Mestrado Profissional em Economia Empresarial e

FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS - EPGE
Mestrado Profissional
em Economia
Empresarial e Finanças
Professores Claudio Barbedo e Aldo Ferreira
2011.1
Taxa de Juros; Teoria das Taxas de Juros; Títulos de Renda Fixa (TRF); Principais Características
de um TRF; Tipos de TRF; Princípios Gerais para Precificar TRF; Medidas de Rentabilidade de um
TRF; Retorno Total de um TRF; Determinação do Preço de Mercado de um TRF; ETTJ; Taxa à Vista
ou Taxa Spot; Precificação de um TRF através da Taxa à Vista; Taxa Futura ou Taxa Forward ou
Taxa a Termo; Formas Clássicas da ETTJ; Duração e Convexidade; Títulos de Renda Fixa
Negociados no Mercado Brasileiro: títulos públicos.
Taxa de Juros
O juro exprime o preço de troca de ativos disponíveis em diferentes
momentos do tempo. Trata-se de uma remuneração pela alocação de capital.
As decisões financeiras são consideradas atraentes somente se houver
expectativa de retorno superior à taxa de juros do dinheiro utilizado.
Chamamos de Taxa Pura ou Taxa Livre de Risco aquela que precifica os
ativos do governo no mercado, constituindo-se na taxa de juros base do sistema
econômico.
Teoria das Taxas de Juros
Três teorias procuram explicar as relações entre as taxas de juros de curto
prazo e as de longo prazo:



Teoria das Expectativas (ou expectativas não viesadas)
Teoria da Preferência pela Liquidez
Teoria da Segmentação do Mercado
A Teoria das Expectativas propõe que as taxas de juros de longo prazo
sejam a média geométrica das taxas de curto prazo correntes e previstas para o
horizonte de maturação de um ativo de longo prazo.
As taxas esperadas de curto prazo representam uma projeção não viesada
das taxas futuras de juros.
Se um título de longo prazo oferece ganhos acima das expectativas, ele
passará a substituir outros ativos na composição do portfólio de um investidor.
A teoria procura focalizar o comportamento do investidor, atribuindo as
diferenças de rendimentos oferecidas por ativos de diferentes maturidades às
diversas expectativas do mercado com relação às taxas de juros futuras.
Exemplo) Admita um ativo de 2 anos de duração que oferece um rendimento de
10% ao ano. Ao aplicar nesse ativo, qual o rendimento acumulado pelo investidor
no biênio?
Suponha que uma estratégia alternativa de rendimento envolve comprar um
ativo com prazo de resgate de um ano, que oferece rentabilidade de 9% ao ano.
Nessas condições, o investidor deve reaplicar o montante acumulado ao final do
ano em outro ativo pelo mesmo prazo. Ao se decidir por essa estratégia e
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mantendo-se a taxa de juros, qual o rendimento apurado pelo investidor no
período (biênio)?
Evidentemente, ao se definir por esta segunda alternativa, o rendimento ao
final do período de dois anos dependerá da remuneração que o investidor
conseguirá no segundo ano. Pela teoria das expectativas, qual o retorno esperado
do último ano, de forma que os retornos de curto e de longo prazos sejam
equalizados?
Se as atuais taxas de juros projetarem um resultado inferior aos de 11,01%
calculados, a decisão de investir no ativo de longo prazo deve ser preferida ou
não?
O pressuposto básico da teoria das expectativas é que os investidores são
indiferentes quanto à maturidade do título, selecionando a melhor decisão a partir
da mais alta taxa de retorno encontrada.
Em outras palavras, esta teoria admite que ao não se esperar alterações
nas taxas de juros no futuro, o investidor será indiferente a qualquer prazo para
aplicar seus recursos.
Exemplo) Admita que os títulos com maturidade de quatro anos estejam sendo
negociados no mercado financeiro de acordo com a tabela a seguir. Os juros são
pagos por ocasião do resgate dos papéis.
Prazo
1 ano
2 anos
3 anos
4 anos
Taxa de Juros
8,00% a.a.
8,8% a.a.
9,4% a.a.
10,1% a.a.
A estrutura temporal das taxas de juros para os próximos anos é obtida de
acordo com os seguintes cálculos:
1º ano) A taxa de juros para o ano é de 8,0%, conforme a tabela.
2º ano) O título de dois anos deve oferecer um rendimento de 8,0%, se for
necessário em um ano, para que não ocorram arbitragens.
Aplicação por dois anos: (1,088)2 – 1
= 18,37%
Aplicação por um ano:
= 8,0%
A taxa de juros do 2º ano, pela teoria das expectativas, será aquela que
iguala o retorno das duas alternativas financeiras. É conhecida também por taxa a
termo de juros.
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1,1837 = [(1,08) x (1 + i)] e, portanto, i = 9,6%.
3º ano) Repetindo os cálculos:
(1,094)3 = [(1,08) x (1,096) x (1 + i)] e, portanto, i = 10,6%
4º ano)
(1,101)4 = [(1,08) x (1,096) x (1,106) x (1 + i)] e, portanto, i = 12,2%
█
A Teoria da Preferência pela Liquidez admite que os rendimentos dos
ativos de longo prazo sejam superiores aos de curto prazo, pela incorporação de
uma remuneração adicional pelo risco assumido.
Não se observa a equalização das taxas consideradas pela teoria das
expectativas não viesadas.
Esses ativos de maior maturidade devem incorporar uma remuneração
adicional pelo maior risco assumido (redução da liquidez), conhecido como prêmio
pela liquidez.
Em razão dos maiores riscos visualizados nos ativos de longo prazo, os
investidores são inicialmente atraídos por aplicações de maior liquidez. Por outro
lado, os tomadores de dinheiro do mercado costumam dar preferência por
operações de prazos mais longos, de maneira a elevar a liquidez.
Para o equilíbrio desse conflito, deve ser oferecida nas alternativas de longo
prazo uma compensação pela perda da liquidez, de forma a atrair os investidores
para o mercado de mais longo prazo.
Pela enunciada teoria da liquidez, somente um prêmio adicional pelo maior
risco assumido pode incentivar os agentes econômicos a atuarem com ativos de
maior maturidade.
Pela teoria da liquidez, espera-se que os ativos de longo prazo ofereçam
um retorno superior aos de curto prazo, mesmo admitindo-se o reinvestimento
sucessivo em outros ativos de curto prazo até a data de vencimento. Em
ambientes de incerteza que embutem prêmios de liquidez nas taxas de juros,
ativos com diferentes prazos de vencimento não se constituem em substitutos
perfeitos uns dos outros, de acordo com o descrito pela teoria das expectativas
Não obstante as formulações enunciadas, deve ser acrescentado o viés
produzido pelas características da economia brasileira.
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São observados em diferentes momentos desajustes na estrutura dos
prazos dos créditos, com taxa de juros de curto prazo suplantando as de longo
prazo.
Essa realidade de desequilíbrio é conflitiva com as teorias enunciadas e é
devida, em grande parte, à duradoura política de subsídios direcionada ao
mercado de crédito de longo prazo. Inexistindo poupanças de maior maturidade
em volume suficiente para atender às necessidades de investimento da economia,
os agentes tomadores vêm sendo abastecidos com recursos oficiais subsidiados
em relação às taxas de juros livremente formadas no mercado.
Com isso, o tomador de recursos, ao selecionar alternativas de
financiamento de longo prazo nessas condições, absorve duas grandes vantagens
financeiras: maior liquidez e maior atratividade econômica em razão de os fundos
oferecidos serem mais baratos que os de mercado.
O custo do crédito de curto prazo mais elevado do que o de longo prazo
constitui-se num desajuste cíclico, com tendências evidentemente de desaparecer
no momento em que a economia retornar suas diretrizes de equilíbrio.
A Teoria da Segmentação do Mercado propõe que os agentes
econômicos demonstram preferências bem definidas com relação aos prazos de
vencimento dos ativos, sendo as taxas de juros arbitradas livremente pelo
mecanismo de oferta e procura presentes em cada segmento temporal de
mercado.
A presença de agentes captadores e aplicadores de recursos com
preferências bem definidas em relação aos prazos de vencimento das operações
promovem um mercado segmentado em função da maturidade dos ativos, sendo
as taxas de juros definidas para cada segmento.
As taxas de juros de curto prazo e de longo prazo são formadas pela
interação da oferta e da procura de recursos, determinada pela atuação de
credores e devedores, podendo ocorrer diferentes taxas em cada segmento de
mercado.
A teoria da segmentação admite que cada mercado encontre seu próprio
equilíbrio, independentemente do comportamento do outro.
A teoria considera que as preferências por determinados prazos de
vencimento são bem definidas no mercado, admitindo-se que dificilmente um
agente econômico trocará um segmento por outro na expectativa de obter um
retorno mais favorável.
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Essa idéia é reforçada, ainda, pela possibilidade de serem efetuadas
operações de hedging pelos participantes de mercado, tornando mais claramente
diferenciadas as taxas de juros previstas para o longo e o curto prazo.
Nota) Hedge (cobrir, defender, safar, garantir, proteger, travar): estratégia pela
qual investidores com intenções definidas procuram cobrir-se do risco de
variações de preços desvantajosas para seus propósitos.
Nota) Hedge cambial: hedge em operação de compra e venda de moeda
estrangeira.
Nota) Hedge fund (fundo hedge): fundo de investimento de administração ativa,
geralmente operado com agressividade, em busca de prêmio de risco elevado. O
termo hedge fund é fruto de uma classificação informal. Nos Estados Unidos, os
hedge funds não têm qualquer limitação na seleção do portfólio.
Os agentes econômicos do mercado procuram manter seus portfólios
dentro de uma estrutura de equilíbrio financeiro, aproximando a maturidade de
seus ativos com a maturidade de seus passivos. Para a teoria da segmentação, a
minimização do risco e a consequente continuidade de uma instituição decorrem
da efetiva adequação dessa maturidade, independentemente de retornos mais
atrativos que possam ocorrer em instrumentos financeiros com diferentes
maturidades.
A teoria da segmentação é criticada pela possibilidade atual de os agentes
econômicos (aplicadores e tomadores de recursos) compararem, previamente a
sua decisão, as taxas de juros de curto e longo prazo, assim como acessarem
mercados que fornecem projeções futuras das taxas de juros. Essas informações
permitem que os agentes se direcionem para um segmento específico do mercado
que lhes pareça mais interessante.
Os agentes mantêm-se fiéis a um segmento de mercado, enquanto são
oferecidas oportunidades de um prêmio atraente, mudando a maturidade de suas
operações quando as condições de ganhos deixarem de interessar.
Nota) A arbitragem ocorre geralmente em mercados que apresentam
discrepâncias entre preços praticados: os preços são diferentes quando deveriam
ser iguais. A arbitragem tende a igualar os preços de um ativo nos mercados,
colaborando assim para o seu equilíbrio. Com a arbitragem, espera-se que a
demanda pelo ativo no mercado em que é negociado mais barato aumentará
muito, pressionando seu preço. O contrário deverá ocorrer no mercado mais caro,
onde a maior oferta do produto irá reduzir o seu preço.
Nota) O arbitrador é um agente econômico que tem por objetivo o lucro, evitando
assumir riscos diretamente. Sua atividade consiste em identificar distorções de
preços entre mercados e tirar proveito dessa diferença ou da expectativa futura
dessa diferença. A estratégia do arbitrador consiste em comprar no mercado em
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que o preço está mais baixo e vender naquele em que está mais alto, tendo como
lucro o diferencial de compra e de venda.
Títulos de Renda Fixa
Quando determinados agentes econômicos (empresas ou governos)
precisam de recursos para financiar projetos ou mesmo efetuar pagamentos, as
possibilidades seguintes de captação de recursos podem ser utilizadas:
1) Emitir ações (não disponível para governos);
2) Tomar empréstimos junto ao sistema financeiro; e
3) Tomar empréstimo através da emissão do títulos de renda fixa.
Abreviaremos a denominação Título de Renda Fixa pela sigla TRF.
Um TRF (ou bônus de renda fixa ou bônus ou obrigação) é um título
representativo de contratações de empréstimos pelas empresas ou governos, os
quais prometem pagar a seus investidores determinado fluxo futuro de
rendimentos. Em outras palavras, um TRF é um certificado que indica que um
tomador de recursos deve uma quantia especificada. Para devolver a quantia, o
tomador concorda em fazer pagamentos de juros e principal em datas estipuladas.
Nota) Esses papéis são classificados como de renda fixa porque são papéis que
pré-determinam a rentabilidade da operação, seja através da taxa explicitada no
título, seja através de um índice de referência.
Diz-se que o TRF vence ou expira na data de seu último pagamento.
Exemplo 1) Suponhamos que uma empresa emitiu 100.000 TRF’s, todos com
valor nominal igual a R$ 1.000 cada, sendo que as obrigações têm cupom de 5%
e prazo de vencimento de dois anos. Os juros das obrigações serão pagos uma
vez por ano. Isso significa dizer que:
1) R$ 100 milhões (100.000 x R$ 1.000) foram captados pela empresa;
2) A empresa deve pagar juros de R$ 5 milhões (5% x R$ 100 milhões) ao
final de um ano;
3) A empresa deve pagar R$ 5 milhões de juros e R$ 100 milhões de principal
ao final de dois anos.
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Embora os detentores de bônus possuam um “IOU” (I owe you, isto é, eu
devo a você) dos emissores, não significa nenhum privilégio ao acesso a direção
da empresa, como os acionistas possuem.
Principais Características dos Títulos de Renda Fixa
1) Emissor: é a empresa ou governo que está emitindo o bônus;
2) Valor de face: valor de uma obrigação que aparece em seu certificado.
Também chamado de valor nominal ou principal.
3) Rating: Opinião independente sobre a capacidade do emitente de pagar o
principal e os juros do título emitido. É instrumento de medição de riscos e dos
sistemas de garantias e cobertura desses riscos. Em outras palavras, é a
classificação de risco de um banco, de um país ou de um ativo feita por uma
empresa especializada.
Nota) As principais empresas de rating no mundo são Moody’s Investors
Service, Standard & Poor’s, Fitch IBCA e Duff & Phelps Credit Rating Co.
A classificação é expressa em termos de qualidade (excelente a péssima)
ou nível de risco (investment grade, inadimplente).
Nota) Investment grade é a classificação de nível de risco para empresas ou
países avaliados como capazes de honrar seus compromissos.
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Nota) A Agência SR Rating iniciou suas operações em 1993 e foi a primeira
agência de classificação de risco do Brasil. As escalas “BR”, assim como as
escalas “AR” utilizadas na Argentina e a escala “MX”, no México, têm em comum o
fato de terem seu uso restrito aos países a que se referem e não poderem ser
comparadas entre si. Estas características decorrem do fato de as escalas locais
se aplicarem exclusivamente a comparações entre empresas e papéis do mesmo
país, guardando relação apenas com situações de risco relativo e local.
Nota) Risco soberano é o risco legal, ou político, de liquidação e de outros riscos
relacionados com transações com títulos públicos de um país. Quando
relacionado a transações internacionais, denomina-se risco de país, ou risco
geográfico.
4) Maturidade: é a data em que o emissor efetua o pagamento do principal ao
detentor do TRF.
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Nota) Se a data da maturidade de um TRF é 01/09/2012, a notação adotada é
Sep 01/12.
5) Yield to Maturity (YTM): taxa de juros que iguala o fluxo de caixa do título até o
vencimento ao seu preço de mercado, isto é, a taxa interna de retorno (TIR) que o
investidor obteria caso ficasse com o título até o vencimento.
6) Taxa de Cupom ou Juros de Cupom: é a taxa de juros (geralmente fixa) e
paga, a cada semestre ou a cada ano, pelo emissor ao detentor do TRF. Essa
taxa depende do mercado e varia de título para título; e
7) Preço de Mercado: é o preço que o mercado (dealer ou broker) está disposto a
pagar pela compra do TRF.
Nota) É prática comum cotar o TRF em relação ao valor de face (valor na
maturidade) de R$ 100,00, não importando o verdadeiro valor de face do bônus.
Por exemplo, se o bônus tem preço igual a R$ 93, a cotação é 93% do valor de
face (igual a R$ 100).
Nota) Dealer: instituições financeiras que atuam, por sua conta e risco, no
mercado financeiro intermediando operações de compra e venda de títulos.
Nota) Broker: é o corretor, indivíduo ou instituição, que promove o encontro entre
compradores e vendedores (bids e asks) em um dado mercado, cobrando uma
comissão.
Nota) Bid é o preço de compra de um ativo no mercado.
Nota) Ask é o preço de venda de um ativo no mercado.
Tipos de Títulos de Renda Fixa
Os TRF’s podem ser classificados em dois tipos:
1) Bônus Padronizado ou obrigações com cupons uniformes (“Plain Vanilla”):
oferecem pagamentos não apenas no vencimento, mas também a intervalos
regulares que antecedem a data de vencimento. Estes pagamentos são chamados
de cupons de juros (ou cupons da obrigação ou, simplesmente, cupons). O
cupom, que denotaremos por C, será sempre o mesmo durante todo o prazo da
obrigação.
Nota) O pagamento periódico de cupom de juros representa o juro regular
recebido pelo detentor do TRF para financiar o emissor.
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Nota) O cupom é pago a cada mês, trimestre, semestre ou ano, mas as
periodicidades mais comuns são semestre e ano.
Nota) O cupom não é a única fonte de rendimento, já que o preço de mercado do
TRF flutua e pode haver ganho ou perda.
Exemplo 2) Considere um TRF com prazo de 18 anos, cupom anual de 6% do
valor de face pago semestralmente (a taxa de cupom é dada por uma taxa
nominal). Esse título foi vendido na emissão ao preço de R$ 700,89 e o seu valor
de face é igual a R$ 1.000,00.
█
Nota) No mercado americano, muitas das vezes, os bônus plain vanilla pagam
cupons semestralmente. O valor desses cupons é expresso como um percentual
do valor de face em base anual. Para obter a taxa efetiva semestral devemos
dividir por 2 a taxa anual. Na realidade, a taxa anual usualmente empregada no
mercado não representa a taxa efetiva ano. Para obter essa última, devemos
capitalizar a taxa semestral por 2 semestres. De modo geral, o fluxo de um bônus
plain vanilla no mercado americano pode ser representado como demonstrado a
seguir:
onde P é o preço de venda do bônus; M = valor de face do bônus; 2c = taxa anual
do cupom (portanto, pelo método linear, c é a taxa anual do cupom); n = prazo em
anos.
Nota) Nem todas as obrigações possuem data de vencimento final. Consols são
obrigações que nunca param de pagar um cupom (de valor, digamos, C), não têm
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data final de vencimento e, portanto, nunca vencem. O valor presente desse fluxo
particular de caixa (tal fluxo também é conhecido por perpetuidade) é dado por
𝐂
𝐕𝐏 = ,
𝐫
onde r é a taxa de juros praticada no mercado e suposta constante.
2) Bônus não Padronizado: os bônus emitidos pelas empresas e governos têm
uma enorme variedade de tipos além dos bônus padronizados. Os principais tipos
de bônus não padronizados são os seguintes
2.1) Bônus com Opção Incluída (“Option Embedded Bond”)
2.1.1) Opção de compra embutida (“Callable Bond”): tem opção de
compra embutida; permite ao emissor comprar o bônus antes da data da
maturidade e pagar, geralmente, o valor de face ao investidor, em data ou
datas previamente acertadas. Esse tipo de instrumento (opção) protege o
emissor contra quedas de juros, dado que o emissor pode lançar um novo
TRF no mercado, a um custo menor e a preço mais elevado.
Nota) Há um risco de reinvestimento para o detentor do bônus, já que o
exercício da opção de compra faz com que o investidor tenha que alocar os
recursos em outra alternativa de investimento. Por essa razão, o emissor
paga o prêmio da opção ao comprador do bônus, como forma de
recompensa pelo risco de reinvestimento.
2.1.2) Opção de venda embutida (“Putable Bond”): o detentor do bônus
tem o direito de vender o bônus para o emissor antes do prazo de
vencimento, em determinada data ou datas previamente conhecidas e a
determinado preço. Caso o investidor resolva exercer a opção de venda em
momento de elevação dos juros (queda de preço), há um risco para o
emissor, que deverá lançar um novo bônus, em mercado, com taxa mais
elevada. Por essa razão, o detentor paga o prêmio da opção ao emissor.
Nota) A existência da opção torna incerto o fluxo de caixa do TRF, além de
tornar complexa a precificação do bônus em função das múltiplas datas
possíveis de exercer a opção e da própria dificuldade de precificar o opção.
2.2) Bônus Conversíveis: são bônus com cláusula que permite o bônus
ser convertido em ações da empresa emissora, sob certas condições
estabelecidas antecipadamente em contrato.
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2.3) Bônus com Taxa de Cupom Flutuante (“Float – Rate Bond”): as
taxas de cupom são ajustadas periodicamente de acordo com algum índice
ou taxa referencial (“benchmark”). Esse tipo de bônus oferece proteção
contra aumento da taxa de mercado, já que o rendimento do investidor é
atualizado periodicamente.
2.4) Bônus com Cupom Zero ou obrigação descontada pura: são bônus
que não fazem pagamento regular de juros. São negociados com desconto
significativo sobre o valor de face, o que significa que os juros são pagos
somente na data da maturidade. Ex.: LTN.
Nota) O prazo do título permite uma classificação alternativa, que depende das
condições da economia onde foram emitidos. Nos Estados Unidos, títulos de curto
prazo (bills) têm até um ano de prazo; os e médio prazo (notes) têm prazos de
dois até 10 anos e os de longo prazo (bonds) têm prazos superiores a dez anos.
Nota) No Brasil, títulos de curto prazo também são classificados como tendo prazo
inferior a um ano – exemplos: LTN, CDB e commercial paper. Já os papéis com
prazo superior a um ano são definidos como títulos de longo prazo – exemplo:
NTN-C, cujo prazo mínimo é de 12 meses.
Princípios Gerais para Precificar Títulos de Renda Fixa
A técnica de precificação deve ser geral no sentido de servir para todos os
bônus, inclusive em função da própria integração dos mercados, e deve permitir
comprar diferentes bônus de renda fixa. A técnica de análise dos fluxos de caixa
atende os objetivos mencionados e se aplica também aos títulos que incorporam
fluxos de caixa não padronizados.
O conhecimento dos fluxos de caixa e as taxas correntes de mercado, para
os diversos prazos, permitem calcular o preço justo do bônus através do desconto
dos fluxos pelas taxas de mercado dos respectivos prazos.
Os fluxos de caixa podem ser descontados de duas maneiras:
i) Método Tradicional: supõe taxas iguais para todos os prazos; e
ii) Através das taxas específicas para cada prazo.
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Medidas de Rentabilidade de um TRF
Considere um bônus com o seguinte fluxo:
No caso de um bônus padronizado, temos C1 = C2 = … = Cn = C.
1) Yield to Maturity (YTM): É a taxa interna de retorno (TIR) de fluxo de caixa do
TRF, isto é, a taxa que devemos descontar o fluxo de pagamentos para produzir
um valor exatamente igual ao preço de mercado do mesmo; vamos denotá-la por
y; matematicamente:
P=
C1
C2
Cn
M
+
+ ⋯+
+
2
n
1 + y (1 + y)
(1 + y)
(1 + y)n
Exemplo 3) Calcule a YTM do TRF com o fluxo abaixo:
Logo, y deve satisfazer a 10y2 + 19y – 2 = 0. Portanto, y = 10% a.a..
█
Para o bônus acima, o cálculo da YTM foi simples porque recaímos em uma
equação do segundo grau. Na maioria das vezes isso não acontece e métodos
numéricos devem ser usados.
Observe que a derivada do preço do bônus padrão em relação a YTM y é
dada por:
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dP
C1
2C2
nCn
nM
= −[
+
+⋯+
+
]<0
2
3
n+1
dy
(1 + y)
(1 + y)
(1 + y)
(1 + y)n+1
Ou seja, o preço é função decrescente da YTM.
Exemplo 4) (Cálculo da YTM do título do Exemplo 1)
700,89 =
30
30
30
1.000
+
+ ⋯+
+
2
36
1 + 𝑦 (1 + 𝑦)
(1 + 𝑦)
(1 + 𝑦)36
Resolvendo numericamente temos que y = 4,75% a.s..
█
Nota) No mercado americano, é comum transformar essa taxa para a base anual
de forma linear. Isto é, costuma-se informar a yield como y = 9,5% a.a. É bom
frisar que essa taxa, apesar do uso difundido, não representa a taxa efetiva ao
ano.
Os termos do lado direito da equação de definição da YTM de um bônus
padronizado formam uma PG, logo:
𝐏=
𝐂
𝟏
𝐌
[𝟏 −
]+
𝐧
𝐲
(𝟏 + 𝐲)
(𝟏 + 𝐲)𝐧
Nota) A soma dos n primeiros termos de uma PG com primeiro termo a1 e razão q
é
S = a1(1 – qn)/(1 – q).
Exemplo 5) Um título tem prazo de 20 anos e cupom de 9% a.a. pagos
semestralmente (de forma linear). O valor de face é R$ 1.000 e a YTM é de 12%
a.a. Calcule o valor presente do título.
O fluxo de caixa do bônus é composto pelos seguintes pagamentos:
i) 40 cupons semestrais iguais a R$ 45; e
ii) R$ 1.000 daqui a 20 anos.
Logo,
45
1
1000
P = 6% [1 − (1+6%)40 ] + (1+6%)40 = 677,08 + 97,22 = R$ 774,30.
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Suponha que C = Mc, logo:
Retorno Total de um TRF
O retorno total é definido como a taxa rT tal que
(𝟏 + 𝐫𝐓 )𝐧 =
𝐐𝐟
𝐏
onde Qf é a quantidade total obtida no vencimento do título levando-se em conta o
reinvestimento dos cupons:
𝐐𝐟 = 𝐌𝐜
(𝟏 + 𝐫)𝐧 − 𝟏
+𝐌
𝐫
onde supomos que todos os cupons são reinvestidos a mesma taxa r.
Exemplo 6) Calcule o retorno total de um TRF de 20 anos, cupom de 7% a.a.
pagos semestralmente, valor de face R$ 1.000, vendido a R$ 816 supondo uma
taxa de reinvestimento r = 6% a.a.
Q f = 35 ×
(1 + 3%)40 − 1
+ 1000 = R$ 3.639,04
3%
Logo
3639,04
rT = (
816
)
1⁄
40
− 1 =3,81% a.s.
Nominalmente, temos rT = 7,62% a.a.
Como a taxa de reinvestimento é menor que a YTM (que nesse exemplo é
igual a 9% a.a.), o retorno total também será menor que a YTM.
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Como pode ser facilmente demonstrado, o retorno total é exatamente igual
a YTM se, e somente, se a taxa de reinvestimento for igual a YTM.
█
Determinação do Preço de Mercado de um Título
Mas como apreçar um título? Caso a taxa de juros fosse flat, isto é,
constante para todos os vencimentos então poderíamos descontar cada
pagamento do fluxo pela YTM e pelo prazo correspondente.
Na maioria das vezes, isso só é verdade aproximadamente. Então para
calcular o preço de um bônus padronizado deveríamos descontar cada pagamento
pela taxa correspondente ao prazo desse pagamento.
Isso nos leva ao conceito de Estrutura a Termo de Taxa de Juros (ETTJ),
ou mais simplesmente, curva de juros. A ETTJ é a relação em determinado
instante, entre prazo de vencimento e taxa de retorno de títulos de renda fixa sem
cupons oriundos de uma mesma classe de risco.
Por exemplo, considere um bônus padrão emitido pelo tesouro americano.
Seja yj a taxa de juros exigida pelo mercado para se aplicar em um zero cupom do
tesouro americano de prazo j semestres. Então o preço de mercado desse papel
é:
𝐏=
𝐂𝟏
𝐂𝐧
𝐌
+ ⋯+
+
(𝟏 + 𝐲𝟏 )
(𝟏 + 𝐲𝐧 )𝐧 (𝟏 + 𝐲𝐧 )𝐧
Observe que depois de calcular o preço do título é que podemos, usando o
conceito de taxa interna de retorno, obter a YTM. Está é a ordem teórica do
procedimento e não o contrário!
A construção da ETTJ para um governo soberano é uma ferramenta de
suma importância para os gestores financeiros e gerentes de risco.
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Estrutura a Termo das Taxas de Juros (ETTJ)
Estudar a Estrutura a Termo das Taxas de Juros (ETTJ) reduz-se a
entender as preferências dos participantes do mercado (investidores e tomadores)
em relação às maturidades das curvas. Se eles forem indiferentes entre as
diversas maturidades, a curva seria plana e não teria sentido estudar a ETTJ.
As preferências dos participantes do mercado podem ser guiadas por suas
expectativas, pela natureza de seus passivos ou ativos ou pelo prêmio de risco
que eles requerem para compensar sua aversão ao risco.
O correto entendimento da ETTJ tem enorme importância prática tanto para
os tomadores de decisões de política monetária quanto para os participantes do
mercado.
A ETTJ, associada a títulos de certa natureza (governamentais, por
exemplo), mostra como o rendimento do título varia em função do seu vencimento.
De posse da ETTJ podemos avaliar o preço de diversos ativos, tais como
derivativos; realizar simulações de gestão de risco; fornecer subsídios para os
tomadores de decisão de política econômica, dentre outras aplicações.
Taxa à Vista ou Taxa Spot
A taxa à vista, também conhecida como taxa spot, indica a taxa de juros
que está sendo praticada para uma aplicação ou investimento a partir de uma
determinada data (data de referência) e com um prazo de maturidade. A
referência é o ponto zero ou ponto do tempo no qual o analista ou investidor está
fazendo a análise ou a precificação.
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Página 18
Exemplo 1) Suponha que o bônus abaixo tenha preço igual a R$ 100 e valor de
face igual a R$ 112,62. Calcule a taxa à vista.
Temos que
1 + R(0,6) ≡ 1 + R 0 (6) =
VF
112,62
=
= 1,1262
preço
100
logo,
R(0,6) = 0,1262 = 12,62% a. s.
Para o cálculo da taxa mensal equivalente, 𝑖𝑚 , por exemplo, devemos usar
a relação
(1 + im )6 = 1 + R(0,6) ∴ (1 + im )6 = 1,1262
e, portanto,
6
im = √1,1262 − 1 = 1,02 − 1 = 2%.
█
Exemplo 2) Suponha que o bônus abaixo tenha preço igual a R$ 100,00 e valor
de face igual a R$ 134,49. Calcule a taxa à vista.
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Temos que
1 + R(0,12) ≡ 1 + R 0 (12) =
VF
134,49
=
= 1,3449
preço
100
logo,
R(0,12) = 0,3449 = 34,49%.
Para o cálculo da taxa semestral equivalente, is, usamos a equação abaixo:
(1 + is )2 = 1 + R(0,12),
ou seja,
(1 + is )2 = 1,3449
e,portanto,
is = √1,3449 − 1 = 1,1597 − 1 = 15,97%.
█
Precificação de um Título de Renda Fixa através da Taxa à Vista
Suponha um título de renda fixa padronizado com valor de face VF, com
maturidade T (onde T representa número de períodos, digamos, número de
semestres) que paga cupom (semestral) de valor C. O preço desse título é dado
por:
𝐓
𝐏𝐫𝐞ç𝐨 = ∑
𝐣=𝟏
𝐂
𝐕𝐅
+
𝟏 + 𝐑(𝟎, 𝐣) 𝟏 + 𝐑(𝟎, 𝐓)
Exemplo 3) Considere um título de renda fixa padronizado com valor de face igual
a R$ 1.000,00, maturidade igual a 4 anos e que paga cupom semestral de R$
40,00. As taxas à vista são dadas na tabela a seguir (taxas à vista dadas na forma
unitária):
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Semestre
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
1+Taxa à vista,
[1+R(0,semestre)]
1,00810
1,01657
1,02709
1,03896
1,05309
1,06911
1,08859
1,11105
ou
seja,
O preço deste título é dado pela expressão
Preço =
40
40
40
40
40
40
40
+
+
+
+
+
+
1,00810 1,01657 1,02709 1,03896 1,05309 1,06911 1,08859
40
1000
+
+
= R$ 1.204,67
1,11105 1,11105
█
Taxa Futura ou Taxa Forward ou Taxa a Termo
A taxa futura, também conhecida como taxa forward ou taxa a termo, é a
taxa que deve vigorar a partir de uma data futura, em relação à data presente em
que se está analisando ou precificando um fluxo de caixa qualquer.
A taxa futura em t para investimento entre s e T é a taxa que poderíamos
contratar hoje para investimento entre s e T (t < s < T), que denotaremos por
F(t,s,T), e é definida por
𝐅(𝐭, 𝐬, 𝐓) =
𝟏 + 𝐑(𝐭, 𝐓)
−𝟏
𝟏 + 𝐑(𝐭, 𝐬)
Quando consideramos as taxas à vista e futura dadas ao período, por
exemplo, taxas ao semestre ou ao ano, a taxa futura ao período é definida por
𝐅(𝐭, 𝐬, 𝐓) = (
(𝟏 + 𝐑(𝐭, 𝐓))
(𝟏 + 𝐑(𝐭, 𝐬))
𝟏
𝐓−𝐭 𝐓−𝐬
𝐬−𝐭 )
− 𝟏,
onde t, s, T representam números de período.
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Nota) Com base na Teoria das Expectativas, é possível estabelecer relações para
calcular a taxa futura para qualquer número de períodos, dependendo apenas da
disponibilidade de informações.
Exemplo 4) Considere a tabela dada no Exemplo 3; calcule:
1) F(0,1,2)?
A taxa F(0,1,2) representa a taxa futura no tempo 0 (data atual) para investimentos
entre o fim do 1º semestre e o fim do 2º semestre. Logo,
F(0,1,2) =
1,01657
− 1 = 0,0084 = 0,84% a. s.
1,00810
2) F(0,3,5)?
Por definição,
F(0,3,5) =
1,05309
= 1,02531 − 1 = 0,02531 ≅ 2,53% a. a.
1,02709
Para o cálculo da taxa equivalente ao semestre, is, fazemos:
(1 + 𝑖𝑠 )2 = 1 + 𝐹(0,3,5) = 1,02531
e, portanto,
𝑖𝑠 = √1,02531 − 1 ≅ 1,26%.
█
Nota) Adaptando a fórmula padrão de precificação, onde os fluxos são
descontados pela YTM, o preço justo do TRF pode ser calculado através das
taxas spot, que são as taxas apropriadas para descontar cada fluxo. Conhecendo
o preço justo, chega-se ao YTM do TRF referente ao preço.
Nota) Dada a relação entre taxas spot e taxas a termo, o preço justo de um TRF
pode ser calculado, também, através destas últimas. Ou seja, o preço justo é
calculado através das taxas spot e futuras e, como essas taxas são calculadas
para não permitir arbitragem, produzem o mesmo preço.
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Formas Clássicas da ETTJ
Para construir uma curva de juros ou curva de rendimentos, também
chamada de yield curve ou, ainda, chamada simplesmente de yield, é preciso
reunir informação de taxas pagas por um mesmo título em diversos prazos e
montar uma tabela com duas colunas como se exemplifica aqui com valores
fictícios.
Prazo
(até o vencimento, em número de dias corridos)
Eixo X
30
60
90
Taxas de Juro
(%)
Eixo Y
1,8
1,9
2,0
Assim, a curva de rendimentos estará expressando, para um determinado
momento, qual é a estrutura temporal de taxas de juro para um mesmo tipo e
qualidade de título de dívida.
Quando se obtém a yield com base nas taxas à vista, o formato da curva
pode variar e assumir qualquer das quatro curvas de rendimento hipotéticas
abaixo relacionadas:
Curva de juros normal
Caracteriza-se pelo aumento do rendimento, conforme aumenta o prazo de
maturidade.
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Curva de juros invertida
Tem a inclinação decrescente, onde os rendimentos declinam a medida que
aumenta o prazo de maturidade.
Curva de juros com lombada
Mostra um aumento do rendimento para determinado intervalo de
maturidade e declina o rendimento acima de determinado prazo de maturidade
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Curva de juros flat
Esta curva apresenta rendimento constante para qualquer prazo de
maturidade.
O significado de uma yield pode ser obtido a partir das três teorias das
taxas de juros que estudamos: Teoria das Expectativas, Teoria da Preferência
pela Liquidez e Teoria da Segmentação do Mercado. Vejamos alguns exemplos.
Teoria das Expectativas. O formato da curva de juros depende das expectativas.
Suponha que: 1) não há diferenças entre a taxa de curto e longo prazo, isto é, a
curva de rendimento é horizontal; e 2) as expectativas sobre as taxas futuras
mudam.
Caso o mercado aposte em um aumento das taxas, ofertantes e
demandantes de fundos terão um comportamento diferenciado:
1) Ofertantes: oferecerão fundos para o curto
futuramente, conseguirão emprestar ou
conveniente.
2) Demandantes: demandarão mais fundos
vendendo títulos com prazo de vencimento
situação inicial.
prazo na expectativa de que,
aplicar a uma taxa mais
para prazos longos (isto é,
longo), tentando aproveitar a
O aumento da oferta no curto prazo e de demanda no longo prazo
transforma a curva horizontal em uma curva ascendente. Idêntico raciocínio é
aplicado caso o mercado espere queda nas taxas de juro: os investidores
procurarão aplicar em títulos de longo prazo, mas os demandantes de crédito
preferirão endividar-se em prazos curtos. Ao contrário do caso anterior, a curva
passará a ser descendente.
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Página 25
Teoria da Preferência pela Liquidez. A aversão ao risco fundamenta a seguinte
afirmação: o formato da yield depende da liquidez. O investidor “ficará mal
aplicado” caso compre títulos de longo prazo e as taxas subam antes do
vencimento (diminuindo o preço dos títulos). Caso aplique em títulos de curto
prazo e as taxas caiam à época da rolagem da aplicação, o investidor “perderá
juros”.
A tendência conservadora dos investimentos aumenta a liquidez no curto
prazo mais do que no longo (no qual os riscos são maiores). Surge, então, um
“prêmio” para os fundos ofertados no longo prazo. Assim, se a curva de
rendimentos for:
1) horizontal, ela passará a ser ascendente;
2) ascendente, ela aumentará sua inclinação;
3) descendente, ela se aproximará de uma curva horizontal.
Teoria da Segmentação do Mercado. As explicações baseadas nas expectativas
e na preferência pela liquidez são contestadas a partir da hipótese de que não
existe substitubilidade entre mercados, de curto e longo prazos, pressuposta
nessas análises.
Com base nesta teoria, uma curva ascendente de juros apenas indicaria
que, no mercado de longo prazo, a taxa é alta porque a demanda é maior do que
a oferta; enquanto que, no curto prazo, ocorreria o contrário.
Nota) Necessidades de caixa ou limitações legais dos agentes, por exemplo,
obrigam apenas a operar no curto prazo e, além disso, os títulos de curto e longo
prazo não são substitutos perfeitos, pois têm tributação diferenciada.
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Estudo da Duração e da Convexidade
Referência: Livro “Renda Fixa Objetiva”, Peri Agostinho da Silva, ZTG
Editora.
Introdução
Na apostila anterior (Análise Financeira I – 2ª Parte) examinou-se as
relações básicas entre o preço do título de renda fixa (TRF) e as variáveis
explicativas da formação do preço (tempo, taxa de cupom e yield). Convêm
recuperar, para efeito do estudo da duração e da convexidade, as seguintes
regras ou relações de comportamento:

o preço do TRF muda com o passar do tempo, a exceção de
quando a taxa do cupom e a yield (taxa exigida pelo investidor)
permanecem iguais ao longo do tempo, quando o preço permanece igual
ao valor de face do TRF;

o preço do TRF tem comportamento inverso a yield de
mercado, no sentido de uma elevação na taxa de mercado provocar
redução no preço;

o movimento do preço do TRF é assimétrico a variações iguais
e opostas da yield. Para variações inferiores a 10 bp, podemos considerar a
simetria no movimento do preço, no sentido de uma pequena variação na
taxa, a partir de determinado nível de taxa, gerar igual percentual de
mudança no preço.(*)
Nota) 1 Ponto de base (ou 1 bp) = 1/10.000
O que deve ser ressaltado é que o movimento do preço, para um dado
deslocamento da taxa, depende também do ponto ou do nível em que a taxa sofre
a variação. A influência sofrida pelo preço depende do fato da variação da taxa
representar acréscimo ou decréscimo em relação à taxa que precifica o bônus ao
par, quando a yield é igual à taxa do cupom. O gráfico a seguir mostra o impacto
da mudança da taxa sobre o preço do bônus, para as seguintes situações:

para variações inferiores a 10 bp, há perfeita simetria entre a
taxa de valorização e a taxa de desvalorização do preço, quando a taxa
sofre pequena elevação (y1+) ou pequena redução (y1-) em torno do ponto
y1. A simetria é “aceitável” porque, para pequenos deslocamentos da taxa,
há uma identidade entre a curva de preço (que é convexa) e a tangente a
curva no ponto (y1) de mudança de taxa.
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Página 27

para variações superiores a 10 bp (0,50% por exemplo)
percebemos a assimetria na variação do preço, já que o impacto sobre o
preço é diferenciado. Além disso, o gráfico revela que a verdadeira medida
de variação do preço é dada pela curva de preço e não pela reta tangente.
A verdadeira valorização do preço mostrada pela curva de preço é superior
a valorização estimada pela tangente, quando há uma redução da taxa
superior a 10bp (0,10%). O contrário ocorre quando há elevação da taxa,
no sentido de a desvalorização verdadeira do preço ser inferior a sugerida
pela reta.
O que pode ser concluído com relação a variação de taxa superior a 10bp é
que a tangente subestima a valorização do preço, quando há redução de taxa, e
superestima a desvalorização, quando há elevação de taxa de mercado:

a valorização verdadeira do preço (ponto A’2) é superior a
valorização estimada pela tangente (ponto A2), para determinada redução
da taxa (de y1 para y2-);

a desvalorização verdadeira do preço (ponto B’2) é inferior à
desvalorização estimada pela tangente (ponto B 2), para determinada
elevação da taxa (de y1 para y2+).
Duração de TRF/Carteira de Renda Fixa
Um instrumento extremamente importante na avaliação de títulos de renda
fixa é a medida de comprimento de tempo de um título (ou títulos), conhecida
como duration ou duração, proposta por Frederick R. Macaulay, em 1938.
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Normalmente, as tesourarias se preocupam com o prazo médio dos
pagamentos e recebimentos da empresa. Duração é uma forma de cálculo do
prazo médio de um fluxo de caixa que procura levar em conta o valor do dinheiro
no tempo.
Além da avaliação do prazo médio de um titulo, ou de uma carteira de
títulos, essa medida permite avaliar a sensibilidade do valor do título (ou carteira) a
variações na taxa de juros. Assim, o uso do indicador duração ajuda a percepção
de como se comportariam os fluxos de caixa de uma empresa em relação a
possíveis riscos conjunturais.
Segundo Macaulay (1938), o prazo de um título até o seu vencimento pode
omitir informações fundamentais sobre algum fluxo de caixa anterior a este
vencimento e, portanto, é uma medida incompleta para avaliação deste título. Para
contornar esse problema, a medida proposta, para o bônus padrão de prazo n,
generalizada por Fisher e Well (1971), foi a seguinte:
∑𝐧𝐣=𝟏
𝐃=
𝐂𝐣 × 𝐣
𝐌×𝐧
+
𝐣
(𝟏 + 𝐲) (𝟏 + 𝐲)𝐧
𝐏
Nota) O conceito de duração (duration) é uma medida de exposição de um título
ou de uma carteira de renda fixa ao risco de mercado, isto é, ao risco de variação
de taxa de juros, supondo a estrutura a termo do tipo Flat.
Nota) A duration é expressa em uma unidade de tempo (geralmente ano).
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Página 29
Detalhando a fórmula acima, vemos que a duração é uma ponderação do
prazo de cada pagamento pelo seu valor atual.
C2
C1
Cn
(1 + i)
(1 + i)2
(1 + i)n
D=
×1+
× 2 + ⋯+
× n = w1 × 1 + w2 × 2 + ⋯ + wn × n,
P
P
P
onde wt =
Ct
(1+i)n
P
é o fator de ponderação na data t e P é o valor atual do titulo (ou
carteira).
A duração pode ser definida, portanto, como sendo o prazo médio
ponderado de vencimento, usando o valor presente dos fluxos de caixa como
pesos para ponderação.
A duração de uma carteira de títulos é a média das durações
individuais ponderada pelo valor financeiro de cada título.
Em títulos que não pagam cupons, a duração é igual a sua maturidade, pois
como todo o pagamento será feito no vencimento, o prazo médio será igual à
maturidade. Além disto, para títulos com a mesma maturidade e o mesmo valor
nominal, quanto menor o cupom, maior a duração.
Para detalhar a duração através de um conceito mais intuitivo, considere
uma série de contêineres cuja capacidade é determinada pelo valor nominal de
cada fluxo de caixa em cada período. Cada contêiner foi preenchido pelo valor
presente do fluxo de caixa e o último contêiner contém também o pagamento do
principal. Considere que a distância horizontal é a própria medida de tempo. A
duração é a determinação de um ponto em que ao posicionarmos o apoio da
alavanca, todo o sistema se manterá equilibrado. A figura a seguir é a
representação gráfica deste conceito.
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Página 30
Exemplo) Suponha que a YTM dos bônus 1 e 2 abaixo seja igual a 5%; determine
suas durações.
Usando a fórmula
P=
C
1
M
[1 −
]
+
y
(1 + y)n
(1 + y)n
Temos que P1 = R$ 84,63 e P2 = 115,44. Assim,
∑30
j=1
D1 =
4×j
30 × 100
+
j
(1 + 5%) (1 + 5%)30
= 16,90 semestres
84,63
∑10
j=1
D2 =
7×j
10 × 100
+
j
(1 + 5%) (1 + 5%)10
= 7,70 semestres
115,44
█
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Página 31
Nota) A interpretação da duração é a seguinte: um investidor que adquiri o
bônus 1 receberá em média o que investiu em 16,90 semestres ou 8,45 anos.
Nota) A duração indica o nível de sensibilidade de um bônus à variação da
taxa de juros: o título 2 tem um prazo médio menor que o título 1. Logo ele está
menos exposto a variações na taxa de juros que o título 1. Portanto, o seu preço
deve ser menos sensível a variações na taxa de juros que o título 1.
Exemplo) Calcule a duração de um bônus com o fluxo abaixo sabendo que a YTM
é igual a 10% a.a.:
O preço do bônus é calculado pela expressão
P=
100
120
1000
+
+
= 90,91 + 99,17 + 751,31 = 941,40.
(1 + 10%) (1 + 10%)2 (1 + 10%)3
A duração é calculada pela expressão
D=
90,91 × 1 + 99,17 × 2 + 751,31 × 3
= 2,70 anos
941,40
Nota) Neste exemplo temos o cálculo da duração para um bônus não
padronizado.
█
Apesar de representar uma estimativa rápida e razoável da sensibilidade de
uma carteira de títulos de renda fixa, principalmente para taxas e volatilidade das
taxas em níveis mais baixos, a duração apresenta fortes limitações como a
suposição de que as taxas de juros de mercado são flat, ou seja, para qualquer
prazo as taxas de juros são constantes, o que faz com que fluxos de caixa de
curto prazo sejam trazidos a valor presente pela mesma taxa que os fluxos de
caixa mais distantes. Além disso, a duração trabalha com a suposição de que a
variação da taxa de juros ocorre sempre de forma paralela à estrutura temporal da
Professor Aldo Ferreira
Página 32
taxa de juros, ou seja, se a taxa de juros de curto prazo variar de 2% a.m. para 3%
a.m., a de longo prazo também variará de 2% a.m. para 3% a.m..
À medida que aumentamos a YTM, diminuímos o valor presente de todos os
fluxos de caixa, mas com mais intensidade para os fluxos de caixa mais distantes.
Dessa forma, pela representação gráfica do conceito de duração, verificamos que
para o sistema se manter em equilíbrio é necessário que o apoio da alavanca se
desloque para a esquerda. À medida que as taxas diminuem, o oposto ocorre, ou
seja, os fluxos aumentam seu valor presente e há necessidade do apoio se
deslocar para direita. Com isso, verificamos que a duração se move na mesma
direção dos preços e em direção contrária às taxas.
Como já dito, a duração é uma medida bastante utilizada para se medir a
sensibilidade do preço do título às variações da taxa de juros. Na figura seguinte,
vemos a representação gráfica do relacionamento entre o preço e a YTM para um
título de 10 anos com preço de R$100,00 e taxa de cupom de 15%.
160
140
120
Preço
100
80
60
40
20
0
2.00%
7.00%
12.00%
17.00%
22.00%
27.00%
32.00%
Taxa até a Maturidade
Professor Aldo Ferreira
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Preço
R$130,00
R$120,00
R$110,00
R$100,00
R$90,00
R$80,00
R$70,00
YTM
10,10%
11,53%
13,15%
15,00%
17,16%
19,73%
22,86%
Para o preço R$130,00, a YTM, que denotamos por y, é obtida através da
função TIR (taxa interna de retorno) aplicada ao fluxo ou por iteração segundo a
equação abaixo:
−130 =
15
15
15
115
+
+ ⋯+
+
2
9
(1 + y) (1 + y)
(1 + y)
(1 + y)10
Com isso, quando o preço do título está em seu valor par ou de face,
R$100,00, sua YTM é igual à taxa de cupom, 15%. Quando o preço sobe a
R$110,00, o rendimento cai a 13,15%, pois o investidor paga mais do que o valor
par, recebendo os mesmos R$15,00 de pagamento de cupom.
Inversamente, se o preço do título cair a R$90,00 o rendimento até a
maturidade se elevará a 17,16%. Neste caso, o investidor pagou menos do que o
valor par (ou valor ao par) pelo mesmo fluxo financeiro. Conseqüentemente, seu
rendimento será mais elevado.
A duração modificada nos fornece uma idéia da sensibilidade do preço de
um título à variação na taxa de juros. Esta fórmula é obtida diferenciando-se a
função valor atual da carteira (P) em relação à taxa de juros:
n
dP
1
jCt
=−
×∑
di
(1 + i)
(1 + i)j
j=1
Dividindo-se ambos os lados pelo valor presente do título, P, temos:
Professor Aldo Ferreira
Página 34
n
dP
1
jCt
D
=−
×∑
=−
j
Pdi
(1 + i)P
(1 + i)
(1 + i)
j=1
A razão entre a duração e o fator de juros, (1 + i), é conhecida na literatura
como duração modificada.
Da equação acima, obtemos a seguinte aproximação:
%∆𝐏 ≈ −𝐃𝐦𝐨𝐝 × ∆𝐢
Verifica-se que a variação percentual no valor da carteira é proporcional à
duração modificada multiplicada pela variação da taxa de juros. Em outras
palavras, para pequenas variações de taxas de juros, os preços das obrigações
alteram-se de maneira inversamente proporcional, de acordo com a magnitude da
duração. Desta forma, um investidor que possua títulos em sua carteira e que
espere uma alta na taxa de juros terá uma perda menor, quanto menor for esta
duração da carteira e vice-versa.
A duração modificada, portanto, é igual ao negativo do produto entre a
derivada do preço em relação à taxa de juros e o inverso do preço do título. Logo:
𝐃𝐌𝐨𝐝 = −
𝐝𝐏 𝟏
× .
𝐝𝐢 𝐏
A duração modificada representa a mudança percentual instantânea do
preço do título em relação à taxa de juros. Assim, quanto maior a duração, maior a
sensibilidade do título a variações na taxa de juros, ou seja, maior o risco do título.
Outra maneira interessante de entender o conceito de duração modificada é
através da representação gráfica do relacionamento entre o preço e a YTM do
título de 10 anos especificado anteriormente com taxa de cupom de 15%. A
duração modificada é a tangente no ponto de preço R$100,00 e taxa 15%. Desta
forma, verificamos duas características da duração modificada: a inclinação
Professor Aldo Ferreira
Página 35
negativa e a aproximação proporcionada pela duração modificada da variação do
preço do título pela reta tangente.
A duração modificada deste título é
Dmod =
D
5,77
=
= 5,02
(1 + i) 1 + 15%
Observe agora, ainda com base na tabela anterior, que se a YTM aumenta
1,43%, o preço do título cai de R$130 para R$120. Se a YTM aumenta 1,62%, o
preço cai de R$120 para R$110 e assim sucessivamente até a variação positiva
na YTM de 3,14%, causando alteração no preço de R$80 para R$70. Este
relacionamento não constante traz como resultado uma convexidade e é uma
característica de todos os títulos de renda fixa. Esta convexidade é percebida pela
forma curvilínea do gráfico.
Convexidade
Convexidade é uma medida de quanto a relação preço-taxa do título se
desvia de uma linha reta. A alta convexidade é uma propriedade que deve ser
desejada nos títulos ou carteiras que estão no ativo do investidor, pois, dados dois
títulos com curvas tangentes, como na figura abaixo, o título com maior
convexidade pode proporcionar maiores ganhos. Considere um título de 8 anos
com cupom de 12% ao par, representado pela linha pontilhada no gráfico e uma
carteira formada por 48,5% do montante aplicado em um título de 2 anos com
cupom de 12% e 51,5% do montante em um título de 30 anos com cupom de
12%, ambos ao par, representado pela linha contínua. Ambas as posições
apresentam duração de 5,56 anos e preços iguais. Porém, neste caso, a carteira
seria um ativo mais desejável para um investimento, pois seu preço cairá mais
devagar e subirá mais rapidamente às variações nas taxas de juros, devido à
maior convexidade.
Professor Aldo Ferreira
Página 36
Embora a duração seja útil para prever o efeito de mudanças nas taxas de
juros sobre o valor de operações de renda fixa, ela deve ser considerada apenas
uma aproximação de primeira ordem, válida para pequenas variações nas taxas.
Pode-se obter maior precisão através da convexidade.
A convexidade, denotada por Cvx, é definida matematicamente como a
segunda derivada do valor atual, em relação à YTM, denotada por y, dividida pelo
preço e é medida em unidades de tempo ao quadrado:
𝐝𝟐 𝐏 𝟏
𝐂𝐯𝐱 = 𝟐 ×
𝐝𝐲
𝐏
Quando todos os cupons são iguais, isto é, o TRF é padronizado, temos
𝐧
𝟏
𝐣(𝐣 + 𝟏)𝐂
𝐧(𝐧 + 𝟏)𝐌
𝐂𝐯𝐱 = × [(∑
)+
]
𝐣+𝟐
(𝟏 + 𝐲)
(𝟏 + 𝐲)𝐧+𝟐
𝐏
𝐣=𝟏
𝐧
𝟏
𝐣(𝐣 + 𝟏)𝐂
𝐧(𝐧 + 𝟏)𝐌
𝟏
= × [(∑
)+
]×
𝐣
𝐧
𝐏
(𝟏 + 𝐲)
(𝟏 + 𝐲)
(𝟏 + 𝐲)𝟐
𝐣=𝟏
Nota) Quanto maior o cupom, maior a convexidade.
Exemplo) Calcule a convexidade para o bônus cujo fluxo é dado abaixo:
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Página 37
A aplicação direta da fórmula para o cálculo da convexidade nos dá que:
20
1
j(j + 1)50
20 × 21 × 1000
Cvx =
× [(∑
)
+
(
)] = 211,33
1000
(1 + 5%)j+2
(1 + 5%)22
j=1
█
A convexidade e a duração podem ser combinadas para demonstrar a
medida de sensibilidade do título às mudanças na taxa de juros, ou seja, o quanto
estas duas relações explicam a variação de preço do título para uma dada
variação de taxa:
∆P
∆y
1
= −D ×
+ Cvx(∆y)2
P
(1 + y) 2
Quando as mudanças na taxa de juros forem pequenas, o termo de
convexidade poderá ser ignorado.
A importância da convexidade do bônus de renda fixa está no fato de
quanto maior a convexidade, maior é a valorização do bônus diante da redução da
taxa de juros e menor é a desvalorização do preço caso ocorra a elevação da taxa
de juros. Fica claro que o investidor deve pagar um prêmio por adquirir um bônus
com convexidade elevada.
Quanto maior a convexidade, tanto mais benéfico o seu efeito, para uma
posição comprada no título. Contudo, os títulos com convexidade maior também
são mais procurados e, portanto, poderão ser mais caros. Como as posições em
opções, o preço da convexidade depende da volatilidade das taxas de retorno. Se
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Página 38
a expectativa for de estabilidade nas taxas, não se atribuirá valor alto à
convexidade.
Nota) Sendo o preço de um bônus uma função convexa da taxa de mercado, a
segunda derivada da curva de preço é sempre positiva e isto garante que a
convexidade do bônus, sem opção, é sempre positiva.
Exemplo 9) Como ilustração da importância da convexidade para a escolha
de bônus, considere um investidor que está disposto a gastar o valor de R$
668.000 e tem a disposição dois bônus para investir:
Bônus
A
B
Cupom
(pagamento
semestral - %
a.a.)
9,00
3,10
YTM
Preço
Prazo(anos)
10
8
Convexidade
(%a.a.)
(R$)
9
9
1.000,00
668,60
56,36
51,16
Logo ele poderia comprar 668 bônus A ou 1000 bônus B. Apesar da
similaridade das durações, ele deve comprar o bônus A devido a sua maior
convexidade (implica melhor comportamento em termos de preço diante de
flutuações na taxa).
█
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Página 39
Títulos de Renda Fixa Negociados no Mercado Brasileiro
Atualmente todos os títulos federais são de emissão do Tesouro
Nacional. Dentre os títulos públicos, estudaremos as LTN, LFT e NTN. Entre os
TRF privados, nos concentraremos nas Debêntures e nos CDB’s, uma vez que
esses são os títulos privados de mais fácil acesso ao investidor.
Títulos Públicos
Essencialmente, os títulos públicos emitidos pelo Tesouro Nacional estão
voltados para a execução da


da política fiscal do governo, antecipando receitas orçamentárias ou
financiando déficits fiscais; e
da política monetária.
Nota) O Banco Central do Brasil NÃO pode emitir títulos públicos (Lei de
Responsabilidade Fiscal, do ano de 2000).
Letra do Tesouro Nacional (LTN)
As LTN’s podem ser emitidas para a cobertura de déficit orçamentário, bem
como para a realização de operações de crédito por antecipação de receita,
observados os limites fixados pelo poder legislativo.
A LTN é um título prefixado, cuja maturidade é definida pelo Ministro da
Fazenda quando da sua emissão. Geralmente, é um TRF de curto prazo,
geralmente de até um ano, com valor nominal igual a R$ 1.000,00, cujo
rendimento é definido pelo deságio sobre o valor nominal.
A LTN é um título zero cupom (bônus sem cupom ou obrigação descontada
pura), portanto o seu fluxo é o seguinte:
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Página 40
Se considerarmos o prazo n em número de dias úteis, então a relação entre
a taxa efetiva anual (expressa na base 252 dias) e o preço do papel é:
𝐏=
𝟏𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝐲)𝐧⁄𝟐𝟓𝟐
Exemplo 1) Uma LTN foi negociada no mercado secundário no dia
28/12/2001 ao preço de R$ 956,7326. O vencimento do título será em
03/04/2002. Sabendo que o número de dias úteis entre essas duas datas é
igual a 63, determine a taxa anual efetiva embutida no papel.
1000 252⁄63
)
𝑦=(
− 1 = 19,3542%.
956,7326
█
Nota) É comum expressar a rentabilidade dos títulos públicos em termos da taxa
over mensal, ou simplesmente taxa over, que é a taxa mensal nominal (base 30
dias no mês) equivalente a taxa efetiva diária.
Nota) No exemplo anterior, a taxa efetiva diária é y = (1+19,3542%)1/252 -1=
0,0702%. Portanto, a taxa over é 30  0,0702% = 2,1070%.
Nota) A partir da taxa over, para o cálculo da taxa efetiva em um período
considerado é necessário informar o número de dias úteis do período.
Exemplo 2) A LTN011007 (a numeração indica uma LTN com vencimento em
01/10/2007) foi negociada no dia 30/04/2007 a taxa de 11,98% a.a. Determine o
seu preço. Prazo = 156 dias úteis.
Letra Financeira do Tesouro (LFT)
A LFT é um título pós-fixado atrelado à taxa básica da economia: a taxa
Selic. A sua maturidade é definida pelo Ministro da fazenda quando da emissão do
título.
Assim como outros títulos públicos pós-fixados, a LFT teve seu valor
nominal fixado em R$ 1.000,00 em 01/07/2000. O Valor Nominal Atualizado
(VNA) em certa data é o valor de R$ 1.000,00 corrigido pela taxa Selic acumulada
entre 01/07/2000 e essa data.
O valor de resgate é igual ao VNA na data de vencimento.
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Página 41
Exemplo 3) Considere uma LFT emitida no dia 30/08/00 com vencimento em
15/10/03. Determine o VNA de emissão e o valor de resgate. Dados: taxa Selic
entre 01/07/00 e 30/08/00 = 2,66786762086602%; taxa Selic entre 01/07/00 e
15/10/03 = 79,58719426227399%.
Em condições normais, o preço de uma LFT em certa data deverá ser igual
ao VNA da LFT nessa mesma data. No entanto, muitas das vezes isso não ocorre
podendo a LFT ser negociada com ágio (preço de mercado > VNA) ou deságio
(preço de mercado < VNA).
A taxa de ágio ou deságio anual é definida como:
𝐏=
𝐕𝐍𝐀
(𝟏 + 𝐢)𝐧⁄𝟐𝟓𝟐
Se i > 0 há um deságio no preço do papel; caso contrário, temos um ágio.
Exemplo 4) Uma LFT com vencimento em 16/07/2003 foi negociada no dia
27/12/2001 a R$ 1.271,035. Sabe-se que o VNA dessa LFT é igual a R$
1.272,97867692. Determine a taxa de ágio/deságio.
Exemplo 5) Suponha que a LFT do exemplo 3 tenha sido emitida com um deságio
de 0,105% a.a. Determine o preço de emissão. Prazo da LFT = 40 dias úteis.
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Nota do Tesouro Nacional (NTN)
As NTN’s podem ser emitidas em diversas séries. Examinaremos a seguir
as principais séries emitidas pelo Tesouro Nacional nos últimos anos.
1) NTN-F: é um título prefixado que paga cupons semestrais, cuja maturidade é
definida pelo Ministro da Fazenda quando da sua emissão.
O valor nominal do título no vencimento é um múltiplo de R$ 1.000,00.
As datas de pagamento dos cupons são definidas retrospectivamente a
partir da data de vencimento da NTN-F, sendo que o último cupom coincide com o
vencimento. O primeiro cupom de juros a ser pago contemplará a taxa integral
definida para seis meses, independentemente da data de emissão do título.
A taxa de cupom é definida pelo Ministro de Estado da Fazenda, quando da
emissão, em porcentagem ao ano, calculada sobre o valor nominal. Atualmente,
a NTN-F paga cupom de 10% a.a. (taxa efetiva).
Logo, o valor em reais de cada cupom é 1000 x (1,101/2 – 1) = R$ 48,81,
quando a NTN-F tem valor nominal igual a R$ 1.000.
Exemplo 6) Considere a NTN-F 010106 , cujo valor nominal foi igual a R$ 1.000.
Esse papel foi negociado no dia 09/01/2004 por R$ 828,52. Determine a yield to
maturity. Para a resolução, considere a tabela abaixo:
Negociação
09/01/2004
Nº de dias úteis
1º cupom
1/7/2004
119 d.u.
2º cupom
1/1/2005
247 d.u.
3º cupom
1/7/2005
371 d.u.
4º cupom
1/1/2006
498 d.u.
(*) d.u. = dias úteis.
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Página 43
Fluxo HP
828,5200
0
99
0
19
48,81
0
99
0
28
48,81
0
99
0
24
48,81
0
99
0
27
1048,81
CHS
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
F
Cfo
CFj
Nj
CFj
Nj
CFj
CFj
Nj
CFj
Nj
CFj
CFj
Nj
CFj
Nj
CFj
CFj
Nj
CFj
Nj
CFj
IRR
Exemplo 7) Considere a NTN-F 010108. Esse papel foi negociado no dia
09/01/2004 por R$ 803,22. Determine a yield to maturity.
Negociação
9/1/2004
Nº de d.u.
1º cupom
1/7/2004
119
2º cupom
1/1/2005
247
3º cupom
1/7/2005
371
4º cupom
1/1/2006
498
5º cupom
1/7/2006
622
6º cupom
1/1/2007
747
7º cupom
1/7/2007
871
8º cupom
1/1/2008
997
2) NTN-C: é um título indexado ao IGP-M. As taxas são calculadas com base em
um ano de 252 dias. A taxa de cupom é definida pelo Ministro de Estado da
Fazenda, quando da emissão, em porcentagem ao ano, calculada sobre o valor
nominal. Nas últimas emissões, a NTN-C pagou cupom de 6% a.a. (taxa
efetiva).
Os cupons são pagos semestralmente a taxa efetiva de 6% a.a., portanto,
cada cupom é igual a (1,061/2 – 1) = 2,956301% do principal. Exceção feita NTN-C
com vencimento em 01/01/2031 que tem cupom de 12% a.a.
O valor nominal é múltiplo de R$ 1.000.
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Nota) O IGP-M é um índice de preços constituído por uma média dos índices de
preços por atacado – IPA, peso 60% – ao consumidor – IPC, peso 30% – da
construção – INCC, peso 10%. Engloba na pesquisa dados das 12 maiores
regiões metropolitanas do país sendo calculado pela FGV. Ele é divulgado até o
dia 30 do mês de referência e representa a variação de preços ocorrida entre o
21º dia do mês anterior e o 20º dia do mês a que se refere o índice. Além disso,
são feitas duas apurações prévias dos resultados do IGP-M, divulgadas até os
dias 10 e 20 do mês de referência. A primeira prévia se refere a variação de
preços entre os dias 21 e 30 do mês anterior. Já a segunda prévia se refere aos
20 primeiros dias do período de apuração do IGP-M cheio.
3) NTN-B: esse título é bastante semelhante a NTN-C. A única diferença está na
escolha do índice de preços que corrige o principal. Nesse caso, usa-se o IPCA. A
taxa de cupom é definida pelo Ministro de Estado da Fazenda, quando da
emissão, em porcentagem ao ano, calculada sobre o valor nominal. Atualmente, a
NTN-B paga cupom de 6% a.a. (taxa efetiva).
Nota) A data-base para a NTN-B é 15/07/2000.
Exemplo 8) Dado que uma NTN-B tem uma remuneração de inflação mais 6,2%
ao ano e uma LTN que paga uma taxa de 9,70% ao ano, calcule e defina o que é
o conceito de inflação implícita ou “break-even inflation”.
Exemplo 9) O país ABC emite títulos de renda fixa e você foi designado para
participar do leilão. O título tem as seguintes características:




Preço: 925,52
Valor nominal: 1000
Cupons: 6 cupons anuais, a partir da data da compra de 12% do valor
nominal
Resgate: No sexto ano pelo valor nominal
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A remuneração esperada por você, dado o risco do país, é de 16% ao ano. Qual a
remuneração deste título e qual o preço máximo que você pagaria pelo título?
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Exercícios
LTN
1 - Uma LTN foi negociada no mercado secundário no dia 28/12/2001 ao preço de
R$ 897,55. O vencimento do título será em 03/04/2002. Sabendo que o número de
dias úteis entre essas duas datas é igual a 63, determine a taxa anual efetiva
embutida no papel. Determine a taxa over.
2 - Uma LTN foi negociada no mercado secundário no dia 28/12/2001 ao preço de
R$ 856,73. O vencimento do título será em 03/07/2003. Sabendo que o número de
dias úteis entre essas duas datas é igual a 389, determine a taxa anual efetiva
embutida no papel. Determine a taxa over.
R: 10,54% e 1,1928%
3 - A LTN010408 foi negociada no dia 19/03/2008 a taxa de 11,2%a.a. Determine
o seu preço, dado que o vencimento é em 8 dias úteis.
R: R$ 996,64
4 - A LTN010110 foi negociada no dia 19/03/2008 a taxa de 13,05%a.a. Determine
o seu preço, dado que o vencimento é em 450 dias úteis (1/1/2010).
R: R$ 803,29
LFT
5 - Considere uma LFT emitida no dia 30/08/00 com vencimento em 15/10/03.
Determine o VNA de emissão e o valor de resgate. Dados: taxa Selic entre
01/07/00 e 30/08/00 = 1,88%; taxa Selic entre 01/07/00 e 15/10/03 = 85,87%.
R: VNA (Emissão) = R$ 1.018,80; VNA (Resgate) = R$ 1.858,70.
6 - Considere uma LFT emitida no dia 23/08/00 com vencimento em 8/10/03.
Determine o VNA de emissão e o valor de resgate. Dados: taxa Selic entre
01/07/00 e 23/08/00 = 1,573%; taxa Selic entre 01/07/00 e 8/10/03 = 84,25%.
R: VNA (Emissão) = R$ 1015,73 e VNA (Resgate) = R$ 1.842,50
7 - Uma LFT com vencimento em 16/07/2003 foi negociada no dia 27/12/2001 a
R$ 1.271,035. Sabe-se que o VNA dessa LFT é igual a R$ 1.274,880. Determine a
taxa de ágio/deságio.
R: 0,3025%
8 – Dado o deságio no preço de 0,25% ao ano e o VNA de R$ 1.535,46, determine
o preço de negociação da LFT. Prazo da LFT = 326 dias úteis.
R: R$ 1530,50
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Notas
9 - Considere a NTN-F 010706. Esse papel foi negociado no dia 09/01/2004 por
R$ 899,07 (considere o intervalo entre cupons de 119, 247, 371, 498 e 622).
Determine a yield to maturity.
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