + 4x + 4 = (x + 2) . (x + 2) b) x2 – x – 12 = (x + 3) . (x – 4) x+2 x+2 x+3 x–4 Efetue as fatorações: a) x2 + 5x + 6 b) x2 + 4x + 3 e) x2 – 3x + 2 f) x2 – x – 12 2 i) 4x – 9 c) x2 + 6x + 9 g) x2 – 4 d) x2 – 5x + 6 h) 4x2 – 4x + 1 LIMITAÇÕES: a) (x + 2) . (- x + 1) não existe peça quadrada grande com lados de sinais contrários. b) (- x + 2) . (- x + 1) é difícil justificar que a peça quadrada grande negativa tenha como resultado um valor positivo. 4 Universidade Federal de Mato Grosso – ICET – Depto de Matemática - GEPEMAT c) na divisão e na fatoração não usar a peça – x2, porque pode ser difícil justificar o quadrado grande ter lados com sinais contrários ou sendo os dois positivos. E) RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU Com o auxílio do material, tendo as peças dadas montar retângulos, fatorar e igualar a zero para resolver a equação. Exemplo 1: x2 + 2x + 1 = 0 Forma fatorada: (x + 1) . (x + 1) = 0 Pela Lei do Produto Nulo: (x + 1) = 0 ou (x + 1) = 0 Logo: x1 = x2 = - 1 Atividade – Resolva as equações: a) x2 – 2x = 0 b) x2 + 3x + 2 = 0 c) 2x2 + 5x + 2 = 0 Exemplo 2: x2 – 6x + 9 = 0 Forma fatorada: (x – 3) . (x – 3) = 0 Pela Lei do Produto Nulo: (x – 3) = 0 ou (x – 3) = 0 Logo: x1 = x2 = 3 Atividade – Resolva as equações: a) 2x2 – 7x + 3 = 0 b) 4x2 – 2x = 0 c) 4x2 – 6x + 2 = 0 Exemplo 3: 2x2 + 5x – 3 = 0 Forma fatorada: (2x – 1) . (x + 3) = 0 Pela Lei do Produto Nulo: (2x – 1) = 0 ou (x + 3) = 0 Logo: x1 = ½ e x2 = - 3 Atividade – Resolva as equações: a) x2 – 4 = 0 b) x2 – x – 6 = 0 c) 2x2 – x – 3 = 0 Exemplo 4: Demonstração da fórmula de Báscara através do material x2 + 10x = 39 (Devemos completar o quadrado) 2 x + 10x + 25 = 39 + 25 (x + 5)2 = 64 x + 5 = 8 Logo: x1 = 8 – 5 = 3 e x2 = – 8 – 5 = – 13 Atividade – Conforme o exemplo anterior, resolva as equações: a) x2 + 6x = 16 b) 2x2 + 4x = 30 (sugestão: dividir os dois membros por dois) 2 c) x + 3x = 10 d) 3x2 + 15x = 72 (sugestão: dividir os dois membros por três) 5 Universidade Federal de Mato Grosso – ICET – Depto de Matemática - GEPEMAT DEDUÇÃO DA FÓRMULA DE BÁSCARA 3x2 + 15x – 72 = 0 ax2 + bx + c = 0 3x2 + 15x = 72 ( : 3) ax2 + bx = – c x2 + 5x = 24 x2 + 5x + (2,5)2 = 24 + (2,5)2 2 121 5 x + 5x + = 4 2 2 2 c b bx b x + + = – + a 2a a 2a 2 c b2 bx b x + + = – + a 4a 2 a 2a 2 5 121 2 4 b b 2 4ac x+ 2a 4a 2 5 11 2 2 b b 2 4ac x+ 2a 2a 2 x=– 5 11 2 2 2 2 b 4ac b 2 x 2a 4a 2 x+ x1 = 3 c bx = – a a 5 121 2 4 x x x2 + ( : a) 2 x=- e x2 = – 8 x= b b 2 4ac 2a 2a b b 2 4ac 2a 6 Universidade Federal de Mato Grosso – ICET – Depto de Matemática - GEPEMAT Iº Quadrante = Quadrados maiores IIº Quadrante = retângulos 7 IVº Quadrante= retângulos IIIº Quadrante = quadrados menores Universidade Federal de Mato Grosso – ICET – Depto de Matemática - GEPEMAT 8 Universidade Federal de Mato Grosso – ICET – Depto de Matemática - GEPEMAT Recortar os quadrados “grandes”, “pequenos” e retângulos para serem usados nos quadros abaixo. 9