GEOMETRIA PLANA
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GEOMETRIA ESPACIAL 2017 Tópicos a serem estudados 1) Geometria Espacial de Posição 2) Prismas 3) Pirâmides e troncos de Pirâmide 4) Cilindros 5) Cones e troncos de Cone 6) Esferas e seção da Esfera 7) Poliedros 8) Sólidos de Revolução * 9) Inscrição e Circunscrição de Sólidos * * apenas EsPCEx 1) Geometria Espacial de Posição POSTULADOS OU AXIOMAS 1º EXISTÊNCIA: a) Existem infinitos pontos numa reta, bem como fora dela; b) Existem infinitos pontos num plano e também fora dele; 1) Geometria Espacial de Posição 2º DETERMINAÇÃO: a) Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles; b) Três pontos não-colineares determinam um único plano que passa por eles; 1) Geometria Espacial de Posição 3º INCLUSÃO: a) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta está contida nesse plano; b) Se dois planos distintos possuem um ponto em comum, então a intersecção desses planos é uma reta que passa por esse ponto; 1) Geometria Espacial de Posição 4º PARALELAS Por um ponto, fora de uma reta dada, passa uma única paralela à reta dada (postulado de Euclides); 1) Geometria Espacial de Posição Determinação de um plano 1 - por três pontos não colineares 2 - por uma reta e um ponto fora dela 1) Geometria Espacial de Posição Determinação de um plano 3 - por duas retas concorrentes 4 - por duas retas paralelas distintas 1) Geometria Espacial de Posição Exemplo 1 Analise as afirmações, marque V ou F e justifique suas respostas a) Três pontos distintos determinam um único plano. b) Os vértices de um triângulo são coplanares. c) Se três pontos são coplanares, então eles são colineares. 1) Geometria Espacial de Posição POSIÇÕES RELATIVAS • Entre duas retas • De uma reta e um plano • De dois planos 1) Geometria Espacial de Posição ENTRE DUAS RETAS • Coincidentes – quando equivalem a uma única reta. • Concorrentes – quando têm um único ponto em comum. 1) Geometria Espacial de Posição ENTRE DUAS RETAS • Paralelas – duas retas distintas são paralelas quando são coplanares e não tem ponto em comum. • Reversas - duas retas distintas são reversas quando não existe plano que as contenha. 1) Geometria Espacial de Posição ENTRE RETA E PLANO • Reta contida no Plano – quando todos os pontos da reta pertencem ao plano • Reta e Plano concorrentes (ou secantes) – quando tem um único ponto em comum 1) Geometria Espacial de Posição ENTRE RETA E PLANO • Reta e Plano paralelos – quando não tem pontos em comum 1) Geometria Espacial de Posição ENTRE DOIS PLANOS • Coincidentes – quando equivalem a um mesmo plano. • Secantes ou concorrentes – quando são distintos e têm intersecção não-vazia 1) Geometria Espacial de Posição ENTRE DOIS PLANOS • Paralelos – quando não tem ponto em comum 1) Geometria Espacial de Posição Exercícios: 1) 2) 3) 4) 1) Geometria Espacial de Posição Exercícios: 5) 1) Geometria Espacial de Posição Retas ortogonais – duas retas são ditas ortogonais quando são reversas e a paralela a uma delas, conduzida por um outro ponto da outra, é perpendicular a esta. Se duas retas a e b formam ângulo reto: Se duas retas a e b formam ângulo reto: • Sendo reversas, são ortogonais • Sendo coplanares, são perpendiculares 1) Geometria Espacial de Posição Reta e Plano Perpendiculares – uma reta concorrente com um plano, num ponto O, é perpendicular ao plano quando é perpendicular a todas as retas do plano que passam por O. 1) Geometria Espacial de Posição Planos Perpendiculares – quando um deles contém uma reta perpendicular ao outro.
