x + 2

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Universidade Federal de Mato Grosso – ICET – Depto de Matemática - GEPEMAT
POLINÔMIOS COM MATERIAL CONCRETO
PRÉ-REQUISITOS: Operações em Q.
Áreas de figuras planas.
Resolução de equações do 1º grau em Q.
OBJETIVO: utilizar material concreto para realizar as operações com os polinômios,
fatoração e resolução de equação do 2º grau.
MATERIAL A SER UTILIZADO: (papel cartão, cartolina ou papelão)
 Quadrados de lado x (5 x 5 cm)
 Retângulos de medidas U e x (2 x 5 cm)
 Quadrados de lado U (2 x 2 cm)
 Uma das faces de cada peça deverá ser colorida (hachurada)
CONSIDERAÇÕES SOBRE O MATERIAL:
x
1
a) As medidas dos lados do
quadrado,
retângulo
e
quadradinho
valem
respectivamente:
x
1
x
1
b) As áreas dessas figuras
valem respectivamente:
x2
x
1
c) As peças lisas serão utilizadas para representar expressões algébricas que tenham
números positivos e as peças pintadas representarão expressões algébricas com números
negativos.
II) – 3x2 – 1
Exemplos: I) 2x2 + x
x2
x2
x
– x2
– x2
– x2
–1
A) REPRESENTE OS POLINÔMIOS ABAIXO COM O MATERIAL E DESENHE
ESSA REPRESENTAÇÃO
a) 2x2
c) x2 + 1
e) – 2x2 + 4x – 3
1
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b) – 3x
) x2 + 3x + 6
f) – 2x2 – 4x + 3
g) – 2x2 + 3x – 4
B) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS
Para somar ou subtrair polinômios utilizaremos o recurso do retângulo e a placa A (em
anexo).
PROCEDIMENTO:
Representar na 1ª linha a primeira expressão e na 2ª linha a segunda expressão, depois
juntá-las, efetuando as trocas necessárias de acordo com a operação indicada. Não se esqueça:


dos exemplos dos Kamikazes (cada Kamikaze tem que destruir um Aliado);
sinal negativo antes de uma expressão, altera o sinal de cada termo.
Exemplos.
1 – Efetue as adições indicadas usando o conjunto de peças:
a) (x2 + 3x – 1) + (2x2 – x – 4)
b) (3x2 – x + 4) + (– x2 – x – 1)
c) (3x2 – x) + (– x2 + 2x – 3)
d) (x2 – x – 1) + (2x2 + x + 2)
2
2
e) (– 5x + 4x – 3) + (6x – 3x + 8)
f) (x2 + 2x – 7) + (– 5x2 + 7x – 2)
2 – Efetue as subtrações indicadas usando o conjunto de peças:
a) (x2 + x + 2) – (x2 + 2x + 1)
b) (x2 + 3x – 1) – (2x2 – x – 4)
2
2
c) (3x + x + 4) – (– x – x – 1)
d) (3x2 – x) – (– x2 + 2x – 3)
e) (x2 – x – 1) – (2x2 + x + 2)
3 – Dando a primeira expressão e o resultado, descubra a 2ª expressão (previsão).
a) (x2 + 3x + 3) ...........................................= – x2 + 2x + 5
b) (x2 – 2x – 1) ............................................= 2x2 + 4
c) (– 5x2 + 3x – 2) ........................................= – x2 + 2x
d) (4x2 – 2x + 1) ..........................................= 3x2 + 5x – 1
C) MULTIPLICAÇÃO (PRODUTO) DE POLINÔMIOS
Para multiplicar polinômios utilizaremos o
recurso do retângulo e o esquema ao lado.
a) Na região 1 e 3 serão colocados somente retângulos.
b) Na região 2 serão colocados somente quadrados.
c) Na região 4 serão colocados somente quadradinhos.
quadrados
2
retângulos
3
retângulos
1
quadradinhos
4
2
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PROCEDIMENTO:
Na multiplicação de polinômios as peças serão dispostas nas regiões do esquema acima
com o objetivo de formar uma figura retangular (quadrado ou retângulo) onde as medidas dos
lados da figura encontrada indicarão cada um dos fatores e o resultado (produto) será dado
pela área da referida figura.
a) (x + 1) . (x + 2) = x2 + 3x + 2
b) (x + 1) . (x – 3) = x2 – 2x – 3
c) x . (x + 1)
x+1
x–3
x+2
x
x+1
x+1
Efetuar as multiplicações:
a) x . (x + 3)
b) x . (x – 2)
c) (x + 3) . (x + 1)
d) (x + 2) . (x + 2)
e) (x – 1) . (x – 2)
f) (x + 1) . (2x + 2)
g) (x + 3) . (x – 2)
h) (x – 2) . (x + 2)
i) (x + 3)2
j) (2x – 2)2
3
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D) DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Para dividir polinômios usaremos o recurso do retângulo.
PROCEDIMENTO:
São dados, inicialmente, a área da figura a ser construída (DIVIDENDO) e a medida de
um dos lados (DIVISOR). Nosso objetivo é encontrar a medida do outro lado da figura a ser
construída (QUOCIENTE). Isto será possível porque ao dispormos as peças nas regiões e,
considerando os dados iniciais (área da figura e a medida de um dos lados), a medida do outro
lado será identificada.
Exemplo: (x2 + 2x + 1)
:
(x + 1) = .................................... ?
Área da figura a
ser construída
Medida de um
dos lados
Medida do
outro lado
x+1
medida do outro lado
x+1
medida de um lado
Área da figura
Efetue as divisões:
a) (x2 + 3x + 2) : (x + 1)
d) (x2 + 3x – 10) : (x – 2)
c) (x2 + x – 2) : (x – 1)
f) (2x2 – 3x – 2) : (x – 2)
b) (x2 + 4x + 3) : (x + 3)
e) (2x2 + 5x + 2) : (x + 2)
E) FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Para fatorar um polinômio, usa-se o recurso do retângulo disposto no esquema
apresentado anteriormente (quadrantes).
PROCEDIMENTO:
Dado o polinômio, construiremos a figura (retângulo mais próximo de um quadrado) a
partir de sua área e descobriremos a medida dos dois lados. Exemplos:
a) x2 + 4x + 4 = (x + 2) . (x + 2)
b) x2 – x – 12 = (x + 3) . (x – 4)
x+2
x+2
x+3
x–4
Efetue as fatorações:
a) x2 + 5x + 6
b) x2 + 4x + 3
e) x2 – 3x + 2
f) x2 – x – 12
2
i) 4x – 9
c) x2 + 6x + 9
g) x2 – 4
d) x2 – 5x + 6
h) 4x2 – 4x + 1
LIMITAÇÕES: a) (x + 2) . (- x + 1) não existe peça quadrada grande com lados de sinais
contrários.
b) (- x + 2) . (- x + 1) é difícil justificar que a peça quadrada grande
negativa tenha como resultado um valor positivo.
4
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c) na divisão e na fatoração não usar a peça – x2, porque pode ser difícil
justificar o quadrado grande ter lados com sinais contrários ou sendo
os dois positivos.
E) RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Com o auxílio do material, tendo as peças dadas montar retângulos, fatorar e igualar a
zero para resolver a equação.
Exemplo 1: x2 + 2x + 1 = 0
Forma fatorada: (x + 1) . (x + 1) = 0
Pela Lei do Produto Nulo:
(x + 1) = 0 ou
(x + 1) = 0
Logo: x1 = x2 = - 1
Atividade – Resolva as equações:
a) x2 – 2x = 0
b) x2 + 3x + 2 = 0
c) 2x2 + 5x + 2 = 0
Exemplo 2: x2 – 6x + 9 = 0
Forma fatorada: (x – 3) . (x – 3) = 0
Pela Lei do Produto Nulo:
(x – 3) = 0 ou
(x – 3) = 0
Logo: x1 = x2 = 3
Atividade – Resolva as equações:
a) 2x2 – 7x + 3 = 0
b) 4x2 – 2x = 0
c) 4x2 – 6x + 2 = 0
Exemplo 3: 2x2 + 5x – 3 = 0
Forma fatorada: (2x – 1) . (x + 3) = 0
Pela Lei do Produto Nulo:
(2x – 1) = 0 ou
(x + 3) = 0
Logo: x1 = ½ e x2 = - 3
Atividade – Resolva as equações:
a) x2 – 4 = 0
b) x2 – x – 6 = 0
c) 2x2 – x – 3 = 0
Exemplo 4: Demonstração da fórmula de Báscara através
do material
x2 + 10x = 39
(Devemos completar o quadrado)
2
x + 10x + 25 = 39 + 25
(x + 5)2 = 64  x + 5 =  8
Logo: x1 = 8 – 5 = 3 e x2 = – 8 – 5 = – 13
Atividade – Conforme o exemplo anterior, resolva as equações:
a) x2 + 6x = 16
b) 2x2 + 4x = 30 (sugestão: dividir os dois membros por dois)
2
c) x + 3x = 10
d) 3x2 + 15x = 72 (sugestão: dividir os dois membros por três)
5
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DEDUÇÃO DA FÓRMULA DE BÁSCARA
3x2 + 15x – 72 = 0
ax2 + bx + c = 0
3x2 + 15x = 72 ( : 3)
ax2 + bx = – c
x2 + 5x = 24
x2 + 5x + (2,5)2 = 24 + (2,5)2
2
121
5
x + 5x +   =
4
2
2
2
c  b 
bx  b 
x +
+  = – + 
a  2a 
a
 2a 
2
c b2
bx  b 
x +
+  = – +
a 4a 2
a
 2a 
2
5
121

2
4
b
b 2  4ac

x+
2a
4a 2
5
11

2
2
b
b 2  4ac
x+

2a
2a
2
x=–
5 11

2 2
2
2
b 
 4ac  b 2

x 
 
2a 
4a 2

x+
x1 = 3
c
bx
= –
a
a
5
121
 
2
4

x 

x
x2 +
( : a)
2
x=-
e x2 = – 8
x=
b
b 2  4ac

2a
2a
 b  b 2  4ac
2a
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Iº Quadrante = Quadrados maiores
IIº Quadrante = retângulos
7
IVº Quadrante= retângulos
IIIº Quadrante = quadrados menores
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8
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Recortar os quadrados “grandes”, “pequenos” e retângulos para serem usados nos quadros abaixo.
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